2007年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析
2007-2012全国初中数学联赛分类汇编5--代数解答题(含答案)
2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编5---代数解答题1、 设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.（2007）解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n+≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m2、已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根. （2007）解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.3、设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值. （2007）解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m4、设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. （2007）解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.5、设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xay 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. （2007）解联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x ay a x a x y 消去y得a x a x 710)232(22-+++＝113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.6已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()a x x a x b x b xb x------≥ 恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.（2008） 解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥. 易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a=++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2234a -=或2234a +=. 又因为0a ≥，所以624a -=或624a +=， 于是方程组（3）的解为62,462,4ab ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或62,462.4a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为 6262,44a b -+==和6262,44a b +-==.7．设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+，求a ，b 的值.（2008） 解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a bm n ++==，则 509650943511m a n ab --==故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况： ①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==.8．已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx -+≥ 恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.（2008）解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥. 将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a=++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2234a -=或2234a +=，又因为0a ≥，所以624a -=或624a +=. 于是方程组（3）的解为62,462,4ab ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或62,462.4a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为6262,44a b -+==和6262,44a b +-==9．设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.（2008）解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c+-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n ab c ---==故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数. ……10分不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. …………………………………20分把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-.代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.10．已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值. （2009）解 （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A (,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-.又222121212()4()44AB x x x x x x b c b =-=+-=--=+，所以21141222ABC S AB OC b =⋅=+⋅=△， 解得23b =±.11．已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 证明：以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形. （2009）证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.因此，以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形.证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 即16()4096abc ab bc ca =++-.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.因此，以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形.12．已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 是否存在以,,a b c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.（2009）解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.因此，以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++=又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=， 即16()4096abc ab bc ca =++-.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.因此，以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.13、设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. （2010） 解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >. 又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长， 所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >. 又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤. 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.14、已知二次函数2y x bx c =+-错误！未找到引用源。
2007年全国初中数学联赛
2007年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知一次函数y = ax + b 的图象经过一、二、三象限，且与x 轴交于点（－2，0），则不等式ax ＞b 的解集为（ ）A ．x ＞－2B ．x ＜－2C ．x ＞2D ．x ＜22．已知a =bc ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a3．父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系：已知：⑴麦思的父母与麦思的血型各不相同；⑵麦思的血型不是B 型，那么麦思的血型是（ ）A ．A 型B ．AB 型或O 型C ．AB 型D ．A 型或O 型或AB 型4．四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（ ）A ．24组B ．48组C ．12组D ．16组5．已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：222222123451(20)5S x x x x x =++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。
其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④6．已知三角形的三边a ，b ，c 的长都是整数，且a ≤b ＜c ，如果b = 7，则这样的三角形共有（ ）A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个7．如图，直线l 1：y = x + 1与直线l 2 ：12y x =-- 把平面直角坐标系分成四个部分，则点44,57⎛⎫- ⎪⎝⎭在（ ） A ．第一部分 B ．第二部分C ．第三部分D ．第四部分8．已知实数a满足|2006|a a -=，那么22006a -的值是（ ）A ．2005B ．2006C ．2007D ．20089．设分数13(13)56n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（ ） A ．84 B ．68 C ．45 D ．11510．如图，P 是△ABC 内一点，BP ，CP ，AP 的延长线分别与AC ，AB ，BC 交于点E ，F ，D 。
全国初中数学竞赛真题及答案大全
2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月18日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若m 为实数，则代数式m的值一定是A.正数 B.0 C.负数 D.非负数2．如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a、b、c三种物体的重量，下列判断正确的是A．c>a B．a<b C．a<cD. b<c3. 如图2，点C是∠的平分线上一点，点B、B′分别在边、上，如果再添加一个条件，即可推出′,那么该条件不可以是A. ′⊥B. ′C. ∠∠′ D. ∠′C图图4．图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，则（）2的值是A ．13B ．19C ．25D ．169 图35．已知m 是方程01x -x 2=+2006的一个根，则代数式3+1++22m 20062005m -m 的值等于 A.2005 B.2006 C.2007D.20086．将一段72长的绳子，从一端开始每3作一记号，每4也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为A ．37B ．36C ．35D ．347． 某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人8．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ ）块A ．9B ．10C ．11D ．129．如图5，将△沿着它的中位线折叠后，点A 落到点A ′，若∠120 ，∠26 ,则∠A ′的度数是A ．120B ．112C ．110D ．10810. 方程x x -x 22=2的正根的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]0==3=2.30.7-43.7-，，等，则[][]=3+5π-12．在直径为4的⊙O 中，长度为32的弦所对的圆周角的度数为 .13．如图6，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为°.14．如图7，在△中，53为的中点，2，则∠ .15．若干个装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时1，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间间是第一个人的4小时.16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（O→A→B→C）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 .17.已知a＜3，b＞3，且1-k+，3,ba=则k的最小整数值是.18.若503=+，，且x、y、z均为非负数，则x=++z-yx30yz4=的最大值为.++zy5xM2三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)19. 已知在△中，∠90 ，4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度 0(α＜α＜90 ），旋转后，直角三角板的直角边分别与、相交于点K、H，四边形是旋转过程中三角板与△的重叠部分（如图所示）。
2007年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4 答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解．故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21 ∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）．4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
2007—2014全国初中数学联赛试题汇编(含答案)
第二试 （ A）
一、 （本题满分 20 分）设 m, n 为正整数，且 m 2 ，如果对一切实数 t ，二次函数
y x 2 (3 mt) x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t n ，求 m, n 的值.
