人教版B数学选修1-2：第二章章末综合检测
高二数学选修1-2全册第2章综合素质检测
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 [答案] C[解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1) C.22n －1 D.22n －1 [答案] B[解析] 考查归纳推理．a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1∴a 2＝13a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13∴a 3＝16a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16∴a 4＝110由此猜想a n ＝2n (n ＋1)3．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200， 又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×14291项，从第92项开始为14，故第100项为14.4．如果x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，那么( )A ．F ＝0，D ≠0，E ≠0B ．E ＝0，F ＝0，D ≠0C ．D ＝0，F ＝0，E ≠0D ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 [答案] C[解析] ∵圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，∴圆过原点，F ＝0，又圆心在y 轴上，∴D ＝0，E ≠0.5．已知a <b <0，下列不等式中成立的是( )A ．a 2<b 2B.a b <1 C ．a <4－bD.1a <1b [答案] C[解析] ∵a <b <0，∴－b >0,4－b >4，∴a <4－b .6．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] D[解析] 由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，可以归纳出：f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N *)．所以f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20等于( ) A ．0B ．－ 3 C. 3D.32[答案] B[解析] a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－3－3·3＋1＝3，a 4＝0，所以此数列具有周期性，0，－3，3依次重复出现．因为20＝3×6＋2，所以a 20＝－ 3.8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c[答案] A[解析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14. 9．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能 [答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数，由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 中至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数[答案] B[解析] 对命题的结论“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a ，b ，c 都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)…(1－a n )，通过计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值，由此猜想f (n )＝( )A.n ＋22(n ＋1) B.n ＋24n C.2n －1(n ＋1)2 D.n ＋1n (n ＋1) [答案] A12．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形[答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得， sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．对于“求证函数f (x )＝－x 3在R 上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D 的函数f (x )，若对任意x 1，x 2∈D 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)<0，则函数f (x )在D 上是减函数”，小前提是“________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________”，结论是“f (x )＝－x 3在 R 上是减函数”．[答案] 对于任意x 1，x 2∈R 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋x 31＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)＝－(x 2－x 1)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21<0 14．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为________，猜想a n ＝________.[答案] 37，38，39，310，3n ＋5. 16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件： ①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是______．[答案] ②[解析] 易知函数f (x )是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，故能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件只有②x 21>x 22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13[解析] 证明：由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13. 18．(本题满分12分)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，若c n ＝a n ＋b n ，请证明数列{c n }不是等比数列．[证明] 假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是等比数列，设公比分别为p ，q ，则有a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1.②整理①式，并将②代入得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1.所以2a n b n ＝a n p ·b n q ＋a n p ·b n q ，即2＝p q ＋q p. 因为p ≠q ，所以p q ＋q p≠2，得出矛盾，所以假设不成立． 故数列{c n }不是等比数列．19．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3.又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0，故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2， 2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋2， ……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 2 2cos π8＝21＋cos π42 ＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cos π82 ＝21＋122＋22 ＝2＋2＋ 2 …2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1， 代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得(a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1， 所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 22．