专题10 立体几何(第01期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(北京特刊)(原卷版)
专题09 立体几何(第01期)-决胜2016年高考全国名校试题理数分项汇编(浙江特刊)(原卷版)
第十章 立体几何一．基础题组1. 【浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试（二）理2】一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A ．πB ．2πC ．3π D ．6π2. 【浙江省衢州市2015年4月高三年级教学质量检测 理4】若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A.//,,//l n l n αβαβ⊂⊂⇒B. ,//l n m n l m ⊥⊥⇒C. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥D. ,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥3. 【2015年温州市高三第二次适应性测试 理4】若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体 的体积是（ ▲ ）A ．(1820)π-3cmB ．(2420)π-3cmC ．(1828)π-3cmD ．(2428)π-3cm4. 【浙江省2015届高三第二次考试五校联考 理2】给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 （ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ②和④5. 【东阳市2015年高三模拟考试 理2】已知,l m 为两条不同的直线，α 为一个平面．若//,l m 则//l α是//m α的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 【东阳市2015年高三模拟考试 理4】在正三棱柱111ABC -A B C 中，若1=AB BB ，D 是CC 1中点，则CA 1与BD 所成角的大小是（ ▲ ）A ．3πB ．512πC ．2πD ．712π 7. 【2015诸暨市高中毕业班教学质量检测试题 理3】某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为 （ ）A ．323B ．643C ．16D ．8038. 【2015诸暨市高中毕业班教学质量检测试题 理8】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 分别是线段1,CC BD 上的点，R 是直线AD 上的点，满足PQ P 平面11ABC D ，PQ RQ ⊥，则PR 的最小值是（ ）B.C.D.9. 【2015年浙江省杭州二中高三年级仿真考 理8】过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面AC C 1A 1所成角为50°的直线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数1A10. 【镇海中学2015学高考模拟试卷 理3】已知α,β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列正确的是 （ ）A ．若,m n ααβ⋂=P ，则m n PB ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥P P ，则m n ⊥D ．若,,m m n αβαβ⊥⋂=P ，则n βP11. 【绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测 理8】将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点A ，经任意翻转三次后，点A 与其终结位置的直线距离不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．412. 【2014学年浙江省第一次五校联考 理4】已知直线l ，m ，平面α，β满足l α⊥，m β⊂，则“l m ⊥”是“//αβ”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件13. 【2014学年浙江省第一次五校联考 理6】右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为43，则它的正视图为（ ）A. B. C. D.14. 【2014学年浙江省第一次五校联考 理7】如图，在正四棱锥ABCD S -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥．中恒成立的为（ ）A.①③B.③④C.①②D.②③④15. 【浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试（一）理4】三条不重合的直线c b a ,,及三个不重合的平面γβα,,，下列命题正确的是A ．若βα//,//a a ，则βα//B ．若γβγαβα⊥⊥=,,a ，则γ⊥aC ．若b c a c c b a ⊥⊥⊂⊂⊂,,,,βαα，则βα⊥D ．若βαγβα//,//,,c c c a ⊂= ，则γ//a16. 【浙江省金华十校2015届高三下学期高考模拟（4月）理2】若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A .80B .40C .803D .40317. 【浙江省金华十校2015届高三下学期高考模拟（4月）理3】若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ=m ，β ∩γ=n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ18. 【宁波市2014-2015学年度第一学期期末考试 理4】下列命题中，错误的是（ ）A ．平行于同一平面的两个不同平面平行B ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交C ．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直D ．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行19．【宁波市2014-2015学年度第一学期期末考试 理8】如图四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，且=AD BC 3，过1,,A C D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ，则以下四个结论： ①1;QC A D ∥②12;B Q QB =③直线1A B 与直线CD 相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相 等，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20. 【宁波市2015年高考模拟考试数学试题 理3】将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为（ ）A .B .C .D .21. 【宁波市2015年高考模拟考试数学试题 理4】设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ）A .m n αβαβ⊥⊥⊥，，且，则m n ⊥B .////m n αβ，， 且//αβ，则//m nC . m n m n αβ⊥⊂⊥，， ，则αβ⊥D .////m n m n ααββ⊂⊂，，，，则//αβ22. 【2015届鄞州区高考数学模拟试题 理2】已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是A .,////m n m n αα⊂⇒ B.,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C.βαβα////,,⇒⊂⊂n m n mD.,n n βααβ⊂⊥⇒⊥23. 【2015届鄞州区高考数学模拟试题 理4】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 12俯视图2（第4题）侧视图正视图24. 【浙江省绍兴市2015年高三教学质量检查 理8】25. 【浙江省嵊州市2015年高三第二次教学质量调测 理6】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则（ ）A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11EC DB ⊥B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11ECD B ⊥C ．当且仅当b a ≤时，存在点E ，使得11ECD B ⊥D ．当且仅当b a ≥时，存在点E ，使得11EC D B ⊥26. 【2015年温州市高三第三次适应性测试数学试题 理3】已知m ,n 是两条不同的直线，α,β,γ为三个不同的平面，则下列命题中错误．．的是( ▲ ) A ．若m ⊥α,m ⊥β，则α//βB ．若m ⊥α,n ⊥α，则m //nC ．若α//γ,β//γ，则α//βD ．若α⊥γ,β⊥γ，则α//β27. 【2015年温州市高三第三次适应性测试数学试题 理7】如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为AA 1的中点．M ， N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点（含端点），且满足BM =C 1N ．当M ，N 运动时，下列结论中不正确．．．的是( ▲ ) A ．平面DMN ⊥平面BCC 1B 1B ．三棱锥A 1−DMN 的体积为定值C ．△DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π 28. 【严州中学2015届高三仿真考试数学试卷 理4】在正三棱柱111ABC -A B C 中，若1=AB BB ，D 是CC 1中点，则CA 1与BD 所成角的大小是（ ）A ．3πB ．512πC ．2πD ．712π 29. 【浙大附中2015年高考全真模拟试卷 理4】下列命题中错误．．的是 （ ▲ ）（A ） 如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，那么γ⊥l（B ） 如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（C ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（D ） 如果平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β30．【浙大附中2015年高考全真模拟试卷 理8】如图，在Rt ABC ∆中， 1AC =， BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD ∆沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是 （ ▲ ）（A ）( （B ）2⎤⎥⎦ （C ） （D ）(]2,431．[浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测数学试题 理 3]一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如图所示，则 该几何体的侧面积为（ ）2cm 。
决胜2016年高考全国名校试题数学(文)分项汇编(浙江特刊)专题02 函数(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】已知(),(),()f x g x h x 为R 上的函数，其中函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，则（ ）A 。
函数(())h g x 为偶函数 B. 函数(())h f x 为奇函数 C 。
