北师大版七年级数学下册三角形重点知识汇总
1北师大版七年级下册数学[.全等三角形的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE ，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
北师大版七年级数学下册第四章三角形复习三角形全等的判定及其应用与尺规作三角形课件
与尺规作三角形
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
书写格式：
∵△ABC≌ △DFE ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE （全等三角形的对应边相等） ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F ,
∠ C= ∠ E （全等三角形的对应角相等）
全等三角形的条件
证明两条线段 相等：可以放 在一个三角形 中证等腰
例3：如图，点B在线段AE上，∠CAE=∠DAE， ∠CBE=∠DBE．求证：EC=ED．
例4 如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上， DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有（ D ） A．△ABD≌△AFD B．△AFE≌△ADC C．△AEF≌△DFC D．△ABC≌△ADE
类型2 对称模型
图形特点：沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得 两三角形重合
常见模型： 类型3 旋转模型
图形特点：共顶点，绕该顶点旋转可得到两三角形重合
类型4 一线三等角
图形特点：同一条线上有三个相等的角
类型5 组合模型 平移+旋转模型
平移+对称模型
图形特点：将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后 两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合，或者绕该顶点旋转后重合
三角形全等判定方法一
三边分别相等的两个三角形全等。
（可以简写为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）E
F
三角形全等的判定二
两角及其夹边分别相等的两个三角 形全等． 简记为 “角边角”或“ASA” 。
【数学】北师大版数学七年级下第3章三角形知识点
【关键字】数学三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、尺规作图、辅助线、线段笔直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义。
二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1）AC·CB=CD·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）。
第四章 三角形(单元小结)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂(北师大版)
（2） 3， 4， 7；
（3） 9， 13， 5；
（4） 11， 12， 20；
（5） 14， 15， 31.
解：能摆成三角形的是（1）（3）（4），根据两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边.
考点专练
1.已知一个三角形的两边长分别是 2 cm和 4 cm，则第三边长 x 的取 值范围是 2 <x<6 ； 若 x 是奇数，则 x 的值是 3 或 5 ； 此三角形的周长 y 的取值范围是___8_<_y_<_1_2______ . 2. 一个等腰三角形的一边是 2 cm，另一边是 9 cm ，则这个三角形 的周长是 20 cm. 3. 一个等腰三角形的一边是 5 cm，另一边是 7 cm ，则这个三角形 的周长是 17或19 cm.
A D
2.如图3，在△ABC 中，BC 边上的高为__A__E____．
C EB
F
图3
考点专练
（四）关于全等三角形性质及判定
A
例4： 如图，在△ABC 中，AB=AC，BE=CE，则由
E
“SSS”可以判定是（C ）
A.△ABD≌△ACD C.△ABE≌△ACE
B.△BDE≌△CDE D. △ABE≌△CDE
B
DC
例5：如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，
A
还需条件（D ）
12
A.AB＝AD，BC＝DE
B.BC＝DE，AC＝AE
EC
C.∠B＝∠D，∠C＝∠E
D.AC＝AE，AB＝AD B
D
考点专练
1.如图，点C，F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC， 试判断 AB 与 ED 有什么关系？并说明理由.
2022-2023学年初中数学北师大版七年级下册第四章三角形单元复习课课件
本章知识梳理
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目 录
1.
目录
2.
课标要求
3.
知识梳理
课标要求
1. 理解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会 画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性 . 2. 掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边”. 3. 了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三 角形的对应边、对应角.
3． 如图M4-3，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列 结论中，不正确的是（C ）
A． AC=CE
B． ∠BAC=∠ECD
C． ∠ACB=∠ECD
D． ∠B=∠D
4． 如图M4-4，全等的三角形是（ D ）
A． Ⅰ和Ⅱ
B． Ⅱ和Ⅳ C． Ⅱ和Ⅲ D． Ⅰ和Ⅲ
三、SSA是指两个三角形的两边对应相等及一边的对角对应相
等，但是这种判断方法是不能判定这两个三角形全等的，SAS
是指两个三角形的两条对应边相等且两边的夹角对应相等.
