选修1-1第二章单元综合测试
数学选修1-1第二章测试卷(含答案)
第二章测试卷 (本栏目对应学生用书P81)一、选择题(每小题5分，共60分) 1．抛物线y ＝－2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝12C ．y ＝18D ．y ＝－18【答案】C【解析】化成标准方程为x 2＝－12y ，所以准线方程为y ＝18.2．已知P ，Q 是椭圆9x 2＋16y 2＝1上的两个动点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点O 到弦PQ 的距离必等于( )A ．1B ．2C ．15D ．3 【答案】C【解析】选用特殊值法．选P ⎝⎛⎭⎫0，14，Q ⎝⎛⎭⎫13，0即可． 3．设抛物线y ＝ax 2(a >0)与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1，x 2，而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，则x 1，x 2，x 3关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝1x 1＋1x 2C ．x 1x 2＝x 2x 3＋x 1x 3D ．x 1x 3＝x 2x 3＋x 1x 2 【答案】C【解析】联立直线和抛物线的方程，得ax 2－kx －b ＝0，x 1x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ka ，由直线方程x 3＝－bk，结合得出答案． 4．若以x 2＝－4y 上任一点P 为圆心作与直线y ＝1相切的圆，那么这些圆必定过平面内的点( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(0，－1) D ．(－1，－1) 【答案】C【解析】由抛物线的定义可得．5．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )A ．52B ．2C ．3D ． 5【答案】A【解析】由于直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，故k ＝14，∴x 24－y 2＝1，由离心率e ＝1＋b 2a 2＝54＝52. 6．若抛物线y 2＝mx与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m 的值为( )A ．8B ．－8C ．±8D ．±4【答案】C【解析】由已知椭圆的焦点为(2,0)，(－2,0)，∴m 4＝2或m4＝－2.∴m ＝8或m ＝－8.7．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2有四个交点．其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率范围是( )A ．55<e <35B ．0<e <25C ．25<e <35D ．35<e <45【答案】A【解析】数形结合可知圆与椭圆有四个交点，则满足b <b2＋c <a ，结合b ＝a 2－c 2可求得离心率的范围是55<e <35. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则此角的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π2B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎦⎤2π3，5π6【答案】C 【解析】b a＝e 2－1∈[1，3]，∴θ2∈⎣⎡⎦⎤π4，π3.∴θ∈⎣⎡⎦⎤π2，2π3.9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.10．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】B【解析】抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p ＝4<5，所以这样的直线有两条．11．(2015年菏泽模拟)设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为2且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A ．x 23－y 2＝1B ．x 24－y 212＝1C ．y 2－x 23＝1 D ．x 212－y 24＝1【答案】C【解析】抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，所以n >0>m ，n －m ＝4，2n＝2.所以n ＝1，m ＝－3.故选C ． 12．(2015年太原模拟)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝⎛⎭⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．4B ．92C ．5D ．112【答案】B【解析】因为点P 在抛物线上，所以d 1＝|PF |－12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝|PF |＋|P A |－12≥|AF |－12＝⎝⎛⎭⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号，故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________. 【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，由两点间距离公式，得⎝⎛⎭⎫p 2＋22＋32＝5，解得p ＝4.【答案】414．过(0,3)作直线l ，若l 和双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．【解析】直线与双曲线有一个公共点时有两种情况，一是相交，此时与渐近线平行，一是相切，要考虑全面．【答案】415．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 的倾斜角θ≥π4，l 交抛物线于A ，B 两点且A 在x 轴上方，则|F A |的取值范围是____________．【解析】直线过焦点，AF 的长可转化为点A 到准线的距离，所以A 点的横坐标越大，AF 的长越大，最小在O 点时，|OF |＝14.最大是AF 的倾斜角为π4时，设A (x 0，y 0)，过A 作x 轴的垂线，垂足为C ，在△ACF 中，|AC |＝y 0，|CF |＝x 0－14.因为|AC |＝|CF |，即y 0＝x 0－14，结合y 20＝x 0，得y 0＝2＋12，|AF |＝2y 0＝1＋22. 【答案】⎝⎛⎦⎤14，1＋2216．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．【解析】由题意知右焦点坐标为(1,0)， 斜率为2的直线方程为 2x －y －2＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，消去x ，得 3y 2＋2y －8＝0.解得y 1＝－2，y 2＝43.∴S △AOB ＝12×1×⎝⎛⎭⎫|－2|＋43＝53. 【答案】53三、解答题(共70分)17．(10分)指出方程(m －1)x 2＋(3－m )y 2＝(m －1)(3－m )所表示的曲线的形状． 【解析】当m ≠1，m ≠3时，把方程写成x 23－m ＋y 2m －1＝1.当1<m <3，m ≠2时，方程表示椭圆； 当m ＝2时，方程表示圆；当m <1或m >3时，方程表示双曲线； 当m ＝1时，方程表示x 轴； 当m ＝3时，方程表示y 轴．18．(12分)已知圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为B 及点A (1,0)，点C 为圆上任意一点，求线段AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．【解析】如图，因为P 在AC 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PC |，半径R ＝4＝|BC |＝|PC |＋|PB |，所以|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＝4>|AB |＝2.所以P 点轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此椭圆中a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，方程为x 24＋y 23＝1.19．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x －1截得的弦长为15，求抛物线方程．【解析】设抛物线方程为y 2＝ax ，直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝ax ，消去y 得4x 2－(4＋a )x ＋1＝0，x 1x 2＝14，x 1＋x 2＝4＋a 4，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 5 ×⎝⎛⎭⎫1＋a 42－1＝15， 解得a ＝－12或a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝－12x 或y 2＝4x .20．(12分)设双曲线方程与椭圆x 227＋y 236＝1有共同焦点且与椭圆相交，在第一象限的交点为A 且A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．