高中数学函数的单调性与最值习题及详解
高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( )A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有唯一实数根 [答案] D[解析] ∵函数f (x )在[a ，b ]上是单调减函数，又f (a )，f (b )异号．∴f (x )在[a ，b ]内有且仅有一个零点，故选D.2．(2010·北京文)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ [答案] B[解析] 易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B. 3．(2010·济南市模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514，则( ) A ．y 3<y 2<y 1B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2[答案] B[解析] ∵y ＝0.5x 为减函数，∴0.513<0.514， ∵y ＝x 13在第一象限内是增函数，∴0.413<0.513，∴y 1<y 2<y 3，故选B.4．(2010·广州市)已知函数⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)[答案] C [解析] ∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a －2>0a －2×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.5．(文)(2010·山东济宁)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ≥－4D ．a ≤－4 [答案] D[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立，∴g (0)≤0，g (1)≤0，即a ≤－4.(理)已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( ) A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] ∵tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω<0.当－π2<x <π2时，有 －π2≤πω2<ωx <－πω2≤π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥－π2－π2ω≤π2ω<0，∴－1≤ω<0. 6．(2010·天津文)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c[答案] D [解析] ∵1>log 54>log 53>0，∴log 53>(log 53)2>0，而log 45>1，∴c >a >b . 7．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－2,2] C ．{2}D ．[2，＋∞) [答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2，∴a ＝2.8．(文)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log 127x )>0的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，13)C ．(0，＋∞)D ．(0，13)∪(3，＋∞) [答案] D[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127x )>0，得|log 127x |>13，即log 127x >13或log 127x <－13.选D. (理)(2010·南充市)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a [答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)，即a <b <c .9．(2009·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1.10．(2010·泉州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 [答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0，令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )．对任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )．二、填空题11．(2010·重庆中学)已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg2)＝0，则f (lg 12)＝________. [答案] －8[解析] 令φ(x )＝ax ＋b x，则φ(x )为奇函数，f (x )＝φ(x )－4， ∵f (lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，∴f (lg 12)＝f (－lg2)＝φ(－lg2)－4 ＝－φ(lg2)－4＝－8.12．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f (x )＝ax －1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，－13 [解析] ∵f (x )＝a －3a ＋1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a <－13. 14．(2010·江苏无锡市调研)设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是______．[答案] (1，1a )∪(0，a ) [解析] f (log a t )>0，即f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫12，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴log a t >12， ∵0<a <1，∴0<t <a .又f (x )为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (log a t )>0又可化为f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫－12， ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，∴0>log a t >－12， ∵0<a <1，∴1<t <1a， 综上知，0<t <a 或1<t <1a . 三、解答题15．(2010·北京市东城区)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值集合．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1. 解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值集合是{x |0<x <1}．16．(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1是奇函数(a >0，a ≠1)． (1)求m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若当x ∈(1，a －2)时，f (x )的值域为(1，＋∞)，求实数a 的值．