函数(())g h x 为偶函数 D 。
函数(())f h x 为奇函数【答案】A 【解析】试题分析：设()(())F x h g x =，因为()g x 为偶函数,所以()()g x g x -=,则()(())(())F x h g x h g x -=-=＝()F x ，所以函数(())h g x 是偶函数,故选A ．考点:函数的奇偶性．2。
【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题】已知1b a >>,0t >,若xaa t =+，则xb 与b t +的大小关系为（）A ．xb 〉b t + B ．xb =b t + C ． x b <b t + D ．不能确定【答案】A 。
考点：函数的单调性．3。
【浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学（理)试题】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ) A ．0y = B ．sin 2y x = C ．lg y x x =+ D ．22xx y -=+【答案】C 。
【解析】试题分析：A ：0y =既是奇函数，又是偶函数;B:sin 2y x =是奇函数；C ：lg y x x =+的定义域为(0,)+∞,不关于原点对称,既不是奇函数，又不是偶函数;D ：()22xx y f x -==+其定义域为R 关于原点对称，且()()22()x x f x f x ----=+=,故为偶函数,故选C ．考点：函数的奇偶性判定．4．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】关于x 的方程0||2=+-a x ax 有四个不同的解,则实数a 的值可能是（ ▲ )A ．41B ． 21 C ． 1 D ． 2【答案】A考点：根的存在性及根的个数判断．5．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷(理科）】如果一个函数f（x)满足：（1)定义域为x1,x2∈R；（2)任意x1，x2∈R，若x1+x2=0,则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，总有f （x+t）＞f(x）．则f（x）可以是( ）A．y=﹣x B．y=x3C．y=3x D．y=log3x【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】先将已知条件转化为函数性质，如条件（2)反映函数是奇函数,条件(3）反映函数是单调增函数，再利用性质进行排除即可．【解答】解：由条件（1）定义域为R，排除D；由条件（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2)=0，即任意x∈R，f（﹣x)+f（x）=0,即函数f（x）为奇函数，排除C;由条件（3）任意x∈R,若t＞0,f（x+t）＞f（x)．即x+t＞x时，总有f(x+t)＞f(x）,即函数f（x）为R上的单调增函数，排除A故选：B【点评】本题考查了抽象函数表达式反映函数性质的判断方法，基本初等函数的单调性和奇偶性，排除法解选择题是常用方法．6．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷(理科)】若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y=f(x）的一个“伙伴点组"（点组(P，Q)与（Q,P）看作同一个“伙伴点组”）．已知函数,有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( ）A．（﹣∞，0）B．（0，1） C．（0,）D．（0，+∞）【考点】函数与方程的综合运用．【专题】数形结合；分析法;函数的性质及应用．【分析】可作出函数y=﹣ln（﹣x）(x＜0）关于原点对称的函数y=lnx （x＞0)的图象,使它与函数y=kx﹣1（x＞0)交点个数为2个即可．通过直线绕着（0,﹣1)旋转，求得与y=lnx相切的情况，再由图象观察即可得到所求k的范围．【解答】解:根据题意可知，“伙伴点组"满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y=﹣ln（﹣x)（x＜0）关于原点对称的函数y=lnx（x＞0)的图象，使它与函数y=kx﹣1（x＞0）交点个数为2个即可．设切点为(m，lnm）,y=lnx的导数为y′=，可得km﹣1=lnm，k=，解得m=1，k=1，可得函数y=lnx(x＞0）过（0，﹣1)点的切线斜率为1，结合图象可知k∈（0，1)时有两个交点．故选B．【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查导数的运用：求切线的斜率，考查数形结合的思想方法，属于中档题．7．设函数⎩⎨⎧≥<+=1,31,12)(x x x x f x，则满足)(3))((m f m f f =的实数m 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∞21]0,( B ．]1,0[ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞+21),0[ D ．),1[∞+【答案】C8。
决胜2016年高考全国名校试题数学(文)分项汇编(浙江特刊)专题09 立体几何(第01期) 含解析
一．基础题组1.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】若某几何体的三视图（单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( ）A．340cm30cm D．320cm C．310cm B．3【答案】B考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱与棱锥的体积．2。
【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理)试题】已知,a b为异面直线．对空间中任意一点P,存在过点P的直线（)A. 与,a b都相交B。
与,a b都垂直C。
与a平行，与b垂直D。
与,a b 都平行 【答案】B 【解析】试题分析：过直线a 存在一个与直线b 平行的平面，当点P 在这个平面内且不在直线a 上时,不满足结论,故A 错；如果存在与两条异面直线都平行的直线，根据平行线的传递性，得两条异面直平行，矛盾，故D 错； 过P 的直线一定可以做与两条异面直线的公垂线平行或重合的直线，故B 正确,故选B ．考点：空间直线与直线的位置关系．3。
【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】已知m 为一条直线, βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ )A 。
若ββαα//,//,//m m 则B 。
若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C 。
若ββαα⊥⊥m m 则,,//D . 若ββαα⊥⊥m m 则,//,【答案】D考点：空间中直线与直线之间的位置关系．4。
【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】对两条不相交的空间直线a 和b ，则（ ）A．必定存在平面α，使得aα⊂，bα⊂B．必定存在平面α，使得aα⊂，//bαC．必定存在直线c,使得//a c，//b c D．必定存在直线c,使得//a c，b c⊥【答案】B.考点：空间中直线平面的位置关系．5.【浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学（理)试题】某几何体的三视图如图所示（单位:cm),则该几何体的体积是（）3cm。
决胜高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题10
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图，已知三棱柱ABC - A 1B l C 1中，点D 是AB 的中点，平面A 1DC 分此棱柱成两部分，多面体A 1ADC 与多面体A 1B 1C 1DBC体积的比值为2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】【在体积ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为 ．3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2、锐角为︒60的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥M-PAD 的体积为4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知三棱锥S ABC -的体积为1，E 是SA 的中点，F 是SB 的中点，则三棱锥F BEC -的体积是 ▲ ．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm 的正方形，则它的体积是 cm 2．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱锥ABC D -的体积为 ．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】如图，已知平面⋂α平面l =β，βα⊥，B A ,是直线l 上的两点，D C ,是平面β内的两点，且l CB l DA ⊥⊥,，DA=4,AB=6,CB=8,P 是平面α上的一动点，且有BPC APD ∠=∠，则四棱锥ABCD P -体积的最大值是8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12S S 的值为 ▲ ． 9. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】若半径为2的球O 内切于一个正三棱柱111C B A ABC -中，则该三棱柱的体积为 ．12. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_______.（第7题图） AB CA 1B 1FC 1E1A A13. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3， 斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 .16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知正六棱锥的底面边长为2则该正六棱锥的表面积为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ， DE AD ⊥.（Ⅰ）求证： ⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）若M 为线段BE 中点，N 为线段CE 的一个三等分点，求证：MN 不可能与平面ABCD 平行.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图所示,在直四棱柱1111-ABCD A B C D 中,=DB BC , ⊥DB AC ,点M 是棱1BB 上的一点.A BCD E(1)求证：11//B D 面1A BD ；(2)求证：⊥MD AC ； (3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 上一点，G 为EO 中点.（Ⅰ）若DE //平面ACF ，求证：F 为BE 的中点；（Ⅱ）若AB，求证：CG ⊥平面BDE.4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中AD //BC ，BAD ∠为二面角B PA D --一个平面角.（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD平行？请说明理由. M A BCDA 1B 1C 1D 15. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A.6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）在三棱锥ABC P -中，若E D AC BD ,,2=分别为PC AC ,的中点，且⊥DE 平面PBC ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：⊥BC 平面PAB ．CBAPBC。