【解析】由椭圆方程x 227＋y 236＝1得椭圆的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． ∵椭圆与双曲线的交点A 的纵坐标为4， ∴这个交点为A (15，4)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧42a2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.21．(12分)若抛物线y ＝－x 2－2x ＋m 和直线y ＝2x 相交于不同的两点A ，B . (1)求m 的取值范围； (2)求|AB |；(3)求线段AB 的中点坐标． 【解析】联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x 2－2x ＋m ，消y 得x 2＋4x －m ＝0. (1)∵直线与抛物线有两个相异交点， ∴Δ>0，即42－4(－m )>0. ∴m >－4.(2)当m >－4时，方程x 2＋4x －m ＝0有两个相异实根，设为x 1，x 2，由根与系数的关系x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－m ，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25m ＋20.(3)设线段AB 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝－42＝－2，y ＝y 1＋y 22＝2x 1＋2x 22＝－4，∴线段AB 的中点坐标为(－2，－4)．22．(2014年新课标Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【解析】(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .由MN 的斜率为34，可得b 2a 2c ＝34，即2b 2＝3aC ．将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4A ．①由|MN |＝5|F 1N |， 得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②，得9(a2－4a)4a2＋14a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 7.。
高二数学选修第2章综合素质检测
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( ) A.x 23－y 2＝1和x 29－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1和x 2－y 23＝1 C ．y 2－x 23＝1和x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1和y 23－x 29＝12．(2010·四川文，3)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．83．若方程x 2a －y2b ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )A.－b >aB.－b <aC.b >－aD.b <－a4．椭圆a 2x 2－a 2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 等于( )A.1－34B.1－54C.－1±34D.－1±545．设双曲线焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率为( )A ．5B. 5C.52D.546．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 27.x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2b 2－y 2a2＝1(a >b >0)的渐近线( ) A ．重合 B ．不重合，但关于x 轴对称 C ．不重合，但关于y 轴对称 D ．不重合，但关于直线y ＝x 对称8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)10．命题甲是“双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 21”，命题乙是“双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线12．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |> 3C ．|k |≤ 3D ．|k |<1二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．16．已知F 1、F 2为椭圆的焦点，等边三角形AF 1F2两边的中点M ，N 在椭圆上，如图，则椭圆的离心率为__________________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)求以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线方程．18．(本题满分12分)P 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a2c (c 为椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .[分析] 先确定点H 、B 、P 的坐标，由HB ∥OP ，得斜率k HB ＝k OP ，建立a ，b ，c 的关系式，进而求出e .19．(本题满分12分)已知直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，且AB 的中点的横坐标为2，求弦AB 的长．20．(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M ⎝⎛⎭⎫32，－6，求抛物线和双曲线的方程．21．(本题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，求三条曲线的标准方程．22．(本题满分14分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．1[答案] A[解析] A 中离心率都为233，渐近线都为y ＝±33x . 2[答案] C[解析] 本题考查抛物线的焦点到准线的距离． 3[答案] A[解析] 方程x 2a －y2b ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴b <0，∴－b >a . 4[答案] B[解析] 椭圆a 2x 2－a 2y 2＝1可化为x 21a 2＋y2－2a ＝1，∴a <0，排除C 、D. 当a ＝1－54时，1a 2＝6＋25，－2a＝2(5＋1)， ∴6＋25－25－2＝4，∴一个焦点是(－2,0)． 5[答案] C[解析] ∵b a ＝12，∴b 2a 2＝14＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝14，∴e 2＝54，e ＝52.6[答案] C[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1x ＋3y ＋4＝0，得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及a 2－b 2＝4可得a 2＝7，∴2a ＝27.7[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的渐近线方程为y ＝±ab x ，又直线y ＝±b a x 与y ＝±ab x 关于直线y ＝x 对称．8[答案] B[解析] 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由a 2＋b 2a ·m 2－b2m ＝1得a 2＋b 2＝m 2，故为直角三角形．9[答案] B[解析] ∵直线x ＋2＝0恰好为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)．10[答案] A[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，而渐近线为y ＝±b a x 的双曲线方程为x 2a 2－b 2b 2＝λ(λ≠0)．11[答案] D[解析] ∵点P 到直线C 1D 1的距离等于它到定点C 1的距离， ∴动点P 到直线BC 的距离等于它到定点C 1的距离． 12[答案] B[解析] 如图所示，l 1平行于y ＝3x ，l 2平行于y ＝－3x ，由图可看出，当过C 由l 1位置逆时针方向转到l 2位置之间的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支都有两个交点，此时k >3或k <－ 3. 13[答案] 12[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4.即椭圆离心率为c a ＝12.14[答案] x 22＋y 2＝1[解析] ∵双曲线2x 2－2y 2＝1的离心率为2， ∴所求椭圆的离心率为22， 又焦点为(±1,0)，∴所求椭圆的方程为x22＋y 2＝1.15[答案] (2－1,1)[解析] 考查椭圆的定义、正弦定理以及最值问题． 由正弦定理可得PF 2sin ∠PF 1F 2＝PF 1sin ∠PF 2F 1，∴sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝PF 1PF 2＝ca ＝e ， 故PF 1＋PF 2PF 2＝2a PF 2＝e ＋1，而PF 2＝2a e ＋1<a ＋c ，∴2e ＋1<1＋e ，故e >2－1，又∵e <1，∴e ∈(2－1,1)． 