(完整版)人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义,推荐文档
(人教版)高中数学必修二-知识点、考点及典型例题解析(全)
必修(bìxiū)二第一章空间(kōngjiān)几何体知识点：1、空间(kōngjiān)几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥(yuánzhuī)、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些(zhèxiē)面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、长方体的对角线长；正方体的对角线长3、球的体积公式：，球的表面积公式：4、柱体，锥体，锥体截面积比：5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；⑵圆锥(yuánzhuī)侧面积：典型(diǎnxíng)例题：★例1：下列命题(mìng tí)正确的是( )Ａ.棱柱(léngzhù)的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥(léngzhuī)的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A 倍B 倍C 2倍D 倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱正视侧视俯视★★例4：一个(yīɡè)体积为的正方体的顶点(dǐngdiǎn)都在球面上，则球的表面积是A．B. C． D．二、填空题★例1：若圆锥(yuánzhuī)的表面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个(zhè ge)圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径(bànjìng)扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
高中数学人教版必修2知识点总结
高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k tan k α=当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
必修2 第三章 直线与方程知识点
王新敞
学案
知识点 12：已知平面上两点 P ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 1 2 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ，则 PP 特殊地： P( x, y) 与原点的距离为 OP x2 y 2 . 知识点 13：已知点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax By C 0 ，则点 P 到直线 l 的距离为： . A2 B 2 知识点 14：已知两条平行线直线 l1 Ax By C1 0 ，l2 : Ax By C2 0 ，则 l1 与 l2 的距离为
2
C.
D.不存在
5．圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和半径分别是（ ） A.(－2,0),2 B.(－2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 6．点（1，2）关于直线 y = x 1 的对称点的坐标是 （A） （3，2） （B） （3，2） （C） （3，2） 7．点（2，1）到直线 3x 4y + 2 = 0 的距离是 （A）
A2 B 2 知识点 15：巧妙假设直线方程： （1）与 Ax By C1 0 平行的直线可以假设成： Ax By C2 0 （C1 和 C2 不相等） （2）与 Ax By C 0 垂直的直线可以假设成：Bx-Ay+m=0 d C1 C2
新疆
d
Ax0 By0 C
例 7. 过点 P(4, 2) 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正半轴于 A, B 两点，当 AOB 面积最小时，求 直线 l 的方程.
例 8 点 P(x,y)在 x+y-4=0 上，则 x2+y2 最小值为多少？
巩固练习： 1．已知点 (3, m) 到直线 x 3 y 4 0 的距离等于 1，则 m （
高中数学人教版必修二自学课件第三章-直线与方程(全)讲课资料
b），求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l的直线方程： (0,b)
y - b =k （ x - 0）
即 y = k x (+2) b 。
O
x
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴
上的截距。
方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b
确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简
称斜截式。
答：不成立，因为分母为0.
直线的斜率公式
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2(x2,y2) (x1 x2)的直线的斜率公式：
和谐 ky2y1(或 ky1y2)
x2x1
x1x2
P2 P1
P1 P2
倾斜角 联姻 斜率
(形)
(数)
学以致用，举一反三
例1 、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求
例2.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论。
Y
Q P
B
A X
例3 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A（0，0），B（2，－1）， C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明.
例4、已知A（-6，0），B（3，6）， P（0，3）Q（6，6），判断直线AB 与PQ的位置关系。
两点之间最短的距离并不一定是直线!
我们可以选择有困难绕过去，有障碍 绕过去，也许这样做事情更加顺利!
