2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 单元评估检测2 函数、导数及其应用 文 北师大版
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 坐标系与参数方程 第2节 参数方程学案 文
第二节 参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第161页)[基础知识填充]1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么Error!就是曲线的参数方程．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2Error!(φ为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程Error!中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数M 0M→量．( )(3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原π3点，则直线OM .( )3[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线Error!(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由Error!得Error!所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：Error!(t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋t ，且y ＝1＋t ，2222消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为Error!(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①由Error!消去t 得y 2＝8x .②联立①②得Error!即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【导学号：00090372】[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋＝1.2分y 24将直线l 的参数方程Error!代入x 2＋＝1，得2＋＝1，即7t 2＋16t ＝0，y 24(1＋12t)(32t )24解得t 1＝0，t 2＝－，所以AB ＝|t 1－t 2|＝.10分167167(对应学生用书第162页)参数方程与普通方程的互化 已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．[解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，2分圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.4分(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝≤4，8分|－2a |5解得－2≤a ≤2.10分55[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：Error!(t 为参数)过椭圆C ：Error!(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．[解] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为＋＝1，4分x 29y 24所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)，则3－0－a ＝0，所以a ＝3.10分参数方程的应用 (2018·合肥模拟)已知曲线C ：＋＝1，直线l ：Error!(t 为参数)．x 24y 29(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.4分(2)曲线C 上任意一点P (2cosθ，3sin θ)到l 的距离为d ＝|4cos θ＋3sin55θ－6|，则|PA |＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.8分d sin 30°25543当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.10分255[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如Error!(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝.π6(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值. 【导学号：00090373】[解] (1)由Error!消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.2分又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝，π6所以l 的参数方程为Error!即Error!(t 为参数).4分(2)把直线l 的参数方程Error!代入x 2＋y 2＝16，得2＋2＝16，t 2＋(＋2)t －11＝0，(1＋32t)(2＋12t )3所以t 1t 2＝－11，8分由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.10分参数方程与极坐标方程的综合应用 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l 2的参数方程为Error!(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．2[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；1分消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝(x ＋2).2分1k 设P (x ，y )，由题设得Error!消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).4分(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π).5分联立Error!得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).6分故tan θ＝－，从而cos 2θ＝，sin 2θ＝.8分13910110代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为.10分5[规律方法] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin＝2.(θ＋π4)2(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解] (1)C 1的普通方程为＋y 2＝1，2分x 23由于曲线C 2的方程为ρsin＝2，(θ＋π4)2所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.4分(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(cos α，sin α)．3因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，8分又d (α)＝＝，|3cos α＋sin α－4|22|s in (α＋π3)－2|当且仅当α＝2k π＋(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标π62为.10分(32，12)。
【小初高学习】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第2章 函数、导数及其应
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第11页)[基础知识填充]1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称．(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a (a ＞0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B ．13C ．12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12D ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]5．(教材改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( ) A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B ．法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B ．](对应学生用书第12页)(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝lg(1＋4x 2－2x )； (3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【导学号：00090021】[解] (1)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，且f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4x 2－2x ＝－lg(1＋4x 2－2x )＝－f (x )． 故原函数为奇函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断． [变式训练1] (1)(2018·商丘模拟)已知函数f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，e)上是增加的B ．奇函数，且在(0，e)上是减少的C ．偶函数，且在(0，e)上是增加的D ．偶函数，且在(0，e)上是减少的(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：00090022】 A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(1)D (2)C [(1)f (x )的定义域为(－e ，e)，关于原点对称．