第四节 随机事件的概率
随机事件的概率
古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用. 箱中摸球 分球入箱
随机取数 是常见的几种模型 .
分组分配
三、概率的几何定义
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法. 请看演示 几何概率
n n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P 4 3 2 24
3 4
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n回地摸取3张
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理
设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm …； 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
一、概率的统计定义
1、频率
若设n A是n次试验中事件 A发生的次数， nA 则比值 称为事件A发生的频率，记为 n n A f n ( A)，即 f ( A)
n
n
nA称为事件A发生的频率。
频率具有下列性质： 性质1
性质2 性质3
0 f n ( A) 1
f n ( ) 1
若事件A与事件B互斥，即AB ，则 f n ( A B ) f n ( A) f n ( B )
随机事件的概率
概率也是0.25，而一正一反的概率为0.5.上述实验告诉我们，随机试验在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中蕴含着规律性.认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确的预测随机事件发生的可能性.<3>不一定，买一千次彩票，等于做一千次实验，因为每次实验结果都有随机性，所以买一千张不一定中奖.虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中也有规律性.随着实验次数的增加，即随着所买彩票张数的增加，其中中奖彩票所占的比例可能越接近于1/1000.例2：在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性.答案：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5.这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5.事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的.例3：某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因，一班必须参加，另外再从二班至十二班中选1个班.有人提议用如下方法：抛掷两枚骰子，得到的点数和诗几，就选几班，你认为这种方法公平吗？答案：这种方法不公平，如课本图标所示，投掷两个骰子总共会产生36种结果，但点数和是2的只有一种，点数和是7的有6种，这样选2班的概率是1/36，选7班的概率是1/6，显然此做法不公平.例4：1.某地气象局预报说，明天本地降水概率为0.7，你认为下列两个解释哪一个能代表气象局的观点?(1)明天本地有0.7的区域下雨，0.3的区域不下雨.（2）明天本地下雨的机会是0.7.2.天气预报说昨天降水概率是0.9，结果根本一点雨也没下，天气预报页太不准确了，学了概率后，你能给出解释吗？答案：（2）是正确的.天气预报的降水是一个随机事件，因此昨天没有下雨并不说明昨天的降水概率为0.9的天气预报是错误的.巩固练习1、先后抛掷两枚质地均匀的硬币.（1）一共可以出现多少种不同的结果？（4种）（2）出现“一枚正面、一枚反面“的结果有几种？（两种）2、判断正误（1）如果一件事情发生的机会只有十万分之一，它就不可能发生（错）（2）如果一件事情发生的概率是0.995，那么它一定发生（错）（3）如果一件事情不是不可能发生，它就必然发生(错)（4）如果一件事情不是必然发生的，那么它就不可能发生（错）3、某种病治愈率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人就一定治愈吗？总结讲解了几个概率的实例，有助于学生更为全面的理解概率.导入当几个集合是有限集时，常用列举法列出集合中的元素，求集合A∪B和A∩B中的元素个数. A∩B中元素个数即为集合A与B中公共元素的个数.而当A∩B≠φ时，A∪B的元素个数即为A、B中元素的个数减去A∩B中的元素个数.本节要学习的互斥事件和对立事件与集合之间的运算有着密切的联系，学习中要仔细揣摩，认真体会.知识整理<1>什么是包含关系.有什么需要注意的地方？结论：<1>一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B⊇A或者A⊆B.任何事件都不包含的事件成为不可能事件，记作φ注意：①与集合类比，B包含于A，如图②不可能事件记作φ，显然c⊇φ③事件A也包含于事件A，即A⊆A.例如，在掷骰子试验中，{出现1，3，5点}⊆{出现的点数为奇数}<2>什么是相等关系？有哪些需要注意的地方？结论：<2>如果B⊇A且A⊇B，那么称事件A和事件B 是相等的，记作A=B.注意：①两个相等事件A、B总是同时发生或同时不发生.②所谓A=B，就是A、B是同一个事件，有些时候在验证两个事件是否相等时，是非常有用的，在许多情况下，可以说是唯一的方法.<3>什么是并（和）事件？有哪些需要注意的？结论：<3>若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）.注意：①与集合定义类似，如图②事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件，即A∪B=B∪A.③并事件的发生有三层意思：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A、B同时发生，即事件A、B中至少有一个发生.例如，在掷骰子的试验中，事件C1∪C5表示出现1点或5点这个事件，即C1∪C5={出现1点或5点}.<4>什么是交（积）事件？有什么需要注意的？结论：<4>若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）.注意：①用集合形式表示如图②事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B=B∩A.例如，在掷骰子的试验中，{出现的点数大于3}∩{出现的点数小于5}={出现的点数为4}.<5>什么是互斥事件？有什么需要注意的？结论：<5>若A∩B为不可能事件，即A∩B= ，那么称事件A与事件B互斥.注意：①A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生.②如果事件A与事件B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.③与集合类比，如图所示④推广：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个互斥，就称事件A1，A2，…，A n为彼此互斥事件.例如：在一次投掷骰子的试验中，C1，C2，C3，C4，C5，C6为彼此互斥事件.<6>什么是对立事件？有什么需要注意的？结论：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B为对立事件.注意：①事件A与事件B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生，事件A在事件B在一次试验中不会同时发生.②对立事件是针对两个事件来说的，一般的说，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件互斥，则未必是对立事件.③对立事件是一种特护的互斥事件，若事件A与事件B是对立事件，则A与B互斥，且A∪B（或A+B）是必然事件.④从集合角度来看，事件A的对立事件是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集.⑤在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中一个，并且也必然发生其中之一.