(本题满分14分)已知函数f (x )对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数．(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.[解析] (1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 2>x 1，则有x 2－x 1>0，利用已知条件“当x >0时，f (x )>1”得f (x 2－x 1)>1，而f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，即f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )是R 上的增函数．(2)由于f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.由f (3m 2－m －2)<3得f (3m 2－m －2)<f (2)．由f (x )是R 上的增函数，得3m 2－m －2<2，解得－1<m <43.。
高中数学人教B版选修1-2 第2章 单元综合检测2 Word版含解析
第二章单元综合检测(二)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是°归纳出所有三角形的内角和都是°；③某次考试张军成绩是分，由此推出全班同学成绩都是分；④三角形内角和是°，四边形内角和是°，五边形内角和是°，由此得凸多边形内角和是(－)·°.．仅①②．①③④．①②④．仅②④解析：合情推理包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征．②④都具备此特征，①是类比推理，③中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选.答案：．下列有关三段论推理“凡是自然数是整数，是自然数，所以是整数”的说法正确的是( )．推理正确．推理形式错误．大前提错误．小前提错误解析：三段论中的大前提、小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．答案：．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”( )．各正三角形内一点．各正三角形的某高线上的点．各正三角形的中心．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选.答案：．已知命题为真命题，命题为假命题，则在命题：∨，：∧，：(¬)∨和：∧(¬)中，真命题是( )．，．，．，．，解析：由复合命题的真值表知，：∨为真，：∧为假，：(¬)∨为假，：∧(¬)为真，故真命题是，，故选.答案：．用反证法证明：若≥>，则＋－≤＋－的假设为( )．＋－<＋－．＋－≥＋－．＋－>＋－．＋－≤＋－解析：易知“≤”的对立面为“>”．故选.答案：．已知数列{}满足＋＝，＝，则可归纳出{}的一个通项公式为( )．＝．＝．＝．＝解析：由＋＝和＝得＝＝，＝＝＝，＝＝，＝＝＝.归纳上述结果，得到猜想：＝.答案：．如下图所示，个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐号座位，如果第次前后排动物互换座位，第次左右列动物互换座位，第次前后排动物互换座位，第次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔所坐的座位号为( )．．．．解析：由题意得第次互换座位后，个小动物又回到了原座位，即每经过次互换座位后，小动物回到原座位，而＝×＋，所以第次互换座位后的结果与第次互换座位后的结果相同，故小兔坐在号座位上，应选.答案：．已知>，不等式＋≥，＋≥，＋≥，…，可推广为＋≥＋，则的值为( )．．．．－解析：由＋≥，＋＝＋≥，＋＝＋≥，…，可推广为＋≥＋，故＝.答案：．若实数，满足<<，且＋＝，则下列四个数中最大的是( )．．。
高二数学(人教B版)选修2-1单元 第2章综合素质检测
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．双曲线x 2m －y2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38 C.163D.83[答案] A[解析] 依题意，e ＝m ＋n m＝2，c ＝1，即：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，1m ＝2，解得m ＝14，n ＝34，mn ＝316，选A.2．与抛物线x 2＝4y 关于直线x ＋y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B ．(116，0) C ．(－1,0)D ．(0，－116) [答案] C[解析] x 2＝4y 关于x ＋y ＝0，对称的曲线为y 2＝－4x ，其焦点为(－1,0)．3．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |> 3C ．|k |≤ 3D ．|k |<1[答案] B[解析] 如图所示，l 1平行于y ＝3x ，l 2平行于y ＝－3x ，由图可看出，当过C 由l 1位置逆时针方向转到l 2位置之间的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支都有两个交点，此时k >3或k <－ 3.4．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 的椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34[答案] A[解析] 由条件可得F 1(－3,0)，PF 1的中点在y 轴上，∴P 点坐标(3，y 0)．又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±32.∴M 在坐标⎝⎛⎭⎫0，±34，故选A. 5．已知|AB →|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动；O 为原点，若OP →＝13OA →＋23OB →，则点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝1[答案] A[解析] 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由题知(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，∴x 0＝32，y 0＝3y ，又∵|AB →|＝3，∴x 20＋y 20＝9， ∴x 24＋y 2＝1即为点P 的轨迹方程． 6．如图，在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程：x 21a 2＋y 21b 21，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b 1a >0，所以由椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，则D 选项正确．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图形关于x 轴对称；排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴上，故选D.7．(2010·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上．则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236 1D.x 227－y 29＝1 [答案] B[解析] 由题易知ba ＝3①且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)， 则由a 2＋b 2＝36②由①②知：a ＝3，b ＝33， ∴双曲线方程为x 29－y227＝1，故选B.8．