幂级数的求和方法
幂级数求和问题20150611
0 x 2
从而
n 1 1 n (n 1)( ) n 2 n＝0 2 n＝0 1 | 4. 2 x 1 1 2 (2 x )
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1011A 例6.
的和函数
n 并求 n1 的值. n 1 2
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为
(1) n1 2 n1 f ( x) x , 4 n 0 2 n 1
1 x 1
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常用已知和函数的幂级数
1 n (1) x ; 1 x n 0 1 2n (3) x ; 2 1 x n 0
x x 1 x n 1
n
n n 1 2 n 1
1 x ( ) (1 x) 2 1 x
4
n在分子上先积后导
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1011A 例6.
的和函数
n 并求 n1 的值. n 1 2
若幂级数 在收敛域上连续．
的收敛半径
则其和函
若幂级数在收敛区间的左端点 x R 收敛, 则其和函
x R n 0
在收敛区间的左端点 x R 右连续,
n x R
lim S ( x ) an ( R )
lim S ( x ) an R n
n 0
若幂级数在收敛区间的右端点 x R 收敛, 在收敛区间的右端点 x R 左连续, 说明：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时，非 则其和函 常有用。
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈!为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全无穷级数是数学中的一个重要概念，它由一系列无穷多个数相加而成。
在许多实际问题中，我们需要计算无穷级数的和。
本文将介绍一些常见的无穷级数求和公式，帮助读者更好地理解和计算无穷级数。
1.等差数列求和公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当n趋近于无穷大时，等差数列的和可以通过以下公式计算：Sn = lim(n→∞) (n/2) [2a1 + (n-1)d]其中Sn是前n项和。
2.等比数列求和公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当，r，<1时，等比数列的和可以通过以下公式计算：Sn=a1/(1-r)当，r，>1时，等比数列的和不存在。
3.幂级数求和公式幂级数是形如∑(n=0)∞a^n的无穷级数，其中a为常数。
幂级数的和可以通过以下公式计算：S=1/(1-a)该公式要求幂级数的绝对值，a，<14.调和级数求和公式调和级数是形如∑(n=1)∞1/n的无穷级数。
调和级数的和发散，即不存在有限的和。
然而，其部分和可以逼近自然对数的常数项：S = ∑(n=1)∞ 1/n ≈ ln(n) + γ5.奇数级数求和公式奇数级数是形如∑(n=1)∞(2n-1)的无穷级数。
奇数级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(2n-1)=n^26.平方和级数求和公式平方和级数是形如∑(n=1)∞n^2的无穷级数。
平方和级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞n^2=n(n+1)(2n+1)/67.指数级数求和公式指数级数是形如∑(n=0)∞(x^n/n!)的无穷级数，其中x为常数。
S=∑(n=0)∞(x^n/n!)=e^x8.费马级数求和公式费马级数是形如∑(n=1)∞(1/n^2)的无穷级数。
费马级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(1/n^2)=π^2/6上述是一些常见的无穷级数求和公式，希望能够帮助读者更好地理解和计算无穷级数的和。
幂级数裂项求和方法总结
幂级数裂项求和方法总结幂级数是数学中常见的一种级数形式，它可以表示为多个项的无穷和。
然而，有时我们需要对幂级数中的某些项进行求和，而非对全部项进行求和。
本文总结了一些常见的幂级数裂项求和方法。
1. 裂项求和方法裂项求和是指在求和过程中将幂级数的某些项拆分或调整，以便将部分项进行简化或消除。
以下是一些常用的裂项求和方法：1.1 取反求和有时候，我们可以通过取反求和的方式，将幂级数的某些项进行简化。