【例3】如图M4-5，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能
证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A． ∠A=∠D
B． AB=DC
C． ∠ACB=∠DBC D． AC=BD
易错条件都是两条边及一个角对应相等，但是选项B是以 SAS来判定两个三角形全等，而选项D是SSA. 正解：A. 添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选 项不合题意；B. 添加AB=DC可利用SAS定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C. 添加∠ACB=∠DBC可利 用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D. 添加 AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意. 答案:D
北师大数学七年级下册第三章-认识三角形
第03讲_全等三角形辅助线的作法知识图谱三角形的内角（北师版）知识精讲概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形表示三角形有三条边、三个内角和三个顶点，“三角形”可以用符号“”表示如图，顶点是A ，B ，C 的三角形，记作，的三边，有时也用a ，b ，c 来表示．顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、边AB 分别用b ，c 来表示．按角分类直角三角形三角形中有一个角是直角 斜三角形锐角三角形 三角形中三个角都是锐角 钝角三角形 三角形中有一个角是钝角思考：如何按边分类？内角和定理三角形三个内角的和等于．证明过点A 作BC 的平行线DE ∴∠B=∠1，∠C=∠3 ∵D 、A 、E 三点共线 ∴∠1+∠2+∠3=180° ∴∠B+∠2+∠C=180°直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余．表示在Rt △ACB 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，即两个锐角互余.五．易错点1．求角度过程中计算错误．2．注意导角计算等角的补角相等，等角的余角相等. 3．会利用三角形内角和定理判定三角形形状.三点剖析一．考点：1．按角分类；2．内角和定理；3．直角三角形的性质二．重难点：利用内角和定理求角度．三．易错点：求角度过程中计算错误．按角分类例题1、 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形231DBCA ECBA【答案】 D【解析】 设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则 k°+k°+2k°=180°， 解得k°=45°， ∴2k°=90°，∴这个三角形是等腰直角三角形．随练1、 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ）A.3B.4或5C.6或7D.8【答案】 A【解析】 由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有33÷3=11个三角形；又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形； 故还有11﹣5﹣3=3个锐角三角形．内角和定理例题1、 如图，在△ABC 中，46B ∠=︒，54C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ）A.45°B.54°C.40°D.50°【答案】 C【解析】 ∵46B ∠=︒，54C ∠=︒，∴180180465480BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 平分∠BAC ，∴11804022BAD BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∵DE ∥AB ，∴40ADE BAD ∠=∠=︒．故选：C ．例题2、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A ＝22°，则∠BDC 等于（ ）A.44°B.60°C.67°D.77°【答案】 C【解析】 △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝22°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝68°，由折叠的性质可得：∠CED ＝∠B ＝68°，∠BDC ＝∠EDC ， ∴∠ADE ＝∠CED －∠A ＝46°，∴180672ADEBDC ︒-∠∠==︒．例题3、 （1）如图①，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝80°，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数；EDC B A（2）将（1）中“∠B＝40°，∠C＝80°”改为“∠B＝x°，∠C＝y°，∠C＞∠B”，①其他条件不变，你能用含x，y的代数式表示∠EAD吗？请写出，并说明理由；②如图②，AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，用含x，y的代数式表示∠EFM，并说明理由．【答案】（1）20°（2）①1122EAD y x∠=-；理由见解析②1122EFM y x∠=-；理由见解析【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°∵AE平分∠BAC，∴1302CAE BAC∠=∠=︒∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝80°，∴∠CAD＝90°－∠C＝10°，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°；（2）①∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－x－y∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-；②过A作AD⊥BC于D，∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM＝∠EAD，∴1122 EFM y x ∠=-．随练1、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=____________．【答案】105°【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠1=∠3=105°．随练2、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_________-．【答案】130°或90°【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°．直角三角形的性质例题1、如图，图中直角三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个．