[解析] (1)依题意，f (－x )＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，即log a 1－mx x －1＋log a 1＋mx －x －1＝0， ∴1－mx x －1·1＋mx －x －1＝1，∴(1－m 2)x 2＝0恒成立， ∴1－m 2＝0，∴m ＝－1或m ＝1(不合题意，舍去)当m ＝－1时，由1＋x x －1>0得，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f (x )的定义域， 又有f (－x )＝－f (x )，∴m ＝－1是符合题意的解．(2)∵f (x )＝log a 1＋x x －1， ∴f ′(x )＝x －1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －1′log ae ＝x －1x ＋1·x －1－x ＋1x －12log a e ＝2log a e 1－x 2①若a >1，则log a e >0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，即(1，＋∞)是f (x )的单调递减区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递减区间．②若0<a <1，则log a e <0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )>0，∴(1，＋∞)是f (x )的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递增区间．(3)令t ＝1＋x x －1＝1＋2x －1，则t 为x 的减函数 ∵x ∈(1，a －2)，∴t ∈⎝⎛⎭⎫1＋2a －3，＋∞且a >3，要使f (x )的值域为(1，＋∞)，需log a ⎝⎛⎭⎫1＋2a －3＝1，解得a ＝2＋ 3. 17．(2010·山东文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R)． (1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性． [解析] (1)a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln2＋2，所以y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0. (2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1， 所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，①当a ＝0时，g (x )＝1－x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，g (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增；②当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)[x －(1a－1)]， (ⅰ)当a ＝12时，g (x )≥0恒成立，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (ⅱ)当0<a <12时，1a－1>1>0， x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减；x ∈(1，1a－1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增； x ∈(1a－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减； ③当a <0时，1a－1<0， x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )单调递减x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a－1，＋∞)上单调递减． 注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.3.已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】，其图像如图所示，由图像得是奇函数，递减区间是.【考点】分段函数的图像与性质.4.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）利用偶函数的图像关于轴对称，得到在轴右侧的图像，再利用图像写出单调递增区间；（2）设，则，求，再利用偶函数求的解析式；（3）讨论对称轴与区间的关系，求出最小值.规律总结：1.奇函数的图像关系原点对称，偶函数的图像关系轴对称；2.二次函数的图像开口向上时，离对称轴越近的点对应的函数值越小，离对称轴越远的点对应的函数值越大.试题解析:（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.函数是定义在上的偶函数，且当时，（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小当时，为最小.综上，有：的最小值为．【考点】1.函数的图像；2.函数的单调性；3.函数的解析式；4.函数的最值.5.函数，使是增函数的的区间是________．【答案】【解析】令在R上是减函数,又因为函数在(-,1]是减函数,由复合函数的单调性可知的增区间为: (-,1]【考点】复合函数的单调性.6.已知奇函数 f (x) 在 (－¥,0)∪(0,+¥) 上有意义，且在 (0,+¥) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(q) = sin 2q+ m cos q－2m，若集合M =" {m" | g(q) < 0}，集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0}，求M∩N.【答案】 .【解析】根据条件中是奇函数的这一条件可以求得使的的范围，再根据与的表达式，可以得到与的交集即是使恒成立的所有的全体，通过参变分离可以将问题转化为求使恒成立的的取值范围，通过求函数最大值，进而可以求出的范围.依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数， 1分∴由得或 2分∴或 3分4分由得 5分即 6分∴ 7分设， 9分∵， 10分∴， 11分且 12分∴的最大值为 13分∴ 14分另解：本题也可用下面解法：1. 用单调性定义证明单调性∵对任意，，，∴，即在上为减函数，同理在上为增函数，得 5分∴.2. 二次函数最值讨论解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，4分由得恒成立，5分设， 6分∵，的对称轴为 7分1°当，即时，在为减函数，∴ 9分2°当，即时，∴ 11分3°当，即时，在为增函数，∴无解 13分综上， 14分3. 二次方程根的分布解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，，由得恒成立，，设，∵，的对称轴为，， 7分1°当，即时，恒成立。
5、函数的单调性与最值(含答案)