例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，我们可以取反相邻的两个项相加来进行求和，得到以下结果：$$S(x) = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{2-2x^2}{1-x^2}$$1.2 调整系数求和有时候，我们可以通过调整幂级数的系数，使得部分项的系数相等，从而进行简化。
例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (a_n - a_{n+1}) x^n$，我们可以调整系数使得相邻项的系数相等，得到以下结果：$$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n - a_{n+1}) x^n = a_0 + (a_1 -a_1) x + (a_2 - a_1) x^2 + \ldots = a_0$$1.3 利用等比数列求和对于具有等比数列性质的幂级数，我们可以利用等比数列的求和公式进行简化。
例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a r^n$，如果 $|r| < 1$，则该幂级数的求和可以表示为以下公式：$$S(x) = \frac{a}{1-r}$$2. 注意事项和应用场景在使用幂级数裂项求和方法时，需要注意以下事项：- 裂项求和方法可能会改变幂级数的收敛性。
因此，在裂项求和之后，需要重新评估幂级数的收敛性。
- 裂项求和方法适用于特定的幂级数形式和求和要求。
在应用时，需要根据具体情况来选择合适的裂项求和方法。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
关于数项级数求和的几种特殊方法
关于数项级数求和的几种特殊方法数项级数是指由一系列数相加所得的无穷级数。
求解数项级数的和是数学中的一个基本问题，涉及到许多特殊的求和方法。
以下将介绍几种常见的数项级数求和方法。
1.等差数列求和法：如果数项级数的通项形式是等差数列(an = a0 + nd)，其中a0为首项，d为公差，n为项数，则可以用等差数列的求和公式来求和。
求和公式为Sn = (n/2)(a0 + an)。
2. 几何级数求和法：如果数项级数的通项形式是几何级数(an =ar^n)，其中a为首项，r为公比，n为项数，则可以用几何级数的求和公式来求和。
当，r，<1时，求和公式为Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)；当，r，>1时，数项级数的和为无穷，即Sn = ∞。
3. 收敛数项级数的逐项求和法：如果数项级数的每一项都是收敛的，即lim(n→∞) an = 0，则可以使用逐项求和法来求和。
逐项求和法是将级数中的每一项逐项相加，得到一个新的数列，然后求这个数列的极限，得到数项级数的和。
4. 绝对收敛数项级数的重排法：如果数项级数的每一项都是绝对收敛的，即级数Σ，an，是收敛的，则可以使用重排法来改变数项级数的次序，从而得到新的数项级数的和。
重排法的基本思想是将原数项级数中的正项和负项分别移到前面，并保持它们的相对位置不变，然后将分别得到的两个数项级数分别求和，再将两个数项级数的和相加。
应注意的是，只有在级数绝对收敛的情况下，可以使用重排法。
5. 幂级数求和法：如果数项级数的通项形式是幂级数(an = cnx^n)，其中c为常数，x为自变量，n为项数，则可以使用幂级数的求和公式来求和。
幂级数的求和公式是一个特殊的函数，称为幂函数。
通过幂函数的特性，可以将幂级数转化为一个已知的函数，并求出幂级数的和。
6.泰勒级数求和法：如果数项级数的通项形式是一个函数的泰勒级数展开，即级数的每一项都是函数在其中一点的导数值除以相应阶乘的结果，则可以使用泰勒级数的求和公式来求和。
大一高数幂级数知识点
大一高数幂级数知识点幂级数是数学分析中的一个重要概念，它在函数的分析和近似表示中扮演着重要的角色。
本文将介绍大一高数中与幂级数相关的知识点，包括幂级数的定义、收敛性判定、常见的幂级数函数以及求和方法等内容。
一、幂级数的定义和性质幂级数是一种形如∑(an*(x-a)^n)的级数，其中an为常数系数，x是变量，a是常数。
幂级数通常以x为自变量，可以展开为无穷项的多项式。
幂级数的定义如下：【数学公式】其中，an为幂级数的系数，x-a为幂级数的变量项，n为幂级数的指数。
幂级数的收敛区间是使得幂级数收敛的所有x值所构成的区间。
根据幂级数的性质，收敛区间的长度可以是0到正无穷大，也可以是无穷小到无穷大。
当x位于收敛区间时，幂级数才会收敛于一个确定的值。
二、收敛性判定对于给定的幂级数，我们需要判断其在某个特定点或区间是否收敛。
常用的收敛性判定方法有以下几种：1. 比值判别法：根据幂级数绝对值的比值是否小于1来判断其收敛性。
2. 根值判别法：根据幂级数绝对值的n次根是否小于1来判断其收敛性。