例题2、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝________°．【答案】 135【解析】 观察图形可知：△ABC ≌△BDE ， ∴∠1＝∠DBE ，又∵∠DBE ＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°． ∵∠2＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠3＋∠2＝90°＋45°＝135°．例题3、 如图，ABC △中，AD 是高，AE 、BF 分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线，它们相交于点O ，60A ∠=︒，70C ∠=︒．求DAC ∠，BOA ∠．【答案】 20︒；125︒【解析】 9020DAC C ∠=︒-∠=︒∵180C BAC ABC ∠+∠+∠=︒，70C ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴50ABC ∠=︒∵AE ，BF 是角平分线，∴12302BAC ∠=∠=︒，13252ABC ∠=∠=︒∵23180BOA ∠+∠+∠=︒，∴125BOA ∠=︒．随练1、 如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边成50°角，那么这个直角三角形的较小的内角是________度． 【答案】 25【解析】 暂无解析随练2、 图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt △ABC 的顶点都是图中的格点，其中点A 、点B 的位置如图所示，则点C 可能的位置共有（ ）A.9个B.8个C.7个D.6个【答案】 A【解析】 暂无解析三角形的边知识精讲按角分直角三角形三角形中有一个角是直角斜三角形锐角三角形三角形中三个角都是锐角钝角三角形三角形中有一个角是钝角按边分不等边三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的三角形有两条边相等的三角形等边三角形（正三角形）三边相等的三角形三角形任意两边的和大于第三边三角形任意两边的差小于第三边如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到巩固的目的，把一些构件都做成三角形结构．四．易错点1．在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最能否组成三角形．2．在应用三边关系判断三条线段能否组成三角形时，要注意“任意”二字．三点剖析考点：1. 按边分类；2. 三边关系；3. 稳定性重难点：1. 在应用三边关系判断能否组成三角形时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．2. 由三角形三边关系可得，如果a, b, c三条线段能够组成三角形，那么b c a b c-<<+.易错点：在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最终能否组成三角形.按边分类例题1、若下列各组值代表线段的长度，以它们为边能构成三角形的是（）A.6、13、7B.6、6、12C.6、10、3D.6、9、13【答案】D【解析】A、6＋7＝13，则不能构成三角形，故此选项错误；B、6＋6＝12，则不能构成三角形，故此选项错误；C、6＋3＜10，则不能构成三角形，故此选项错误；D、6＋9＞13，则能构成三角形，故此选项正确．例题2、各边长度都是整数、最大边长为11的三角形共有________个．【解析】 设另外两边长为x ，y ，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12． 当y 取值11时，x ＝1，2，3，…，11，可有11个三角形； 当y 取值10时，x ＝2，3，…，10，可有9个三角形；当y 取值分别为9，8，7，6时，x 取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36．三边关系例题1、 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A.2cm ，3cm ，5cm B.7cm ，4cm ，2cm C.3cm ，4cm ，8cm D.3cm ，3cm ，4cm 【答案】 D【解析】 A 、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B 、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C 、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D 、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．例题2、 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A.5 B.6 C.11 D.16 【答案】 C【解析】 设此三角形第三边的长为x ，则10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选：C ．例题3、 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：12AB AE BC AD AC ++>+【答案】 见解析【解析】 ∵AD BC ⊥∴AB AD ＞，在△AEC 中，AE EC AC +>．又∵AE 为中线，∴12EC BC =即12AE BC AC +>，∴12AB AE BC AD AC ++>+随练1、 已知一个三角形的第一条边长为（a+2b ）厘米，第二条边比第一条边短（b ﹣2）厘米，第三条边比第二条边短3厘米．（1）请用式子表示该三角形的周长；（2）当a=2，b=3时，求此三角形的周长． 【答案】 （1）3a+4b+1 （2）19【解析】 （1）第二条边长为：a+2b ﹣（b ﹣2）=（a+b+2）厘米， 第三条边长为：a+b+2﹣3=（a+b ﹣1）厘米， 则周长为：a+2b+a+b+2+a+b ﹣1=3a+4b+1； （2）当a=2，b=3时， 周长为：3×2+4×3+1=19．随练2、 在△ABC 中，若AB ＝5，BC ＝2，且AC 的长为奇数，则AC ＝________．ED CBA【解析】暂无解析随练3、如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对．【答案】3【解析】暂无解析稳定性例题1、下列图形中，不具有稳定性的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．A可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；B可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；C可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；D可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．故选B．随练1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A.0根B.1根C.2根D.3根【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选B．