高考立体几何大题及答案(理)

1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

令狐采学（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()II 求二面角S AM B --的大小。

2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E 分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B1C 与平面BCD 所成的角的大小3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当A CB A 1 B 1C 1 DE2PD AB=且E为PB的中点时，求AE与平面PDB 所成的角的大小.5.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，4PA AD==，2AB=．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．6.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF︒==∠=（I）求证：EF BCE⊥平面；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥BCE平面（III）求二面角F BD A--的大小。

7.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC⊥BE:OAPBM(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。

8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB=4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证：PM ∥BCE 平面（III ）求二面角F BD A --的大小。

10.如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==．求：（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．11．如图，四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB＝60°，AB ＝2AD ，PD⊥底面ABCD ．(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点（1）证明：PE ⊥BC （2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值参考答案1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NC EB x ==,在RT MEB ∆中，60MBE ∠=︒ME ∴=。

在RT MNE ∆中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+解得1x =，从而12MN SD =∴M 为侧棱SC 的中点M.解法二:过M作CD的平行线.（II）分析一:利用三垂线定理求解。

在新教材中弱化了三垂线定理。

这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作MJ∥CD交SD于J,作SH AJ⊥交AJ于H,作⊥交AM于K,则JM∥CD,JM⊥面SAD,面SAD⊥HK AM面MBA,SH⊥面AMB∴SKH∠即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM中过点B作BF AM⊥交AM于点F，则点F为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证GF AM∠⊥，则GFB 即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则(S0,0,2A。

),BC0,2,2)2,0,0(),2,0,0((),（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ， )2,2,0(-=SC ，由题得⎪⎩⎪⎨⎧>=<SC SM BM BA //21,cos ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-⋅--)2(22212)2(2)2(222b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则)12,12,2(),12,12,0(λλλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<=故o AB MB AB MB 60cos ||||⋅=•，即22)12()12(214λλλ++++=+，解得1=λ，所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ，设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0011AS n MA n 且⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0012AB n MA n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--022*******z x z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧==--02022222y z y x 分别令221==x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即 )2,0,2(),1,1,2(21==n n ，∴3662202,cos 21=⋅++>=<n n 二面角S AM B --的大小36arccos -π。

2、解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF121B B ，从而EF DA 。

连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。

又DE⊥平面1BCC ，故AF⊥平面1BCC ，从而AF⊥BC，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G ，连接CG 。

由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。

由题设知，∠AGC=600..设AC=2，则3又AB=2，BC=22故2由AB AD AG BD ⋅=⋅得2AD=222.23AD +，解得AD=2。

故AD=AF 。

又AD⊥AF，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF ，因此平面BCD⊥平面DEF 。

连接AE 、DF ，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD 。

连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=112B C =2， 所以∠ECH=300，即1B C 与平面BCD 所成的角为300. 解法二：（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （12，2b ，c ）. 于是DE →=（12，2b ，0），BC →=（-1，b,0）.由DE⊥平面1BCC 知DE⊥BC， DE BC →→⋅=0，求得b=1，所以AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →=则0,0.AN BC AN BD →→→→⋅=⋅= 又BC →=（-1，1， 0），BD →=（-1，0，c ）,故00x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩ 令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1c). 又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，=60°， 故 60cos ⋅⋅=⋅AC AN AC AN °，求得21c =于是 ），，（211=AN ，），，211(1-=CB 21cos 111=⋅⋅=CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，°所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°3、（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,， 在ABE ∆中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 21//==， 又BE DC 21//==，所以DC PQ ==//，又⊄PQ 平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，所以//PQ 平面ACD（Ⅱ）在ABC ∆中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC 而⊂EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP // 所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ，所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ∆中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以5551sin ===∠AD DP DAP 4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE ，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE//PD ，12OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面，∴OE⊥底面ABCD ，OE⊥AO，在Rt△AOE 中，122OE PD AB AO ===， ∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设,,AB a PD h ==则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ，（Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设AC∩BD=O，连接OE ，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，∵112,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2cos 2EA EOAEO EA EO ⋅∠==⋅， ∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.∴多面体ABCDEF 的体积为VE —ABCD ＋VE —BCF=5、解：方法（一）：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥Array平面ＰＣＤ.（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM∠就是PC与平面ABM所成的角，且PNM PCD∠=∠所求角为arctan Array（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在Rt△PAD中，4⊥，所以MPA AD==，PD AM为PD中点，DM=，则O点到平面ABM的距离（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，M，D，(0,2,2)P，(2,0,0)(0,0,4)B，(2,4,0)C，(0,4,0)设平面ABM的一个法向量(,,)⊥⊥n x y z=，由,n AB n AM可得：20220x y z =⎧⎨+=⎩，令1z =-，则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α，则2sin 3PC nPC n α⋅==，所求角的大小为arcsin . （3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO nh n ⋅==6、【解析】解法一：因为平面ABEF⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB ， 所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为⊿ABE 为等腰直角三角形，AB=AE ， 所以∠AEB=45°，又因为∠AEF=45,所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.因为BC ⊂平面ABCD, BE ⊂平面BCE,BC∩BE=B所以EF BCE ⊥平面…………………………………………6分（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN1A B PC2∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.,则设AB=1,则AE=1,AF=221=⋅=FG AF sin FAG2在Rt⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+12=32,3232GH BG sin GBH 224=⋅=⋅=,在Rt⊿FGH 中, FG 2tan FHG GH 3==,∴ 二面角F BD A --的大小为2arc tan 3…………………………………………12分解法二: 因ABE ∆等腰直角三角形，AE AB =，所以AB AE ⊥又因为平面AB ABCD ABEF =⋂平面，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AD AE ⊥即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B∵︒=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠，从而），，－（21210F)21,21,0(--=EF ，)0,0,1(),1,1,0(=-=BC BE 于是021210=-+=⋅BE EF ，0=⋅BC EF ∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，B BE BC =⋂ ∴EF BCE ⊥平面（II ）)0,21,1(),21,0,0(P M ，从而)21,21,1(--=PM 于是041410)21,21,0()21,21,1(=-+=--⋅--=⋅EF PM ∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥平面BCE（III ）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n ＝（),,z y x⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BF n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-021230z y y x 取1=y ，则1=x ，3=z ，从而1n ＝（1，1，3） 取平面ABD D 的一个法向量为)1,0,0(2=n故二面角F BD A --的大小为11113arccos 7、（Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC ⊥BD 。