<7>概率P（A）的取值范围是什么？结论：<7>由于事件的频数总是小于或等于实验的次数，所以频率在0和1之间，从而任何事件的概率都在0到1之间，即0≤P（A）≤0.注意：必然事件B一定发生，则P(B)=1；不可能事件C一定不发生，因此P(C)=0.<8>概率的加法公式是什么？结论：<8>当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率f n(A∪B)=f n(A)+f n(B),则概率的加法公式为：P(A∪B)=P(A)+P(B).关于互斥事件我们应注意以下几点：①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用.②如果事件A,B,C,D,…互斥，则P（A+B+C+D+…）=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+…③在求某些稍复杂的事件概率时，可以将其分解成一些概率较易求的彼此互斥事件，化难为易.<9>对立事件的概率公式是什么？结论：<9>若事件A与事件B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=1，又P（A∪B）=P(A)+P(B)，所以P(A)=1-P(B).注意：①公式使用的前提必须是对立事件，否则不能应用此公式.。
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第四节 随机事件的概率与古典概型
发生的可能性大小都相等
(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古
典概率模型,简称为古典概型.
(2)公式:假设样本空间含有n个样本点,如果事件C包含有m个样本点,则
P(C)=
.
(3)古典概型的概率性质:
①0≤P(A)≤1;
②P()=1-P(A),即 P(A)+P()=1;
可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的
路径.
解 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有
12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为
44
P= =0.44.
100
(2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,故由调查结果得频率为
续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0
1
2
3
4
保费/元
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
≥5
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案随机事件的概率1
第四节 随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意 义，了解频率与概率的区别． 了解两个互斥事件的概率加法公式． 知识点一 概率与频率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记作P (A )．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0.易误提醒 易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．[自测练习]1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：35知识点二 互斥事件和对立事件 事件定义性质互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，(事件A ，B是互斥事件)；P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(事件A 1，A 2，…，A n 任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A 和A 称为对立事件P (A )＝1－P (A )易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[自测练习]3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．答案：A4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.答案：A考点一 事件的关系|1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥也不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω，故事件B ，C 是对立事件．答案：D2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．答案：A3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日123456789101112131415 期天晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴气日161718192021222324252627282930 期天晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨气．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．[解](1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案：32 0.437 5考点三 互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ， 所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. 31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．[解] (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[思想点评] (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义． (2)正确判定事件间的关系，善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．(3)需准确理解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：CA 组 考点能力演练1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件． 答案：B2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：A3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.答案：D4．(2016·云南一检)在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34 B.58 C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.答案：C5．(2015·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.答案：A6．(2016·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：297．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6， 又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35， ∴P (B )＝0.25. 答案：0.258．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19289．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则 G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.2．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。