解 因为一元二次方程 x (3 mt ) x 3mt 0 的两根分别为 mt 和 3 ，所以二次函
y 6, z 4 .
因此，共有 1＋2＋3＋4＝10 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结 果有 2 种，所以所求的概率为
2 1 . 故选（B）. 10 5
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1. 设 x
1 2 1 1
，a 是 x 的小数部分，b 是 x 的小数部分， 则 a 3 b 3 3ab ____1___.
注：本题也可用特殊值法来判断.
2．当 x 分别取值
1 1 1 1 ， ， ，…， ，1 ，2 ，…， 2005 ，2006 ， 2007 时， 2007 2006 2005 2
的 值 ， 将 所 得 的 结 果 相 加 ， 其 和 等 于
1 x2 计 算 代 数 式 1 x2
（ ） （A）－1. 【答】C.
3 3
2. 对于一切不小于 2 的自然数 n ， 关于 x 的一元二次方程 x (n 2) x 2n 0 的两个根
2 2
记作 a n , bn（ n 2 ） ， 则
1 1 1 = (a 2007 2)(b2007 2) (a 2 2)(b2 2) (a3 2)(b3 2)
2007 年全国初中数学联合竞赛
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 已知 x, y, z 满足
2007年全国初中数学联赛试题及答案
2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ．2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.A B C D EF M N P2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ， ∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a .2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分) 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分） A B C D E FM N P显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.（25分） 第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x -，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得[]0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）（5分）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数.（10分）而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-. （25分）。
全国初中数学竞赛真题及答案大全
全国初中数学竞赛真题及答案⼤全2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3⽉18⽇8:30——10:30）⼀、选择题（本⼤题满分50分，每⼩题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有⼀个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的⽅格内1. 若m 为实数，则代数式m +m 的值⼀定是A. 正数B.0C.负数D.⾮负数2．如图1所⽰，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a 、b 、c 三种物体的重量，下列判断正确的是A ．c>aB ．aC ．a3. 如图2，点C 是∠PAQ 的平分线上⼀点，点B 、B ′分别在边AP 、AQ 上，如果再添加⼀个条件，即可推出AB=AB ′,那么该条件不可以是A. BB ′⊥ACB. CB=CB ′C. ∠ACB=∠ACB ′D. ∠ABC=AB ′C4．图3是由四个全等的直⾓三⾓形与中间的⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形，如果⼤正⽅形的⾯积是13，⼩正⽅形的⾯积是1，直⾓三⾓形的两条直⾓边长分别为a 、b ，则（a+b ）2的值是A ．13B ．19C ．25D ．169 图35．已知m 是⽅程01x -x 2=+2006的⼀个根，则代数式3+1++22m20062005m -m 的值等于A.2005B.2006C.2007D.20086．将⼀段72cm 长的绳⼦，从⼀端开始每3cm 作⼀记号，每4cm也作⼀记号，然后从有图2图1记号的地⽅剪断，则这段绳⼦共被剪成的段数为A ．37B ．36D ．347．某旅游团92⼈在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每⼈可选不同的菜，但⾦额都须正好10元，且每⼀种菜最多只能买⼀份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有⽅案中，⾄少有⼀个⽅案的⼈数不少于A ．9⼈B ．10⼈C ．11⼈D ．12⼈ 8．如图4是由⼏块相同的⼩正⽅体搭成的⽴体图形的三视图，则这⽴体图形中⼩正⽅体共有（）块A ．9B ．10C ．11D ．129．如图5，将△ABC 沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A ′，若∠C=120 ，∠A=26,则∠A ′DB 的度数是A ．120B ．112C ．110D ．10810. ⽅程xx -x 22=2的正根的个数是A ．0个B ．1个D ．3个⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，满分40分）11．若[]x 表⽰不超过x 的最⼤整数，如[][][]0==3=2.30.7-43.7-，，等，则[][]=3+5π-_________12．在直径为4cm 的⊙O 中，长度为32cm 的弦BC 所对的圆周⾓的度数为 .13．如图6，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和⼀个⼩灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使⼩灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使⼩灯泡发光的概率为 ____________°.14．