高中数学 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系课件 新人教A版必修2
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高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆 王新敞 奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（ ）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（ ）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。 新疆
王新敞 奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面 内，
则 l// 。（ ）
（2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。（ ）
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2
错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG. 因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B, 所以BC⊥平面A1ABB1. 又因为B1E⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥B1E, 即FG⊥B1E. 同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F,所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以 A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
和这个平面所成的角.
锐角
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角 ;一条直线在平面内或 一条直线和平面平行,称它们所成的角是 0° 的角,于是,直线与平面 所成的角θ 的范围是0°≤θ ≤90°.
自我检测
1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α ,直线b∥平面α ,则a与b的关系为
(B ) (A)a∥b
在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= A1N = 1 ,因此∠A1B1N=30°.所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 A1B1 2
人教A版高中数学必修二课件第五讲直线与平面、平面与平面平行的性质.pptx
a
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
∴a与b无公共点． 又∵ a , b ,
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
求证：a∥b．
a
b
证明： b, b , 又a //
∴a与b无公共点． 又∵ a , b , 即a与b共面．
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
BC 面BC' 面BC' 面A'C' B'C'
BC//B'C'
EF//B'C'
BC//EF
D'
A'
P E
D
F B'
C' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
直线与平面平行的性质定理的运用： 例1 如图所示的一块木料中, 棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎
a
b
讲授新课
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
符号语言：
a
b
讲授新课
直线与平面平行的性质定理
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
∴a与b无公共点． 又∵ a , b ,
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
求证：a∥b．
a
b
证明： b, b , 又a //
∴a与b无公共点． 又∵ a , b , 即a与b共面．
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
BC 面BC' 面BC' 面A'C' B'C'
BC//B'C'
EF//B'C'
BC//EF
D'
A'
P E
D
F B'
C' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
直线与平面平行的性质定理的运用： 例1 如图所示的一块木料中, 棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎
a
b
讲授新课
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
符号语言：
a
b
讲授新课
直线与平面平行的性质定理
人教新课标A版高中数学必修二 可编辑课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 222 平面与平面平行的判定
.
2．推论：如果一个平面内有两条 相交 直线，分别平
人 教
A
行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
版
数
用符号表示为a∥c，b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α ， 学
c⊂β，d⊂β⇒α∥β
.
3．α∥β，a⊂α⇒ a∥β .
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人
2．2.2 平面与平面平行的判定
教 A 版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．判定定理：如果一个平面内有两条 相交 直 线 分
别 平行 于另一个平面，那么这两个平面平行．用数学符
号表示 a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，a∩b＝A⇒α∥β
一、选择题
1．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平 行，则这两个平面的公共点个数
A．有限个 B．无限个
C．没有
D．没有或无限个
[答案] D
[解析] 两平面相交或平行，故选D.
(
)
人 教
A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
二、填空题
2．直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a、b的
证明如下：在正方体ABCD－A1B1C1D1中连接PQ.
∵P，Q分别为DD1，CC1的中点，
∴PQ綊CD，CD綊AB.
人
教
∴PQ綊AB，∴四边形ABQP是平行四边形，
A 版
数
∴PA∥QB.
人教新课标A版必修2 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系(共13张PPT)
其中正确命题的个数是（A）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
知识识记
直线与平面的位置关系
(2).已知a，b是直线，β是平面.若a∥ β ，b∥ β ，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交； ④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ D）
（A）2个 （B）3个
（C）4个
知识识记
直线与平面的位置关系
3．如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.
证明：∵直线a∥平面α， ∴直线a与平面α没有公共点． ∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β. ∴直线a与b没有公共点． ∵a⊂β，∴a∥b.
课堂小结
总结本节课的学习内容.
课时小结： （师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？ （2）三个公理的内容及作用是什么？
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l⊂α
[解析] l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；
l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；
l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；
l与α斜与平面的位置关系
1.判断下列四个命题的对错.