思考题：若直线的斜率k满足：3k
3 3
,
则直线的倾斜角的范围是
．
[0,)[2,)
63
y
3
3
高二数学必修2直线与方程知识点专题----2--60
必修二直线与方程知识点1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 090,tan 0k αα︒≤<︒=≥； 90180,tan 0k αα︒<<︒=< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式是211221()y y k x x x x -=≠-.③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 2、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11x x k y y -=-),(11y x 为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式b kx y +=k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式1=+bya x a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有121212//,l l k k b b ⇔=≠注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行.一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则1212211221//,l l A B A B AC A C ⇔=≠注：1212211221=,l l A B A B AC A C ⇔=与重合1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A（2）两条直线垂直斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=- 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则0212121=+⇔⊥B B A A l l4、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x5、 直线系方程 （1）过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-*②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中 （2）平行垂直直线系①平行于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Ax By C ++= ②垂直于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Bx Ay C -+= 6、两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立. 7、几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P-+-= 特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=（2）点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=（3）两条平行线间的距离两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212BA C C d +-=注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8、有关对称问题 （1）中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程.（2）轴对称 ①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x ？ 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠） ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.。
新人教版数学必修二第三章 直线与方程
必修2 新高考（RJA）第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率三维目标1．知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线倾斜角的唯一性．(3)理解直线斜率的存在性．(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法．三维目标3．情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价的能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点[重点]直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式．[难点]两点式斜率公式的推导．教学建议1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，让学生了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线的方向或两个点，两个点可以确定直线的方向，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的．2．教学中可通过引导学生讨论倾斜角的范围，刻画直角坐标系中直线的倾斜程度，使学生感受直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.3．本小节从一个具体的一次函数与它的图像入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅入深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要.新课导入新课导入预习探究直线的倾斜角x轴正向直线l向上方向直线l与x轴平行或重合预习探究错[解析]不一定，也可能与x轴重合．直线的斜率 预习探究k ＝tanα倾斜角α的正切值倾斜角斜率没有k ＝0k >0k 不存在k<0预习探究k ＝同时交换垂直90°不存在平行或重合00°预习探究[解析] 不是．若直线没有斜率，则这条直线的倾斜角应为90°.备课素材备课素材考点类析考点类析A考点类析A直线的倾斜角问题 [基础夯实型]考点类析D考点类析考点类析斜率公式的应用 [重点探究型]考点类析考点类析考点类析备课素材备课素材图313当堂自测当堂自测当堂自测备课素材备课素材3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.1 直线的倾斜角与斜率三维目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直． 2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．重点难点[重点]两条直线平行和垂直的条件．[难点]启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题转化为研究两条直线的斜率的关系问题．教学建议直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比的方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别．值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也需要说明．新课导入新课导入 k 1=k2两条直线平行预习探究预习探究两条直线垂直 预习探究备课素材考点类析两条直线的平行问题 [重点探究型]考点类析考点类析考点类析考点类析三点共线问题 [重点探究型]考点类析考点类析。
人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义全
必修二直线与方程专题讲义1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的围000180α≤<.④ 090,tan 0k αα︒≤<︒=≥； 90180,tan 0k αα︒<<︒=< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式是211221()y y k x x x x -=≠-.③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 2、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有121212//,l l k k b b ⇔=≠注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行.一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则1212211221//,l l A B A B AC A C ⇔=≠注：1212211221=,l l A B A B AC A C ⇔=与重合1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A（2）两条直线垂直斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则0212121=+⇔⊥B B A A l l4、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x5、 直线系方程 （1）过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中（2）平行垂直直线系①平行于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Ax By C ++= ②垂直于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Bx Ay C -+= 6、两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立. 7、几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-= 特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=（2）点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=（3）两条平行线间的距离两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212BA C C d +-=注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8、有关对称问题 （1）中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程.（2）轴对称 ①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x ？ 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠） ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f9、直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： （1）在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值，① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , ② 若点B A 、位于直线的异侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点.可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值， 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点. ② 若点B A 、位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B , (3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”. 10、直线过定点问题 （1）含有一个未知参数，12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （1）令202-=⇒=+x x ，将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(- （2）含有两个未知参数0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒7371y x ，从而该直线必过定点)73,71(-.。
人教版高中数学必修第二册直线的方程课件
注： a , b表示截距； （1） （2）截距式不能表示过原点以及与坐标轴平 行的直线。
练习2：写出下列直线的截距式方程 (1)x轴上的截距是2，y轴上的截距是3； (2)x轴上的截距是4，y轴上的截距是6；
1 1 (3)x轴上的截距是 ，y轴上的截距是 2 2
练习3： 三角形的顶点是 A(5,0), B(3,3), C (0,2)， 求这个三角形三边所在直线的方程。
练习1：求过下列两点的直线的两点式方程， 再化成斜截式方程：
(1) A(2,1), B(0,3); (2) A(0,5), B(5,0); (3) A(4,5), B(0,0); (4) A(a,0), B(0, b)(其中a 0, b 0).