f (－x )＝ln(e －x )＋ln(e ＋x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．又f (x )＝ln(e 2－x 2)，所以f (x )在(0，e)上是减少的．(2)A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|·g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，D 错．]a ＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， ∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1. (2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] (1)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)(2018·青岛模拟)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(1)A (2)－32 [(1)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. (2)f (－x )＝ln(e－3x＋1)－ax ＝ln 1＋e 3xe3x －ax ＝ln(1＋e 3x)－3x －ax ，依题意得，对任意x∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即ln(1＋e 3x)－3x －ax ＝ln(1＋e 3x)＋ax ， 化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，因此2a ＋3＝0，解得a ＝－32.](1)(201＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.(1)6 (2)1 009 [(1)∵f (x ＋4)＝f (x －2)， ∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][母题探究1] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )． 故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009. [母题探究2] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1fx ＋＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质． 2．在解决具体问题时，要注意“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D ．]。
2019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科) 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最
第二节 函数的单调性与最大(小)值[考纲传真] .理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．函数的单调性()单调函数的定义如果函数＝()在区间上是增加的或是减少的，那么就称为单调区间．．函数的最大(小)值函数单调性的常用结论()对任意，∈(≠)，＞⇔()在上是增函数，＜⇔()在上是减函数．()对勾函数＝＋(＞)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，)和(，]．()在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．()函数(())的单调性与函数＝()和＝()的单调性的关系是“同增异减”．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()对于函数()，∈，若对任意，∈，≠且(－)·[()－()]>，则函数()在区间上是增加的．( )()函数＝的单调递减区间是(－∞，)∪(，＋∞)．( )()函数＝在上是增加的．( )()函数＝－在区间[，＋∞)上是增加的，则函数＝－的单调递增区间为[，＋∞)．( ) [答案]()√()×()×()×．(·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )．＝．＝．＝．＝[选项，中函数在定义域内均为单调递增函数，选项为在定义域内为单调递减函数，选项中，设＜(，≠)，则－＝－＝，因为－＜，当，同号时＞，－＜，当，异号时＜，－＞，所以函数＝在定义域上不是单调函数，故选．]．(教材改编)已知函数()＝，∈[]，则()的最大值为，最小值为．[可判断函数()＝在[]上为减函数，所以()＝()＝，()＝()＝.]．函数＝(＋)＋在上是减函数，则的取值范围是．[由题意知＋＜，得＜－.]．()＝－，∈[－]的单调增区间为，()＝.[][()＝(－)－，故()的单调增区间为[]，()＝(－)＝.](对应学生用书第页)．(－∞，－) ．(－∞，)．(，＋∞)．(，＋∞)()试讨论函数()＝＋(＞)的单调性．【导学号：】() [由－－>，得>或<－.设＝－－，则＝在∈(，＋∞)上为增函数．欲求函数()的单调递增区间，即求函数＝－－的单调递增区间．∵函数＝－－的单调递增区间为(，＋∞)，∴函数()的单调递增区间为(，＋∞)．故选．]()法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，)∪(，＋∞)．在(，＋∞)内任取，，令＜＜，那么()－()＝－＝(－)＋＝(－)·.因为＜＜，所以－＞，＞.故当，∈(，＋∞)时，()＜()，即函数在(，＋∞)上是增加的．。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：重点强化训练2平面向量文北师大版_36
重点强化训练(二) 平面向量A组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ( )A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λbD [因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( ) 【导学号：00090149】2A．－1 B．1 2C． D．2B [因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝2.展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.]3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D [若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则与的夹角为( )OA → OC → 13OB → OC → A ． B ． π6π3C ．πD ．π2356A [由题意，得＋＝(3＋cos α，sin α)，OA → OC→ 所以|＋|＝OA → OC→ 3＋cos α 2＋sin2α＝＝，10＋6cos α13即cos α＝，12因为α∈(0，π)，所以α＝，C .π3(12，32)设与的夹角为θ，OB → OC→ 则cos θ＝＝＝.OB → ·OC → |OB →|·|OC →|3233×132因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]π65．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝，则·的3OA → OB→ 值是 ( )A ．－ B ．1212C ．－D ．034A [取AB 的中点C ，连接OC ，AB ＝，3则AC ＝，又因为OA ＝1，32所以sin ＝sin∠AOC ＝＝，(12∠AOB)AC OA 32所以∠AOB ＝120°，则·＝1×1×cos 120°＝－.]OA → OB→12二、填空题6．设O 是坐标原点，已知＝(k,12)，＝(10，k )，＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，OA → OB → OC→ 则实数k 的值为________．11或－2 [由题意得＝－＝(k －4,7)，CA → OA → OC→ ＝－＝(6，k －5)，CB → OB → OC → 所以(k －4)(k －5)＝6×7，k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝，且a 与b 的夹21角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】2 [由|a －2b |＝得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.21即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－(舍)．]528．已知点A ，B ，C 满足||＝3，||＝4，||＝5，AB → BC → CA→ 则·＋·＋·＝________.AB → BC → BC → CA → CA → AB→ －25 [由||2＋||2＝||2得∠B ＝90°，cos C ＝，cos A ＝，·＝0，·AB → BC → CA → 4535AB → BC → BC →＝4×5×＝－16，·＝5×3×＝－9，所CA → (－45)CA → AB → (－35)以·＋·＋·＝－25.]AB → BC → BC → CA → CA → AB→三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且＝m ＋n (m ，n ∈R )．OP → AB → AC→ (1)若m ＝n ＝，求||；23OP→(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．[解] (1)∵m ＝n ＝，＝(1,2)，＝(2,1)，23AB → AC→ ∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，3分OP→ 2323∴||＝＝2.5分OP→ 22＋222(2)∵＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，OP→ ∴Error!8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12分10．