赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明(新)
赫尔德不等式一般形式详细证明
赫尔德不等式一般形式详细证明赫尔德不等式是概率论和统计学中的一个重要公式，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将详细证明赫尔德不等式的一般形式。
我们需要了解赫尔德不等式的定义。
设随机变量X和Y满足一定的条件，那么赫尔德不等式可以表示为：(P(X>Y)+P(X<Y))/2≥P(X>Y)^(1/2) * P(Y>X)^(1/2)其中，P(X>Y)、P(X<Y)、P(Y>X)分别表示X大于Y、X小于Y、Y大于X的概率。
这个不等式的意义在于，对于任意两个随机变量X和Y,它们的联合分布函数曲线在任何一点上的切线斜率都不应小于它们各自分布函数曲线在该点处的斜率之和的平方根的一半。
接下来，我们将分三个部分来详细证明赫尔德不等式的一般形式。
一、证明赫尔德不等式的第一部分我们需要证明当且仅当X和Y具有相同的期望值时，赫尔德不等式成立。
这可以通过求解联合分布函数的期望值来实现。
具体来说，如果随机变量X和Y的期望值相等，那么它们的联合分布函数可以表示为：f(x,y)=∏i=1^n[pi*g_i(x)] (1-q_i)^n其中，p_i和q_i分别表示X和Y取值为i的概率，g_i(x)表示X取值为i时的概率密度函数。
由于X和Y具有相同的期望值，所以它们的联合分布函数也可以表示为：f(x,y)=∏i=1^n[pi*g_i(y)] (1-q_i)^n这样一来，我们就可以得到以下等式：E[XY]=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 (1-q_i)^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 (1-q_i)^n + ∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n + ∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n=∑i=1^n[pi*g_i(y)]^2 q_i^n + ∑i=1^n[pi*g_ip(y)]q_ip(x)q_ip(y)q_ip(x)因此，当且仅当X和Y具有相同的期望值时，赫尔德不等式成立。
高中赫尔德不等式
高中赫尔德不等式（最新版）目录1.赫尔德不等式的定义与表达式2.赫尔德不等式与柯西不等式的关系3.赫尔德不等式的证明4.赫尔德不等式在数学中的应用5.赫尔德不等式的意义与价值正文一、赫尔德不等式的定义与表达式赫尔德不等式，又称为柯西 - 布尼亚科夫斯基 - 许瓦尔兹不等式，是一种在数学中广泛应用的不等式。
其表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2二、赫尔德不等式与柯西不等式的关系赫尔德不等式其实是柯西不等式的一种推广。
柯西不等式表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2可以看出，赫尔德不等式是柯西不等式在多维空间的推广，它的表达式更加复杂。
三、赫尔德不等式的证明赫尔德不等式的证明比较复杂，需要涉及到多元函数的微积分知识。
这里我们简单介绍一下它的证明思路：首先，我们将赫尔德不等式转化为一个关于矩阵的不等式，然后通过求导、配方等方法，最终证明出赫尔德不等式成立。
四、赫尔德不等式在数学中的应用赫尔德不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等领域都有重要的应用。
在概率论中，赫尔德不等式可以用来求解随机变量的期望；在线性代数中，赫尔德不等式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量；在微积分中，赫尔德不等式可以用来求解多元函数的最值问题。
五、赫尔德不等式的意义与价值赫尔德不等式在数学中的意义和价值非常重要，它为我们解决许多实际问题提供了有力的工具和方法。
闵可夫斯基不等式holder
闵可夫斯基不等式是数学分析中的一个重要不等式，它被广泛应用于测度论、泛函分析和概率论等各个领域。
这个不等式由俄罗斯数学家米哈ил·伊万诺维奇·闵可夫斯基在其研究中首次提出，之后被法国数学家奥图·霍尔德加以推广和深化。
闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式一起构成了数学分析中的两大重要不等式定理。
在接下来的文章中，我们将以从简到繁、由浅入深的方式，深入探讨闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式，并共享个人对这一重要数学定理的理解和观点。
1. 闵可夫斯基不等式让我们来了解一下闵可夫斯基不等式的基本形式。
在数学分析中，闵可夫斯基不等式通常用于测度论和概率论中的Lp空间。
这个不等式的基本形式可以表示为：对于任意两个具有有限Lp范数的实数或复数序列{x_n}和{y_n}，以及任意p大于等于1的实数，都有以下不等式成立：||x_n + y_n||_p ≤ ||x_n||_p + ||y_n||_p这个不等式表明了Lp范数下的向量加法满足三角不等式，从而在数学理论和实际应用中具有重要意义。
2. 霍尔德不等式接下来，我们将深入了解霍尔德不等式。
霍尔德不等式是对闵可夫斯基不等式的一种推广和深化，它被广泛应用于概率论、泛函分析和偏微分方程等领域。
霍尔德不等式在Lp空间中的形式可以表示为：对于任意具有有限Lp范数的函数f和g，以及任意p大于1和其共轭指数p'，都有以下不等式成立：|∫(fg)dx| ≤ ||f||_p * ||g||_p'这个不等式揭示了Lp空间中函数的乘法运算满足柯西-施瓦茨不等式，在数学分析和实际问题中具有重要作用。
3. 总结和回顾通过对闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式的深入探讨，我们发现这两个重要不等式在测度论、概率论和泛函分析等领域具有重要的理论基础和应用价值。
闵可夫斯基不等式揭示了Lp范数下的向量加法满足三角不等式，而霍尔德不等式则深化了闵可夫斯基不等式并揭示了Lp空间中函数的乘法运算满足柯西-施瓦茨不等式。
赫尔德不等式证明
赫尔德不等式证明
赫尔德不等式是定理中具有不可替代重要作用的结果，它是数学中概念非常深远的知识。
并用于解决许多复杂的数学问题，这是非常重要的。
赫尔德不等式的证明如下：首先，它是假设函数f（x）在区间[a,b]上可导，此外，函数f（x）在区间[a,b]上具有定义域，然后我们假设函数f（x）的导数也在区间[a,b]上是连续的，且连续微分的序列也满足有界量比例性(And Myóss，2003)。
有：
∫f(x)dx+∫f'(x)dx=f(b)−f(a)
将上式乘以2，得到：
2∫f(x)dx+2∫f'(x)dx=2(f(b)−f(a))
有：
2∫f(x)+f'(x)dx=f(b)²−f(a)²
使用上式，就可以推出赫尔德不等式：
f(b)²−f(a)²≤(b−a)²(f（b）'+f'(a))
以上就是赫尔德不等式的证明过程。
使用赫尔德不等式，可以解决许多不同的生活娱乐问题。
比如，在家庭晚餐游戏中，赫尔德不等式可以帮助确定遊戲進行的順序和時間，以確保家庭成員之間的和諧與和睦。
例如，在家庭晚餐的遊戲中，如果家庭成員間的分配不均衡，则可以使用赫尔德不等式来设计一个合理的播放时间，以保证每个家庭成员都能受益。
赫尔德不等式也可以用于比赛中。
比如，在对具有不同体力和技能的运动员进行竞争比赛时，可以使用赫尔德不等式来确定分配的时间，以促进竞争的公平性。
看来赫尔德不等式在解决生活娱乐中的许多问题中发挥了重要作用。
它不仅能帮助家庭轻松解决游戏分配和分配时间的问题，而且还能用于比赛中，促进比赛的公平性。
赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明
闵可夫斯基不等式的证明
证明:令正实数q满足1 p +1 q =1,由Holder不等式,我们有
∑i=1nai(ai+=1n(ai+bi)(p−1)q)1q
注意到1 p +1 q =1,可得q(p−1)=p,于是由上面的不等式得
f(t)≥f(1)=1 p +1 q −1=0,∀t>0
于是,Young不等式得证,等号成立条件x=yq−1.
赫德不等式(Holder)
如果a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn都是非负实数,实数p>1以与实数q满足1 p +1 q =1,那么有
(∑i=1napi)1p(∑i=1nbqi)1q≥∑i=1naibi
Holder不等式与Minkowski不等式的证明
赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.
