福建省厦门第一中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学(文)试题

厦门一中高2019届文科数学高二 6月考第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数212m iz i+=+（m R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．14D ．12.下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∀∈，120x ->B ．x N *∀∈，()210x ->C ．x R ∃∈，lg 1x <D ．x R ∃∈，tan 2x =3.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内位（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >4.集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则t P ∀∈是t Q ∀∈的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.函数()sin 1f x x x =++的图象（ ）A ．关于点()1,0对称B ．关于1x =对称 C.关于1x =-对称 D ．关于点()0,1对称6.对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到散点图，下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高②该同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分 ③该同学的数学成绩与考试次号具有线性相关性，且为正相关 A ．0个 B ．1个 C.2个 D ．3个7.已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则21PF PF ⋅=（ ）A ．2B ．4 C.6 D ．8 8.函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±= C. 430x y ±= D ．540x y ±= 10.已知函数()f x kx =，()212ln 2g x x e x e e ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ）A ．24,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．224,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k =（ ）A ．1B ．212.若在曲线(),0f x y =（或()y f x =）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =（或()y f x =）的自公切线，下列方程的曲线：①221x y -= ②3sin 4cos y x x =+ ③2y x x =- ④1x +=存在自公切线的是（ ）A ．①③B ．①④ C. ②③ D ．②④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.据下面的22⨯列联表计算出2K = ．（用分数表示）14.1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点P 使得122PF PF =则离心率范围 ．15.若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 ．16.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为()f n ，则()10f = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）已知6a ><（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列且1q ≠，证明数列{}1n a +不是等比数列. 18.有11对样本数据()(),1,2,3,,11i i t y i =呈现线性关系，且知11180i i t ==∑，1116700i i y ==∑，11149500i ii y t==∑，1121600i i t ==∑，但经过再检验发现第11个数据()10,700是异常数据，所以需要删除.（1）试用线性回归方法，求删除第11个数据后拟合曲线的表达式()y f t =；（2）根据（1)f t t N ∈的最小值.19. 已知抛物线()220x py p =>，直线260x y -+=截抛物线C 所得弦长为. （1）求抛物线的方程；（2）在直线:2l y =-上任取点Q 作抛物线切线，切点为M ，N ，求证：直线MN 过定点. 20.甲方是一农场，乙方是一工厂。

由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方索取以弥补经济损失并获得一定的净收入。

在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系x =s 元（以下称s 为赔付价格）。

（1）将乙方年利润w （元）表示年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22122:11x y C a b a b +=>≥的离心率2e =且椭圆1C 上一点M 到点()0,3Q 的距离的最大值为4. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程； （Ⅱ）设10,16A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 为抛物线22:C y x =上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值. 22.已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，m R ∈，令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）研究函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；（Ⅲ）2m =-，正实数1x ，2x 满足()()12120F x F x x x ++=，证明：12x x +≥.试卷答案一、选择题1-5:ABACD 6-10: DBDCD 11、12：DC 二、填空题13.()()()()()()22210015254515256040307014b ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯14.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 15.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16.300三、解答题17.（1）已知6a ><提示：移项，然后分析法（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列且1q ≠，证明数列{}1n a +不是等比数列. 提示：反证法18.（1）101710ii tt ===∑，10160010ii yy ===∑，∴10110221104250010760050500104910i ii i i y tt yb t t==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，600507250a =-⨯=.()50250y f t t ==+（2f t ==11m =()56502f t t g m m m m +===+-(m ∈，()0gm '<，)m ∈+∞，()0g m '> 所以()()()min 233g m g g ===19.解：（1）联立2224120260x pyx px p x y ⎧=⇒--=⎨-+=⎩ 216480p p ∆=+>12124112x x pMN p x x p+=⎧⇒===⎨=-⎩. ∴2:2C x y = （2）过点()0,2 设()11,M x y ,()22,N x y ，直线:MN y kx t =+联立2:2C x y =得到2220x kx t --=得到122x x t =-，122x x k +=2:2C x y =即为()22x f x =则()f x x '=在()11,M x y 处切线为()()()21111112y f x x x f x x x x '=-+=-令2y =-得到1122x x x =- 在()22,N x y 处切线为()()()22222212y f x x x f x x x x '=-+=-令2y =-得到2222x x x =- 依题得到12122222x x x x -=-化简得到124x x =- 所以24t -=-所以2t = 所以直线:2MN y kx =+恒过()0,220.解：（1）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为w st=，由w s '==，令0w '=，得201000t t s ⎛⎫== ⎪⎝⎭当0t t <时，0w '>；当0t t >时，0w '<，所以0t t =时，w 取得最大值. （2）设甲方净收入为v 元， 则20.002v st t =-将21000t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式234100021000v s s ⨯=-又()222325510008000100081000s v s s s⨯-⨯'=-+=令0v '=得20s = 当20s <时，0v '>；当20s >时，0v '<，所以20s =时，v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入.21.解：（Ⅰ）因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =. 则椭圆方程为222214x y b b+=，即22244x y b +=.设(),M x y ，则MQ ====当1y =-时max MQ =4=，解得21b =，则24a =.故椭圆1C 方程为：2214x y +=. （Ⅱ）设曲线22:C y x =上的点()2,N t t ，2y x '=，直线()2:2BC y t t x t -=-.即22y tx t =-，代入1C 方程2214x x +=，得()223411616440t x t x t +-+-=. 则()4216161t t ∆=-++，312216116t x x t +=+，212244116t x x t -=+.所以12BC x =-===设点A 到直线BC 距离为d ，则2d =所以2212116S t ∆=⨯+==≤.当t =±0∆>，满足题意.综上，ABC ∆面积的最大值为822.解：（1）()21ln 2f x x x =-，0x >，()()2110x f x x x x x-'=-=>由()0f x '>，得210x ->，又0x >，所以01x <<，所以()f x 的单增区间为()0,1.（2）方法一：令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+， 所以()()()21111mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=.当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>.所以()G x 在()0,+∞上是递增函数， 又因为()()2131ln11112022G m m m =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立.当0m >时，()()()31111m x x mx m x m G x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭'==.令()0G x '=，得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<. 因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭是减函数. 故函数()G x 的最大值为()2111111ln 11ln 22G m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()1ln 2h m m m =-，因为()1102h =>，()12ln 204h =-<，又因为()h m 在()0,m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <.所以整数m 的最小值为2.方法二：（2）由()1F x mx ≤-恒成立，得21ln 12x mx x mx -+≤-在()0,+∞上恒成立. 问题等价于2ln 112x x m x x ++≥+在()0,+∞上恒成立.令()2ln 112x x h x x x ++=+，只要()max m h x ≥.因为()()2211ln 212x x x h x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭'=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令()0h x '=，得1ln 02x x --=.设()1ln 2x x x ϕ=--，因为()1102x x ϕ'=--<，所以()x ϕ在()0,+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x .当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<.所以()h x 在()00,x x ∈上是增函数；在()0,x x ∈+∞上是减函数.所以()()0000max20000011ln 11211122x x x h x h x x x x x x +++====⎛⎫++ ⎪⎝⎭.因为11=ln 2024ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()1102ϕ=-<所以0112x <<.此时0112x <<，()()max 1,2g x ∈.所以2m ≥，即整数m 的最小值为2. （3）当2m =-时，()2ln F x x x x =++，0x > 由()()12120F x F x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而()()()212121212ln x x x x x x x x +++=⋅-⋅令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，()1t t tϕ-'=可知()t ϕ'在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()212121x x x x +++≥，即()12x x +≥成立.。