三角形的高、中线、角平分线知识精讲一．三角形的高线、中线、角平分线概念从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线三．易错点1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．特别是钝角三角形的高，有两条是在三角形外.2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.3.三角形的中线是线段4.三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线三点剖析考点：1.三角形的高、中线、角平分线；2.面积问题；重难点：1.锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；直角三角形两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点也在三角形的直角顶点处；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部.2.三角形三条中线的交点一定在三角形内部.3.每个三角形都有三条角平分线且交于一点，这个点叫三角形的内心，它也一定在三角形内部．易错点：1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.三角形的高、中线、角平分线例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别为（）A.2cm、2cm、2cmB.3cm、3cm、3cmC.4cm、4cm、4cmD.2cm、3cm、5cm【答案】A【解析】∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE=OF=OD，设OE=x，∵S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴12×6×8=12OF×10+12OE×6+12OD×8，∴5x+3x+4x=24，∴x=2，即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2．故选A．例题2、如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到'''A B C，图中标出了点B 的对应点'B．（1）补全'''A B C根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）'''A B C的面积为________【答案】（1）如图所示：'''A B C即为所求；（2）如图所示：CD就是所求的中线；（3）如图所示：AE即为BC边上的高；（4）8．【解析】（1）连接BB'，过A、C分别做BB'的平行线，并且在平行线上截取AA CC BB'='='，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；（4）4421628⨯÷=÷=．故'''A B C的面积为8．随练1、如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD＝∠DBE，则有（）A.BE⊥ACB.BE平分∠ABCC.∠BCD＝∠CBED.∠CBD＝∠BED【答案】A【解析】延长BE到AC上一点F，∵CD是高线，∴∠BED＝∠CEF，∠BDE＝90°，则∠DEB＋∠EBD＝90°，∵∠ACD＝∠DBE，∴∠ACE＋∠CEF＝90°，∴∠CFB＝180°－（∠ACE＋∠CEF）＝90°，即BE⊥AC，故A选项正确；随练2、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H．下面判断正确的有________．（1）AD是在△ABC的角平分线（2）BE是的△ABD的AD边上的中线（3）CH为△ACD边AD上的中线（4）AH是△ACF的角平分线和高线．【答案】（1）（4）【解析】（1）根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法正确；（2）根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；（3）根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法不正确；（4）根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．面积问题例题1、如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S l，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________．【答案】14【解析】∵BE＝CE，∴1112622ACE ABCS S==⨯=，∵AD＝2BD，∴2212833ACD ABCS S==⨯=，∴S1＋S2＝S△ACD＋S△ACE＝8＋6＝14．例题2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm／s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝________，△APE的面积等于6．【答案】 1.5或5或9【解析】如图1，当点P在AC上，∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，∴CE＝4，AP＝2t．∵△APE的面积等于10，∴1124622APES AP CE t==⨯⨯=△，∴t＝1.5；如图2，当点P在线段CE上，∵E是DC的中点，∴BE＝CE＝4．∴PE＝4－（t－3）＝7－t，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝5，如图3，当P在线段BE上，同理：PE＝t－3－4＝t－7，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝9，综上所述，t的值为1.5或5或9．例题3、如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B l C1的面积是14，那么△ABC的面积是（）A.2B.143C.3D.72【答案】A【解析】如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB1＝S △ABC ，S △A1AB1＝S △ABB1＝S △ABC ，∴S △A1BB1＝S △A1AB1＋S △ABB1＝2S △ABC ，同理：S △B1CC1＝2S △ABC ，S △A1AC1＝2S △ABC ，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A1BB1＋S △B1CC1＋S △A1AC1＋S △ABC ＝7S △ABC ＝14．∴S △ABC ＝2．随练1、 如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则S 阴影等于（ ）A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2D.14cm 2 【答案】 B 【解析】 2111cm 24BCE ABC S S S ===△△阴影． 