专题10 立体几何(第03期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(新课标Ⅰ特刊)(解析版)
一．基础题组1. 【广东省汕尾市2016 届高三学生调研考试】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 ( )【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【答案】A2. 【广东省韶关市2016届高三调研测试】如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形. 如果三棱柱的体积为312，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 A ．π12 B ．π14 C ．π16 D ．π18【 解析】设圆柱的底面半径为R ，三棱柱的底面边长为R 3，由3122)3(432=⋅R R得2=R ，.162R R 2ππ=⋅=圆柱侧S 选C3. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】如下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（ ）A ．12B ．16C 4+D ．4【答案】A考点：三视图.4. 【河北省衡水中学2015~2016学年度上学期高三年级四调考试】在空间中，下列命题错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C ．平行于同一平面的两个平面平行D ．平行于同一直线的两个平面平行 【答案】D 【解析】试题分析：与两相交平面交线平行的直线，可平行两平面，即平行于同一直线的两个平面可相交，因此D 错误.B 为定理，正确；A,B 显然成立. 考点：线面平行关系5. 【河北省衡水中学2015~2016学年度上学期高三年级四调考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1312π+ B ．112π+ C ．134π+ D ．14π+ 【答案】B考点：三视图6. 【湖北省优质高中2016届高三联考试题】甲几何体(上)与乙几何体（下）的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为1V 、2V ,则12:V V 等于（ ）A ． 1:4B ． 1:3C ． 2:3D ． 1:π【答案】B 【解析】试题分析：甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积π341=V ,ππ4323122=⨯⨯=V ,所以体积31:21：=V V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积.7. 【湖南省东部六校2016届高三联考】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（ ）A ．．． D ．8【答案】C考点：三视图.8. 【江西省吉安一中2015-2016学年度上学期期中考试】点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD两两垂直，且1AB =，3AD =，则该球的表面积为（ ）A ．7πB ．14πC ．72πD 【答案】B 【解析】试题分析：三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d ==，，外接球的表面积是4π）2=14π．故选B ．考点：球内接多面体，球的表面积．9.【广东省汕尾市2016 届高三学生调研考试】若正方体的棱长为2，则该正方体外接球的表面积为 . 【考点】空间几何体的表面积与体积【答案】10. 【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】 （本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且060BAD ∠=，四边形ABEF 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，点,G H 分别为边,CD DA 的中点，点M 是线段BE 上一动点. （1）求证：GH DM ⊥；（2）求三棱锥D MGH -的体积的最大值.【答案】（1）证明略；（2. 【解析】（1）连接,AC BD 交于点O ，（2）在菱形ABCD 中，060BAD ∠=， 于是0120ADC ∠=，所以1sin 2DGH S DG DH ADC ∆=⨯⨯⨯∠=由（1）知BE ⊥平面ABCD ，于是13D MGH M DGH DGH V V S BM BM --∆==⨯=， 要求三棱锥D MGH -的体积的最大值，只需求出线段BM 的最大值，又点M 是线段BE 上一动点，所以线段BM 的最大值为2，此时点M 与点E 重合，故三棱锥D MGH -的体积的最大值为2=考点：空间中垂直关系的证明；空间几何体的体积.11. 【广东省惠州市2016届高三第三次调研考试】（本小题满分12分）如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AE BD M =,将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1B DM ；（Ⅱ）若101=C B ，求棱锥1B CDE -的体积．12. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】（本小题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，1D 1A =AA =，2AB =，点E 是线段AB 中点． （1）求证：1D C E ⊥E ；CD E的距离．（2）求A点到平面1【答案】（1）详见解析（2解得66d =，即A 点到平面1CD E 的距离为66． 14分 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.等积转换.13. 【河北省衡水中学2015~2016学年度上学期高三年级四调考试】（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB ，侧面D PA 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面CD AB 是C 60∠AB =的菱形，M 为C P 的中点． （1）求证：C D P ⊥A ；（2）求点D 到平面PAM 的距离．【答案】（1）详见解析（2215设点D 到平面C PA 的距离为h ，由D C CD V V -PA P-A =得，C CD 1133S h S ∆PA ∆A ⋅=⋅PO ，又CD 12S ∆A =⨯=，所以1133h =，解得h =．故点D 到平面PAM （12分） 考点：线面垂直性质与判定定理，三棱锥体积14. 【河北省正定中学2015-2016学年第一学期高三文科期末考试】（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点. （1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ， 60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2．方考点：线面平行的判断，点到平面的距离．15. （2016郑州一测）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=，12AB AD CD ==，BE DF ⊥． （1）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；（2）若2AB =，求四棱锥E ABCD -的体积．【解析】（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点，∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ，又∵AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，∴AC ∥平面MDF ．（2）取CD 中点为G ，连接,BG EG ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，∴AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ，∴ED 的长即为四棱锥E ABCD -的高，在梯形ABCD 中1,//2AB CD DG AB DG ==，∴四边形ABGD 是平行四边形，//BG AD ，∴BG ⊥平面CDEF ，又∵DF ⊂平面CDEF ，∴BG DF ⊥，又BE DF ⊥，BE BG B =，∴DF ⊥平面BEG ，DF EG ⊥．注意到Rt DEG Rt EFD ∆∆，∴28DE DG EF =⋅=，DE =，∴13E ABCD ABCD V S ED -=⋅=．16. 【湖南省2016届高三四校联考试题】（本小题满分12分）如图AB 是⊙O 的直径，点C 是弧AB 上一点，VC 垂直⊙O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点.（1）求证：⊥DE 平面VBC ；（2）若6==CA VC ，⊙O 的半径为5，求点E 到平面BCD 的距离.【答案】（1）详见解析；（2考点：1.线面垂直的判定；2.体积法求解点到平面的距离．17. 【江西省吉安一中2015-2016学年度上学期期中考试】 如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点.（1）求证：AB DE ⊥；（2）求三棱锥D-ABP 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：取AB 中点O ，连结OD ，OE ，因为ABE ∆是正三角形，所以AB OE ⊥.因为四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，//AB CD ， 所以四边形OBCD 是平行四边形，//OD BC ，又AB BC ⊥，所以AB OD ⊥.所以AB ⊥平面ODE ，所以AB DE ⊥.（2）解：12132D ABP P ABD V V --⨯==⨯=考点：线面垂直的判定与性质，几何体的体积．二．能力题组1.【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积轴互相垂直的平面有（）对A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B所以该几何体的表面中互相垂直的平面有4对故答案选B考点：三视图；平面与平面垂直的判定.2. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】三棱柱111C C AB -A B 中，侧棱1AA ⊥底面111C A B ，底面三角形111C A B 是正三角形，E 是C B 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．C A ⊥平面11ABB A C ．11C AE ⊥BD ．11C //A 平面1AB E【答案】C考点：空间点线面位置关系.3. 【河北省衡水中学2015~2016学年度上学期高三年级四调考试】已知球的直径SC 4=，A ，B 是该球球面上的两点．2AB =，SC SC 45∠A =∠B =，则棱锥S C -AB 的体积为（ ）A 【答案】C【解析】试题分析：由题意得：S SB AC BC A ====,取AB, SC 中点M,N.则,SM AB CM AB ⊥⊥,因此棱锥S C -AB 的体积为111112433232SMC AB S AB MN SC ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=,选C. 考点：三棱锥体积4. （2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．