随机事件的概率
第4节随机事件的概率课时训练练题感提知能【选题明细表】一、选择题1.下列说法:①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率;③百分率是频率,但不是概率;④频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的是( A )(A)①④⑤(B)①②④(C)①③(D)②⑤解析:由频率与概率的定义知①④⑤正确,故选A.2.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( C )(A)对立事件(B)不可能事件(C)互斥但不对立事件(D)不是互斥事件解析:显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给乙、丙两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.故选C.3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙均属于次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件,恰好得正品的概率为( D )(A)0.99 (B)0.98(C)0.97 (D)0.96解析:P=1-0.03-0.01=0.96.故选D.4.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是( C )(A)至多有1次中靶 (B)2次都中靶(C)2次都未中靶(D)只有1次中靶解析:由题知总的事件有(中、中),(中、不中),(不中、中),(不中、不中)四个基本事件,所以至少有1次中靶的对立事件为2次都不中.故选C.5.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( D )(A)60% (B)30% (C)10% (D)50%解析:甲不输包括甲获胜与甲、乙和棋两个互斥事件,故所求事件的概率为90%-40%=50%.故选D.6.(2013四川绵阳第一次摸底)下列三个命题:①对立事件一定是互斥事件;②A、B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);③若事件A、B、C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1.其中错误命题的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:对立事件是特别的互斥事件,故①正确;当两个事件A、B不互斥时,P(A+B)≠P(A)+P(B),故②错误;若事件A、B、C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)≤1,故③错误.总之有错误命题2个.故选C.7.某城市某年的空气质量状况如表所示:其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市这年空气质量达到良或优的概率为( A )(A)(B) (C)(D)解析:所求概率为++=.故选A.8.(2014四川自贡模拟)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:由于“至少出现一次6点向上”的对立事件是“没有一次出现6点”,故所求概率为P=1-3=1-=.二、填空题9.下列四个命题中,真命题的序号为.(1)将一枚硬币抛掷两次,设事件A:“两次都出现正面”,事件B:“两次都出现反面”.则事件A与事件B是对立事件;(2)在命题(1)中,事件A与事件B是互斥事件;(3)在10件产品中有3件是次品,从中任取3件.事件A:“所取3件中最多有2件是次品”.事件B:“所取3件中至少有2件是次品”,则事件A与事件B是互斥事件.(4)两事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.解析:(1)抛掷两次硬币,共有四种情况,所以A和B不是对立事件,但是互斥事件,所以(1)是假命题;(2)是真命题;(3)中事件A与B可能同时发生,不是互斥事件,所以(3)是假命题,命题(4)为真命题.答案:(2)(4)10.据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1,则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为.解析:所求事件的概率为0.4+0.5=0.9.答案:0.911.某次知识竞赛规则如下:主办方预设3个问题,选手能正确回答出这3个问题,即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3,则该选手晋级下一轮的概率为.解析:记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问题”为事件C,这3个事件彼此互斥,“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D,则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件, 显然P()=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.3=0.6,故P(D)=1-P()=1-0.6=0.4.答案:0.412.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若红球有21个,则黑球有个.解析:摸到黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3.设黑球有n个,则=,故n=15.答案:1513.盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内一次性取3个球.则取出的3个球得分之和恰好为1分的概率是.解析:记“取出1个红色球,2个白色球”为事件A,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件B,则取出3个球得分之和为1分的事件为“A+B”,则P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.答案:三、解答题14.对一批衬衣进行抽样检查,结果如表:次品率(1)求次品出现的频率(次品率);(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A,求P(A);(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售1000件衬衣,至少需进货多少件?解:(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.(2)由(1)知,出现次品的频率在0.05附近摆动,故P(A)=0.05.(3)设进衬衣x件,则x(1-0.05)≥1000,解得x≥1052,故至少需进货1053件.15.一口袋内装有5个白球和3个黑球,从中任取两球.记“取到一白一黑”为事件A1,“取到两白球”为事件A2,“取到两黑球”为事件A3.解答下列问题:(1)记“取到2个黄球”为事件M,判断事件M是什么事件?(2)记“取到至少1个白球”为事件A,试分析A与A1、A2、A3的关系. 解:(1)事件M不可能发生,故为不可能事件.(2)事件A1或A2发生,则事件A必发生,故A1⊆A,A2⊆A,且A=A1+A2.又A∩A3为不可能事件,A∪A3为必然事件,故A与A3互为对立事件.16.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?解:分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件,根据已知得到解得即得到黑球、黄球、绿球的概率分别为、、.。
第四讲 随机事件的概率-高考状元之路