随练2、 如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，点D 为BC 上一点，BD ︰CD ＝2︰3，AD ，BE 交于点O ，若S △AOE －S △BOD＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】【解析】 ∵点E 为AC 的中点，∴S △ABE=12S △ABC ． ∵BD ：CD=2：3， ∴S △ABD=25S △ABC ， ∵S △AOE -S △BOD=1，∴S △ABE -S △ABD=12S △ABC -25S △ABC=1， 解得S △ABC=10．故答案为：10随练3、 阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BD 是ABC ∆的高．P 是BC 边上一点，PM ，PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M ，N ．求证：BD PM PN =+．他发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即111222AC BD AB PM AC PN ⋅=⋅+⋅．由AB AC =，可得BD PM PN =+． 他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD ，PM ，PN 之间的数量关系是：请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；∵ABC APC S S ∆∆=-___________，∴1122AC BD AC ⋅=⋅_____12AB -⋅______， ∵AB AC =，∴BD PN PM =-．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC ∆中，AB AC BC ==，BD 是ABC ∆的高．P 是ABC ∆所在平面上一点，PM ，PN ，PQ 分别与直线AB ，AC ，BC 垂直，垂足分别为点M ，N ，Q ．图3，若点P 在ABC ∆的内部，则BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：_________________；②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：________________________．【答案】 （1）见解析（2）①BD PM PN PQ =++②BD PM PQ PN =+-【解析】 该题考查的是等面积方法的应用．（1）由图可知∵ABC APC APB S S S ∆∆∆=-∴111222AC BD AC PN AB PM ⋅=⋅-⋅, ∵AB AC =∴BD PN PM =-（2）①连接AP 、BP 、CP参考该同学思考问题的方法，则有∵ABC APB APC BPC S S S S ∆∆∆∆=++，∴11112222AC BD AB PM AC PN BC PQ ⋅=⋅+⋅+⋅，∵AB AC BC ==，∴BD PM PN PQ =++．②过点P 分别作直线AB ，AC ，BC 的垂线P ，垂足分别为点M ，N ，Q ，分别连接接AP 、BP 、CP ，参考以上的思考方法，则有∵ABC APB BPC APC S S S S ∆∆∆∆=+-， ∴11112222AC BD AB PM BC PQ AC PN ⋅=⋅+⋅-⋅， ∵AB AC BC ==，∴BD PM PQ PN =+-．拓展1、 若一个三角形的三个内角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】 A【解析】 ∵三个内角的度数之比为3:4:2，∴三个内角的度数分别是60︒，80︒，40︒；∴该三角形是锐角三角形．2、 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a b ∥，150∠=︒，260∠=︒，则3∠的度数为（ ）A.50︒B.60︒C.70︒D.80︒【答案】 C 【解析】 由题意：354∠=∠=∠，由124180∠+∠+∠=︒，故123180∠+∠+∠=︒，故370∠=︒。
北师大版数学七年级下全等三角形、等腰三角形专题复习
初中数学试卷全等三角形、等腰三角形专题复习一、知识回顾1.全等三角形的性质：全等三角形对应边 ；全等三角形对应角 .2.全等三角形的判断方法有 ： ， ， ， ， （简记形式）3.等腰三角形：（1）定义 ；（2）性质：①等腰三角形的两底角 ；简记为②“三线合一”是指 . ③对称性，等腰三角形有 条对称轴，是 .（3）等腰三角形的判定：①两边相等的三角形是 （定义）② ；简记 .4.等边三角形：（1）定义：腰和底边相等的等腰三角形是 ；（2）性质：①等边三角形的三边 ，②等边三角形三内角 ，都为 . ③等边三角形对称性，等边三角形有 条对称轴，是 .④在直角三角形中，300角所对的 的一半.（3）等边三角形的判定方法：①三边相等的三角形是 ；②三内角相等的三角形是 ，③有两个角为600的三角形是 ；④有一个角为600的 是等边三角形.二、典例讲解1.利用相等线段的和差找对应边相等证明三角形全等.例1.如图，在△ABC 与△FED 中，AD=CF ，BC=DE ，BC ∥DE ；求证:AB ∥FE.D A B C F EF E D C B A E D B C A F EDC B A2.利用相等角的和差找对应角相等证明三角形全等.例2.如图， 若AB=AE, ∠1=∠2=∠EFB ，那么AF=AC 吗？说明理由.3.利用三角形全等找出对应相等的边或角，再次证明三角形全等解题（两次全等）例3. 如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BD,CF ⊥BD, AB=CD, AE=CF ，试判断AD 与BC 有何关系？并说明理由.4.通过添加辅助线，完成解题.例4．如图，在△ACB 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，DB=DE ，（1）若AC=8,AB=10 , S △ABC =24 ,求CD 的长.（2）探究线段AB 、AC 、CE 之间的数量关系，并证明你的结论.5.等腰三角形问题.例5.如图，点E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE. 求证：△ABC 是等腰三角形.6.等边三角形问题.例6.如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形.(1)找出图中一对全等三角形,并证明. A B F C E 1 2ED C B A B A FE D C EF D BCA (2)猜想线段AC 、CE 、CD 三者有何数量关系，说明理由.知识应用：1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A.SSSB.SASC.AASD.ASA1题图 2题图 4题图 2.如图，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加一个条件, 那么补充下列一个条件后, 仍无法判定△ABD ≌△ACD 的是( )A.∠B=∠CB.∠BAD=∠CADC. BD=CDD. AB=AC3．如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ， AB=8m ，∠A=30°，则DE 等于（ ）A.1mB.2m C,3m D.4m4.