2.1 控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理与应用第2章
msN (s)
N (s)
1 K eΦ
U
d
(s)
根据传递函数的定义，则其传递函数为
1
G(s) N(s)
KeΦ
U d (s) m d s 2 m s 1
第2章 控制系统的数学模型 2． 阻抗法 求取无源网络或电子调节器的传递函数， 采用阻抗法较为 方便。 电路中的电阻、 电感、 电容元件的复域模型电路如图2-4 所示。
第2章 控制系统的数学模型
将上式展开成部分分式表达式
U
c
(s)
1 s
s
1
1
T
取拉氏反变换得微分方程的解为
1t
uc 1 e T
第2章 控制系统的数学模型
例5：
已知系统的微分方程为 d 2 y dt 2
2 dy dt
y
x ，x及各阶
导数在t=0时的值为零。试求在x=1(t)时系统的输出y。
相对静止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为 零。
所以， 在初始条件为零时， 对微分方程的一般表示式两 边进行拉氏变换
an s nC(s) an1s n1C(s) a1sC(s) a0C(s) bm s m R(s) bm1s m1R(s) b1sR(s) b0 R(s)
第2章 控制系统的数学模型
2.2.3 传递函数的性质
（1） 传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程 之间存在着对应的关系。对于一个确定的系统（输入量与输 出量也已经确定），它的微分方程是惟一的，所以，其传递 函数也是惟一的。
第2章 控制系统的数学模型
（2） 传递函数是复变量s（s=σ+jω）的有理分式，s是复 数，而分式中的各项系数an，an-1，…，a1，a0及bm，bm-1，…， b1，b0都是实数，它们是由组成系统的元件结构、参数决定的， 而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此传递函数代表了 系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型， 称为系统的复数域模型。
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
第二章wmx控制系统的数学描述
f=y
df dy y=y0
y
f
0
A 平衡点 （工作点）
y
0
y
M
y0 f0
对于微小偏差△y，可以用线性化方程来计算弹簧弹 力f，替代原来的二次方程。
补例2-2 试证明补图2.2(a)、(b)所示的机、电系统是相 似系统(即两系统具有相同的数学模型)。
R2 C2
K1 B1 Xr Ur
R1 Uc C1
K2 B2 (b) 电气系统 Xc
补图2.2 机电相似系统
(a) 机械系统
Hale Waihona Puke 解： 对机械网络：输入为Xr， • 对电气网络(b)，列写电 输出为Xc，根据力平衡， 路方程如下： 可列出其运动方程式
R2 i +
K1 (Xr - Xc ) + B1 (Xr - Xc ) = K2Xc + B2 Xc
•
•
•
1 1 idt + R1i + ∫ ∫ idt = U r C2 C1
C1U c1 = C 2U c2
U c = R1i + U c1
②
③
( B1 + B2 ) X c + ( K 1 + K 2 ) X c = B1 X r + K 1 X r
⑤
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不 计，因而⑤可简化为
dω m (t ) (t Tm + ω m (t ) = K1U a (t ) − K 2 M c (t ) dt
Tm = Ra J m Ra f m + C m C e
⑥
电动机机电时间常数（s）
Ra K2 = Raf m + C m C e
控制系统的数学模型(卢京潮课件)
y( x ) y( x ) y( x0 )
E0 sin x0 ( x x0 )
即有
y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s ) 例1 F ( s ) s 2 2 j
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i (t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
例7 例8 例9
1 1 L 1 t e Le ss sa sa s3 s - 3t 2 L e cos 5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3
f (t ) e
F ( s ) F ( s A) 右 dt源自00
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程（1）
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上海大学工程控制原理2. 数学模型与传递函数主讲：周晓君办公室：机械副楼209-2室电子邮件：sdzhouxj@ 办公电话：56331523上海大学建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。
如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
2.1控制系统的数学模型2.1.1 数学模型对于一个复杂的物理系统，为了对系统的动态特性进行分析和综合，必须用数学表达式来描述该系统，这个表达式称为该系统的“数学模型”。
由于动态过程中有关物理量都是时间的函数，所以，通常用微分方程来描述系统。
数学模型描述系统或元件的动态特性的数学表达式深入了解元件及系统的动态特性，建模准确建立它们的数学模型上海大学上海大学2.1.1 数学模型数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。
系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。
静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。
因此，静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。
上海大学2.1.1 数学模型动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。
工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。
对于线性系统，它们之间是等价的。
针对具体问题，选择不同的数学模型。
上海大学2.1.2 建立控制系统数学模型的方法物理系统往往比较复杂，因而必须作一些理想化的假设，获得简化的数学模型。
理论分析法（解析法）：对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。
实验研究法根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。
即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
对于比较复杂的系统，需要通过理论分析与实验研究结合起来，才能获得适用的数学模型。
上海大学2.1.3 线性系统与非线性系统(1) 线性系统若描述系统的微分方程是变量及其导数的一次有理整式，则此系统称为线性系统。
线性系统可以用线性微分方程描述。
如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t 的函数，则为线性时变系统。
线性系统的线性性质是指系统满足叠加性和齐次性。
叠加性：指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。
齐次性：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。
上海大学(2) 非线性系统不是线性系统的系统称为非线性系统。
非线性系统用非线性微分方程描述。
非线性系统不满足叠加性和齐次性。
系统中只要含有一个非线性性质的元件，就成为一个非线性系统。