16[答案]3－1[解析] 连接MF 2，则等边三角形AF 1F 2中，|MF 1|＝12F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝32|F 1F 2|＝3c ，由定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，解得ca＝3－1.17[解析] 椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)， 设双曲线方程为：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝a 2－10a 2＝14， ∴a 2＝403，b 2＝103， 即所求的双曲线方程为：3x 240＋3y 2101.18[解析] 依题意，知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F (c,0)，又由题设得B (0，b )，x P ＝c ，代入椭圆方程结合题设解得y P ＝b 2a.因为HB ∥OP ，所以k HB ＝k OP . 由此得b －00＋a 2c＝b2a c ab ＝c 2，从而得c a ＝b c ⇒e 2＝a 2－c 2c2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0，又0<e <1， 解得e ＝5－12. [点评] 求椭圆离心率的常见思路：一是先求a 、c ，再计算e ；二是依据条件的信息，结合有关的知识和a 、b 、c 、e 的关系式，构造e 的一元方程，再求解．19[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0① ∵k ≠0，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k 2，又∵x 1＋x 2＝4，∴4k ＋8k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2， 当k ＝－1时，①中Δ＝0，直线与抛物线相切．当k ＝2时，x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，|AB |＝1＋4·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·16－4＝215， ∴弦AB 的长为215.20[解析] ∵抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个交点为M ⎝⎛⎭⎫32，－6，∴设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点M 坐标代入得p ＝2， ∴y 2＝4x ，其准线为x ＝－1，∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点，∴双曲线的焦点为(±1,0)且点M ⎝⎛⎭⎫32，－6在双曲线上， ∴a 2＝14b 2＝34，双曲线的方程为4x 2－4y23＝1.21[解析] 因为双曲线的焦点在x 轴上，故其方程可设为x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)，又因为它的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以ba＝3，即b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1＝ 3.解得e ＝2，因为c ＝4，所以a ＝2，b ＝3a ＝23，所以双曲线方程为x 24－y212＝1.因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为12，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，则c ＝4，a 1＝8，b 21＝82－42＝48.所以椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，易知抛物线的方程为y 2＝16x .22[解析] 由C 与l 相交于两个不同点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2，且a ≠1. 双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a2＋1，因为0<a <2且a ≠1. 所以e >62，且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．。
人教B版高中数学高二选修1-1 第2章 单元综合检测1
第二章 单元综合检测(一)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．4解析：由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43C ．54D ．32解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a ＝43，可得e ＝ca ＝32＋423＝53. 答案：A4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1解析：抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6.① 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知ba ＝3， ② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案：B5．以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( )A ． xy －2x －4y ＝0B ． xy ＋2x ＋4y ＝0C ． xy －2x ＋4y ＝0D ． xy ＋2x －4y ＝0 解析：本题主要考查由曲线求方程的方法．设M (x ，y )，A (x －m ，y －n )，B (x ＋m ，y ＋n )，易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －m )2＋2(y －n )2＝a(x ＋m )2＋2(y ＋n )2＝a k AB·k PM＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m ＝－x －2y －2⇒x 2y ＝x －2y －2，即xy ＋2x －4y ＝0为所求轨迹方程，故选D. 答案：D6．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫34π，π B ．⎝⎛⎭⎫π4，34π C ．⎝⎛⎭⎫π2，πD ．⎝⎛⎭⎫π2，34π解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D7．[2013·人大附中月考]已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A ． 1＋ 3B ． 1－ 3C ．1＋32D ．1－32解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义有|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选A.答案：A8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．125B ．65C ．2D ．55解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.答案：A9．[2014·湖南省雅礼中学期中考试]如图，定点A ，B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A ，B 的动点，且PC ⊥AC ，那么动点C 在平面α内的轨迹是( )A ． 一条线段，但要去掉两个点B ． 一个圆，但要去掉两个点C ． 一条直线，但要去掉两个点D ． 半圆，但要去掉两个点解析：本题主要考查曲线的特征分析．由PB ⊥α，得PB ⊥AC ，又PC ⊥AC ，所以AC⊥平面PBC ，从而AC ⊥BC .由于A ，B 是平面α内的两个定点，则AB 为定长，因此，动点C 在以AB 为直径的圆周上，但不包含A ，B 两个点，故选B.答案：B10．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A ． 72B ． 52C ． 3D ． 2解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.答案：C11．[2014·北京市东城区联考]设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ． 3x ±4y ＝0B ． 3x ＋5y ＝0C ． 5x ±4y ＝0D ． 4x ±3y ＝0解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D.答案：D12．[2014·广东省中山一中月考]已知点A (2,0)，在圆x 2＋y 2＝4上任取两点B ，C ，使∠BAC ＝60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A ． (x ＋2)2＋y 2＝4B ． x 2＋(y －2)2＝4C ． (x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ． (x －2)2＋y 2＝4解析：本题主要考查求曲线的方程．设H (x ，y )，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD ＝∠EAC ，所以△CBD 与△HAD 相似，则有|AH ||BC |＝|AD ||BD |⇒|AH |＝|AD |·|BC ||BD |，而∠BAC ＝60°，得|AD ||BD |＝33.又∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，OB ＝OC ＝2，所以|BC |＝22＋22－2×2×2cos120°＝23，得|AH |＝23×33＝2.故垂心H 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．方程(x ＋y －1)·x －1＝0所表示的曲线是________．解析：由方程(x ＋y －1)·x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，∴x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.答案：直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)14．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点__________．解析：直线x ＋2＝0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：(2,0)15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________．解析：由题意，得b2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c2＝12＝22. 答案：2216．[2014·河南省实验中学月考]抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为________．解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以直线AB 的方程为y ＝33(x －p2)，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2＝7p ，x 1·x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )|33(x 1－x 2)|＝36(x 1＋x 2＋p )(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3，故抛物线的方程为y 2＝23x .答案：y 2＝23x三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)． ∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y2， 代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．(12分)[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x ＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为y 2－3x 2＝k (k ≠0)， 当k >0时，a 2＝k ，b 2＝k 3，c 2＝4k 3，此时焦点为(0，±4k 3)， 由题意得3＝4k 32，解得k ＝27，双曲线方程为y 2－3x 2＝27，即y 227－x 29＝1；当k <0时，a 2＝－k 3，b 2＝－k ，c 2＝－4k3，此时焦点为(±－4k3，0)， 由题意得3＝－4k 2，解得k ＝－9，双曲线方程为y 2－3x 2＝－9，即x 23－y 29＝1.∴所求双曲线方程为y 227－x 29＝1或x 23－y 29＝1.19．(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上， 其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1， 所以其标准方程是x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 线段的中点为M (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为(－95，15)．20．(12分)[2014·山东省青岛二中月考]如图，已知两点P (－2，2)、Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：如图，∵线段AB 在直线l ：y ＝x 上，且线段AB 的长为2，设M (x ，y )，A (t ，t )，B (t ＋1，t ＋1)(t 为参数)，则直线PA 的方程为y －2＝t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠－2)， ①直线QB 的方程为y －2＝t －1t ＋1x (t ≠－1)． ②∵M (x ，y )是直线PA 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0. ③ 当t ＝－2时，PA 的方程为x ＝－2，QB 的方程为3x －y ＋2＝0，此时的交点为M (－2，－4)．当t ＝－1时，QB 的方程为x ＝0，PA 的方程为3x ＋y ＋4＝0，此时的交点为M (0，－4)．经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.21．(12分)如右图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2＝4x 的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点．(1)求抛物线的方程； (2)求|AB |＋|CD |的值．解：(1)由圆的方程x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4可知，圆心为F (2,0)，半径为2. 又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F (2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |， ∵|BC |为已知圆的直径，∴|BC |＝4，则|AB |＋|CD |＝|AD |－4. 设A (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，∵|AD |＝|AF |＋|FD |，而A 、D 在抛物线上， 由已知可得，直线l 的方程为y ＝2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)， 消去y ，得x 2－6x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝6＋4＝10. 因此，|AB |＋|CD |＝10－4＝6.22.(12分)[2014·江西高考]如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x＝32相交于点N . 证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解：(1)设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a )．又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A (c ，ca )，k AB ＝c a －(c 2a )c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则|MF |2|NF |2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2，因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2 ＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.。
北师大版数学高二-选修1-1 模块综合测试2
选修1－1 模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A. x 2－y 2＝2B. x 23－y 2＝1C. x 2－y 2＝3D. x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A5．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A. e 2 B. e C. ln22D. ln2解析：f ′(x )＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，∴x 0＝e. 答案：B6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A.43B.423C.83D.823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．若函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )>0，f ′(x )>0，那么下列关于函数y ＝xf (x )的说法正确的是( )A. 存在极大值B. 存在极小值C. 是减少的D. 是增加的解析：y′＝f(x)＋xf′(x)，∵x∈(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增加的．答案：D8．下列四个结论中正确的个数为()①命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x2>1”；②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am2<bm2，则p∧q为真命题；③命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x21＋x22等于()A. 23 B.43C. 83 D. 4解析：由图像可知，函数f(x)的图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，∴f(x)＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x.