2【答案】A 【解析】四面体的直观图如图，∴112(12)2323V =⨯⨯⨯⨯=．5. 【广东省惠州市2016届高三第三次调研考试】已知三棱锥S ABC -所在顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为 ．【答案】5π6. 【河北省衡水中学2015~2016学年度上学期高三年级四调考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．【答案】83【解析】试题分析：该几何体为一个四棱锥，，底面为矩形，，因此体积为18233 考点：三视图7. 【河北省正定中学2015-2016学年第一学期高三文科期末考试】直三棱柱111C B A ABC -中，2==AC AB ，32π=∠BAC ，41=AA ，则该三棱柱的外接球的体积为________. 【答案】3264π考点：棱柱与外接球，球的体积．8. 【广东省汕尾市2016 届高三学生调研考试】（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAB 为正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，AB⊥AD， BC∥AD，且AB=BC=12AD=2. (1)求证CE ∥平面PAB ；(2)求四棱锥P —ABCD 的体积.【考点】空间几何体的表面积与体积平行9. 【广东省韶关市2016届高三调研测试】（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，1,AB AD ==,E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F , GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；(Ⅱ) 若AF FG =,求点E 到平面ABG 距离.证法2：（坐标法）证明1-=⋅BE AC K K ，得BE AC ⊥，往下同证法1．（2）在AGF Rt ∆中，22GF AF AG +=36)33()33(22=+= 在BGF Rt ∆中，22GF BF BG +=1)33()36(22=+= ………… ……………8分 在ABG ∆中，36=AG ，1==AB BG∴2)66(13621-⨯⨯=∆ABG S 656303621=⨯⨯=………………………………10分 设点E 到平面ABG 的距离为d ，则GF S d S ABF ABG ⋅=⋅∆∆3131， ………………………………11分 ∴ABG ABF S GF S d ∆⋅=1030653312221=⨯⨯⨯= ………………………………12分 10. 【河北省衡水中学2015~2016学年度上学期高三年级四调考试】（本题小满分12分） 如图，直三棱柱111C C AB -A B 中，D ，E 分别是AB ，1BB的中点，1C C AA =A =B =． （1）证明：1C //B 平面1CD A ；（2）求异面直线1C B 和1D A 所成角的大小；（3）当AB =时，求三棱锥1C D -A E 的体积．【答案】（1）详见解析（2）6π（3）1考点：线面平行判定定理，异面直线所成角，三棱锥体积11. 【2016年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 的正方形，.PA BD ⊥ （Ⅰ）求证：;PB PD =（Ⅱ）若E,F 分别为PC,AB 的中点，EF ⊥平面,PCD 求三棱锥的D ACE -体积.解: (Ⅰ)连接AC 交BD 于点O ，因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥且O 为BD 的中点.又,,PA BD PA AC A ⊥⋂=所以⊥BD 平面PAC ， -------------2分由于⊂PO 平面PAC ,故⊥BD PO .又AD CD ⊥，又AQ AD A ⋂= 所以CD ⊥平面PAD所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD ---------------8分（注意：没有证明出PA ⊥平面ABCD ，直接运用这一结论的，后续过程不给分）………………………10分故三棱锥D-ACE ……………………12分12. 【湖北省优质高中2016届高三联考试题】（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，△PAB 是正三角形，在△ABC 中，AB BC ⊥,且D 、E 分别为AB 、AC 的中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求异面直线AB 与PE 所成角的大小．【答案】(1)详见解析；（2）090.考点：1.线面平行的判定定理；2.异面直线所成角.13. 【湖南省东部六校2016届高三联考】（本小题满分12分）如图，在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，D AB ⊥A ，且1D CD 12AB =A ==．现以D A 为一边向梯形外作矩形D F A E ，然后沿边D A 将矩形D F A E 翻折，使平面D F A E 与平面CD AB 垂直．（1）求证：C B ⊥平面D B E ；（2）若点D 到平面C BE F D -B E 的体积．【答案】(1)见解析；（2)61.考点：1.面面垂直的判定与性质；2.多面体的体积.三．拔高题组1. 【广东省惠州市2016届高三第三次调研考试】某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）（A ）π42616++ （B ）π32616++（C ）π42610++ （D ）π32610++2. 【广东省韶关市2016届高三调研测试】某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（ ）A ．π5B ．π320 C ．π8 D ．π328．328π=球表S3. 【河北省正定中学2015-2016学年第一学期高三文科期末考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.π231+ B.12211++π C.2211+π D.ππ2211+【答案】B考点：三视图，几何体的表面积．4. 【湖南省2016届高三四校联考试题】一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3316cm ，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（ ）A.8B.38C.4D.34【答案】B.考点：三视图．5. 【江西省吉安一中2015-2016学年度上学期期中考试】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面积的面积为（ ）A B D ．3【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A ﹣BCDE 的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则S △AED =111122⨯⨯=，S △ABC =S △ADE =112⨯=，S △ACD =112⨯=B ．考点：三视图，面积与体积．6.【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，===∠=，则该三棱锥的外接球的表面积为 .PA AB AC BAC2,2,1,60【答案】8π考点：空间几何体的外接球.：。
专题10 立体几何(第03期)-决胜2016年高考名校试题数学分项汇编(江苏特刊)(解析版)
一、填空1. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知正六棱锥底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥体积为_______. 【答案】12 【解析】=216212.3⨯=2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016的四面体ABCD 中，AB ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为 ▲ ．3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．（第7题图）ABCA 1B 1FC 1E【答案】38 【解析】试题分析：因为点E 到面AF A 1距离等于点B 到面AF A 1距离，等于32423=⨯，因此三棱锥A —A 1EF 的体积是.3846213231=⨯⨯⨯⨯ 4. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥DABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则12V V ＝____________． 【答案】14【解析】试题分析：.41,412121===---V V V V V ABC P ABE P ABE D 5. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 ▲ ．(填所有真命题的序号) ①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ② 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β ③若l ∥α，α∥β，则l ∥β ④ 若l ⊥α，l //β，则 α⊥β 【答案】④6. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．其中正确的命题是 ▲ ． (填．写所有正确命题的．．．．．．．．序号．．)． 【答案】①④7. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12S S 的值为 ▲ ．【解析】试题分析：因为3322211221,6,,33r V a S a V r r S rl r ===⋅===p p p ，所以31323=13V a ar V r=⇒=p p ，因此12S S ==8. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm . 【答案】96π 【解析】试题分析：由题意得：60,1068rl l r h ππ==⇒=⇒=，因此圆锥的体积为22116896.33r h πππ=⋅⋅=9. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .【答案】π 【解析】试题分析：正三棱柱的体积为23a ⨯=，圆柱的23()24b b b ππ⨯=，因此3333:4b a b ππ=⇒=10. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】设,M N 分别为三棱锥P ABC -的棱,AB PC 的中点，三棱锥P ABC -的体积记为1V ，三棱锥P AMN -的体积记为2V ，则21V V = ▲ . 【答案】14【解析】试题分析：三棱锥P AMN -的体积等于三棱锥P AMC -的体积的一半，等于三棱锥P ABC -的体积的四分之一.二、解答1. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC =，N M ,分别是棱1CC ，AB 中点．（1）求证：CN ⊥平面11A ABB ； （2）求证：CN ∥平面1AMB ；【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥. ………2分因为AC BC =，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. ………4分 因为1AA AB A ⋂=， ………5分 所以CN ⊥平面11ABB A . ………7分2. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点． （1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .ANBPMC【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，往往从平面几何中寻求，本题利用中位线性质得MN ∥PB ．