5函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)增函数、减函数自左向右看图象是04上升的自左向右看图象是05下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)D 叫做函数y ＝f (x )2．函数的最值1．(1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.( )(3)若函数y ＝f (x )，x ∈D 的最大值为M ，最小值为m (M ＞m )，则此函数的值域为[m ，M ]．( )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．小题热身设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案 [－1,1]，[5,7]3函数y ＝4x －x 2＋3，x ∈[0,3]的单调递增区间是________，最小值是________，最大值是________．答案 [0,2] 3 74函数f (x )＝(2a －1)x －3是R 上的减函数，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 5函数f (x )＝3x ＋1(x ∈[2,5])的最大值与最小值之和等于________． 答案 326．函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D7．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)8．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 解法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ·x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 解法二：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 练习二1．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)答案 B2．函数f (x )＝6x －x 2的单调递减区间是________． 答案 [3,6]3．用定义法证明：f (x )＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上单调递增．证明 ∀x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝log 2(x 1－2)－log 2(x 2－2)＝log 2x 1－2x 2－2. 又由2＜x 1＜x 2，得0＜x 1－2x 2－2＜1.所以log 2x 1－2x 2－2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．4．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83 C ．－2 D ．2答案 A5．函数y ＝x －x －1的最小值为________． 答案 346．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x∈R )的最小值是________．答案 327．函数f (x )＝2a x －2020a x ＋1的值域为________．答案 (－2020,2)8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3 9．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________． 答案 {y |y ∈R 且y ≠3}10．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 答案 [3，＋∞)11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，若a ＝f (－1)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214，c ＝f (20.3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c答案 B12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(－1，2＋1)C ．(0，2＋1)D ．(－1，2－1) 答案 D13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a －log a x ，x >1，对于任意x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(1,2]D ．(1,2) 答案 C14．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x ∈[－2,1]时，f (x )＝x 2－2x －4，则关于x 的不等式f (x )<－1的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，3)C ．(－1,3)D ．(－1，＋∞) 答案 D15．函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 答案 C练习三1．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x答案 D2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 答案 B3．已知f (x )在R 上是减函数，a ，b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )] D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 答案 D4．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 答案 D5．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 答案 B6．函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案 B7．设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A ．y ＝1f (x )在R 上为减函数 B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数 C ．y ＝2－f (x )在R 上为减函数 D ．y ＝－[f (x )]3在R 上为增函数 答案 C8．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________.答案 259．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)10．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1,4] 练习四1．(2019·安徽合肥模拟)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >3，mx ＋8，x ≤3.若f (2)＝4，且函数f (x )存在最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3]B ．(1,2] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33D ．[3，＋∞) 答案 A3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案 [0,1)4．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0，且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a ＝________；若函数g (x )＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围为________．答案 13 [－1，＋∞) 5．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，证明：f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上所述，0<a ≤1.6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解 (1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中，在区间为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由幂函数的性质得在区间上是增函数；由于对称轴为，因此在区间上是减函数；区间上是减函数；底数为0．