∴f′(x)＝3x2－6x＋2.∵x1，x2是极值点，∴x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根．∵x1＋x2＝2，x1x2＝23.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.答案：C10. 把函数f(x)＝x3－3x的图像c1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像c2.若对任意u>0，曲线c1与c2至多有一个交点，则v的最小值为()A. 2B. 4C. 6D. 8解析：f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )>0，得x >1或x <－1.x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )2－2由此根据图像c 1可得v min ＝4.答案：B11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A. 83B. 163C. 833D. 823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||FA |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A. 233B.62C. 2D. 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±12x .答案：y ＝±12x15．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3. 所以f (x )的最小值为f (3)＝b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.答案：10316. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0. 18．(12分)[2014·山西忻州联考]设函数f (x )＝x e x －x (a2x ＋1)＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x －x (12x ＋1)＋2＝x e x －12x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1<x <0时，f ′(x )<0； 当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x (e x －a ＋22x )≥0，即要满足e x ≥a ＋22x ，当x ＝0时，显然成立；当x >0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，易知g (x )的最小值为g (1)＝e ，∴a ＋22≤e ，得a ≤2(e －1)．19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③ 因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0，化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)． 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2014·吉林长春调研]已知函数f (x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －x 3. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 1≠x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2<0. 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2e x －3x 2＝3x 2(e x －1)， ∴当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． ∴f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝6，无极大值． (2)f (x 1)＝f (x 2)且x 1≠x 2，由(1)可知x 1，x 2异号． 不妨设x 1<0，x 2>0，则－x 1>0.令g (x )＝f (x )－f (－x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －(3x 2＋6x ＋6)·e －x －2x 3， 则g ′(x )＝3x 2e x ＋3x 2e －x －6x 2＝3x 2(e x ＋e －x －2)≥0， ∴g (x )在R 上是增函数． 又g (x 1)＝f (x 1)－f (－x 1)<g (0)＝0， ∴f (x 2)＝f (x 1)<f (－x 1)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴x 2<－x 1，即x 1＋x 2<0.22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF＝m －0－3－(－2)＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥124·(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值． 所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。
人教版高二数学选修1-1第二章测试题
高二数学选修1-1第二章测试题一、选择题1．椭圆1422=+y x 的离心率为 ( ) A ．21 B ．23 C ． ±21 D ．±232． 如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离为（ ） A ． 10 B ． 6 C ． 12 D ． 143．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ ） A ．x y 23±= B ．x y 32±= C ．x y 49±= D ．x y 94±= 4. 在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）5. 方程11422=-+-t y t x 表示的曲线为C,给出下面四个命题，其中正确命题的个数是( ) ①若曲线C 为椭圆，则1<t<4 ②若曲线C 为双曲线，则t<1或t>4 ③曲线C 不可能是圆 ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t<23 .2 C6. 3k >是方程22131x y k k +=--表示双曲线的（ ）条件。
A.充分但不必要 B.充要 C.必要但不充分 D.既不充分也不必要 7.抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（ ） A.1(,0)4a B.1(0,)16a C. 1(0,)16a - D. 1(,0)16a8.过点(0,2)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有（ ） 条 条 条 D.无数多条9.设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅=，则12F PF ∆的面积是（ ） 2310.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为31，则椭圆的方程是( ) A.1442x +1282y =1 B.362x +202y =1 C.322x +362y =1 D.362x +322y =1 11.双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )B.3C.2D.23 12.动圆C 经过定点F(0，2)且与直线y+2=0相切，则动圆的圆心C 的轨迹方程是( )=8y=8x =2=213．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 ( ) A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 14. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是32，则双曲线22221x y a b-=的离心率是（ ）A ．54B ．5C ．32D ．515．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ． 2D ．416． 若双曲线1922=-myx 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 ( ) A ．2B ．14C ．5D ．2517．“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的 （ ）（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 ，F 2是定点，｜F 1F 2｜=7，动点M 满足｜MF 1｜+｜MF 2｜=7，则M 的轨迹是( ) （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）圆19.椭圆2x 2+3y 2=6的长轴长是( )（A（B（C）（D）20.