（2）线面垂直的证明，往往需要线面垂直判定及性质定理多次转化，而面面垂直条件，一般利用面面垂直性质定理给予转化，本题利用等腰三角形性质（第16题图）CM ⊥AB ，将平面P AB ⊥平面ABC 转化为CM ⊥平面P AB ，从而得CM ⊥P A ．结合P A ⊥PB 及MN ∥PB 可得：P A ⊥MN ，因此可由线面垂直判定定理推出结论.3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱11,,AB BC C D 的中点． 求证：（1）//AP 平面1C MN ；（2）平面11B BDD ⊥平面1C MN ．A【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证往往结合平面几何进行，例如本题结合平行四边形性质：证得四边形1AMC P 为平行四边形，推出1//AP C M （2）面面垂直的证明，一般利用面面垂直性质定理，即从线面垂直出发给予证明，本题先明确线面垂直的对象：MN ⊥平面11BDD B ．然后利用线面垂直性质定理及判定定理进行论证：由1DD ⊥平面ABCD ，得1DD ⊥平面ABCD ，由正方形ABCD 得MN BD ⊥．试题解析：证明：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为,M P 分别为棱11,AB C D 的中点， 所以1AM PC =．又1//,//AM CD PC CD ，故1//AM PC ， 所以四边形1AMC P 为平行四边形．从而1//AP C M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又AP ⊄平面11,C MN C M ⊂平面1C MN ，所以//AP 平面1C MN ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分而11,,DD DB D DD DB =⊂平面11BDD B ，所以MN ⊥平面11BDD B ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又MN ⊂平面1C MN ， 所以平面11B BDD ⊥平面1C MN． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分4. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C 是菱形，∠A 1AC ＝60º，E 、F 分别是A 1C 1、AB 的中点． 求证：（1）EF ∥平面BB 1C 1C ； （2）平面CEF ⊥平面ABC ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：证明：（1）取BC 中点M ，连接FM ，C 1M ， 在△ABC 中，因为F ，M 分别为BA 、BC 的中点， 所以AC,12FM AC =因为E 为A 1C 1的中点，AC ∥A 1C 1，所以FM ∥EC 1，且FM =EC 1从而四边形EFMC 1为平行四边形， 所以EF ∥C 1M ，又因为C 1M ⊂平面BB 1C 1C ，EF ⊄平面BB 1C 1C ，1A 1B1CABCOM FE因此EF ∥平面BB 1C 1C ；（2）在平面AA 1C 1C 内，作A 1O ⊥AC ，O 为垂足， 因为∠A 1AC=60°，所以AO=111=22AA AC 从而O 为AC 的中点．所以OC ∥A 1E ，且OC =A 1E ，因而EC ∥A 1O ， 因为侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ， A 1O ⊥AC ，所以A 1O ⊥底面ABC ．因而A 1O ⊥AB 所以EC ⊥AB ，EC ⊥AC ，而AB AC=A ，所以EC ⊥底面ABC ，又因为EC ⊂平面EFC ， 所以平面CEF ⊥平面ABC ．5. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分14分)如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点.（1）求证：DE //平面ACF ；（2）若ABCE ，在线段EO 上是否存在点G ，使得CG ⊥平面BDE ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析（2）EO 的中点 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与证明，一般结合平几知识，如三角形中位线、平行四边形等得到，本题利用点O 为BD 的中点，F 为BE 的中点，得OF //DE （2）存在性问题，一般利用分析法，从CG ⊥平面BDE 出发，知CG ⊥EO ，而CO ＝CE ，因此G 为EO 的中点，下面只需证明CG ⊥BD ，而这可根据线面垂直判定与性质定理进行论证. 试题解析：（1）证明：连接OF 由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点又F 为BE 的中点，所以OF //DE ……………… 2分 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF所以DE //平面ACF ……………… 6分(2) 解：在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE ，证明如下：（第16题）取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E －ABCD 中ABCE ，CO＝CE ，所以CG ⊥EO ………… 8分 又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC ⊥BD ……………… 10分 由四边形ABCD 是正方形可知，AC ⊥BD 又AC ∩EC ＝C所以BD ⊥平面ACE ，而BD ⊂平面BDE ……………… 12分 所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ∩平面BDE ＝EO因为CG ⊥EO ，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE … 14分6. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．【答案】（1）详见解析（2）1 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理（2）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理，将其转化为线线平行：连结A 1C ，交AC 1于O ，则可得A 1B ∥OD ．再结合平面几何性质确定线段比值.试题解析：证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ·················································2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ···················································4分 因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ·············································6分（第16题图）ABCDA 1B 1C 1(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点． ·············································8分 因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD ． ··················································12分 因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点， 所以BD DC＝1． ··································································14分 7. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =， D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1A CD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1A CD ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与证明，一般结合平面几何条件，如本题利用三角形中位线性质得到1OD BC ∥，其中O 是1AC的中点试题解析：证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．C B 1A 1P DCBA∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分又∵OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，∴1BC ∥平面1A CD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP AD BA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CD A D D =，CD ⊂平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD∴AP ⊥平面1A CD ． …………14分8. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC =，,,M N P 分别为11,,BC CC BB 的中点，求证：（1）平面AMP ⊥平面11BB C C ；（2）1//A N 平面AMP .【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1BB ⊥底面ABC ，因为AM ⊂底面ABC ，所以1BB AM ⊥， ……………………………2分又因为M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥．又111111,,,BB BC B BB BB C C BC BB C C =⊂⊂平面平面所以AM ⊥平面11BB C C ． ………………………………………………4分又因为AM ⊂平面APM ，所以平面APM ⊥平面11BB C C ．…………6分（2）取11C B 中点D ，连结1A D ，DN ，DM ，1B C .由于D ，M 分别为11C B ，CB 的中点，所以1//DM CC 且1DM CC =故1//DM AA 且1DM AA =.9. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N ==分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ；（2）求证：平面BMN ⊥平面PAC .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题解析：（1）设AC BN O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点， 所以,AB CN AB CN =，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC 又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN .（2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥ 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥ 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN = 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN .10. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PDE ⊥平面PEC .【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：证明：（1）取PD 的中点G ，连接,AG FG . ..............2分 因为,F G 分别是,PC PD 的中点，所以//GF DC ，且12GF DC =， 又E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC =， 所以//GF AE ，且GF AE =，所以AEFG 是平行四边形，故//EF AG . ...............4分 又EF ⊂平面PAD ， AG ⊄平面PAD ，所以//EF 平面PAD . ...............6分 （说明：也可以取DC 中点，用面面平行来证线面平行）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，EC ⊂底面ABCD ， PB CDE第16题图 F：。
