高中竞赛不等式公式大全
高三复习-高中4个基本不等式的公式
高中4个基本不等式的公式
高中4个基本不等式：√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。
平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。
基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
（当且仅当a=b时，等号成立）
（2）√(ab)≤(a+b)/2。
（当且仅当a=b时，等号成立）
（3）a²+b²≥2ab。
（当且仅当a=b时，等号成立）
（4）ab≤(a+b)²/4。
（当且仅当a=b时，等号成立）
（5）||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。
（当且仅当a=b时，等号成立）。
高中重要不等式公式
高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。
绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。
下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。
1. |x| > a ，其中a为正实数。
解集为：x < -a 或 x > a。
这个不等式表示x与原点的距离大于a。
2. |x| < a ，其中a为正实数。
解集为：-a < x < a。
这个不等式表示x与原点的距离小于a。
3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。
解集为：-a ≤ x ≤ a。
这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。
4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。
解集为：x < a - b 或 x > a + b。
这个不等式表示x与点a的距离大于b。
5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b < x < a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于b。
6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。
（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。
熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。
二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。
下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。
这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。
2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。
高中数学不等式常用公式
高中数学不等式常用公式高中数学中的不等式可是个让人又爱又恨的家伙。
不等式在解决各种数学问题时那是相当重要，常用的公式更是我们解题的利器。
先来说说基本不等式，这可是不等式家族中的“明星成员”。
对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，当且仅当 a = b 时，等号成立。
这就好比我们分糖果，要想让每个人得到的糖果差不多，就得按照这个规则来。
还有绝对值不等式，$\left|a\right| - \left|b\right| \leq \left|a + b\right|\leq \left|a\right| + \left|b\right|$。
想象一下，这就像是两个人走路，他们之间的距离变化是有范围的。
我记得之前有一次给学生们讲题，有一道关于不等式的题目难倒了一大片。
题目是这样的：已知$x^2 + y^2 = 1$，求$3x + 4y$的最大值。
这道题就用到了我们的不等式知识。
我引导着学生们思考，我们可以设$x = \sin\alpha$，$y = \cos\alpha$，然后$3x + 4y = 3\sin\alpha + 4\cos\alpha$。
这时候，我们就可以利用三角函数的辅助角公式，将其变形为$5\sin(\alpha + \varphi)$，其中$\varphi$是一个特定的角度。
而正弦函数的值域是$[-1, 1]$，所以$3x + 4y$的最大值就是 5 啦。
当时看着学生们恍然大悟的表情，我心里那叫一个欣慰。
再来说说柯西不等式，$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$。
这个不等式就像是一个魔法公式，在很多复杂的问题中都能发挥大作用。
在解决不等式问题时，我们要灵活运用这些公式，就像手里拿着不同的工具，根据不同的情况选择最合适的那一个。
比如，有时候需要通过变形、配凑来使用公式，有时候要结合函数的性质来分析。
高中数学竞赛辅导讲义第九讲 不等式
第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b Ûa-b>0； （2）a>b, b>c Þa>c ； （3）a>b Þa+c>b+c ； （4）a>b, c>0Þac>bc ； （5）a>b, c<0Þac<bc; （6）a>b>0, c>d>0Þac>bd; （7）a>b>0, n ∈N +Þa n >b n ; （8）a>b>0, n ∈N +Þn n b a >; （9）a>0, |x|<a Û-a<x<a, |x|>a Ûx>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0Ûa 2+b 2≥2ab; （12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ³ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a £，由性质（7）得n n n n b a )()(£，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
山东省实验中学高中数学竞赛辅导——不等式部分
重要不等式应用汇总1． 排序不等式：设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++- 2． 均值不等式：当+∈R a i （n i ,2,1=）时，有：na a a na a a a a a a a a nn nnn n22221212121111+++≤+++≤≤+++3． 柯西不等式：设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni in i i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ. 从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni iib a b a（2）设i i b a ,同号，且,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni ii b a a b a4． 琴生（Jensen ）不等式：若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．幂均值不等式：设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=6. 切比雪夫不等式：设两个实数组n a a a ≤≤≤...21，n b b b ≤≤≤...21则)....(1)...