F 1，F 2是椭圆的两个焦点，A 是椭圆上任一点，过任何一焦点向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 如图所示：∠BAF 1为外角，AP 为外角角平分线l 所在直线 设长轴长为2a (a >0)，∠BAF 1＝∠CAF 2， ∴AP 平分∠CAF 2，延长F 2P 交F 1A 于C ， ∴C 、F 2关于P 对称，∴AC ＝AF 2. 设F 2为(c,0)，F 1为(－c,0)，P 为(x ，y )， ∴c 为(2x －c,2y )∵AC ＝AF 2，AF 2＋AF 1＝2a ， ∴F 1C ＝2a ，即4x 2＋4y 2＝4a 2， ∴轨迹为圆，选A.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝42x[答案] B[解析] 如图，∵AF →＝FB →，|FD →|＝p ，∴|AC |＝2p ，∴|AF |＝|FB |＝2p ， 又BA →·BC →＝48， ∴|BC |2＝48，∴在Rt △ABC 中，(4p )2－(2p )2＝48， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b 2＋c )2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(55，35)B ．(25，55) C ．(25，35)D ．(0，55) [答案] A[解析] 要保证椭圆与圆的4个交点，只要保证圆的半径b <b2＋c <a 即可．⎩⎨⎧b <b 2＋c b2＋c <a⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b <b ＋2c b ＋2c <2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2c >b ， ①2(a －c )>b . ②由①得4c 2>b 2＝a 2－c 2,5c 2>a 2，c 2a 2>15，e 2>15，e >55，由②得4(a 2＋c 2－2ac )>b 2＝a 2－c 2，得3a 2－8ac ＋5c 2>0，两边同除以a 2，得5e 2－8e ＋3>0，(e －1)(5e －3)>0，e >1(舍去)或e <35则55<e <35. 11．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于点P 1，P 2，线段P 1P 2的中点设为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值等于( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12[答案] D[解析] 设直线l 的方程y ＝k 1(x ＋2)将y ＝k 1(x ＋2)代入x 2＋2y 2＝2中得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x＋8k 21－2＝0.设P (x 0，y 0)则x 0＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21∴k 2＝y 0－0x 0－0＝－12k 1∴k 1k 2＝－12k 1·k 1＝－12.故选D.12．B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头， 向B 、C 两地运转货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(7＋1)a 万元B ．(27－2)a 万元C ．27a 万元D ．(7－1)a 万元[答案] B[解析] 设总费用为y 万元，则y ＝a ·(MB ＋MC )∵河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ， ∴曲线PG 是双曲线的一支，B 为焦点，且a ＝1，c ＝2.由双曲线定义，得MA －MB ＝2a ，即MB ＝MA －2， ∴y ＝a ·(MA ＋MC －2)≥a ·(AC －2)．以直线AB 为x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A (－2,0)，C (3，3)． ∴AC ＝(3＋2)2＋(3)2＝27， 故y ≥(27－2)a (万元)．二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为3π4的直线，与抛物线交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．[答案] 2 2[解析] 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，|y 1－y 2|＝42＋42＝42，S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝2 2.14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________． [答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2， ∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 即2x －y －15＝0.15．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程是________．[答案] (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)[解析] 设A (x ，y )，则D (x 2，y2)，由|CD |＝3和两点间距离公式求得方程，同时结合图形，除去A ，C ，D 三点共线的情况．16．下列四个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定点C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________．[答案] ③④三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，解得：a 2＝14，b 2＝34. ∴所求双曲线方程为 4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知定点A (a,0)，其中0<a <3，它到椭圆x 29＋y 24＝1上点的距离的最小值为1，求a 的值．[解析] 设椭圆上任一点为P (x ，y )(－3≤x ≤3)，则|PA |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋19(36－4x 2)＝59(x －95a )2＋4－45a 2，当0<a ≤53时，有0<95a ≤3.∴当x ＝95a 时，|P A |2min ＝4－45a 2＝1，得a ＝152>53(舍)， 当53<a <3时，有3<95a <275， 当且仅当x ＝3时，|P A |2min ＝a 2－6a ＋9＝1， 故a ＝2或a ＝4(舍)，综上得a ＝2.19．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y225＝1有公共焦点F 1、F 2，它们的离心率之和为245，(1)求双曲线的标准方程；(2)设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． [解析] (1)在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，∴c ＝a 2－b 2＝4，焦点在y 轴上，离心率为e ＝45.由题意得：所求双曲线的半焦距c ＝4， 离心率e ′＝245－45＝2，又∵e ′＝c a ′＝4a ′＝2， ∴双曲线的实半轴为a ′＝2， 则b ′2＝c 2－a ′2＝16－4＝12， ∴所求双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P 在哪一个象限，cos ∠F 1PF 2的值是相同的，设点P 是双曲线与椭圆在第一象限的交点，其中|PF 1|>|PF 2|由定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10① |PF 1|－|PF 2|＝4②由①、②得|PF 1|＝7，|PF 2|＝3.又∵|F 1F 2|＝8，在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝72＋32－822×7×3＝－17，∴cos ∠F 1PF 2的值为－17.20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] 本题考查圆锥曲线中椭圆与直线的位置关系，第(1)问较基础，第(2)问中计算是关键之处．