高中数学第一章坐标系章末小结知识整合与阶段检测学案新人教B版选修4_4

第一章 坐标系对应阶段质量检测(一)P45](时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫3，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π6 解析：选B 因为ρ＝－32＋－2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.所以点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6.2．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－4，－2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3 解析：选B 由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝ 3.因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换为( )A.⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝yB.⎩⎨⎧ 2X ＝5x ，Y ＝2yC.⎩⎨⎧2X ＝x ，5Y ＝2xD.⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y解析：选D 法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y22＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4. 令⎩⎪⎨⎪⎧X ＝25 x ，Y ＝y 2，得X 2＋Y 2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y为所求．法二：将x 2＋y 2＝4改写为X 2＋Y 2＝4.设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝axa ，Y ＝by b代入X 2＋Y 2＝4得a 2x 2＋b 2y 2＝4， 即a 2x 24＋b 2y 24＝1.与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧a 24＝110，b 24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝12.∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝25x ，Y ＝12y ，即⎩⎨⎧5X ＝2x ，2Y ＝y .4．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )解析：选C ∵ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2(sin θ＋cos θ)， ∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1， ∴圆心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22. 结合四个图形，可知选C.5．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4解析：选A 法一：圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，可以看成由圆ρ＝2sin θ顺时针旋转π4得到．而ρ＝2sin θ的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，顺时针旋转π4得到⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，∴ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π4.法二：圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1. 圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4.6．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ解析：选C 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直于极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1.7．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )A ．1 B. 3 C ．3 3D ．6解析：选C 极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心为C (3，π2)，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×32＝3 3.8．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的变换是( )A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π3解析：选A 设y ′＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6， 变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋λ，y ′＝μy ，将其代入y ′＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，得μy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋λ＋π6， ∴μ＝1，λ＝－π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y .由函数y ＝sin2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象所作的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π6，y ′＝y ，故是向左平移π6个单位．9．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.10．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin(θ＋π4)(r >0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析：选D 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2. ① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝－2r (sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)． ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________． 解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0. 取θ－α＝π2.答案：θ＝π2＋α12．(陕西高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线方程可化为32ρsin θ－12ρcos θ＝1，即x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|3－3×1＋2|12＋－32＝1. 答案：113．(天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.答案：314．已知柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________.解析：设点M 在平面Oxy 上的射影为P ，连接PN ， 则PN 为线段MN 在平面Oxy 上的射影． ∵MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ， ∴PN ⊥直线Oy .∴|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ρcos 2π3＝1，∴|OM |＝ ρ2＋z 2＝ 22＋52＝3.在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°， ∴|MN |＝ |PM |2＋|PN |2＝52＋12＝ 6.答案：3 6三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b 1＋12＝13b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.16．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知两圆C 1：ρ＝2cos θ和C 2：ρ＝2sin θ，求过两圆圆心的直线的极坐标方程．解：由极坐标系与直角坐标系的互化关系知： 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，C 1(1,0)，圆C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 即x 2＋(y －1)2＝1，C 2(0,1)．∴过两圆圆心的直线方程为x ＋y －1＝0， ∴对应的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1.17．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14.它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆．将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0. ∵圆心(－12，0)到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．18．(本小题满分14分)已知线段BB ′＝4，直线l 垂直平分BB ′，交BB ′于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P ，P ′，使OP ·OP ′＝9.建立适当的坐标系，求直线BP 与直线B ′P ′的交点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，BB ′为y 轴，l 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则B (0,2)，B ′(0，－2)．设P (a,0)(a ≠0)，则由OP ·OP ′＝9，得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫9a ，0，直线BP 的方程为x a ＋y 2＝1，直线B ′P ′的方程为x 9a＋y－2＝1，即l BP ：2x ＋ay －2a ＝0，l B ′P ′：2ax －9y －18＝0.设M (x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay －2a ＝0，2ax －9y －18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18aa 2＋9，y ＝2a 2－18a 2＋9(a 为参数)．消去a ，可得4x 2＋9y 2＝36(x ≠0)，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B ，B ′)．。