如图7，在△ABC 中，AB=5,AC=3,D 为BC 的中点，AD=2，则tan ∠BAD= __________.15．若⼲个装卸⼀批货物，每个⼯⼈的装卸速度相同，如果这些⼯⼈同时⼯作，则需10⼩时装卸完毕；现改变装卸⽅式，开始⼀个⼈⼲，以后每隔t （整数）⼩时增加⼀个⼈⼲，每个参加装卸的⼈都⼀直⼲到装卸完毕，且最后参加的⼀个⼈装卸的时间是第⼀个⼈的41，则按改变的⽅式装卸，⾃始⾄终共需时间⼩时.16.在⼀次⾃⾏车越野赛中，甲、⼄两名选⼿所⾛的路程y （千⽶）随时间x （分钟）变化的图象（全程）分别⽤图8中的实线（O →A →B →C ）与虚线（OD ）表⽰，那么，在本次⽐赛过程中，⼄领先甲时的x 的取值范围是 .17.已知a ＜3，b ＞3，且1-k b a =+，ab=3,则k 的最⼩整数值是_____________.18.若50z -y x 30z y x =+3=++，，且x 、y 、z 均为⾮负数，则z y 5x M 2+4+=的最⼤值为_________________. 三、解答题(本⼤题共2⼩题，每⼩题15分，满分30分) 19. 已知在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC=4,现将⼀块边长⾜够⼤的直⾓三⾓板的直⾓顶点置于AB 的中点O ，两直⾓边分别经过点B 、C ，然后将三⾓板绕点O 按顺时针⽅向旋转⼀个⾓度0(α＜α＜90），旋转后，直⾓三⾓板的直⾓边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三⾓板与△ABC 的重叠部分（如图所⽰）。
2007年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题及答案
2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本卷满分120分，考试时间：3月18日8:30 —— 10:30） 一、选择题（本大题满分 50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有 个是正确的，请把正确的答案的字母代号填写括号内. 1.若m 为实数，则代数式 m +m 的值- -定是 ). A 、正数 B 、0 C 、负数 2. 如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么， 下列判断正确的是（ ）. A 、c>a B 、a<b C 、a<c 3. 如图2，点C 是/ FAQ 的平分线上一点，点 B 、 加一个条件，即可推出 AB=AB ,那么该条件不可以是（ A 、BB'丄 AC B 、CB=CB ' C 、/ ACB=/ ACB D 、 对于 D 、非负数 a 、b 、c 三种物体的重量, b<c B '分别在边AP 、AQ 上，如果再添 ）• /D 、/ ABC=Z AB ' C| ⑥1\ 叵叵/ \ & & b / 图1 图24.图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正 方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形 的两条直角边长分别为 a 、匕，则（a+b ） 2的值是（ A 、 13 B 、 19 C 、 25 D 、 169)• 2 5 •已知m 是方程x - 2006X +1 = 0的一个根, 则代数式 2 2006 m -2005m + r +3的值等于(m +1A 、 2005B 、 2006)• C 、 2007D 、.20086.将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一记号，每 有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）. C 、 35 D 、 34 4cm 也作一记号，然后从 A 、 37 B 、 36 7.某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有 9种菜，每份菜单单价分别为 5、6、7、8、9 （元），旅游团领队交代：每人可选不同的菜，但金额都须正好 种菜最多只能买一份， 的人数不少于（ A 、9人&如图 体共有（ 这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中， ）• B 、10 人 C 、11 人 D 、12 人 4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方 ）块.1、 2、 3、 4、 10元，且每一 至少有一个方案 B 、 10 A 、9 C 、11 D 、 12三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，满分30分)二、填空题（本大题共 8小题，每小题5分，满分40分）11 •若[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.2]= 3,[- 3.7]= - 4,[0.7]= 0等，则轾5 + 3[- p ]=12. 在直径为4cm 的O O 中，长度为2、3cm 的弦BC 所对的圆周角的度数 为 ______ . _____13. ________________________________________ 如图6，电路图上有四个开关 A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或 同时闭合开关 A 、B 、C 都可以使小灯泡放光，那么随机闭 合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为 ________________________________________________ .14. 如图 7，在厶 ABC 中，AB=5,AC=3, D 为 BC 的 中点，AD=2，贝U tan / BAD = _________ .15. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同， 如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔 t （整数）小时增加一个人干， 每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人1装卸的时间是第一个人的一，则按改变的方式装卸，4自始至终共需时间 ________________ 小时.16. 