5，区间上是减函数．【考点】函数的单调性．2.函数f（x）=2x﹣sinx在（﹣∞，+∞）上（）.A．有最小值B．是减函数C．有最大值D．是增函数【答案】D.【解析】，；因为恒成立，所以在上是增函数.【考点】利用导数判断函数的单调性.3.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与x轴有三个不同交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=1，x=2时取得极值，则x1•x2的值为．【答案】6.【解析】因为的图像过，所以，即；因为f（x）在x=1，x=2时取得极值，所以的两根为1,2，则，即；则，所以.【考点】函数的零点、函数的极值.4.奇函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为为奇函数，所以由，得，又因为函数在定义域上是减函数，所以有，解得，故实数的取值范围是，注意不要忽略定义域.【考点】抽象函数的性质及解不等式.5.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－.(1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为2，最小值为－4【解析】（1）欲证函数为奇函数，需寻找关系.由题中条件可知，需要从f(x)＋f(y)＝f(x＋y)拼凑出与，令,便有,需求得,考虑到,令特殊值求；（2）同一样的思想，这里需要拼凑出与（）不等于关系（需利用当x＞0时，f(x)＜0）；（3）利用（1），（2）结论解（3）.试题解析：令,可得从而.令，可得，即，故为奇函数． 4分证明：设，且，则，于是.从而.所以为减函数． 8分解：由(2)知，所求函数的最大值为，最小值为．,.于是在上的最大值为2，最小值为－4. 12分【考点】（1）函数奇偶性的证明（明确一般方法和过程）；（2）函数单调性证明（紧扣证明过程）；（3）求函数最值.6.已知函数是定义在上的减函数，函数的图象关于点对称. 若对任意的，不等式恒成立，的最小值是（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】函数的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，即函数是奇函数，不等式恒成立等价为；又是定义在上的减函数，，即；,即的最小值为2.故选C.【考点】函数单调性与对称性；不等式恒成立；函数值域.7.设函数.（1）用反证法证明：函数不可能为偶函数；（2）求证：函数在上单调递减的充要条件是.【答案】(1)祥见解析；(2) 祥见解析．【解析】(1)反证法证明的一般步骤是：先假设结论不正确，从而肯定结论的反面一定成立，在此基础上结合题目已知条件，经过正确的推理论证得到一个矛盾，从而得到假设不成立，所以结论正确；此题只需假设假设函数是偶函数，既然是偶函数，则对定义域内的一切x都有成立，那么我们为了说明假设不成立，即不可能成立，只需任取一个特殊值代入检验即可；(2)由于是证明函数在上单调递减的充要条件是：；应分充分性和必要性两个方面来加以证明，先证充分性：来证明一定成立；再证必要性：由函数在上单调递减在上恒成立，来证明即可，注意已知中的这一条件．试题解析：(1)假设函数是偶函数， 2分则，即，解得， 4分这与矛盾，所以函数不可能是偶函数. 6分(2)因为，所以. 8分①充分性：当时，，所以函数在单调递减； 10分②必要性：当函数在单调递减时，有，即，又，所以. 13分综合①②知，原命题成立. 14分（说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分）【考点】１．反证法；２．函数的单调性；３．充要性的证明．8.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为奇函数在上为增函数,所以在上也是增函数,且,从而在定义域上的大致图象为：所以的解集为:,故选D．【考点】函数的奇偶性与单调性．9.已知命题p：函数在上单调递减．⑴求实数m的取值范围；⑵命题q：方程在内有一个零点．若p或q为真，p且q为假，求实数m 的取值范围．【答案】⑴ 1<m<3; ⑵．【解析】(1)由于u=6-mx中m>0，所以u在[1，2]上是减函数，由复合函数的单调性可知函数在上必是增函数且u=6-mx>0在[1，2]上恒成立；故有m>1且6-2m>0,所以1<m<3;（2）由q命题为真可知：函数与直线y=-m-1有且只有一交点，由图象得：-m-1=-1或-m-1-1,故有；再由p或q为真，p且q为假知p与q必然一真一假，从而求得m的取值范围．试题解析：．⑴，⑵由q命题为真可知：方程在内有一个零点等价于:函数与直线y=-m-1有且只有一交点，由图象得：-m-1=-1或-m-1-1,故有；又因为p或q为真，p且q为假知p与q必然一真一假，所以有,所以．【考点】1．复合函数的单调性,2．函数的零点,3．复合命题真假的判断．10.已知函数是上的增函数，（1）若，且，求证（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论。
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数有极值点，则实数的范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】若函数有极值点，则有根，所以或.【考点】导数的应用.2.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】由函数可得：；当时，在上是增函数故A错；当时函数为减函数，故B错；当时，是偶函数所以C正确；，都不是奇函数故D错.【考点】函数的性质.3.已知函数，，．（1）当时，求函数的最小值；（2）若函数的最小值为，令，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取绝对值，化简，配方法求最小值；（2）取绝对值，然后对的范围经行分类讨论（注意以两二次函数的对称轴为界进行分类），最后求出最小值表达式，利用图象（配方法、函数性质法也可以）求最值。
试题解析：（Ⅰ）=，由,可知;由,可知。
所以。
5分（Ⅱ）1）当，； 7分2）当，； 9分3）当，； 11分所以，图解得：。
15分【考点】（1）分段函数最值问题；（2）含参数分段函数讨论4.已知,则下列说法正确的是（）①关于点成中心对称②在单调递增③当取遍中所有数时不可能存在使得A．①②③B．②③C．①③D．②【答案】D【解析】若关于点成中心对称，则就关于成中心对称，即就要为奇函数，事实上它不是奇函数，故①不正确；②是正确的，因为，当在上增大时，也增大，从而也跟着增大，结果也就增大，故在是单调递增的；③不正确，因为当时，要使，即，即，也就是说当时，存在使得，所以③不正确，综上选择D.【考点】函数性质的综合应用.5.已知函数（，），．（1）求函数的单调区间，并确定其零点个数；（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；（3）证明不等式（）．【答案】（1）当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点．（2）；（3）祥见解析．【解析】（1）首先求出已知函数的导数，然后由导数为正（为负）求得函数的增（减）区间，结合函数的单调区间就可求得函数的零点的个数；注意分类讨论；（2）由在其定义域内单调递增，可知，恒成立，从而就可利用二次函数的图象来求得字母的取值范围；或者分离参数将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题来加以解决；（3）观察所证不等式左右两边，联想已知的函数，由（2）可知当时，在内单调递增，而，所以当时，，即令，则即:，然后再令n=1，2，3，…，n得到n个式子，将这n个式子相加就可得到所证不等式．试题解析：（1） 1分则…2分（i）若，则当时，；当时，所以为的增区间，为的减区间． 3分极大值为所以只有一个零点．（ii）若，则当时，；当时，所以为的减区间，为的增区间．极小值为 4分所以只有一个零点．