2016立体几何高考题及答案【最新资料】
2012年高考立体几何选作1、[2012·课标全国卷] 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.222、[2012·辽宁卷] 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上．若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．3、[2012·北京卷] 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．4、[2012·湖北卷] 如图1所示，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连结AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2)．(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大？(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．5、[2012·全国卷] 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝22，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ； (2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．A BCDA DBCME图1 图2 ACB DEACBE DM 图1 图26、[2012·辽宁卷] 如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．7、[2012·天津卷] 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 与棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．8、[2012·福建卷] 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．AB CC/A /B /MN PABED P AB C9、[2012·湖南卷] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面PAE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．A A 1B 1C 1D 1 D C EB BCEDPA2012立体几何高考题答案1、A2、333、解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC ，所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ， 所以DE ⊥平面A 1DC ， 所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD ， 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如右图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ， 则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)． 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0. 又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)， 所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3， 所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ，因为CM →＝(0,1，3)，所以sin θ＝|cos(n ，CM →)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n ||CM |＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0. 又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，所以⎩⎨⎧2y －23z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p3.所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．4、解：(1)方法1：在题图所示的△ABC中，设BD＝x(0＜x＜3)，则CD＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB＝45°知，△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x.由折起前AD⊥BC知，折起后，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以S△BCD ＝12BD·CD＝12x(3－x)．于是V A－BCD ＝13AD·S△BCD＝13(3－x)·12x(3－x)＝112·2x(3－x)(3－x)≤112⎣⎡2x＋(3－x)＋(3－x)33＝23.当且仅当2x＝3－x，即x＝1时，等号成立，故当x＝1，即BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．方法2：同方法1，得V A－BCD＝13AD·S△BCD＝13(3－x)·12x(3－x)＝16x3－6x2＋9x)．令f(x)＝16(x3－6x2＋9x)，由f′(x)＝12(x－1)(x－3)＝0，且0＜x＜3，解得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值．故当BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．(2)方法1：以点D为原点，建立如图(a)所示的空间直角坐标系D－xyz.由(1)知，当三棱锥A－BCD的体积最大时，BD＝1，AD＝DC＝2.于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E⎝⎛⎭⎫12，1，0，且BM→＝(－1,1,1)．设N(0，λ，0)，则EN→＝⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0.因为EN⊥BM等价于EN→·BM→＝0，即⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12N⎝⎛⎭⎫0，12，0.所以当DN＝12(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，EN⊥BM.设平面BMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n⊥BN→，n⊥BM→，及BN→＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0，得⎩⎪⎨⎪⎧y＝2x，z＝－x.可取n＝(1,2，－1)．设EN与平面BMN所成角的大小为θ，则由EN→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，n＝(1,2，－1)，可得sinθ＝cos(90°－θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n·EN→|n|·|EN→|＝⎪⎪⎪⎪－12－16×22＝32，即θ＝60°.故EN与平面BMN所成角的大小为60°.方法2：由(1)知，当三棱锥A－BCD的体积最大时，BD＝1，AD＝CD＝2.如图(b)，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD.由(1)知AD⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD.如图(c)，延长FE至P点使得FP＝DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DP⊥BF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP，所以EN⊥BF，因为MF⊥平面BCD，又EN⊂平面BCD，所以MF⊥EN.又MF∩BF＝F，所以EN⊥面BMF，又BM⊂面BMF，所以EN⊥BM.因为EN⊥BM当且仅当EN⊥BF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的．即当DN＝12(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，EN⊥BM.连结MN，ME，由计算得NB＝NM＝EB＝EM＝5 2，所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形．如图(d)所示，取BM的中点G.连结EG，NG，则BM⊥平面EGN，在平面EGN中，过点E作EH⊥GN于H，则EH⊥平面BMN.故∠ENH是EN与平面BMN所成的角．在△EGN中，易得EG＝GN＝NE＝22，所以△EGN是正三角形，故∠ENH＝60°，即EN与平面BMN所成角的大小为60°.5、解：方法一：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝ 6.因为PCFC＝ACEC，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面P AB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线P A，AG都垂直，故BC⊥平面P AB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝2 2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝ 2.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝dPD＝12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎫423，0，23，B (2，－b,0)． 于是PC →＝(22，0，－2)， BE →＝⎝⎛⎭⎫23，b ，23，DE →＝⎝⎛⎭⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0， 故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB →＝0， 即2z ＝0，且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则 n ·PC →＝0，n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－2b，2.