第四节 随机事件的概率知识梳理 1．事件(1)在条件S 下， 的事件，叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下， 的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)在条件S 下， 的事件，叫做相 对于条件S 的随机事件． 2．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次实验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例 )(A f n 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率)(A f n 随着试验次数的增加稳定于概率),(A P 因此可以用 来估计概率).(A p 3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围： (2)必然事件的概率 (3)不可能事件的概率 (4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则 (5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则AUB 为必然事件典题热身1．从6个男生、两个女生中任选3人则下列事件中必然事件是 （ ）A.3个都是男生 B ．至少有1个男生 C ．3个都是女生 D ．至少有1个女生 解析：因为只有两个女生，任选3人，则至少有1人答案:B 2．已知集合},8,6,4,2,0,1,3,5,7,9{-----=M 从集合M 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点观察点的位置，则事件A={点落在x 轴上}与事件B={点落在y 轴上}的概率关系为 （ ))()(.B p A P A > )()(.B P A P B < )()(P .B P A c = )()(.B P A P D ⋅、大小不确定解析；横坐标与纵坐标为O 的可能性是一样的. 答案：C3．某人伍新兵在打靶练习中，连续射击两次，则事件“至少1次中靶”的对立事件是 ( ) A ．至多有1次中靶 B.两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有1次中靶解析：事件“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶两次”两种情况，由对立事件的定义，可知“两次都不中靶”与之对立，故选C ． 答案：C4．下列说法正确的有 (①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A 发生的概率P(A)总满足;1)(0<<A P④若事件A 的概率趋近于O ，而,0)(>A P 则A 是不可能事件． A.O 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：由概率的定义知①正确；由基本事件的概念知②正确；对任意事件,1)(0,≤≤A P A 当A 是不可能事件时,0)(=A p 当A 是必然事件时，,1)(=A p 故③不正确}④中)(A P 趋近于 O ，说明事件A 发生的概率很小，但仍有可能发生，不是不可能事件，故④不正确，综上应选C 答案：C5． 袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35，那么黑球共有 个.解析：设红球、白球各有x 个和y 个，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,35.0100,40.0100y x∴ ⎩⎨⎧==.35,40y x ∴黑球的个数为.253540100=-- 答案：25【例1】盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球． (1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解析：(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0．(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是⋅94 (3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1．(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解析：(1)击中10球的频率依次为0.8，0.95，0.88.，0.93，0.89,0.906． (2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9．【例3】一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球．4个黑球，两个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：（1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解析：记事件A={任取1球为红球}； B={任取1球为黑球}；C={任取1球为白球}；D={任取l 球为绿球}， 则⋅====121)(,122)(,124)(,125)(D P C P B P A P (1)取出1球为红球或黑球的概率为⋅=+=+=43124125)()(P 1B P A P (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为⋅=++=++=1211122124125)()()(2C P B p A P p (或⋅=-=-=)12111211)(12D P p技法巧点………．(1)必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．(2)必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：.1)(0≤≤A P(3)随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率nm总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A 的概率．(4)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用)(1)(A P A p -=可得解．失误防范………．1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A的对立事件压所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．随堂反馈1．(2010．揭阳模拟)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥事件但不是对立事件D ．以上答案都不对 解析：由互斥事件和对立事件的概念可判断. 答案：C 2．（2011．长沙模拟）已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是 ( ) A ．合格产品少于9件 B ．合格产品多于9件 C ．合格产品正好是9件 D ．合格产品可能是9件解析：因为产品的合格率为90%，抽出10件产品，则合格产品可能是9%9010=⨯件，这是随机的． 答案：D 3．（2011．济宁月考）现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为 ( )51.A 52.B 53.c 54.D 解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和，)()()()(E P D P B p E D B p ++=∴515151++=⋅=53 答案：C4．(2011．临沂联考)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 （ ）121.A 101.B 253.c 12512.D解析： ∵ 每条棱上有8块，共8×12= 96块， ∴ 概率为⋅=12512100096 答案：D5．（2011．宁波十校联考）将一枚骰子抛掷两次，若先后点数分别为b ，c ，则方程02=++c bx x 有实根的概率为 （ ）3619.A 21.B 95.c 3617.D 解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为.42c b ≥由此可见，使方程有实根的基本事件个数为++++6421,196=于是方程有实根的概率为⋅=3619p 答案：A一、选择题…………1．