解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0) ∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为 y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23c2＝3c ＝2 3 ∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0 由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝43b23a ＋b2 ①y 1，y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2 ②∵AF →＝2F 2B →∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2④③2④得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝16b 2(3a 2＋b 2)(a －4) ⑤ 又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y25＝121．(本小题满分12分)已知椭圆长轴|A 1A 2|＝6，焦距|F 1F 2|＝42，过椭圆的左焦点F 1作直线交椭圆于M 、N 两点，设∠F 2F 1M ＝α(0≤α≤π)，问α取何值时，|MN |等于椭圆的短轴的长．[解析] 如图所示，a ＝3，c ＝22，b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.设过F 1的直线方程为y ＝k (x ＋22)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋22)， ①x 29＋y 2＝1. ②①代入②，整理得(1＋9k 2)x 2＋362k 2x ＋72k 2－9＝0，∴x 1＋x 2＝－362k21＋9k 2，x 1·x 2＝72k 2－91＋9k2.代入|MN |＝[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](1＋k 2)，整理得|MN |＝6(k 2＋1)1＋9k 2.∵6(k 2＋1)1＋9k 22，∴k ＝±33. 即tan α＝±33，∴α＝π6或α＝5π6.22．(本小题满分14分)如右图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且OP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．[解析] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →， 得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简整理，得y 2＝4x . 即动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又M (－1，－2m)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x 化简整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，由根与系数的关系， 得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2， 整理得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2， ∴λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 22－2m ·4m －4＝0. 即λ1＋λ2的值为0.。
高中数学人教B版选修1-2学业分层测评 章末综合测评2 Word版含答案
章末综合测评(二) 推理与证明(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.).数列，，，，，，…中的等于( )－＝，故＝＋×＝.【解析】观察知数列{}满足：＝，＋【答案】.用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( ).方程＋＋＝没有实根.方程＋＋＝至多有一个实根.方程＋＋＝至多有两个实根.方程＋＋＝恰好有两个实根【解析】方程＋＋＝至少有一个实根的反面是方程＋＋＝没有实根，故应选.【答案】.下列推理过程是类比推理的是( ).人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼.通过检测溶液的值得出溶液的酸碱性.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】为归纳推理，，均为演绎推理，为类比推理.【答案】.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是°归纳出所有三角形的内角和都是°；③由()＝，满足(－)＝－()，∈，推出()＝是奇函数；④三角形内角和是°，四边形内角和是°，五边形内角和是°，由此得凸多边形内角和是(－)·°..①③④.①②.②④.①②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理.【答案】.设＝＋，＝，则，的大小关系是( )>＝>(＋)<【解析】因为＝＋>＝>，故>.【答案】.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④·＝；⑤由·＝·(≠)，可得＝.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是( )个个个个【解析】①③正确；②④⑤错误.【答案】.证明命题：“()＝＋在(，＋∞)上是增函数”.现给出的证法如下：因为()＝＋，所以′()＝－.因为>，所以>，<<.所以－>，即′()>.所以()在(，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )【导学号：】.综合法.分析法.反证法.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.。
人教版B数学选修1-2：第二章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，sin A sin C>cos A cos C，则△ABC一定是（)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选D.由sin A sin C>cos A cos C，可得cos(A＋C)<0，即cos B>0,所以B为锐角，但并不能判断A，C，故选D.2。
如果两个数的和为正数，则这两个数（)A．一个是正数,一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数解析：选C。
两个数的和为正数，则有三种情况：(1）一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；（2)一个是正数，一个是零；（3）两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．3.用反证法证明命题:“a，b∈N，ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为（）A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析:选B.“至少有一个"的否定是“一个也没有",即“a，b都不能被5整除"．4.“所有是9的倍数的数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（）A．完全正确B．推理形式不正确C．错误，因为大小前提不一致D．错误,因为大前提错误解析:选A。
大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．5.观察式子：1＋错误!〈错误!，1＋错误!＋错误!〈错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!〈错误!，…，则可归纳出一般式子为（）A．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!（n≥2)B．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n≥2)C．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!(n≥2）D．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n≥2）解析：选C。