设向量a ＝(sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈.3[0，π2](1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【导学号：00090151】[解] (1)由|a |2＝(sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，3|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分又x ∈，从而sin x ＝，所以x ＝.5分[0，π2]12π6(2)f (x )＝a ·b ＝sin x ·cos x ＋sin 2x 3＝sin 2x －cos 2x ＋＝sin＋，8分321212(2x －π6)12当x ＝∈时，sin 取最大值1.π3[0，π2](2x －π6)所以f (x )的最大值为.12分32B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设＝a ，＝b ，＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )OA → OB → OC → 【导学号：00090152】A ．－4B ．3C ．－11D ．10C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，＝－＝b －a ，＝－OA ＝(m －1)a －2B ．AB → OB → OA → AC → OC → ∵AB ⊥AC ，∴·＝0，AB → AC→即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0，即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0，解得m ＝－11.故选C ．]2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．AM → AN→图29 [由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影AM → AN → AM → AN → AM→ 之积，所以(·)max ＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.]AM → AN → AM → AC→ (12AB → ＋AD → )AB → AD → 12AB → AD → 32AB → AD → 3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .3(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝，且向量7m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －sin 2x ＝1＋cos2x －sin332x ＝1＋2cos，2分(2x ＋π3)令2k π≤2x ＋≤2k π＋π(k ∈Z )，π3解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )，π6π3∴f (x )的单调递减区间为(k ∈Z ).5分[k π－π6，k π＋π3](2)∵f (A )＝1＋2cos ＝－1，(2A ＋π3)∴cos＝－1.7分(2A ＋π3)又<2A ＋<，∴2A ＋＝π，即A ＝.9分π3π37π3π3π37∵a＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②由①②可得b＝3，c＝2.12分。
【K12教育学习资料】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第2章 函数、导
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第34页)[基础知识填充]1．函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．(2)极大值点与极小值点①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点．(3)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[知识拓展]1．对于可导函数f′(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．( )(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2121所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )图2121A．1 B．2C．3 D．4A[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )3A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 B．－2C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增加的，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上是增加的．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________. 【导学号：00090069】8[y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.](对应学生用书第35页)角度1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2122所示，则下列结论中一定成立的是( )图2122A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．] 角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．【导学号：00090070】[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝A ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值. 12分角度3 已知极值求参数(1)(2018·青岛模拟)若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为( ) A ．2 B ．6 C ．2或6D ．－2或－6(2)(2018·广州一模)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________. (1)B (2)2 [(1)∵函数f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，它的导数为f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，由题意知，在x ＝2处的导数值为12－8c ＋c 2＝0，∴c ＝6，或c ＝2，又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，故导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x －2)，不满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12)＝3(x －2)(x －6)，满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数，故c ＝6.故选B ． (2)求导函数可得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2， ∴f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2，或a ＝6，当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下：单调递减单调递增(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上是增加的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ， 7分当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上是减少的，在(k －1,1]上是增加的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上是减少的， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 10分综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值． [变式训练1] (2018·南昌模拟)函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为( ) A ．0 B ．1e C ．4e4D ．2e2 A [f ′(x )＝1－xe x ，当x ∈[0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1,4]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，∴当x ＝0时，f (x )有最小值，且f (0)＝0.]与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【导学号：00090071】[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋x －2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分 [规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0；x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值．]。
2019高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第2章 函数、导数及其应用 第7节 函数的图像课件
[规律方法] 函数图像的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下 位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
)
【导学号：00090038】
C
[令
f(x)＝1－sinco2sx
， x
∵f(1)＝1－sinco2s 1＞0，f(π)＝1－sinco2sππ＝0，
∴排除选项 A，D.