如图，∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A.90°B. 75°C.70°D.60°5．如图所示，∠BAC =108° ,AB =AC=BE=CD ,则图中共有等腰三角形（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5题图 6题图 8题图6．已知，如图：AB ∥DE ，AB=DE ，要使ΔABC ≌ΔDEF.(1) 若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为_ _；(2) 若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为__ ___；(3) 若以“AAS ”为依据，还要添加的条件为_ ；7.若等腰三角形的一个内角是800, 则它的另两个角是 ；若等腰三角形的两边长a, b ；满足0136422=+-+-b b a a ，则周长为 .8.如图，∠BAC=30º，点D 为∠BA C 角平分线上一点，DE⊥A B 于E ，DF//AB ，交AC 于点F ，DE=5 ，则△AFD 的面积为 . 9.如图，AB=BC=10, AD ⊥BC, AF ⊥CD, BD=4 ,求CE 的长.3题图 E D C B A D CB A F EA21D B C A P N M E D CB A10.如图，在△ABC 中，BD=DC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE ⊥AB 于点E ，AD=AC ，AF 平分∠CAB•交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ，求证：（1）DF ∥BC ； （2）FG=FE.12.如图，长方形ABCD 中，E 是AD 上一点，∠EBC=30º，∠ECD=15º，求证：BC=2CD.13.如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为∠A 的平分线， 求证：AB -AC >BD -CD.14.如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，B 、C 、E 共线，BD 与AC 、AE 相交于M 、P ，AE 与CD 相交于N.求证：（1）△BCD≌△ACE； (2)∠APB= 度； (3) PC 平分∠BPE 吗？说明理由.15.如图，点P 是等腰Rt △ACB 内任意一点（AC=BC ），连接AP 、BP 、CP ，以CP 为腰作等腰Rt △PCE ，连接BE ，(1)图中的全等三角形是 .（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)当∠APB=1150 时，求∠PBE 的度数；(3)在(2)的条件下，设∠APC= x 0 ，试探究：△PBE 可以是等腰三角形吗？若能，求满足条E D C BA件的x的值；若不能，说明理由.。
北师大版七年级下册数学《全等三角形》全等三角形的基本性质讲义
AFE全等三角形知识点一：全等形的有关概念1、全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点；重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 4、“全等”的符号：“≅”，读作“全等于”.知识点二：从运动的角度看全等三角形的生成方法1、翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素；2、旋转法：三角形沿某一点旋转一定的角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素；3、平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素. 知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、下列命题中，真命题的个数是（ ）． ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2、如图，△ABC ≌△ADE ，其中C 和E ，B 和D 是对应点，写出其他的对应边和对应角．3、已知△ABC ≌△MNP ，∠A=48°，∠N=62°，则∠B=______°，∠C 、∠M 、∠P 的度数分别为__________， __________， __________.4、已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°，求∠ADB 的度数.5、如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．ABDCEDCABE EDCBA6、已知：如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE ． 练习一：1、如图，如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____．第1题图 第2题图 第3题图2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°3、如图所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____， ∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边___________________；（3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边___________________，对应角______________________． 4、如图，若ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_______，∠C=_______. 5、如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知∠DAE=43°，∠B=30°，求ADC ∠的大小.6、如图，已知△EAD ≌△ABC ，求证：CD+BC=AC.AB C D EFE DCBA第4题FE DCBA 7、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠BEA=135°，求∠C 的度数. 例题二：7、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC 的度数.练习二：9、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为________度．10、如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC第9题 第10题 第11题11、如图, 在平行四边形ABCD 中, 将△ABE 沿BE 翻折, 点A 落在CD 边上, 成为点F, 如果△DEF 和△BCF 的周长分别是8cm 和22cm, 那么FC 的长度为_______________.综合：如图，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论．