高中数学 第二章 推理与证明B章末测试 新人教B版选修1-2(2021年最新整理)
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高中数学第二章推理与证明B章末测试新人教B版选修1—2（高考体验卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2014山东高考）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根"时，要做的假设是( ）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根2．(2014广东佛山质量检测）用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)有有理实数根,那么a，b,c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是（) A．假设a，b，c至多有一个是偶数B．假设a，b,c至多有两个偶数C．假设a，b，c都是偶数D．假设a，b,c都不是偶数3．(2014北京高考)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日）如下:则最短交货期为__________个工作日．4．(2014山东日照一中开学考试）下列推理是归纳推理的是( )A．A,B为定点,动点P满足｜PA｜＋|PB｜＝2a＞｜AB｜，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆错误!＋错误!＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5．（2014北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人6．(2014北京顺义一模)设非空集合M同时满足下列两个条件：①M⊆{1,2,3,…，n－1}；②若a∈M，则n－a∈M（n≥2，n∈N＋），则下列结论正确的是( )A．若n为偶数，则集合M的个数为2错误!B．若n为偶数，则集合M的个数为2错误!－1C．若n为奇数，则集合M的个数为2错误!D．若n为奇数，则集合M的个数为2n＋1 27．（2014广东佛山质检一)将n2个正整数1,2，3，…，n2(n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a,b（a＞b)的比值错误!，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n＝2时,数表的所有可能的“特征值"的最大值为( ）A．3 B。
人教版数学选修1-2第二章推理与证明章末综合检测(二)
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形，上述推理中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和②解析：选B.①是大前提，②是小前提，③是结论．2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C.①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①②④为合情推理．3．在△ABC中，sin A sin C＞cos A cos C，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选D.由sin A sin C＞cos A cos C，可得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0，所以B为锐角，但并不能判断A，C的度数，故选D.4．设p，q均为实数，则“q＜0”是“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为q＜0，所以Δ＝p2－4q＞0，所以“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立；因为“方程x2＋px＋q＝0有一个正实根和一个负实根”成立，则有x1x2＝q＜0.5．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.6．已知数列{a n}满足a n＋1＝a n－a n－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，设S n＝a1＋a2＋…＋a n，则下列结论正确的是()A．a2 020＝－a，S2 020＝2b－aB．a2 020＝－b，S2 020＝2b－aC．a2 020＝－b，S2 020＝b－aD．a2 020＝－a，S2 020＝b－a解析：选A.因为a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝a3－a2＝－a，a5＝a4－a3＝－b，a6＝a5－a4＝a－b，a7＝a，a8＝b，…，可得数列具有周期性，每连续6项为一个周期且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0.所以a2 020＝a4＝－a，S2 020＝S4＝2b－a.7．要证明“sin 4θ－cos 4θ＝2sin 2θ－1”，过程为：“sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ－(1－sin 2θ)＝2sin 2θ－1”，用的证明方法是( )A ．分析法B ．反证法C ．综合法D ．间接证明法解析：选C.因为证明是由已知逐步推导得出结论的，所以运用的是综合法，故选C. 8．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除解析：选B.用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos (90°－∠A 2)， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在(0，π)内无解．故选D.10．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0解析：选D.因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0， 又因为a 2＋b 2＋c 2≥0，所以2(ab ＋bc ＋ac )≤0.故选D.11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.1140B.1105C.160D.142解析：选A.由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.故选A.12．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222>⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222成立，运用类比方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上不同的两点，则类似地有结论( )A.sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22≥sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22≤sin x 1＋x 22解析：选 B.画出y ＝x 2的图象，由已知得AB 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 21＋x 222恒在点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222的上方，画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)的图象可得A ，B 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，sin x 1＋sin x 22恒在点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的下方，故B 正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为________．