综上所述，当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点． 5分（2）…6分由在其定义域内单调递增，可知，恒成立．则恒成立． 7分(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点)可得或 8分则或，则或，得．可以验证当时在其定义域内单调递增故． 9分(法二)分离变量因（当且仅当，即时取到等号）…8分所以，则．可以验证当时在其定义域内单调递增，故 9分（3）由（2）可知当时，在内单调递增，而所以当时，，即 10分令，则…11分则所以，，，，，以上个式子累加可得12分则则 13分则故（）． 14分【考点】１．利用函数的导数研究函数的单调性；２．函数的零点；３．函数与不等式的综合．6.已知函数与函数的图象关于轴对称，若存在，使时，成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:由于函数与函数的图象关于轴对称，因此，由得，把代入得，当时，，解之得，因此的最大值为.【考点】函数图象的对称性.7.定义域为R的函数满足，当[0，2)时，若时，有解，则实数t的取值范围是A．[-2，0)(0，l)B．[-2，0) [l，+∞)C．[-2，l]D．(，-2](0，l]【答案】B【解析】时，，时，时，，由于函数，当当，有题知解之当【考点】函数性质的综合应用.8.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的,有，则当n∈N﹡时，有（）.A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】D【解析】因为对任意的,有所以在为增函数，又是定义在R上的偶函数，在为减函数，，所以，即.【考点】函数的奇偶性、单调性.9.若奇函数在上单调递减，则不等式的解集是 .【答案】【解析】因为奇函数在上单调递减，所以在上单调递减，即函数在R上单调递减；，，，即，解得；即不等式的解集是.【考点】函数的奇偶性、单调性.10.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）当时，函数，求函数的值域．【答案】（1）函数的定义域为；（2）函数是奇函数；（3）函数的值域为．【解析】（1）具有解析式的函数的定义域无特殊情况下，通常就是使解析式有意义的自变量的取值范围；通常关注的是：①开偶次方时被开方的式子为非负；②作为分母不得为零；③作为对数的真数必须为正；④作为对数的底数必须为正且不为；（2）奇、偶性的判断，首先必须关注定义域，定义域关于原点对称是函数具备奇、偶性的必要条件，接下来用定义或等价定义来判断；（3）求函数值域的方法很多，在大题中经常通过探讨函数单调性来达到求函数值域的目的，这里即是．试题解析：（1）由得，则函数的定义域为． 4分（2）当时，，因此，函数是奇函数． 9分（3）设，当时，则函数在区间上是减函数，故函数在区间上也是减函数． 12分（证明单调性也可用定义）则， 13分因此，函数的值域为． 14分【考点】函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等的综合应用．11.设是R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由,在时单调递增.在R上为奇函数，则，在时也单调递增.要使，则或.【考点】函数求导法则和利用单调性解不等式.12.已知函数和的定义域都是[2，4].若,求的最小值；若在其定义域上有解，求的取值范围；若，求证.【答案】(1) ; (2) ; (3) 祥见解析．【解析】(1)将p=1代入函数知其为分式函数，而又知其定义域为[2,4]，所以我们可用导数方法来判断函数的单调性，进而就可求出其最小值；试题解析：(1)将p=1代入中，所以，所以f(x)的导数为，令所以当和时函数为增函数，又因为已知定义域为[2,4]，所以恒为增函数，所以；（2）令k=，要求f(x)＜2在定义域上有解，则方程当k＜2时在[2,4]上有解，∵k＜2，p＞0∴抛物线对称轴，从而方程，当k＜2时在[2,4]上有解，又p＞0，∴0＜p＜2；（3）；根据第（1）问结论：而，∵，当且仅当x=3时取等号；∴，而∴.【考点】1.函数的最值；2.函数的零点；３．基本不等式．13.下列函数中与函数奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是()．A．B．C．D．【答案】C【解析】为偶函数，且在上单调递增；又为奇函数；为偶函数，且在上单调递减；为偶函数，且在上单调递增；为非奇非偶函数；故选C．【考点】函数的奇偶性、单调性．14.定义在R上的函数的图像关于点成中心对称且对任意的实数都有且，则（）．A．1B．0C．-1D．2【答案】A【解析】的图像关于点成中心对称,；又，，即是偶函数；，即是周期为3的周期函数；，则．【考点】函数的奇偶性、周期性．15.已知命题p：函数在上单调递减．⑴求实数m的取值范围；⑵命题q：方程在内有一个零点．若p或q为真，p且q为假，求实数m 的取值范围．【答案】⑴ 1<m<3; ⑵．【解析】(1)由于u=6-mx中m>0，所以u在[1，2]上是减函数，由复合函数的单调性可知函数在上必是增函数且u=6-mx>0在[1，2]上恒成立；故有m>1且6-2m>0,所以1<m<3;（2）由q命题为真可知：函数与直线y=-m-1有且只有一交点，由图象得：-m-1=-1或-m-1-1,故有；再由p或q为真，p且q为假知p与q必然一真一假，从而求得m的取值范围．试题解析：．⑴，⑵由q命题为真可知：方程在内有一个零点等价于:函数与直线y=-m-1有且只有一交点，由图象得：-m-1=-1或-m-1-1,故有；又因为p或q为真，p且q为假知p与q必然一真一假，所以有,所以．【考点】1．复合函数的单调性,2．函数的零点,3．复合命题真假的判断．16.函数的单调递增区间是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得:得,故选C.【考点】函数的单调性.17.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，当时，，即，为增函数；分别是定义在上的奇函数和偶函数，为奇函数，那么当时，为减函数，又，所以，可得不等式的解集是.【考点】1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性的关系.18.、若函数在上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数，在上单调递减，得，解得.【考点】函数的性质.19.若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足，则的取值范围是 .【答案】.【解析】先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式，然后利用函数是偶函数得到不等式．等价为，然后利用函数在区间上单调递增即可得到不等式的解集．【考点】函数奇偶性和单调性的应用.20.设为定义域在R上的偶函数，且在的大小顺序为（）A．B．C．D．【答案】【解析】根据为定义域在R上的偶函数,有,则,因为在为增函数,且,所以,选.【考点】偶函数定义,单调性应用.21.已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是 ()．A．(3,7)B．(9,25)C．(13,49)D．(9, 49)【答案】C【解析】图像向右平移个单位可得，函数的图象关于点对称，那么图像关于对称，函数为奇函数，且在上为增函数，由原不等式可得，即，可化为，图像知为圆心，为半径的圆．当时，即为右半圆上的点到坐标原点的距离的平方，结合图像可知最大值为，最小值为．【考点】函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法．22.已知函数，若存在正实数，使得集合，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，显然m＞0，对函数的单调性进行研究知，函数在（-∞，0）上是增函数，在x=0处函数值不存在，在（0，1）函数是减函数，在（1，+∞）函数是增函数，由此结合函数的连续性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．