4.直线方程的截距式
x y 1 a b
直线方程 已知条件 的名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式
直线方程
使用范围
y y1
x x1
3.直线的两点式方程
y y1 y 2 y1
பைடு நூலகம்
x x1 x 2 x1
注： (1)两点式不能表示倾斜角是 0 或 90 的直线； ( y y1 )(x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) 能表 (2) 示平面内任何一条直线。
直线的方程
直线 方程 名称 已知 条件 直线方程 使用范围
点 点 P (x , y ) 能表示倾 0 0 0 y y0 k ( x x0 ) 斜角不是 斜 式 和斜率k 90 的直线 斜 截 式 斜率k和直 线在y轴上 的截距
y kx b
能表示倾 斜角不是 90 的直线
1.应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的 直线方程
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(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) 是直线上两 不包括垂直于 x 轴和
定点
y 轴的直线
1
截距式
x y 1 ab
a 是直线在 x 轴上的非零截 距， b 是直线在 y 轴上的非
零截距
不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线
一般式
Ax By C 0 (其中A, B不同时为0）
A ， B ， C 为系数
（2）点到直线的距离
3
点 P (x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0 的距离 d Ax0 By0 C A2 B2
（3）两条平行线间的距离
两条平行线l1 : Ax By C1 0 , l2 : Ax By C2 0 间的距离 d C2 C1 A2 B2
注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； ②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能
4、线段的中点坐标公式
若两点 P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) ，且线段 P1 , P2 的中点 M 的坐标为(x, y) ，则
x x1 x2
y 2y y 1 2
2
5、 直线系方程
（1）过定点的直线系
①斜率为 k 且过定点(x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k (x x0 )
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
y y1 k (x x1)
(x1, y1) 为直线上一定点， k 为斜率
不包括垂直于 x 轴的 直线
斜截式
y kx b
k 为斜率， b 是直线在 y 轴 不包括垂直于 x 轴的
上的截距
直线
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
(其中x1 x2 , y1 y2 )
套用公式计算.
8、有关对称问题
（1）中心对称
x 2a x1
①若点
M (x1 , y1 )
及
N (x2 , y2 )
关于
P(a, b)
对称，则由中点坐标公式得
y
2b1 y
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出
它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利
②垂直于已知直线 Ax By C 0 的直线系 Bx Ay C1 0
6、两条直线的交点
设两条直线的方程是l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2 x B2 y C2 0 两条直线的交点
A1x B1 y C1 0
坐标就
2
0 的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
②过两条直线l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B2 y C2 0 的交点的直线系方程为
A1x B1y C1 (A2x B2 y C2 ) 0 （ 为参数），其中直线 l2 不在直线系中
（2）平行垂直直线系
①平行于已知直线 Ax By C 0 的直线系 Ax By C1 0
无限制，可表示任何 位置的直线
注：过两点 P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）
1 若 x1 x2且y1 y2 ，直线垂直于 x 轴，方程为 x x1；
2 若 x1 x2且y1 y2 ，直线垂直于 y 轴，方程为 y y1 ；
必修二直线与方程专题讲义
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
1 关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与 x 轴相交;
ⅱ.x 轴正向;
ⅲ.直线向上方向.
2 直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 .
3 倾斜角 的范围00 1800 .
4 0 90,k tan 0；
（2）直线的斜率
3 若 x1 x2且y1 y2 ，直线方程可用两点式表示）
3、两条直线平行与垂直的判定
1
两条直线平行
斜截式：对于两条不重合的直线l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2 ，则有
l1 / /l2 k1 k2 , b1 b2 注：当直线l1 , l2 的斜率都不存在时， l1与l2 的关系为平行. 一般式：已知 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2 x B2 y C2 0 ，则
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.
7、几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点 P (x , y ), P (x , y ) 间的距离公式 PP
11 1 2 2 2
12
(x
2
x
)2
1
(
y
2
y
)2 1
特别地，原点O(0,0) 与任一点 P(x, y) 的距离 OP x2 y2
l1 / /l2 A1B2 A2 B1 , A1C2 A2C1
注： l1与l2 合 A1B2 =A2B1, A1C2 A2C1
l1 与l2 相交 A1B2 A2 B1 0
2 两条直线垂直
斜截式：如果两条直线l1 , l2 斜率存在，设为 k1 , k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1, l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果l1, l2中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时， l1与l2 互相垂直.
2
一般式：已知 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2 x B2 y C2 0 ，则
l1 l2 A1 A2 B1B2 0
90 180,k tan 0
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900 的直线斜率不存在.
②经过两点 P (x , y ), P (x , y ) 的直线的斜率公式是 k y2 y1(x x ) .
11 1 2 2 2
2
x2 x 1 1
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 2、直线方程的几种形式
用l1 // l2 ，由点斜式得到所求直线方程.
（2）轴对称 ①点关于直线的对称
若两点 P1(x1, y1) 与 P2(x2 , y2 ) 关于直线l : Ax By C 0 对称，则线段 P1P2的中点