解析：m 3的分解中最小数是3，5，7，9，…中的第m （m －1）2个，所以73＝2·m （m －1）2＋1.所以m (m －1)＝72，又m >0，所以m ＝9. 答案：914．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66，所以T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38，即⎝⎛⎭⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列，同理，可验证T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 815．观察下图： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0172.解析：观察知，图中的第n 行的各数构成一个首项为n ，公差为1，共(2n －1)项的等差数列，其各项和为：S n ＝(2n －1)n ＋（2n －1）（2n －2）2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2. 令(2n －1)2＝2 0172，得2n －1＝2 017， 所以n ＝1 009. 答案：1 009 16．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________．解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， 推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)．所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c ，d ∈(0，＋∞)， 求证ac ＋bd ≤（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）. 证明：法一：(分析法)欲证ac ＋bd ≤（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2， 即证2abcd ≤a 2d 2＋b 2c 2， 即证0≤(bc －ad )2，而a ，b ，c ，d ∈(0，＋∞)，0≤(bc －ad )2显然成立， 故原不等式成立．法二：(综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2≥a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ＝(ac ＋bd )2，所以（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥ac ＋bd .18．(本小题满分12分)请你把“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 1≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论．解：推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：因为a 1，a 2，…，a n 都是正实数，所以a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22a 3＋a 3≥2a 2；…a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2na 1＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 19．(本小题满分12分)已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos （2α＋120°）2＋1－cos （2α＋240°）2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)＝32－12⎝⎛cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋⎭⎫32sin 2α＝32＝右边． ⎝⎛将一般形式写成sin 2（α－60°）＋sin 2α＋sin 2（α＋60°）＝32，⎭⎫sin 2（α－240°）＋sin 2（α－120°）＋sin 2α＝32等均正确20．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长均为a ，D 、E 分别为C 1C与AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ；(2)求证：CE ∥平面AB 1D .证明：(1)连接A 1D ，BD ，DG .如图． 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱，所以四边形A 1ABB 1为正方形， 所以A 1B ⊥AB 1.因为D 是C 1C 的中点，所以△A 1C 1D ≌△BCD ， 所以A 1D ＝BD .因为G 是A 1B 的中点，所以A 1B ⊥DG ， 又因为DG ∩AB 1＝G ， 所以A 1B ⊥平面AB 1D ，又因为AD ⊂平面AB 1D ，所以A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，易知EG ∥A 1A ， 所以GE ⊥平面ABC . 因为DC ⊥平面ABC ，所以GE ∥DC .因为GE ＝DC ＝12a ，所以四边形GECD 为平行四边形， 所以EC ∥GD .又因为EC ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， 所以CE ∥平面AB 1D .21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， 所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. 因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝ca，所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ， 所以1a 是f (x )＝0的一个根．(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， 所以1a ≥c .又因为1a ≠c ，所以1a>c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， 所以b ＝－1－ac .又a >0，c >0，所以b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<1a ＋1a 2＝1a ，即－b 2a <1a.又a >0，所以b >－2， 所以－2<b <－1.22．(本小题满分12分)若a 1＞0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1，2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ；(3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值． 解：(1)证明：(采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ， 即2a n 1＋a n ＝a n， 解得a n ＝0，1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 1＝0，1， 与题设a 1＞0，a 1≠1相矛盾， 所以假设错误．故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)因为a n ＋1＋p a n ＋1＝（2＋p ）a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n ·q ，所以(2＋p －2q )a n ＋p (1－2q )＝0，因为上式是关于变量a n 的恒等式．故可解得q ＝12，p ＝－1.。
高二数学(人教B版)选修1-1同步练习1、2章末