因为面PAB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP →＝(－2，－2，2)，cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°. 6、解：(1)(证法一)连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱． 所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点． 所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. (证法二)取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ，M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，又MP ∩NP ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图1－5所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)．所以M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC →＝0，n ·MN →＝0得⎩⎨⎧－λ22＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0.可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0.即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2. 7、解：方法一：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)．(1)易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD . (2)PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1，0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1， 可得n ＝(1,2,1)．可取平面PAC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h ，由CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →||CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20 h2，所以，310＋20 h 2＝cos30°＝32，解得h ＝1010， 即AE ＝1010.方法二：(1)由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD . 又由AD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ， 又PC ⊂平面P AC ，所以PC ⊥AD .(2)如图所示，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH .由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH ，因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角.在Rt △PAC 中，P A ＝2，AC ＝1，由此得AH ＝25.由(1)知AD ⊥AH .故在Rt △DAH 中，DH ＝AD 2＋AH 2＝2305.因此sin ∠AHD ＝AD DH ＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)如图所示，因为∠ADC ＜45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF .故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由BF ∥CD ，故∠AFB ＝∠ADC .在Rt △DAC 中，CD ＝5，sin ∠ADC ＝15，故sin ∠AFB ＝15.在△AFB 中，由BF sin ∠FAB ＝AB sin ∠AFB ，AB ＝12，sin ∠FAB ＝sin135°＝22，可得BF ＝52. 由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos ∠FAB ，可得AF ＝12.设AE ＝h .在Rt △EAF 中，EF ＝AE 2＋AF 2＝h 2＋14.在Rt △BAE 中，BE ＝AE 2＋AB 2＝h 2＋12.在△EBF 中，因为EF ＜BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得cos30°＝BE 2＋BF 2－EF22BE ·BF，可解得h ＝1010.所以AE ＝10108、解：(1)以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)． 设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a2－a 21＋a 24＋a 2. ∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°，即3a 221＋5a24＝32， 解得a ＝2，即AB 的长为2.9、解：解法1：(1)如下图(1)，连结AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE 、AD 相交于点F ，G ，连结PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BFPBPA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ， 所以四边形BCDG 是平行四边形．故GD ＝BC ＝3.11于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855. 于是PA ＝BF ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13S ×PA ＝13×16×855＝128515.解法2：如上图(2)，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面PAE内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)由题设和(1)知，CD →，PA →分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈PA →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·PB →|PA →|·|PB →|. 由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，PA →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )， 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025·16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ·16＋h 2. 解得h ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515.以下是附加文档，不需要的朋友下载后删除，谢谢顶岗实习总结专题13篇第一篇:顶岗实习总结为了进一步巩固理论知识，将理论与实践有机地结合起来，按照学校的计划要求，本人进行了为期个月的顶岗实习。
决胜2016年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊)专题10 立体几何(第02期) 含解析
一、填空1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥ABC D -的体积为 ．【答案】245【解析】试题分析：因为平面DAC ⊥平面BAC ,所以D 到直线BC 距离为三棱柱ABCD -的高,11341211224,346,,63255355D ABC ABC ABC V S h S h V -∆∆⨯==⨯⨯====⨯⨯=2. 【江苏省清江中学数学模拟试卷】对于以下命题：（1）若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行； (2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；（3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与两个平面的交线平行；（4）若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行。
则真命题有 个. 【答案】13. 【扬州市2015-2016学年度第一学期期末检测试题】.已知正四棱锥底面边长为24,体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲ 。
【答案】5 【解析】试题分析:132,323V Sh S ====,得3h =；正四棱锥底面对角线长为8，则此四棱锥的侧棱长为5=4. 【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】设b ，c 表示两条直线,α，β表示两个平面,现给出下列命题: ①若b ⊂α，c ∥α,则b ∥c ; ②若b ⊂a ,b ∥c ，则c ∥a ； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β; ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β。
其中正确的命题是________．（写山所有正确命题的序号) 【答案】④．【解析】①b 和c 可能异面,故①错；②c 可能c ⊂α，故②错；③c 有可能c∥β，c ⊂β，故③错；④根据面面垂直的判定α⊥β，故④正确． 5。
【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】 一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,若圆锥底面半径为错误! cm ，则圆锥的体积是________cm 3. 【答案】3π．【解析】设圆锥的母线长为R,高为h .圆锥的侧面积等于(122S R π=⨯侧，圆锥底面面积为23S ππ==底，又因为圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,故()123=62S R ππ=⨯⨯侧，R=23,()22h=33R -=，圆锥的体积是1133333S h ππ⨯=⨯⨯=底．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ . 【答案】2 【解析】试题分析:设正四棱锥底面正方形ABCD 的中心为O ,顶点为P ,则6AO =,则2OP h ==，则正四棱锥的体积为231(23)283V a =⨯⨯==，得2a =7. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r rr ++＝ ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析:由题意得，扇形弧长为对应圆锥底面周长，因此1231232()255r r r r r r ππ++=⨯⇒++=8. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】如图，长方体1111ABCD A BC D-中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ,则12V V 的值为 ▲ ．【答案】12 【解析】试题分析:设长方体长宽高分别为,,a b c，1122111111,,322123262V abc abc V ab c V bc a V =⨯⨯==⨯⨯==二、解答1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】如图，在四棱锥ABCD P -中,已知底面ABCD 为矩形,⊥PA 平面PDC ，点E 为棱PD 的中点，求证：（1）//PB 平面EAC ；（2)平面⊥PAD 平面ABCD 。