已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y21．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )＋y 24＝1 ＋y 23＝1 ＋y 22＝1 ＋y 23＝122．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >223.已知双曲线222x y 1a 0a-=（＞）的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )（A ）y=（B ）y=（C）y=（D ）y=24.设椭圆2222x y 1m n +=、双曲线2222x y 1m n-=、抛物线y 2=2（m+n ）x （其中m ＞n ＞0）的离心率分别为e 1,e 2,e 3,则( )（A ）e 1e 2＞e 3 （B ）e 1e 2＜e 3 （C ）e 1e 2=e 3 （D ）e 1e 2与e 3大小不确定 25.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是( )（A ）43 （B ）75 （C ）85（D ）3 26．设k ＜3,k ≠0，则二次曲线22x y 13k k -=-与22x y 152+=必有( ) (A)不同的顶点 (B)不同的准线 (C)相同的焦点 (D)相同的离心率27.设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) （A（B （C ）12 （D ）12+ 28．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0)B ．(52，332)或(52，－332)C ．(0,3)或(0，－3)D ．(532，32)或(－532，32) 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )－y 2108＝1 －y 227＝1 －y 236＝1 －y 29＝130．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)31．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4或－4 B ．－2 C ．4 D ．2或－232．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) ＋y 2＝1 ＋y 22＝1 ＋y 23＝1 ＋y 24＝133．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )34．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －235.已知双曲线222x y 1a 2a 2-=（＞）的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为( )（A ）233 （B ）263（C ）3 （D ）2 二、填空1．过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为2、已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 3、在抛物线y=x 2上的点___________处的切线倾斜角为4π 4．椭圆x 2＋4y 2=16被直线y =x ＋1截得的弦长为 ．5．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．6．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为________．7．设F 1和F 2是双曲线x24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________．8．过双曲线C ：x2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．9.以抛物线2y 83x =的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是x 3y=0的双曲线方程为______. 三、解答题1．(10分)已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.2．(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程．3．已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率324e =曲线的标准方程．4．设21,F F 分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右两个焦点，椭圆上的点A （1，23）到21,F F 两点的距离之和等于4，求：①写出椭圆C 的方程和焦点坐标②过1F 且倾斜角为30°的直线，交椭圆于A,B 两点，求△AB 2F 的周长5．已知抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （a , 4）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和a 值。
2020学年高中数学第二章单元质量测评(含解析)新人教A版选修1-1(2021-2022学年)
第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分，考试时间12０分钟.第Ⅰ卷（选择题，共６0分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共6０分）1．若k＞１,则关于ｘ,y的方程(1-ｋ)x２＋y２＝ｋ2－1所表示的曲线是（ )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆Ｃ。
焦点在x轴上的双曲线D．焦点在ｙ轴上的双曲线答案Ｄ解析原方程可化为错误!－错误!＝1，因为k＞1,所以k2－１>0,1+k＞０,则方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.故选Ｄ。
２.以双曲线错误!未定义书签。
－错误!=１的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为（）Ａ。
错误!未定义书签。
+＼f（y2,12）=１ B。
＼f（x2,12)＋y２16＝1Ｃ.错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
＝１ D.错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
＝1答案Ａ解析双曲线焦点(±４,0）,顶点(±2,０），故椭圆的焦点为（±2,0），顶点(±4,0），故选A。
３．若m是2和８的等比中项,则圆锥曲线x２＋错误!未定义书签。
=1的离心率为()A。
错误!B。
错误!Ｃ。
错误!或错误!ﻩ D.错误!未定义书签。
或错误!未定义书签。
答案D解析依题意，可知m=±2×８=±4.当m=4时，曲线为椭圆，长半轴长为2，短半轴长为１,则半焦距为错误!未定义书签。
,e=错误!未定义书签。
;当ｍ=－4时，曲线为双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为2,则半焦距为错误!未定义书签。
,e=错误!未定义书签。
故选D。
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点Ｏ，且经过点M(2，y0),若点M到焦点的距离为3,则|OＭ|＝()A。
2错误!B。
2错误!Ｃ。
4 D.2＼r（5）答案Bﻬ解析由题可设抛物线的标准方程为y２=２px(p＞0),∴|ＭF｜=2+＼f（ｐ,2）＝3,∴p=2。
高二数学选修1-1第一、二章测试题
高二数学选修1-1第一、二章测试题班级： 姓名： 座号： 一．选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1. “21sin =A ”是“︒=30A ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 2. 平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ． 甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件3．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，4．双曲线121022=-y x 的焦距为（ ） A ．22 B ．24 C ．32 D ．345. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A. 2 3 B . 6 C . 4 3 D . 126. 双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±=7．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．B ．C ．12D ．138．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）A .53B. 43C ． 54D. 3210．抛物线281x y -=的准线方程是 ( )A ． 321=xB ．2=yC ． 321=y D ．2-=y11．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．412. 抛物线214x y =-的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是：（ ） A ．17-B ．15-C ．7D ．1513. 椭圆2214x y +=的离心率为 .14. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = .15．已知双曲线11222-=-+ny n x n ＝ . 16．已知抛物线的方程是x y 82=，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为2，则双曲线的标准方程是 .三．解答题(本大题共5小题，共40分) 17．(12分) 求下列各曲线的标准方程(1)实轴长为12，离心率为32，焦点在x 轴上的椭圆；(2)抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x 的左顶点.(3) 顶点间的距离为6，渐近线方程为x y 23±=的双曲线。