选修1-2 2章末总结一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆[答案] C[解析] sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．2．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 [答案] B[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62. 3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)[答案] B[解析] ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)． 4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54) B ．(1,1)C ．(32，94) D ．(2,4)[答案] B[解析] 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，所以当x ＝1时，d 取最小值355，此时P 为(1,1)． 5．(2009·山东)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52 D. 5[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，所以b a ＝2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5，故选D.二、填空题6．已知点A (0,1)是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是________．[答案] (±433，－13) [解析] ∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ，sin θ)，则|AP |＝4cos 2θ＋(sin θ－1)2＝－3(sin θ＋13)2＋163.当sin θ＝－13时，|AP |最大，此时点P 的坐标为(±433，－13)． 7．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．[答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0.三、解答题8．已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程． [解析] 椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133.所以所求双曲线的方程为y 29－x 24＝1.9．如图所示，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．[解析] 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又k 1＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1，消去x ，整理得25y 2－187y －81＝0，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(18725)2＋4×8125＝7225 2.∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×27×7225 2＝722514.。
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A.1 1 11 +22 +32 + 2<1n 2n- 1(n>2)B. 1 + ；2+ 3?+ …+!戶+2)n nC.1 11 +22 +32 +…+1 2n—1* 2)1 2nn2<2 n+ 1(n》2)1 11 + 22 + 32 + …+解析：选C.由合情推理可归纳出D.1 1 1 2n—1 丄」1 + 2+ 2+…+ 2< （n》2）.故选C.2 3 n n6.有以下结论：①设a, b为实数，且|a| + | b|<1 ,求证方程x2+ ax + b= 0的两根的绝对值都小于1.用反证（时间：120分钟；满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在厶ABC中，sin A6in C>cos A cosC,则厶ABC-A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析：选D.由sin A sin C>cos A cos C可得cos（A+ C）<0，即cos B>0,所以B为锐角，但并不能判断A, C,故选D.2. 如果两个数的和为正数，则这两个数（）A. —个是正数，一个是负数B. 两个都是正数C. 至少有一个是正数D. 两个都是负数解析：选C•两个数的和为正数，则有三种情况：（1）一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；（2）—个是正数，一个是零；（3）两个数都是正数. 可综合为“至少有一个是正数”.3. 用反证法证明命题：“a, b€ N, ab可被5整除，那么a, b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A. a, b都能被5整除B. a, b都不能被5整除C. a, b不都能被5整除D. a不能被5整除解析：选B. “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a, b都不能被5整除”.4•“所有是9的倍数的数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（）A. 完全正确B. 推理形式不正确C. 错误，因为大小前提不一致D. 错误，因为大前提错误解析：选A.大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确.1 3 1 15 1 1 175.观察式子：1 + ?2<2, 1 + 2?+ 3?<3，1 + 2?+ 3?+ 4?<4，…，则可归纳出一般式子为（）法证明时，可假设方程的两根为 X 1, X 2且|X 1|>1或|X 2|>1.②已知a , b € R , | a | + | b |<1，求证方程x 2+ ax + b = 0的两根的绝对值都小于 1，用反证法 证明时可假设方程有一根 X 1的绝对值大于或等于 1，即假设| X 1| > 1.下列说法中正确的是( A. B. C. D.C. f n ( X ) = n — 1_1 — 3 x解析：选A.由f 1(x ) = f (x )，得_x_1 — x Xf2(x ) =f 1[f 1(x)] =x— = 1 — 2X ,1 —三)①与②的假设都错误 ①与②的假设都正确①的假设正确；②的假设错误 ①的假设错误；②的假设正确解析：选 D.用反证法证题时一定要将对立面找全•在 ①中假设不全面，故 ①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选 D.7.若a , b, c € R ,且ab + bc + ca = 1，则下列不等式成立的是 ( )2 2 2A. a + b + c > 2 1 1 1C. _ + - H —》2 ■ 3a b c解析：选 B. T ab + bc + ca = 1,2 2 2••• a + b + c > ab + bc + ca = 1,2 2 2 2• (a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca > 1+ 2( ab + bc + ca ) = 3. 1 a = X +8.设 x , y , z € (0 ,+s ), A. B. C. D.至少有一个不大于 都小于2至少有一个不小于 都大于2解析：选C. •/ x 、y 、 2B. (a + b + c ) >3 D. a + b + c < ■ 31 b = y + z , 1 c = z + x ，贝U a , b , c 二数( z\.1 z >0，二 x +x > 2， 1 . . . . y + y >2, z + 孑 2」a + b + c = x + y + y + 乙+ z +二 > 6,因此a , b, c 至少有一个不小于 2.9.下列四个图形中， 公式为( )着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，则这个数列的一个通项A. a n = 3C. a n = 3 解析：选 n —110.已知: A A A A(1)(2)(3)(+)nB. 3D. a.