许多机械系统各物理量之间的关系都是非线性的，即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内保持线性关系。
因此，研究机械系统的某些动态特性时，必须考虑系统中的非线性特征。
上海大学例其中：a ，b ，c ，d 均为常数线性定常系统22d ()d ()()()d d x t x t y t a b cx t t t=++线性时变系统22d ()d ()()()()()()d d x t x t y t a t b t c t x t t t=++非线性系统)()(2t x t y =上海大学(2) 非线性系统许多机械系统、电气系统、液压及气动系统等，其物理量之间都包含有非线性关系。
例如：在大输入信号作用下，元件的输出量可能饱和(即饱和非线性)；在小信号输入下，元件没有输出量(即死区非线性)；某些元件中可能存在着平方非线性关系。
如下图所示。
饱和非线性死区非线性平方律非线性各种非线性因素的特性曲线(2) 非线性系统是否线性元件的判别：元件的输出与输入间关系为一次幂函数线性元件二次或高次幂函数、周期函数或超越函数非线性元件判别系统数学模型微分方程是否非线性：其中的函数出现高于一次的项，或者函数导数项的系数是输出量的函数。
上海大学上海大学机械系统中常见的一些非线性问题传动间隙：由齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统中，经常存在有传动间隙Δ，使输入转角x i 和输出位移x o之间有滞环关系。
传动间隙Δo x i x o 死区x i d x o dt o 死区：在死区范围内，系统有输入而没有输出。
例如：负开口的液压伺服阀上海大学摩擦力：机械滑动运动副，如：机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。
右图为干摩擦力（也称库伦摩擦力，其大小为 f ）与运动速度d x/d t 的关系。
摩擦力f 总是与速度d x/d t 的方向相反。
干摩擦力fo Fd xdt上海大学摩擦力：实际运动副中的摩擦力与运动速度的大小有关，如右图。
F 与d x/d t 的曲线大致分为三个阶段：（F 与d x/d t 的方向相反）粘性摩擦力d x dt o F 起动时的静动摩擦力；（摩擦力数值较大）低速时的混合摩擦力；（摩擦力呈下降特性） 粘性摩擦力。
（摩擦力随速度的增加而增加）上海大学2.1.4 系统非线性微分方程的线性化工程上，绝对的线性元件和线性系统是不存在的；数学上，非线性微分方程的求解困难，目前只能采用数值解法，但也存在较大的数值误差。
为了解决工程实际问题，必须对非线性微分方程进行线性化处理。
本质非线性性质：在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的元件或系统。
2.1控制系统的数学模型上海大学对于非本质非本质非线性元件或系统，可以在工作点附近用切线来替代函数关系，这就是非线性数学模型的线性化方法之一（微小偏差法）。
系统正常工作时，通常都有一个预定工作点，即系统处于某一平衡位置，对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工作状态稍一偏离此平衡位置，整个系统就会立即作出反应，并力图恢复原来的平衡位置。
上海大学具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或微小偏差法。
在预定工作点处一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。
一个变量的非线性函数f (x )，在x 0处连续可微，则可将它在该点附件用Taylor 级数展开o f (x )xf (x 0)x 0Δx Δf (x )⋅⋅⋅+−′′+−′+=200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f 增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有))(()()(000x x x f x f x f −′=−上海大学两个变量的非线性函数f (x , y )，在(x 0, y 0) 处连续可微，则也可将它在该点附件用Taylor 级数展开增量较小时，可略去其二次以上高次幂项，则有)(),()(),(),(),(00000000y y yy x f x x x y x f y x f y x f −∂∂+−∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∂∂+−−∂∂∂+−∂∂+20200200002202002)(),())((),(2)(),(!21y y y y x f y y x x y x y x f x x x y x f ⋅⋅⋅+)(),()(),(),(),(00000000y y yy x f x x x y x f y x f y x f −∂∂+−∂∂=−上海大学9单变量非线性函数f (x )的线性化数学模型为xk x f Δ=Δ)(9双变量非线性函数f (x , y )的线性化数学模型为yk x k y x f Δ+Δ=Δ21),(式中：)()()(0x f x f x f −=Δ)(0x f k ′=0x x x −=Δ；；式中：),(),(),(00y x f y x f y x f −=Δx y x f k ∂∂=),(0010x x x −=Δ；；yy x f k ∂∂=),(0020y y y −=Δ；；上海大学非线性系统线性化时的注意事项：(1) 必须明确系统处于平衡状态的工作点，因为不同工作点所得到线性化方程的系数不同，即：非线性曲线上各点的斜率（导数）是不同的；(2) 如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，除工作点外的其他工况必定存在较大的误差。
因此非线性系统线性化是有条件的：变量偏离预定工作点很小。
(3) 对于某些典型的本质非线性，如果非线性函数是不连续的，则在不连续点附近不能得到收敛的Taylor 级数，此时就不能线性化。
(4) 线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。
上海大学试把非线性方程z ＝xy 在区域5≤x ≤7、10≤y ≤12 上线性化。
求用线性化方程来计算当x =5，y =10 时z 值所产生的误差。
解：由于研究的区域为5≤x ≤7、10≤y ≤12，故选择工作点x 0=6，y 0=11。
于是z 0=x 0y 0=6×11=66。
求在点x 0=6，y 0=11，z 0=66 附近非线性方程的线性化表达式。
将非线性方程在点（x 0, y 0, z 0）处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有上海大学因此，线性化方程式为：)()(02010y y k x x k z z −+−=−110100==∂∂===y xz k y y x x 60200==∂∂===x yz k y y x x )11(6)6(1166−×+−×=−y x z 66611−+=y x z 当x =5，y =10 时，z 的精确值为：z ＝xy =5×10=50由线性化方程求得的z 值为z =11x +6y -66=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数为%2501=上海大学2.1.5 系统微分方程的建立建立微分方程的步骤是：1) 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；2) 从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理、化学、生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。
所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。
3) 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。
2.1控制系统的数学模型上海大学标准方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的各项放在方程的右边；②与输出量有关的各项放在方程的左边；③各导数项按降幂排列。