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第十章 立体几何一．基础题组1.（2015年北京市昌平区高三二模文5）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）侧（左）视图俯视图正视图111122A B C D2.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.（北京市房山区2015年高三第一次模拟文3）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．8正（主）视图4.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．48B ．32C ．16D ．3235.（2015年北京市昌平区高三二模文4）如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形，则其左视图面积为（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 23(D) 23 俯视图正视图俯视图6.（北京市西城区2015届高三二模文5）一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（ ）A. B. C. D.7.（北京市西城区2015届高三一模考试文7）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（） （A ）7 （B ）152 （C ）233 （D ）4768.（北京市延庆县2015届高三3月模拟文7）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）侧(左)视图正(主)视图 俯视图A. 96 B ．120 C ．144 D ．1809.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文17）如图，在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 上一点，四边形BCDE 为矩形，60PAD ∠=，PB =,22PA ED AE ===. （Ⅰ）若()PF PC λλ=∈R ，且PA ∥平面BEF ,求λ的值；（Ⅱ）求证：CB ⊥平面PEB .10.（北京市房山区2015年高三第一次模拟文18）如图，四棱锥E ABCD -中，侧面EAB ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，2AB BC AD ==，90DAB ︒∠=,△EAB 是正三角形，F 为EC 的中点.（Ⅰ）求证：DF ∥平面EAB ；（Ⅱ）求证：DF ⊥平面EBC .A二．能力题组主视图 俯视图 侧视图1.（2015年北京市昌平区高三二模文8）已知四面体A BCD满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形.那么符合上述条件的所有四面体的体积的不同值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2015年北京市昌平区高三二模文8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（）正视图①②③④（A）①②③（B）①②④（C）②③④（D）①②③④3.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．3 D4.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习文11）一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为；表面积为．5.（北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．6.（2015年北京市昌平区高三二模文18）在如图所示的几何体中，ACDE BC A ⊥平面平面，//CD AE ，F 是BE 的中点，90ACB ∠=，22AE CD ==,1,AC BC BE ===（I ）求证：//DF ABC 平面；（II ）求证：DF ABE ⊥平面;（III ）求三棱锥E D BC -的体积.FEDCB A7.（北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．俯视图 正视图 侧视图第（12）正视图 侧视图俯视图（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在DD BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由． 8.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文18）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 中点. AB BC =，2AC =，1AA =（Ⅰ）求证：1B C //平面1A BM ；（Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（Ⅲ）在棱1BB 的上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面C C AA 11？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，说明理由．A BCC 1A 1B 1M9.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）文18）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC //，AB AD ⊥，AD BC AB 21==，PA ⊥底面ABCD ，过BC 的平面交PD 于M ，交PA 于N （M 与D 不重合）．（Ⅰ）求证：BC MN //；（Ⅱ）求证：CD PC ⊥； A BCD A 1 B 1C 1（Ⅲ）如果BM AC ⊥，求此时PM PD的值． C N MPD B A10.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文18）如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB 90=，AB//CD ，AD =AF =CD =2，AB =4．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求三棱锥A -CDE 的体积；（Ⅲ）线段EF 上是否存在一点M ，使得BM ⊥CE ?若存在，确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．11.（北京市西城区2015届高三二模文17）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（1）求棱锥C ADE -的体积；（2）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（3）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EFED 的值；若不存在，说明理由. A CD EFB三．拔高题组1.（北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文8）已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CD 上的动点（不含端点），过M 作//MH DE 交CE 于H ，作//MG AD 交BD 于G ，连结GH ．设CM x =(03)x <<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是（ ）2.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文8）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）（A ）23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈ （B ）31,[0,),22()11,[,1].22x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩ （C ）22312,[0,],22()312(1),(,1].22x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩ （D ）23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈ 3.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）文8）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上一动点，如果P 到点1A 的距离等于P 到直线1CC 的距离，那么点P的轨迹所在的曲线是A B C D（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．椭圆4.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文8）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆5.（北京市西城区2015届高三二模文8）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，11BC AA ==，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）C.32D.2 6.（北京市延庆县2015届高三3月模拟文14）ABCD 是矩形，4AB =，3AD =，沿AC 将ADC ∆折起到AD C '∆，使平面AD C '⊥平面ABC ∆,F 是AD '的中点，E 是线段AC 上的一点，给出下列结论： ① 存在点E ，使得//EF 平面BCD ' ② 存在点E ，使得EF ⊥平面ABD '③ 存在点E ，使得D E '⊥平面ABC ④ 存在点E ，使得AC ⊥平面BD E '其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）7.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习文18）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ；（Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l Ì平面BCD ；②//l AM ．请说明理由． M DA B C B 1 A 1 D 1C 1P ． ．8.（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）文18）如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ，AD DC ⊥，2BC AD =，四边形ABEF 是矩形. 将矩形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2. （Ⅰ）求证：1BE DC ⊥； （Ⅱ）求证：DM //平面1BCE ；（Ⅲ）判断直线CD 与1ME 的位置关系,并说明理由．9.（北京市西城区2015届高三一模考试文17）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)ABC MDOABCMD图2ABC DE 1F 1MFA DBG E10.（北京市延庆县2015届高三3月模拟文17）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．图1 图2：。