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内， 则l∥α. (×) (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条 (×)
解：由直线a与平面α平行，直线b⊂α知a与b没有公共点， 所以a与b平行或异面．
新课讲授
直线与平面的位置关系
直线在平面α内 直线与平面α相交 直线与平面α平行
有无数个公共点
a α
有且只有一个交点 a A
α
无交点 a
α
典例精讲
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
注意证明中常常要说明两个平面是重合的， 其基本模式如： ①点A、B、C、D共面于α，点A、B、C、 E共面于β，经过不共线三点A、B、C的平 面有且仅有一个，∴α与β重合，从而A、B、 C、D、E共面． ②直线a、b、c共面于α，直线a、b、d共 面于β，但直线a与b确定一个平面(a∥b或a 与b相交)，∴α与β重合，∴a、b、c、d共 面．
(3)共面问题 证明多个几何元素(点和直线)共面，一般 先据公理2或其推论结合题设条件确定一 个平面α，再由公理1或公理3说明其它元 素也在平面α内． 证明直线共面的一般方法有两种：一是先 由两条平行或相交直线确定一个平面，再 依据平面的基本性质证明其它直线在此平 面内；二是先分别确定两个平面，再依据 平面的基本性质证明两个平面是同一个平 面(即两平面重合)．
2．怎样检查一张桌子的四条腿的下端是 否在同一个平面内． [解析] 用两条细绳沿桌子对角两腿的下 端拉直，看两绳是否相交，若相交则在同 一个平面内，否则不在同一个平面内．
3．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B， l∩c＝C，求证：a、b、c、l共面． [证明] ∵a∥b，∴a、b确定一个平面α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈α，B∈α，故l⊂α，∴a、b、l共面于 α. 又∵a∥c，∴a、c确定一个平面β， 同理可证：l⊂β，∴a、c、l共面于β， ∵a∩l＝A， 过两条相交直线有且只有一个平面． ∴α与β重合，即直线a、b、c、l共面．
制作人：豆猛刚
1．确定平面的条件． 我们已知不共线三点可以确定一个平面， 请探究： (1)一直线外一点和该直线能确定一个平面 吗？ (2)两条平行直线能确定一个平面吗？ (3)两相交直线能确定一个平面吗？
[解析] (1)可以．如图，在直线l上任取相 异两点，∵P∉l，∴P、A、B三点不共线， 由公理2，P、A、B三点可确定一个平面α， ∴经过直线l和l外一点P，有且仅有一个平 面．
高中数学人教A版必修2课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2异面直线所成角(共20张PPT)
【例】如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
(3)直线A′B和CC′所成角是多少？
解：(1) 直线AB,BC,CD,DA, A′B′ ,B′C′,
D′
C′ C′D′, D′A′与直线AA′ 都垂直.
(2) 直线AD,BC, B′C′ ,A′D′与直线A′B
抛 砖 • 在平面内，如果两个角的两边分别对应 引 平行，那么这两个角有什么关系？ 玉
抛 砖 • 在空间中，如果两个角的两边分别对应 引 平行，结论是否仍然成立呢? 玉
1、等角定理：
• 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
• 【定理的推论】 如果两条相交直线和另两条相交直线
• 推论2：经过＿两＿条＿相＿交直线，有且只有一个平面。 • 推论3：经过＿两＿条＿平＿行直线，有且只有一个平面。
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们＿有＿且＿只＿有＿一＿条＿过＿该＿点＿的＿公＿共＿直＿线。
• 公理4：＿平＿行＿于＿同＿一＿直＿线＿的两条直线互相平行。
• 空间中直线与直线的位置关系：
看图说话
1(1)长方体ABCD-A′B′C′D′中，有没有两条棱所
在的直线是互相垂直的异面直线?
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂 直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
C' B'
C
B
D' A'
D
A
精讲点拨
求异面直线夹角的一般步骤是： “作—证—算—答”
2、异面直线所成角：
高中数学 2.32.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
而 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E.
栏
PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B，
目 链
接
∴平面 DEF∥平面 PGB.
由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB，
∴平面 PGB⊥平面 ABCD， ∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
第三十四页，共42页。
PC＝PC，
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，
栏 目
链
所以 AC＝BC.
接
如图，取 AB 中点 D，连接 PD，CD，
则 PD⊥AB，CD⊥AB，又因为 PD∩CD＝D，所以 AB⊥平
面 PDC，所以 AB⊥PC.
第三十七页，共42页。
跟踪 训练
(2)解析：作 BE⊥PC，垂足为 E，连接 AE.
目 链
接
(pàndìng)定理和性质定理间的相互联系．
第三页，共42页。
栏 目 链 接
第四页，共42页。
基础 梳理
1．直线与平面垂直的性质定理.
文字语言
垂直于同一个平面的两条直
平行线(_p_í_n_g_x_íng)
栏
目
链
接
符号语言
a∥b
第五页，共42页。
基础 梳理
图形语言 栏 目 链 接
作用
①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线
栏 目 链 接
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求二面角 BPCA 的正切值．
第二十九页，共42页。
跟踪
训练
证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面 BDE，∴PC⊥BD.
又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面 PAD.
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直线和平面的位置关系有三种： 直线在平面内； 直线和平面相交； 直线和平面平行．
例1.空知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的 中点． 求证：EF∥平面BCD．
证明：连结BD．
性，这三个条件是证明直线和平面平行的条件，缺一不可．
B 2个
D 4个
课后作业
课本习题2.1 第4、5、6题
前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系， 今天我们开始研究空间直线和平面的位置关系．直 线和平面的位置关系有几种呢？我们来观察：黑板 上的一条直线在黑板面内；两墙面的相交线和地面 只相交于一点；墙面和天花板的相交线和地面没有 公共点，等等．如果把这些实物作出抽象，如把 “墙面”、“天花板”等想象成“水平的平面”， 把“相交线”等想象成“水平的直线”，那么上面 这些关系其实就是直线和平面的位置关系，有几种， 分别是什么？
课堂练习
1、若直线∥平面α，则下列命题中，正确的是（ ）
A 平行于α内的所有直线
B 平行于过的平面与α的交线 C 平行于α内的任一直线 D 平行于α内的唯一确定的直线
2、点P不在三角形ABC所在的平面内，过P作平面α，使 三角形ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面α共 有（ ）
A 1个
C 3个