（2011．浙江高考）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书l 本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 ( )51.A 52.B 53.c 54.D 解析：语文、数学只有一科的两本书相邻，有482232222=A A A 种摆放方法，语文、数学两科的两本书都相邻，有24332222=A A A 种摆放方法，而五本不同的书排成一排总共有12055=A 种摆放方法，故所求概率为,5212024481=+-故选B ． 答案：B2．(2011．课标全国卷)有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )31.A 21.B 32.c 43.D 解析：甲、乙两人都有3种选择，共有933=⨯种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况,∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率,3193==P 故选A ．答案：A3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高，160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160，175]的概0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为 ( ) 2.0.A 3.0.B 7.0.C 8..D 解析：“身高超过175 cm”与“身高超不过175 cm”是对立事 件，故所求概率为.3.05.02.01=-- 答案：B4．某城市2010年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50≤T 时，空气质量为优；10050≤<T 时，空气质量为良；150100≤<T 时，空气质量为轻微污染，该城市2010年空气质量达到良或优的概率为 （ ）53.A 1801.B 191.c 65.D 解析：由表知空气质量为优的概率为,101空气质量为良的概率为,21633161==+故空气质量为优或良的概率为+101⋅=5321 答案：A5．（2011．天津模拟）某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为 ( )361.A 601.B 52.c 53.D 解析：由题意可知男生有60-24=36(人)，故男生选中的概率为⋅=536036 答案：D6．(2011．益阳调研)福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为 ( )101.A 51.B 53.C 54.D解析：本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，先甲选后乙选的方法有5×4-20种，甲选中乙没有选中的方法有2×3=6种，概率为,103206=乙选中甲没有选中的方法有2×3=6种，概率为,103206= ∴ 恰有一个被选中的概率为⋅=+53103103 答案：C二、填空题…7．（2010．莱芜模拟）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、o.l ，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ．解析：依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1- (0.2十0.3=0.5)． 答案：0.58. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是____ ．解析：从长度为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2，3，4)、(2，4，5)、(3，4，5)三种，故所求概率为⋅=43p 答案：43 9．（2011．广州调研）甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.95.0)75.01)(8.01(1=---答案：0.95三、解答题10. (2011．杭州调研)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解析：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率⋅==532012)(A p (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ， 则事件B 的概率⋅=-=1092021)(B p11．(2011．佛山模拟)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为,41得到黑球或黄球的概率是,125得到黄球或绿球的概率是,21试求得黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解析：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D ．由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++,21)()(,125)()(,1)()()(41D P C P c P B P D p C P B p 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅===31)(,61)(,41)(D P C P B p ∴ 得到黑球、黄球、绿球的概率分别是⋅31,61,4112.（2011．温州五校联考）某商场举行抽奖活动，从装有编号 O ，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，求：(1)中三等奖的概率； (2)中奖的概率．解析：设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回的取两个共有(O ，O)，(O ，1)，(O ，2)，(O ，3)，(1，O),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,o)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共有16种不同的方法． (1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：(O,3),(1,2),(2,1),(3,O).故⋅==41164)(A p (2)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1，3)，(2，2)，(3，1)，两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)，故⋅=++=169162163164)(B P。
随机事件的概率
6 1 （3）所求的概率为P(B)= 216 36
答：在3次抛掷 中，向上的数之和为10的概率是
1 36
2.某人有5把钥匙，但忘记开房门的是哪能一把，逐把试开，
问：⒈恰好第三次打开房门锁的概率是多少？⒉三次内打 开房门锁的概率是多少？⒊如5把内有2把房门钥匙，三次 内打开的概率是多少？ 〔答：⒈ 1/5 ⒉ 3/5 ⒊ 9/10 〕 小结：求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果 的可能性认为是相等的；其次是通过一个比值的计算来确 定随机事件的概率，并不需要通过大量重复试验，因此， 从方法上来说这一节所提到的方法，要比上一节所提到方 法简便得多，并且具有实用价值。
（3）由于正方体玩具是均匀的，所以36种结果是 等可能出现的,记“向上的数之和是5”为A事件，则
4 1 P ( A) 36 9
答：抛掷 玩具2次，向上的数之和为5的概率是1/9。
练 1
习