在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程 化的图象（全程）分别用图 8中的实线（》A T B ^C ） 次比赛过程中，乙领先甲时的 x 的取值范围是17. 已知 a v 3，b >3，且 a + b = k- 1， ab=3,则k 的最小整数值是 ________________ . 18.若 x + y + z = 30,3x+ y- z = 50 , 且x 、y 、z 均为非负数，则M = 5x+ 4y+ 2z 的最大值为9.如图5，将厶ABC 沿着它的中位线 DE 折叠后，点A 落到点A '，若/ C=120，/ A=26 ,则/A 'DB 的度数是（ ）.A 、120B 、112C 、11010.方程2x- A 、0个x 2 = 2的正根的个数是（xB 、1个)•108D 、图7y （千米）随时间x （分钟）变 与虚线（OD ）表示，那么，在本meE819. 已知在△ ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点0,两直角边分别经过点B、C,然后将三角板绕点0按顺时针方向旋转a v 90 ：),旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交一个角度加。
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2007年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）已知x，y，z满足，则的值为（）．C．D．解答：解：由，得，所以，故选（B）．2．（7分）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）解答：解：因为=，即当x分别取值，n（n为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当x=1时，．因此，当x分别取值，，，，1，2，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0（7分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC是（）解答：解：由题意可得，即，所以，，因此a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故选D．4．（7分）已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（）0°B．45°C．60°D．75°解答：解：如图，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE，AE．锐角△ABC的垂心在三角形内部，设H为三角形的垂心，则CE∥AH，AE∥CH．则OB=AH=CE=2OD，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴∠A=∠BOD=60°．故选C．5．（7分）若K是△ABC内任意一点，△KAB，△KBC，△KCA的重心分别为D，E，F，则S△DEF：S△ABC的值为（）．B．C．D．解答：解：分别连接KD，KE，KF并延长交AB，BC，CA于点M，N，P，则M，N，P分别是各边的中点，∴△MNP的面积是△ABC面积的，△DEF的面积是△MNP的面积的，∴S△DEF：S△ABC的值是×=．故选A．6．（7分）袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（）．B．C．D．z≤7，x+y+z=15． ∵y+z≤13，∴x 可取值2，3，4，5．当x=2时，只有一种可能，即y=6，z=7；当x=3时，y+z=12，有2种可能，y=5，z=7或y=6，z=6；当x=4时，y+z=11，有3种可能，y=4，z=7或y=5，z=6或y=6，z=5；当x=5时，y+z=10，有4种可能，y=3，z=7或y=4，z=6或y=5，z=5或y=6，z=4． ∴共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种， ∴所求的概率为：=．故选B ．二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分） 7．（7分）设，a 是x 的小数部分，b 是﹣x 的小数部分，则a 3+b 3+3ab= 1 ．解答：解：∵，而，∴． 又∵，而，∴b=﹣﹣1+3=2﹣．∴a+b=1，∴a 3+b 3+3ab=（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）+3ab =（a 2﹣ab+b 2）+3ab =a 2+2ab+b 2=（a+b ）2=1，故答案为：1．8．（7分）对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x ﹣（n+2）x ﹣2n =0的两个根记作a n ，b n （n≥2），则+…= ﹣ ．答： 解：由根与系数的关系得a n +b n =n+2，a n •b n =﹣2n 2，所以（a n ﹣2）（b n ﹣2）=a n b n ﹣2（a n +b n ）+4=﹣2n 2﹣2（n+2）+4=﹣2n （n+1），则，∴+，=．故答案为：﹣．9．（7分）已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2，BC=CD=10，AD=6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为 4 ．解答：解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM=DN，∵BC=CD=10，由割线定理得，CB•CF=CD•CG，∵CB=CD，∴BF=DG，∴BE﹣BF=BE﹣DG=2（BM﹣DN）=2（BM﹣AM）=2AB=4．故答案为：4．三、解答题（共6小题，满分70分）11．（20分）设m，n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t，二次函数y=x2+（3﹣mt）x﹣3mt的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值．x﹣3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt+3|．