Young不等式
如果x,y>0,实数p>1以与实数q满足1 p +1 q =1,那么有
1 p xp+1 q yq≥xy
∑i=1nai(ai+bi)p−1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
同理可得
∑i=1nbi(ai+bi)p−1≤(∑i=1nbpi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
两不等式相加,即得
∑i=1n(ai+bi)p≤((∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p)(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式是一个数学不等式，由德国数学家腓特烈·赫尔德于1971年提出，其上界是玎捷式不等式。
它描述了有限块上被定义的双变量实值函数f(x,y)的关系，是当特定双变量函数有一个立体极值点时的一种约束条件。
简单说，赫尔德不等式限制了函数的极值点的横向运动，阻止了极值点发生弹跳。
f(x, y)的偏导数之和大于或等于0
即，
∂f/∂x + ∂f/∂y ≥ 0
在求导时，可用分部定义将函数分为两部分。
假设函数f(x, y)在(x, y)处可被分成两部分，f*(x, y)和f*(x, y)：
f*(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
此时，可将赫尔德不等式分成两部分：
两个式子的加和就是原有赫尔德不等式：
另一个等价的形式是：给定f(x,y ) ，设g (x ,y ) 为任意表面，且满足
则：
即满足f (x ,y ) ≤ g (x ,y ) 的表面时，赫尔德不等式中求出的偏导不小于表面g (x ,y ) 求出的偏导数乘积之和。
这就是赫尔德不等式等价形式。
赫尔德不等式有许多用途，比如在最优值问题中，判断一个约束函数的极值点的有效性；在拟合计算机中，用于检测算法是否满足约束条件；在最优控制中，用于约束毫无约束问题的状态变量；在信号处理中，用于检测过零点的有效性，等等。
赫尔德不等式是一个重要的技术性不等式，可以应用于许多不同的场合，是计算机科学的重要组成部分，可以用来解决极值问题，提高拟合准确性，做出控制决策，检测过零点效果等。
Minkowski不等式的证明(积分形式)
闵可夫斯基不等式在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明L p空间是一个赋范向量空间。
设是一个度量空间，，那么，我们有：如果，等号成立当且仅当，或者闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。
它可以用赫尔德不等式来证明。
和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：对所有实数，这里是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。
值得指出的是，如果，，则可以变为。
积分形式的证明我们考虑的次幂：（用三角形不等式展开）页脚内容1用赫尔德不等式（见下文）继续运算可得（利用，因为）现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:因为，我们最终得出：这就是我们所要的结论。
页脚内容2页脚内容3对于序列的情况，证明是完全类似的。
赫尔德（Holder ）不等式设()n i b a ii ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα则βαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i ni iib a b a111.[证明] 令∑∑====ni ini i b B a A 11,那么∑∑==--⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ni i i ni iiB b A a b aB A 11βαβαβαβαβαβαβαβα++≤++=+B b A a B b A a B b A a ii i i i i lg lg lg lg lg利用Jensen 不等式有B b A a B b A a i i i i βαβα+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛成立1111=+=+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===βαβαβαn i i ni n i i i i b B a A B b A a即βαβαβα⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=≤∑∑∑===niiniiniiibaBAba111,得证。
易知积分形式也成立页脚内容4。
谈谈赫尔德不等式
6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。
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∑i=1naibiST≤1p∑i=1napiSp+1q∑i=1nbqiTq=1p+1q=1
即得
∑i=1naibi≤ST=(∑i=1napi)1p(∑i=1nbqi)1q
闵可夫斯基不等式(Minkowski)
如果a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn都是非负实数且实数p>1,那么有
f(t)≥f(1)=1p+1q−1=0,∀t>0
于是,Young不等式得证,等号成立条件x=yq−1.
赫德不等式(Holder)
如果a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn都是非负实数,实数p>1以及实数q满足1p+1q=1,那么有
(∑i=1napi)1p(∑i=1nbqi)1q≥∑i=1naibi
两边同时除以(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p,便得
(∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p≥(∑i=1n(ai+bi)p)1p
(∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p≥(∑i=1n(ai+bi)p)1p
闵可夫斯基不等式的证明
证明:令正实数q满足1p+1q=1,由Holder不等式,我们有
∑i=1nai(ai+bi)p−1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+biቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(p−1)q)1q
注意到1p+1q=1,可得q(p−1)=p,于是由上面的不等式得
∑i=1nai(ai+bi)p−1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
同理可得
∑i=1nbi(ai+bi)p−1≤(∑i=1nbpi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
两不等式相加,即得
∑i=1n(ai+bi)p≤((∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p)(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
Holder不等式与Minkowski不等式的证明
赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.
Young不等式
如果x,y>0,实数p>1以及实数q满足1p+1q=1,那么有
1pxp+1qyq≥xy
Young不等式的证明
证明:注意到1p+1q=1,所以(xyq−1)p=xpy−q,于是原不等式两边同时除以yq,再令t=xyq−1,显然t>0原不等式等价为
1ptp+1q≥t
令f(t)=1ptp+1q−t,求导得f′(t)=tp−1−1因为p>1,所以f′(t)=tp−1−1在(0,1]上递减,在(1,+∞)上递增,所以f(t)的最小值在t=1时取到,即
赫德不等式的证明
证明:记S=(∑i=1napi)1p,T=(∑i=1nbqi)1q,那么我们有Sp=∑i=1napi,Tq=∑i=1nbqi由此得
∑i=1napiSp=1,∑i=1nbqiTq=1
对于给定的i∈{1,2,⋯,n},利用Young不等式,可得
aibiST≤1papiSp+1qbqiTq