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1、2、3、 4、5、6。将这个玩具先后抛掷3次，计算：（1）一共有 多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有 多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？ 解：（1）将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数有6种 结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具掷 3次 一共有6×6×6=216 种不同的结果 答：先后抛掷 正方体玩具3次， 一共有216种不同的结果。 （2）在上面所有结果中，向上的数之和为5的结果有 (1,2,2,).(2,1,2),(2,2,1);(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3)这6种,
6 5· 4·
7 6
8 7
9 8
10 9 8
11 10 9 8 7 6
12 11
随机事件的概率
背景：在自然界和实际生活中，常会
遇到各种各样的现象，从结果能否预 知的角度来看，可以分两类，一类现 象的结果总是确定，为确定现象，另 一类的结果是无法预知的，为随机现 象，确定性现象易掌握，随机现象具 有不确定性，因此成为人们研究的重 点，随机现象的结果叫随机事件, 事件：试验加结果
30000
72088
14984
36124
0.4996
0.5011
表2:某批乒乓球产品质量检查结果表 抽取球数(n) 优等品种m 优等品频率( )
m n
50 45 0.9
100 92 0.92
200 194 0.97
500 470 0.94
1000 954 0.954
2000 1902 0.951
表三、某种油菜籽在相同条件下的发芽试验
判断下列是否正确？ （1）某人做了 10 次抛骰子试验，正面向上 的次数为 4 次，则正面向上的概率为 0.4。 （2）一个事件的概率为 0.8，则重复 100 次 试验该事件发生的次数一定是 80 次。 （3）概率为 0 的事件一定为不可能事件。 （4）概率为 1 的事件一定为必然事件
例、某人在同一条件下进行射击， 结果如下表所示：
射击次 10 数（n）
击 中 靶 心 次 数 （m） 击 中 靶 心 频 率 （m/n）
50 20
100 49
200ห้องสมุดไป่ตู้90
500 220
800 360
8
(1)填好表格，并算出击中靶心的概 率约为多少？ (2)这个射手设计 1600 次估计击中 靶心的次数约为多少？
；/qm_yeqm 婴儿起名 ；
观察下列事件： （1） 导体通电时，发热； （2） 某人射击一次，中靶； （3） 抛一石块，下落； （4） 抛一枚硬币，正面向上； （5） 发明“永动机” ，成功；
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新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
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考纲要求： 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳 定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2.了解两个互斥事件的概率加法公式．
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1．事件的分类
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答案： (1)√ (7)× (8)×
(2)√
(3)√
(4)√
(5)√
(6)×
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2．把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、 丙、丁四个人，每人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与事件 “乙分得红牌”是( A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对 )
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(2)设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”， 结论乙：“概率满足 P(A) ＋ P(B) ＝ 1”，则甲是乙的 ( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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(3)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通 卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概 3 7 率是 ，那么概率是 的事件是( 10 10 A．至多有一张移动卡 C．都不是移动卡 )
B．恰有一张移动卡 D．至少有一张移动卡
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[ 听前试做 ]
(1) ③中 “ 至少有一个是奇数 ”
即“两个奇数或一奇一偶”，而从 1～7 中任取两 个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件： “两个都是奇数”、 “一奇一偶”、 “两个都是偶 数 ” ，故 “至少有一个是奇数 ” 与 “ 两个都是偶 数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
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(5)对立事件一定是互斥事件， 互斥事件不一定是对立 事件．( ) ) )
(6)若事件 A 发生的概率为 P(A)，则 0<P(A)<1.( (7)事件 A，B 为互斥事件，则 P(A)＋P(B)<1.(
(8)事件 A，B 同时发生的概率一定比 A，B 中恰有一 个发生的概率小．( )
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2．频率和概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事 件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA nA 为事件 A 出现的频数， 称事件 A 出现的比例 fn(A)＝ n 为事件 A 出现的频率．
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(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增 加，事件 A 发生的 频率fn(A) 稳定在某个常数上，把这 个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率．
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(2)若事件 A 与事件 B 是对立事件， 则 A∪B 为必然 事件，再由概率的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚 硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B： 7 1 “3 次出现正面”，则 P(A)＝ ，P(B)＝ ，满足 P(A)＋ 8 8 P(B)＝1，但 A，B 不是对立事件．
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[探究 1] 的概率． 在本例条件下， 估计顾客购买乙或丙
217＋98 解： 法一： 顾客购买乙而不购买丙的概率为 ＝ 1 000 0.315， 100＋300 顾客购买丙而不购买乙的概率为 ＝0.4， 1 000 200 顾客既购买乙又购买丙的概率为 ＝0.2. 1 000 故顾客购买乙或丙的概率为 0.315＋0.4＋0.2＝0.915.