人教版高二数学选修1-1第二章测试题
高二数学选修1-1第二章测试题一、选择题1．椭圆1422=+y x 的离心率为 ( ) A ．21 B ．23 C ． ±21D ．±232． 如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离为（ ）A ． 10B ． 6C ． 12D ． 143．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ ）A ．x y 23±= B ．x y 32±= C ．x y 49±= D ．x y 94±= 4. 在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）5. 方程11422=-+-t y t x 表示的曲线为C,给出下面四个命题，其中正确命题的个数是①若曲线C 为椭圆，则1<t<4 ②若曲线C 为双曲线，则t<1或t>4 ③曲线C 不可能是圆 ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t<23 A.1 B.2 C.3 D.46. 3k >是方程22131x y k k +=--表示双曲线的（ ）条件。
A .充分但不必要 B .充要 C .必要但不充分 D .既不充分也不必要 7.抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（ ） A .1(,0)4a B .1(0,)16a C .1(0,)16a -D . 1(,0)16a8.过点(0,2)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有（ ） A .1条 B .2条 C .3条 D .无数多条9.设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅= ，则12F PF ∆的面积是（ ） A .1 B .C .D .210.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为31，则椭圆的方程是( ) A.1442x +1282y =1 B.362x +202y =1 C.322x +362y =1 D.362x +322y =1 11.双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A.2B.3C.2D.23 12.动圆C 经过定点F(0，2)且与直线y+2=0相切，则动圆的圆心C 的轨迹方程是( )A.x 2=8yB.y 2=8x C.y=2D.x=213．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x14. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率是（ ）A ．54B ．2C ．32D ． 415．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ． 2D ．4 16． 若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 ( ) A ．2B ．14C ．5D ．2517．“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的 （ ）（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 二、填空题18．过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为19、已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 20、在抛物线y=x 2上的点___________处的切线倾斜角为4π 21．椭圆x 2＋4y 2=16被直线y =x ＋1截得的弦长为 ． 三、解答题22．已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =线的标准方程．23．设21,F F 分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右两个焦点，椭圆上的点A （1，23）到21,F F 两点的距离之和等于4，求：①写出椭圆C 的方程和焦点坐标②过1F 且倾斜角为30°的直线，交椭圆于A,B 两点，求△AB 2F 的周长24．已知抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （a , 4）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和a 值。
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单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．抛物线y ＝x 2的准线方程是( )A ．4y ＋1＝0B ．4x ＋1＝0C ．2y ＋1＝0D ．2x ＋1＝0【答案】 A【解析】 p ＝12，准线方程为y ＝－p 2＝－14，即4y ＋1＝0. 2．设k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线 【答案】 C【解析】 ∵k >1，方程可化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1.表示实轴在y 轴上的双曲线． 3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1【答案】 B【解析】 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B 等于( )A.45B.52C.54D.53【答案】 C【解析】 椭圆x 225＋y 29＝1中，长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，半焦距c ＝4，sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC ＝2a 2c ＝54.5．椭圆a 2x 2－a2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 等于( ) A.1－34 B.1－54 C.－1±34 D.－1±54【答案】 B【解析】 椭圆a 2x 2－a 2y 2＝1可化为x 21a 2＋y2－2a＝1，∴a <0，排除C 、D.当a ＝1－54时，1a 2＝6＋25，－2a ＝2(5＋1)， ∴6＋25－25－2＝4，∴一个焦点是(－2,0)．6．(2013·重庆文)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(233，2] B ．[233，2) C ．(233，＋∞) D ．[233，＋∞)【答案】 A【解析】 由条件知b a >tan30°或ba ≤tan60°此时e >233或e ≤2，所以离心率取值范围是(233，2]． 7．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54) B ．(1,1) C ．(32，94) D ．(2,4)【答案】 B【解析】 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，所以当x ＝1时，d 取最小值355，此时P 为(1,1)．8．(2014·江西文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 【答案】 A【解析】 本题主要考查双曲线的性质及其与圆结合形成的几何关系．如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝ba x (也可设为y ＝－ba x )，由题意知，以F 的半径的圆过点O ，A ， ∴|F A |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝ba x 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4， ∴在△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.9．(2013·全国卷大纲文)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D ．2【答案】 D【解析】 抛物线y 2＝8x 焦点坐标为(2,0)，直线方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k (x －2)，得k 2(x －2)2＝8x ，即k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1－2)，MB →＝(x 2＋2，y 2－2)，由MA →·MB →＝0得 (x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 将y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2.x 1·x 2＝4代入上式中，整理得(k －2)2＝0，∴k ＝2.10．