例题三：F EDC BA 8、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ） A 、15° B 、20° C 、25°D 、30°9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB=( ) A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 练习三：12、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A 、70°B 、65°C 、50°D 、25°13、如图，将直角三角形BCA 沿BC 方向平移得到△FED ， H 是线段AC 和FD 的交点.如果ED=9, BF=4, AH=3, 那么四边形FBAH 的面积是_______________.例8题图 例9题图 练习12题图 练习13题图课 后 作 业1、△ABC 和△DEF 是全等三角形，若AB=DE ，∠B=50°，∠C=70°，∠E=50°，则∠D 的度数是_____．2、△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=________.3、如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，△AOB 绕O 旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB ≌△___________.这两个三角形的对应边是AO 与__________，OB 与__________，BA 与__________；对应角是∠AOB 与________，∠OBA 与_________, ∠BAO 与___________.4、已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，△ABC ≌△CDA ，AC ＝7cm ，AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，则AD 的长是（ ）A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、6cm6、如图所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5EDB C′FCD ′AA 'B DAC A CD7、已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，则△DEF 的边长中必有一边等于（ ） A 、9.5cm B 、9.5cm 或4cm C 、9cm D 、4cm 或9cm8、如图，已知△ABC ≌△DBE ，∠BDA=∠A ．若∠A ：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A ．100° B ．80° C ．60° D ．120°9、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°10、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.12、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，求∠DGB 的度数.第6题图FE CBA 第9题图第10题图第8题图DCB AE。
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第三章三角形一．认识三角形1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
注意：①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。
2、三角形分类按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3、关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。
设三角形三边的长分别为a、b、c则：①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有＜a＜成立；反之，只有＜a＜成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足＞a，那么a、b、c 三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足＜a，那么这三条线段就能构成三角形。
4、关于三角形的内角和 三角形三个内角的 和为180° ①直角三角形的 两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； ③一个三角中至少有两个内角是锐角。
5、关于三角形的角平分线、高线和中线①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高； ③任意一个三角形的 三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的 外部，如图3。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
F直角三角形钝角三角形锐角三角形鹏翔教图1ADCEBDBACFEA DCB二、图形的全等能够完全重合的 图形称为全等形。
全等图形的 形状和大小都相同。
只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。
三、全等三角形1．全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。
因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
应用：证明两条线段相等和两个角相等。
3、三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“”（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“”（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“”（4）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“”4、直三角形全等的条件（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称为“斜边、直角边”或“”。
这只对直角三角形成立。
（2）直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“”、“”、“”、“”来判定。
直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。
③三条边对应相等的两个直角三角形全等。
四．作三角形1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“”）来作图的。
2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“”）来作图的。
3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“”）来作图的。