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解析：根据题意，个位数字与十位数字 之和为奇数且不超过 5 的两位数有： 10,12,14,21,23,30,32,41,50，共 9 个，其中个 位是 1 的有 21,41，共 2 个，因此所求的概率 2 为 . 9
2 答案： 9
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(3)与(1)同理，可得： 200 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ＝0.2， 1 000 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100＋200＋300 ＝0.6， 1 000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ＝0.1. 1 000 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的 可能性最大．
5．从某班学生中任意找出一人，如果该 同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2，该同学 的身高在[160,175]的概率为 0.5， 那么该同学的 身高超过 175 cm 的概率为________．
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解析：由对立事件的概率可求该同学的身 高超过 175 cm 的概率为 1－0.2－0.5＝0.3. 答案：0.3
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[听前试做] (1)从统计表可以看出， 在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾 200 客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ＝0.2. 1 000
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(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客 同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种 商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种 100＋200 商品的概率可以估计为 ＝0.3. 1 000
(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等 奖．设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪ B∪C. ∵A、B、C 两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 1＋10＋50 61 ＝ ＝ . 1 000 1 000 61 故 1 张奖券的中奖概率为 . 1 000
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1 (1)P(A)＝ ， 1 000
[听前试做]
10 1 P(B)＝ ＝ ， 1 000 100 50 1 P(C)＝ ＝ . 1 000 20 1 1 1 故事件 A， B， C 的概率分别为 ， ， . 1 000 100 20
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解析：选 C 断，应选 C.
由互斥事件和对立事件的概念可判
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3．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是________．
答案：0.90
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4．记一个两位数的个位数字与十位数字的和 为 A.若 A 是不超过 5 的奇数，从这些两位数中任 取一个，其个位数为 1 的概率为________．
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3．事件的关系与运算
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4.概率的几个基本性质 [0,1] (1)概率的取值范围： ． (2)必然事件的概率 P(E)＝ 1 . (3)不可能事件的概率 P(F)＝ 0 . (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥， 则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)． 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事 件，P(A∪B)＝ 1 ，P(A)＝ 1－P(B) ．
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解：(1)在容量为 30 的样本中，不下雨的 天数是 26， 以频率估计概率， 4 月份任选一天， 26 13 西安市不下雨的概率为 ＝ . 30 15
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(2) 称相邻的两个日期为 “ 互邻日期对 ”( 如， 1 日与 2 日，2 日与 3 日等)．这样，在 4 月份中，前一 天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨 7 的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 . 8 7 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 . 8
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(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡， 一张联通卡 ” ， “ 两张全是联通卡 ” 两个事 件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件．
答案：(1)C
(2)A
(3)A
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对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于 对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然 事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时， 可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几 个试验结果，从而判定所给事件的关系．
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法二：顾客既不购买乙也不购买丙的概率 85 为 ＝0.085. 1 000 故顾客购买乙或丙的概率为 1 － 0.085 ＝ 0.915.
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[探究 2] 在本例条件下， 估计顾客至少购买两 件商品的概率是多少？
85＋98 解：顾客只购买一件商品的概率为 ＝0.183. 1 000 故顾客至少购买两件商品的概率是 1 － 0.183 ＝ 0.817.
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(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度， 频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用 概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时 也用频率来作为随机事件概率的估计值．
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(2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率， 即通过大 量的重复试验， 事件发生的频率会逐渐趋近于某一 个常数，这个常数就是概率．