连接双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1的四个顶点构成的四边形的面积为S 1，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为S 2，则S 1 S 2的最大值是( )A ．2B ．1 C.12 D.14【答案】 C【解析】 x 轴上的两个顶点为(a,0)，(－a,0)， y 轴上的两个顶点为(0，b )，(0，－b )． 这四个顶点构成的四边形为菱形， 面积S 1＝12·2a ·2b ＝2ab ， 焦点分别为(±c,0)，(0，±c )， 则四个焦点构成的四边形为正方形，面积S 2＝12·2c ·2c ＝2c 2.∴S 1 S 2＝ab c 2≤a 2＋b 22c 2＝12.当且仅当a ＝b 时，等号成立，故选C.11．(2013·浙江文)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62【答案】 D【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，离心率e ＝ca ，由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝4，①由双曲线的定义得|AF 2|－|AF 1|＝2a ，②将①②两边分别平方相加后得2(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16＋4a 2，而四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝12代入上式得a 2＝2，a ＝2，所以e ＝32＝62，选D. 注意椭圆、双曲线的定义在解题过程中的应用．12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，49)B ．(23，1) C ．(12，23) D ．(0，12)【答案】 C【解析】 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标为(c ，±b 2a )，又k ∈(13，12)，∴B (c ，b 2a )．斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23.二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．【答案】 12【解析】 ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4. 即椭圆的离心率为c a ＝12.14．(2013·天津文)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．[答案] x 2－y 23＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c ＝2，离心率e ＝ca ＝2.a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝3，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.15．抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撑，其中最长支柱的长是________．【答案】 3.84 米【解析】 如图，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为：x 2＝－2py (p >0)， 点A (10，－4)在抛物线上， ∴100＝8p ，p ＝252，∴x 2＝－25y ，其中最长一根长柱与抛物线的交点为B (x 0，y 0)， 由题意知x 0＝2，∴y 0＝－425，∴最长的支柱长为4－425＝9625＝3.84(米)．16．(2014·山东文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】 y ＝±x【解析】 本题考查双曲线、抛物线的几何性质及坐标运算． 如图所示．由题意知A (a,0)，F (0，p 2)，∵|AF |＝c ，∴a 2＋p24＝c 2 又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝p24联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2x 2a 2－y 2b 2＝1得x 2＝2a 2，∴x ＝±2a ，即2c ＝22a . ∴c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2 即c 2＝2a 2＝a 2＋b 2，∴a ＝b 故所求渐近线方程为y ＝±x . 三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)求以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线方程．【解析】 椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)， 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.18．(本题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．若点P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值．【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝14(3x 2－8)．由于x ∈[－2,2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.19．(本题满分12分)如图所示，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．【解析】 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 又k ＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1，消去x ，整理得25y 2－187y －81＝0， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(18725)2＋4×8125＝7225 2.∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2| ＝12×27×7225 2 ＝722514.20．(本题满分12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点．(1)写出C 的方程； (2)若OA→⊥OB →，求k 的值． 【解析】 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.若OA →⊥OB →，则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.21．(本题满分13分)(2014·辽宁文)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．【解析】 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4. 此时，两坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b 2＝1，并由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y ＝x ＋3得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0， 又x 1，x 2是方程的根，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43b 2x 1x 2＝6－2b 2b2，由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3得 |AB |＝2|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2. 由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12·32|AB |＝2得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，∴b 2＝6，a 2＝3(舍去)或b 2＝3，a 2＝6， 从而C 的方程为x 26＋y 23＝1.22．(本题满分13分)(2013·浙江文)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．【解析】 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)得p2＝1， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2|84－x 1－84－x 2|＝82|x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16|＝82k 2＋1|4k －3|令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34. 当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时， |MN |＝22(5t ＋35)2＋1625≥825.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是825.。