五、利用三角形的全等测距离，即三角形全等的应用第三章三角形经典练习一. 选择题：1. 下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（）①等腰三角形②等边三角形③直角三角形④等腰直角三角形A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种2. 到三角形三边距离都相等的点是三角形（）的交点A. 三边中垂线B. 三条中线C. 三条高D. 三条内角平分线3. 到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（）的交点A. 三边中垂线B. 三条中线C. 三条高D. 三条内角平分线4.如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 45.如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△≌△的条件是（） A ．＝ B ．＝ C ．∠B ＝∠C D ．∠ ＝∠6、如图下列条件中，不能证明△≌△的是（ ）. ， B.∠∠ C.∠∠C ，∠∠ D.∠∠C ，第6题图（第4题）AONM QP7下列命题中，真命题是（）．(A)周长相等的锐角三角形都全等；(B) 周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等；(D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．8．如图所示，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个9.如图2所示，在中，,平分，交于点,且,则点到的距离是：（A）3 （B）4 （C）5 （D）610．如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组11.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）A．B． C ．D．12、如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（）A．5米B．10米C．15米D．20米13、下列命题中，错误的是（）．A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形的外角和等于360°C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 14、如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ） A ． B ． C ．D ．15、如图，＝，＝，则有（ ） A ．垂直平分 B ．垂直平分 C ．与互相垂直平分D ．平分∠16、如图，将△(其中∠B ＝34，∠C ＝90）绕A 点按顺时针方向旋转到△1 C1的位置，使得点C 、A 、B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）A.56B.68C.124D.18034B 1C BAC 1ADB17、如图，，=30°，则的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°18、尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）A ．B ．C ．D ．19、如图，为估计池塘岸边的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，=10米，间的距离不可能是（ ）A ．20米B ．15米C ．10米D ．5米20、如图，平分，，，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．B ．平分OABODPCA BCABC ．D ．垂直平分APO B二. 填空题：1. 我国国旗上的每一个五角星的对称轴有条2. 在△中，边、的垂直平分线相交于点P，则、、的大小关系为3. 如图，在△中，是的垂直平分线，3，△的周长为13，那么△的周长为4. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在5. 线段是图形，它的对称轴是6、已知△中，≠，作与△只有一条公共边，且与△全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.7.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．第1个第2个第3个三. 解答题：1. 如图，点E是△的斜边的中点，⊥，且∠:∠5:2，则∠的度数是多少？2. 如图，，的垂直平分线交延长线于E，交于F，∠50°，6，则（1）△的周长为多少？（2）∠E的度数为多少？3.已知：如图，∠∠，、分别是∠、∠的平分线．求证：4 、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且＝，∠A＝∠D，＝．求证：∥．5、两块完全相同的三角形纸板和，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边和的交点.不重叠的两部分△与△是否全等？为什么？6.在△中,∠90º为延长线上一点,点E在上,且.(1)求证△≌△;(2)若∠30º,求∠度数.7.如图6,于点,于点,交于点,且.求证.8．如图，在△中，∠90°，2，点D 是的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结、．试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想．9.如图，D ，E ，分 别 是 ， 上 的 点 ，且，．求证∠∠C ．ABCDE图6B CEF第6题图10.如图，在△中，是中线，分别过点B 、C 作及其延长线的垂线、，垂足分别为点E 、F ．求证：．11．如图，在△中，D 是边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是及其延长线上的点，∥. 请你添加一个条件，使△≌△ (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明． （1）你添加的条件是： ； （2）证明：12．如图，分别过点C 、B 作△的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E 、F ．求证：．ACBD F E(第11题13．如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线的两侧，∥，∥，．求证：14．已知：如图，点C是线段的中点，，∠∠,求证：．题20图15．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，⊥，⊥，，．求证：∠∠．16．如图，点A、E、B、D在同一条直线上，＝，＝，∥.请探索与有怎样的位置关系？并说明理由．17．如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，且 = ， = .（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△≌△，你添加的条件是 ； （2）添加了条件后，证明△≌△.18．如图4，已知∥，且.（1）请你只添加一个条件，使△≌△，你添加的条件是 ； （2）添加条件后，证明△≌△.19．已知：点B 、E 、C 、F 在同一直线上，＝，∠A ＝∠D ，∥． 求证：⑴ △≌△；⑵ ＝．FABCDE。