= 33n —1+ 2n — 3a 2= 3, a 3= 9, a 4= 27,归纳 a n = 3 ，故选 A.x—2n A.a i = 1,+)的表达式为(xA. f n ( X ) = n — 1_\ 丿 1 — 2 xf (X ) = 1—，设 f 1(x ) = f (X ) , f n (x ) = f n —1[f n —1(x )]( n >1 , * N)猜想 f n ( X )(门€ N I X)B. xf n(X) = 1 — nxD. r x f n(X) = 1 —( 2n— 1) x1 — 2x _ x—2x_ = 1 — 22x ， 一 1 — 2xxf n （x ） = 1二 2n - 1x （n € N ）.11. 若不等式x 2+ 2x + a >— y 2— 2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. a >0 B. a > 1 C. a >2 D. a >3解析：选 C.由题意知 a > — x — 2x — y — 2y ,而—x — 2x — y — 2y = 2 — （x + 1） — （y + 1）, 故其最大值为2（当x = y =— 1时），从而a >2.12. 如图，圆周上按顺时针方向标有 1 , 2, 3, 4, 5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点. 若它停在奇数点上， 则下一次只能跳一个点； 个点.该青蛙从 5这点跳起，经2012次跳后它将停在的点是（ C. 3D. 4解析：选B.从5开始第一次跳到 1,顺次为1 — 2— 4 — 1 — 2— 4 — 1 — 2— 4……可见周期为3, 2012 = 3X 670+ 2，因此停在2点.选B.二、填空题（本大题共4小题，请把答案填在题中横线上）13. 在厶ABC 中, D 为BC 的中点，则 X D= 2（Xk X C ，将命题类比到四面体中去，得到一个类 比命题： ____________________________________________________________________ 解析：△ABC 中BC 边上的中点类比为四面体中一个面的重心.答案：在四面体 A BCD 中,BCD 勺重心，贝U AG=314. 已知△ ABC 中, A = 30 ° , B= 60°，求证 a <b .证明：•/ A = 30°, B= 60°,「. A <B ,「. a <b .画线部分是演绎推理三段论中的 _________ .（填 大前提、小前提或结论）解析：在三角形中大角对大边是大前提；题目中横线部分为小前提. 答案：小前提15. 已知x , y € R,且x + y >2，则x , y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为 解析：由反证法的特点可知， “至少有一个”的否定为“一个也没有”. 答案：x , y 均不大于1（或者x w 1且y w 1） 16.某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2012时对应的指头是 __________ .（填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指）解析：仔细观察会发现规律，大拇指所对应的数是以 1为首项，公差为8的一个等差数列,f 3( X ) = f 2[f 2(X )]，由此猜想若停在偶数点上，则跳两 ）A. 1故2009对应大拇指，由此可推断2012对应的指头是无名指.答案：无名指三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知a是整数，a2是偶数，求证：a是偶数.证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a= 2n +1( n € Z).2 2••• a = 4n + 4n+1.••• 4( n2+ n)是偶数，• 4n2+ 4n+ 1 是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，所以假设错误，即a 一定是偶数.18. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和是90° .证明：任意三角形的内角和为180° .大前提直角三角形是三角形.小前提直角三角形的三内角之和为180° .结论设直角三角形的两个内角分别为/ A, / B,则有/ A+ Z B+ 90°= 180° .等量减等量差相等•大前提(/ A+ / B+ 90° ) —90°= 180°—90° .小前提/ A+Z B= 90°.结论19. 观察下表1,2, 3,4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,问：(1)此表第n行的最后一个数是多少?(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2011是第几行的第几个数？解: (1)由表知，每行的第一个数为偶数，所以第n+ 1行的第一个数为2n,所以第n行的最后一个数为2n— 1.⑵由(1)知第n—1行的最后一个数为2n—1—1，第n行的第一个数为2n—1，第n行的最后一个数为2n— 1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和n—1 n(2 + 2 —1)2⑶因为210= 1024, 211= 2048，又第11行最后一个数为211—1 = 2047，所以2011是在第11 行中，由等差数列的通项公式得，2011 = 1024 + (n—1)1，所以n= 988，所以2011是第11 行的第988个数.20. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABC［内的射影为A, 且PA= AB= 2, E为PD的中点.求证：公式得，2n—1小2n—3 小2n—2 c n—2=2 + 2 —2(1) PB// 平面AEC⑵平面PCD_平面PAD 证明：⑴如图所示，连结BD交AC于点0,连结E0 •/ O为BD中点，E为PD中点，二E0// PB •/ EO ?平面AEC PB?平面AEC二PB//平面AEC⑵•/ P点在平面ABCD^的射影为A,「. PA1平面ABCD•••CD?平面ABCD 二PAI CD•••在正方形ABCD中CDL AD且PA A AD= A,••• CDL平面PAD又CD?平面PCD•••平面PCD-平面PAD1 nT n21. 已知数列｛a n｝的前n项和s n = —a n—2 +2(n为正整数).令b n= 2n& ,⑴求证：数列｛b n｝是等差数列；⑵求数列｛a n｝的通项公式.1 n—1解：⑴证明：在S=—a n—2 + 2中，令n= 1,可得Si = —a—1 + 2= a1,11 n —2当n》2 时，S1-1 =—a n-1 —2 + 2 ,n—1a n= S—S1—1 = —a n+ a^—1 +1 n—12a n= a n—1 +2即 2 a n= 2 a n—1 + 1.•J b n= 2 a n,•• b n= b n—1 + 1.即当n》2 时，b n —b n-1 = 1, 又b = 2a1 = 1,•数列｛b n｝是首项和公差均为1的等差数列.(2)由(1)可知，b n= 1 + ( n—1) • 1 = n = 2a n,• a n= ；n.即数列｛a n｝的通项公式为^n.22. 已知函数y= f(x) = x —x + a(x€ [ —1, 1] , a€ R).(1)求函数f (x)的值域；⑵设函数y= f (x)的定义域为D,若对任意X1, X2€ D,都有|f(xj —f(x0|<1成立，则称函数y = f(x)为"标准函数”，否则称为 "非标准函数”，试判断函数y= f (x) = x3—x + a(x€ [ —1, 1] , a€ R)是否为“标准函数”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.解：⑴由题意得f(X)= 3x2—1，令3x2— 1 = 0，得x =± 33€ [ —1, 1].3当x• f (x )的值域为[a -293, a + 293].⑵由⑴知，当x i , X 2 € [ - 1, 1]时，| f (x i ) - f (X 2)| < | f ( x ) max - f ( x ) min | = 493<1. 结合“标准函数”的定义知，当x € [ - 1,1]时，f (x )是“标准函数”.又 f ( - 1) = a , f (1) = a , •••当 x € [ - 1, 1]时，=a -由上表知f (x )极小=f (f (x ) max = a +f ( X )min 9精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。