①当b＜0时，f（x）在[a，b]上为增函数∴，，即a，b为方程1−＝mx的两根．∴mx2-x+1=0有两个不等的负根 m＞0，＜0，此不等式组无解．②当a≥1时，f（x）在[a，b]上为增函数∴，，即a，b为方程1−＝mx的两根．∴mx2-x+1=0有两个不等的大于1的根.，解得0＜m＜．③当0＜a＜b＜1时，f（x）在[a，b]上为减函数，∴，两式作差得a=b，无意义．综上，非零实数m的取值范围为(0，)．【考点】1.函数的单调性及单调区间；2.集合的包含关系判断及应用；3.集合的相等．23.如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？【答案】（1）（2），【解析】（1）直路与池边AE相切，切点为M，点M到边OA距离为，因此又切线斜率为故切线方程为，（2）用t表示出地块OABC在直路不含泳池那侧的面积. ，过切点M的切线即，令得，故切线与AB交于点令，得，又在递减，所以,故切线与OC交于点,地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，面积，等号，.（1） 6分（2），过切点M的切线即，令得，故切线与AB交于点；令，得，又在递减，所以故切线与OC交于点。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。
【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．【答案】[，＋∞)【解析】因为当时，为单调递减函数，所以当时，也为单调递减函数，因此且【考点】分段函数单调性2.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法3.如果在区间上为减函数，则的取值范围（）A． B． C． D （0，）【答案】C【解析】首先当时满足在区间上为减函数，所以；其次当时，由二次函数的图象和性质可知：要使在区间上为减函数，必须且只需：，综上知的取值范围为；故选Ｃ．【考点】一次函数与二次函数的单调性．4.如果函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x，y)都满足方程lg(x＋y)＝lgx＋lgy，那么y＝f(x)在[2,4]上的最小值是________．【答案】【解析】由lg(x＋y)＝lgx＋lgy，得，由x＋y＝xy得y＝f(x)＝＝＝1＋(x≠1)．则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在[2,4]上的最小值是f(4)＝1＋＝.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|.下列不等关系：①<；②f(sin l)>f(cos l)；③<；④f(cos 2)>f(sin 2)．其中正确的是________(填序号)．【答案】④【解析】当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，从而f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，因为sin<cos，所以>；因为sin l>cos l，所以f(sin l)<f(cos l)；因为<，所以>；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f(cos 2)>f(sin 2)．综上所述，正确的是④.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.8.下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是（）A.【答案】A【解析】与满足,与满足,为奇函数，所以舍去，画出与的图象显然递增的是,故选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以选项A不正确；因为是偶函数，其单调递增区间是，所以选项B不正确；是偶函数，在上单调递减，所以选项C不正大确；因为是偶函数，且在区间上为增函数，所以选项D正确.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式.10.设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的图像可知，在和上是递增的，在上是递减的，故函数在区间上单调递增，则或，即或，故选Ｄ．【考点】函数的单调性．11.下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得函数在上单调递增。
函数的单调性与最值(包含详细答案)
函数的单调性与最值1．(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)x D ．y ＝x ＋1x答案 A解析 ∵函数y ＝ln(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，y ′＝1x ＋2在(－2，＋∞)上大于0恒成立，(0，＋∞)⊆(－2，＋∞)．2．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0 答案 A3．函数f (x )＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B解析 f (x )可由－1x 沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图所示．4．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.5．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.6．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1.若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.7．(2014·保定模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]答案 B8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0.∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，(4－a2)x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 答案 B 10．给定函数④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．答案 ②③11．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. 12．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数图像如图.13．在给出的下列4个条件中，①⎩⎨⎧ 0<a <1，x ∈(－∞，0) ②⎩⎨⎧ 0<a <1，x ∈(0，＋∞) ③⎩⎨⎧ a >1，x ∈(－∞，0) ④⎩⎨⎧a >1，x ∈(0，＋∞)能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，2)解析 当a >1且x 2－ax ＋12有最小值时，f (x )才有最小值log a 2－a 24，∴⎩⎨⎧a >1，Δ<0⇒1<a < 2.15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ≥0，－x ＋2，x <0，则满足不等式f (3－x 2)<f (2x )的x 的取值范围为________．答案 (－3,0)解析 作出f (x )图像如图．∵f (3－x 2)<f (2x )，∴⎩⎨⎧3－x 2>2x ，2x <0.解得－3<x<0.16．函数f(x)＝xx＋1的最大值为________．答案1 2解析当x＝0时，y＝0.当x≠0时，f(x)＝1x＋1x ，∵x＋1x≥2，当且仅当x＝1x，即x＝1时成立，故0<f(x)≤12，∴0≤f(x)≤12.17．函数f(x)＝x2x－1(x∈R且x≠1)的单调增区间是______．答案(－∞，0)和(2，＋∞)解析将原函数y＝x2x－1变形为y＝(x－1)＋1x－1＋2，显然x－1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．18．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．答案(1)略(2)0<a≤1解析(1)证明任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)解任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述知0<a≤1.。