由题意，|mt+3|≥|2t+n|，即（mt+3）2≥（2t+n）2，即（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+9﹣n2≥0．由题意知，m2﹣4≠0，且上式对一切实数t恒成立，所以，所以或12．（25分）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．解答：解：设MN与EF交于点P．∵NE∥BC，∴△PNE∽△PBC，∴，∴PB•PE=PN•PC．又∵ME∥BF，∴△PME∽△PBF，∴，∴PB•PE=PM•PF．∴PN•PC=PM•PF，故，又∠FPN=∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF=∠PMC，∴NF∥MC，∴∠ANF=∠EDM．又∵ME∥BF，∴∠FAN=∠MED，∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED，∴∠AFN=∠DME．13．（25分）已知a是正整数，如果关于x的方程x+（a+17）x+（38﹣a）x﹣56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．解答：解：将方程的左边分解因式，得（x﹣1）【x2+（a+18）x+56】=0，观察易知，方程有一个整数根x1=1，∵a是正整数，∴关于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式△=（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．设（a+18）2﹣224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2=224，即（a+18+k）（a+18﹣k）=224．显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以或或解得或或而a是正整数，所以只可能或当a=39时，方程（1）即x2+57x+56=0，它的两根分别为﹣1和﹣56．此时原方程的三个根为1，﹣1和﹣56．当a=12时，方程（1）即x2+30x+56=0，它的两根分别为﹣2和﹣28．此时原方程的三个根为1，﹣2和﹣2814．设m，n为正整数，且m≠2，二次函数y=x+（3﹣mt）x﹣3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为d1，二次函数y=﹣x2+（2t﹣n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d2．如果d1≥d2对一切实数t恒成立，求m，n的值．解答：解：∵一元二次方程x2+（3﹣mt）x﹣3mt=0可化为（x﹣mt）（x+3）=0，∴此方程两根分别为mt和﹣3，∴d1=|mt+3|；∵一元二次方程﹣x2+（2t﹣n）x+2nt=0可化为（x﹣2t）（x+n）=0，∴此方程的两根分别为2t和﹣n，∴d2=|2t+n|．∵d1≥d2，即|mt+3|≥|2t+n|，∴（mt+3）2≥（2t+n）2，（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+9﹣n2≥0（1）由题意知，m2﹣4≠0，且（1）式对一切实数t恒成立，∴∴或．故答案为：或．15．设a是正整数，二次函数y=x2+（a+17）x+38﹣a，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值．解答：解：联立方程组消去y得，x2+（a+17）x+38﹣a=，即x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0，当x=1时，x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56=0，∴式子x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56中含有因式（x﹣1），分解因式得（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]=0，（1）显然x1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56=0，（2）其判别式△=（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式△=（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．设（a+18）2﹣224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2=224，即（a+18+k）（a+18﹣k）=224．显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以或或解得或或而a是正整数，所以只可能或．故答案为：a=39或a=12．16．设a是正整数，如果二次函数y=2x2+（2a+23）x+10﹣7a和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点．解答：解：联立方程组，消去y得2x2+（2a+23）x+10﹣7a=，即2x3+（2a+23）x2+（10﹣7a）x+3a﹣11=0，分解因式得（2x﹣1）[x2+（a+12）x+11﹣3a]=0（1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x的一元二次方程x2+（a+12）x+11﹣3a=0（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式△应该是一个完全平方数，而△=（a+12）2﹣4（11﹣3a）=a2+36a+100=（a+18）2﹣224．所以（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数，设（a+18）2﹣224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2=224，即（a+18+k）（a+18﹣k）=224．显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，所以或或解得或或．而a是正整数，所以只可能或当a=39时，方程（2）即x2+51x﹣106=0，它的两根分别为2和﹣53，易求得两个函数的图象有公共整点（2，﹣53）和（﹣53，2）．当a=12时，方程（2）即x2+24x﹣25=0，它的两根分别为1和﹣25，易求得两个函数的图象有公共整点（1，﹣25）和（﹣25，1）．。