(12211111121n n ni in i i n n n b a b a b a nnbna b a b a b a n+++≤⋅≤+++∑∑==- （该不等式的证明只用排序不等式及∑∑==⋅n i ini ib a 11的表达式就可得证）7．一个基础不等式：y x y x )1(1αααα-+≤- 其中]1,0[,0,∈≥αy x ,若y x ,中有一个为零，则结论成立8．赫尔德（Holder ）不等式：设 ).,...2,1(0,n k b a k k =≥ 1,≥q p 且111=+qp ，则 qnk q kpnk p kknk k b a ba 11111)()(∑∑∑===⋅≤（等号成立当且仅当q k p k tb a =）*9.与对数函数有关的一个不等式：x x xx<+<+)1ln(1， .0>x （该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）*10．三角函数有关的不等式：x x x tan sin << )2,0(π∈x*11．绝对值不等式: 设C a a a b a n ∈ ,,,,21，则有：│|a |-|b |│≤│a +b │≤│a │+│b │；│n a a a +++ 21│≤n a a a +++ 21*12．舒尔（Schur ）不等式：设+∈R z y x ,,，则0))(())(())((≥--+--+--y z x z z z y x y y z x y x x *13. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式：如果n x x x ,......,,21与n y y y ,......,,21都是非负实数1≥p ， 那么pni p ipni pippi ni i y x y x 111111)()())((∑∑∑===+≤+14. 贝努利不等式（1）设2,,2,1,1≥=->n n i x i 且同号，则∑∏==+>+ni in i ixx 111)1(（2）设1->x ，则（ⅰ）当10<<α 时，有x x αα+≤+1)1(；（ⅱ）当1>α或0<α 时，有x x αα+≥+1)1(，上两式当且仅当0=x 时等号成立。
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全
高中数学竞赛中涉及到不等式的公式大全包括但不限于以下内容：
1. 平均值不等式（AM-GM不等式），对于非负实数a1,
a2, ..., an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)。
这个
公式在解决求最值问题时非常常用。
2. 柯西-施瓦茨不等式，对于实数a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，有|(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)| ≤ √(a1^2 +
a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
这个不等
式在向量和内积的相关问题中经常被应用。
3. 阿贝尔不等式，对于实数序列a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，若a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an且b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn，则有a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)。
这个不等式在求和问题中有着重要的应用。
4. 杨辉不等式，对于非负实数a, b, c，有(a+b)^n ≥ a^n + b^n，其中n为自然数。
这个不等式在代数不等式证明中经常被使用。
5. 三角不等式，对于任意实数a, b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式在解析几何和向量的运算中常常被用到。
以上是高中数学竞赛中常见的不等式公式，当然还有其他一些不等式公式和定理，但这些是比较基础和常见的。
希望这些内容能够对你有所帮助。
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高中竞赛不等式公式大全
摘要：
一、前言
二、高中竞赛不等式公式简介
1.基本不等式
2.柯西不等式
3.排序不等式
4.切比雪夫不等式
5.赫尔德不等式
6.闵可夫斯基不等式
7.伯努利不等式
8.拉格朗日不等式
9.詹森不等式
10.其他不等式
三、高中竞赛不等式公式应用举例
1.基本不等式应用
2.柯西不等式应用
3.排序不等式应用
4.切比雪夫不等式应用
5.赫尔德不等式应用
6.闵可夫斯基不等式应用
7.伯努利不等式应用
8.拉格朗日不等式应用
9.詹森不等式应用
10.其他不等式应用
四、结论
正文：
一、前言
在高中数学竞赛中，不等式问题常常出现在各个章节中，解决不等式问题需要掌握一定的技巧和方法。
为了更好地应对这类问题，我们整理了高中竞赛中常见的不等式公式大全，希望能为同学们提供帮助。
二、高中竞赛不等式公式简介
1.基本不等式
基本不等式（Fundamental Inequality）是最常见的不等式之一，形式为：(a^2 + b^2) / 2 >= ab。
当且仅当a = b 时，等号成立。
2.柯西不等式
柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种特殊的平方和不等式，形式为：(a_1^2 + a_2^2 + ...+ a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ...+ b_n^2) >=
(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^2。
当且仅当存在一个标量k 使得a_i = kb_i 时，等号成立。
3.排序不等式
排序不等式（Sorting Inequality）是一种关于排序的数学不等式，形式为：对于任意的实数a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1 + a_n) * n / 2 >= (a_2 +
a_(n-1)) * n / 2 >= ...>= (a_n + a_1) * n / 2。
4.切比雪夫不等式
切比雪夫不等式（Chebyshev"s Inequality）是一种概率论中的不等式，形式为：对于任意的实数k > 0，有P(|X - μ| >= k) <= 1 / k^2。
其中X 是随机变量，μ是X 的期望。
5.赫尔德不等式
赫尔德不等式（Hlder"s Inequality）是一种特殊的柯西- 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，形式为：对于任意的实数p, q > 0，有
(a_1^p + a_2^p + ...+ a_n^p) * (b_1^q + b_2^q + ...+ b_n^q) >=
(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^(p+q)。
当且仅当p = q 时，等号成立。
6.闵可夫斯基不等式
闵可夫斯基不等式（Minkowski"s Inequality）是一种平方和与算术平均数之间的不等式，形式为：对于任意的实数p > 0，有(a_1^p + a_2^p
+ ...+ a_n^p) >= (a_1 + a_2 + ...+ a_n)^p。
当且仅当a_1 = a_2 = ...= a_n 时，等号成立。
7.伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli"s Inequality）是一种关于幂级数的收敛性的不等式，形式为：对于任意的实数x > 0，有(1 + x)^(1/x) >= 2。
当且仅当x = 1 时，等号成立。