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数.故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ）A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+a )<f (a )D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确.【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确；因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>，因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解.【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-．故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞B ．(,5)(0,1)-∞-C ．(3,0)(3,)-⋃+∞D ．(5,0)(1,)-+∞ 【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =，所以(3)(3)0f f -==．作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>，所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩解得1x >或5x 0-<<，即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞ ．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（）A ．是奇函数，()0,+¥单调递增B ．是奇函数，()0,+¥单调递减C ．是偶函数，()0,+¥单调递减D ．是偶函数，()0,+¥单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】解：定义域为{}0x x ≠，因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1x x x x x x =-++，因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(10x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在()0,+¥单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以(4)(4)0f f -=-=，所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数．作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<．综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-，D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减，故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性.【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-，所以，函数()f x 为偶函数，当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x =、1y x =在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3，练提升2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q 都是假命题C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解.【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，所以()()()()1221f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤-故函数()()y f x g x =-不是减函数，故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =，因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m-≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题．3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ）A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C．(D．(11---+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围.【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b d a ==-且2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞ ，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<，所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-+==∈，因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-+()0,1上单调递增，当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣；当[)0,1t ∈时，2d t =--，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =--[)0,1上单调递减，当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈--，故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ）A ．()f x 在定义域内单调递减B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义城内有两个零点D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解.