3. 阿贝尔定理：对于幂级数∑(anx^n)，当x=a时，如果∑(an*a^n)收敛，则对任意|x-a|<|a|，幂级数都收敛。
三、常见的幂级数函数1. 指数函数：幂级数形如∑(x^n/n!)，其收敛区间为(-∞, +∞)，用以近似表示自然指数函数。
2. 正弦函数和余弦函数：幂级数形如∑((-1)^n*(x^(2n)/((2n)!)))和∑((-1)^n*(x^(2n+1)/((2n+1)!)))，分别用以近似表示正弦函数和余弦函数。
3. 自然对数函数：幂级数形如∑((-1)^(n+1)*(x^n/n))，其收敛区间为(-1, 1]，用以近似表示自然对数函数。
四、求和方法1. 逐项求和：对于给定的幂级数，可以按照幂级数的定义逐项求和，得到幂级数的和函数。
2. 求导和积分：对于已知的函数，可以通过求导和积分的方式得到其对应的幂级数表示。
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幂级数的求和方法
作者：杜道渊
来源：《价值工程》2010年第26期
摘要: 本文应用高等数学的知识,介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。
Abstract: By means of the relevant knowledge from the advanced mathematics, some general summation method and techniques of power series are introduced in this paper.
关键词: 幂级数;收敛区间;求和
Key words: power series; convergence interval; summation
中图分类号:G42 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)26-0202-01
0引言
幂级数ax的求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧性。
下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。
1计算部分和的极限
根据无穷级数收敛的定义知:部分和的极限如果存在,则该极限就是无穷级数的和。
对于幂级数ax,设前项和为s(x),则s(x)=s(x)
例1求幂级数nx(x
解:记部分和s(x)=kx,则xs(x)=kx,s(x)-xs(x)=-nx,s(x)=-x,因为x
2逐项微分
幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的,且有逐项求导公式
s′(x)=ax′=ax′=nax
通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数,再积分即可。
例2在区间(-1,1)内求幂级数x的和函数,并由此计算级数的和
解:设和函数为s(x),则s(x)=x=x+x
x=,设s(x)=x,逐项求导得
s(x)=x=
两边积分s(x)dx=dx=-ln(1-x)=s1(x)
所以s(x)=-ln(1-x)
令得x=得=s=-ln1-=1+ln2
3逐项积分
幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的,且有逐项积分公式
s(x)dx=axdx=axdx=x
通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数,再求导即可。
例3求幂级数(n+1)2xn (x
解:设s(x)=(n+1)2xn,两边积分
s(x)dx=(n+1)xdx=(n+1)2xdx=(n+1)x
=x(x)=xx=x=
即s(x)dx=
上式两端求导得和函数s(x)= (x
4转化为微分方程
幂级数在收敛区间内其和函数具有任意阶导数。
对于有的幂级数在求其和函数时可以先求出幂级数所满足的微分方程及初始条件,再通过解微分方程来求和函数。
例4求幂级数的和函数
解:设s(x)=,则
s′(x)=′=
s″(x)=
以上三式相加得s(x)+s′(x)+s″(x)==e,这是二阶常系数的线性微分方程,且满足初始条件s(0)=1,s′(0)=0,
解此微分方程得s(x)=ecosx+e,(-∞
通过以上介绍的求和方法及具体例子,举一反三,对于这部分内容的学习是很有帮助的。
参考文献:
[1]杨宁,周海东等.西南交大.高等数学(下)[M].成都:西南交通大学出版社,2003.
[2]吴赣昌.高等数学(下)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.
[3]毕道旺.无穷级数求和举隅[J].宁波教育学院学报,2009,(4):76-78.。