【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞U U ，而1x 和11x +在各段定义域内均为减函数，故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误；当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+，当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确；令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-，令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确，故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1(2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ）A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -< ，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误.故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定.【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）A ．2()f x x =；B ．1()f x x =；C ．1()f x x x=+；D ．23()1xf x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m =⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n mmn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在；对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，n =，即存在“倍值区间”；故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3+【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立，24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数，∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦，当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数，∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦，∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥+-，当1a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，．【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题．【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >．即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，.故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，.10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3-【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+，当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+，此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +> ，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±（舍去）；③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-Q，解得3a =-或3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3--.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，练真题所以函数()331f x x x=-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．12y x=B ．y =2x-C ．12log y x=D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数 的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.5.(2017天津)已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.2()ln(28)f x x x =--(,2)-∞-(,1)-∞-(1,)+∞(4,)+∞2280x x -->2x <-4x >()4,+∞()f x R 0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C ()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③。
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知，那么的最小值是.【答案】3【解析】由于，所以【考点】基本不等式的应用.2.已知是定义在上的偶函数，且，若在上单调递减，则在上是( )A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数【答案】D【解析】，，即函数的周期为２；又因为在上单调递减，所以在上是单调递减函数．【考点】函数的奇偶性与单调性．3.有下列命题：①函数与的图象关于轴对称；②若函数，则函数的最小值为－2；③若函数在上单调递增，则；④若是上的减函数，则的取值范围是．其中正确命题的序号是 .【答案】②.【解析】①与的图像关于轴对称的是，而不是的图像，故错误；②因为，其函数的图像由的图像向右平2010个单位，所以的最小值为－2，故正确；③因为函数为偶函数，且在上单调递增，则，，故错误；④若是上的减函数，则，解之得，即的取值范围是，故错误.【考点】函数的性质.4.已知点(x0，y)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则的最小值为________．【答案】【解析】由于可看作点（x0，y）与点（a，b）的距离．而点（x，y）在直线ax+by=0上，所以的最小值为：点（a，b）到直线ax+by=0的距离=，故应填入：．【考点】１．两点间的距离公式；２．点到直线的距离公式的应用．5.已知函数＝，则下列结论正确的是( )A．当x＝时取最大值B．当x＝时取最小值C．当x＝－时取最大值D．当x＝－时取最小值【答案】D【解析】由题意易得：，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，取得最小值.故选D.【考点】利用导数求函数的极值与最值.6.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求所有实数的值；（3）对任意的，证明：【答案】（1）递增区间为，递减区间为;（2）;（3）略.【解析】此题是导数的综合题.（1）考察函数的求导，导数大于（大于或等于）零的区间即为函数递增区间，小于（小于或等于）零的区间即为函数递减区间；（2）恒成立问题一般情况下是转化为求最值问题，借助第一问的单调性，注意主元思想的变换；（3）见详解.试题解析：（1），当时，，减区间为当时，由得，由得∴递增区间为，递减区间为（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而∴在区间上不可能恒成立当时，在上递增，在上递减，，令，依题意有，而，且∴在上递减，在上递增，∴，故（3）由（2）知：时，且恒成立即恒成立则又由知在上恒成立，∴综上所述：对任意的，证明：【考点】导数的求法，利用导数求函数最值，不等式的证明.7.函数的图象可能是（）A B C D【答案】C【解析】当时，令，，A选项中，。