由 1－cos x≠0 得 x≠2kπ(k∈Z)，
故函数 f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝1－sinco－s2－xx＝－1－sinco2sx x＝－f(x)，
[变式训练 1] 分别画出下列函数的图像： (1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|. [解] (1)∵y＝|lg x|＝l－g lxg，xx，≥01＜，x＜1. ∴函数 y＝|lg x|的图像，如图①.
(2)当 x≥0 时，y＝sin|x|与 y＝sin x 的图像完全相同，又 y＝sin|x|为偶函数，图 像关于 y 轴对称，其图像如图②.
①
A．甲是图①，乙是图② C．甲是图③，乙是图②
②
③
④
图 2-7-1
B．甲是图①，乙是图④
D．甲是图③，乙是图④
B [设甲骑车速度为 V 甲骑，甲跑步速度为 V 甲跑，乙骑车速度为 V 乙骑，乙跑 步速度为 V 乙跑，依题意 V 甲骑＞V 乙骑＞V 乙跑＞V 甲跑，故选 B.]
3．函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称，
[知识拓展] 1．一个函数图像的对称关系
2019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科)重点强化训练2平面向量文北师大版_36
重点强化训练(二) 平面向量组基础达标(建议用时：分钟)一、选择题．(·石家庄模拟)已知，是两个非零向量，且＋＝＋，则下列说法正确的是 ( ) ．＋＝．＝．与共线反向．存在正实数λ，使＝λ[因为，是两个非零向量，且＋＝＋.则与共线同向，故正确．]．若，，均为单位向量，且·＝，(－)·(－)≤，则＋－的最大值为( ) 【导学号：】．－．．．[因为＝＝＝，·＝，所以＋＝＋＋·＝，故＋＝.展开(－)·(－)≤，得·－(＋)·＋≤，即－(＋)·＋≤，整理，得(＋)·≥.而＋－＝(＋)－(＋)·＋＝－(＋)·，所以－(＋)·≤－×＝.所以＋－≤，即＋－≤.]．(·北京高考)设，是向量，则“＝”是“＋＝－”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[若＝成立，则以，为邻边的平行四边形为菱形．＋，－表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以＋＝－不一定成立，从而不是充分条件；反之，若＋＝－成立，则以，为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以＝不一定成立，从而不是必要条件．故“＝”是“＋＝－”的既不充分也不必要条件．]．在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，()，()，( α，α)，若＋＝，α∈(，π)，则与的夹角为( )．．．π．π[由题意，得＋＝(＋α，α)，所以＋＝α＋α)＝α)＝，即α＝，因为α∈(，π)，所以α＝，.设与的夹角为θ，则θ＝＝＝.因为θ∈[，π]，所以θ＝.]．已知直线＋＋＝与圆：＋＝相交于，两点，且＝，则·的值是 ( ) ．－．．－．[取的中点，连接，＝，则＝，又因为＝，所以＝∠＝＝，所以∠＝°，则·＝×× °＝－.]二、填空题．设是坐标原点，已知＝()，＝(，)，＝()，若，，三点共线，则实数的值为．或－[由题意得＝－＝(－)，＝－＝(，－)，所以(－)(－)＝×，－＝或－＝－，即＝或＝－.]．(·黄冈模拟)已知两个平面向量，满足＝，－＝，且与的夹角为°，则＝. 【导学号：】[由－＝得－·＋＝.即＋＋＝，解得＝或＝－(舍)．]．已知点，，满足＝，＝，＝，则·＋·＋·＝.－[由＋＝得∠＝°，＝，＝，·＝，·＝××＝－，·＝××＝－，所以·＋·＋·＝－.]三、解答题。
2019高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件
[变式训练 2] (1)(2015·湖北高考)函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数为
________．
(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，
则方程 f(x)＝log3|x|的解的个数是( )
A．0
B．2
C．4
D．6
(1)2 (2)C [(1)f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由 f(x) ＝0，得 sin 2x＝x2. 设 y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示．
由图像知，两个函数图像有 2 个交点，故函数 f(x)有两个零点．
loga10＞2，
解得 6＜a＜ 10.
故 a 的取值范围是( 6， 10)．
[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定 参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图 像，然后数形结合求解．
[解] 由 f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函数， 所以 f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)， 所以函数图像关于 x＝2 对称，且 f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程 f(x)＝logax 有三个不同的根，
则满足af＞6＜1，2， f10＞2，
a＞1， 如图，即loga6＜2，
A．y＝cos x
B．y＝sin x
C．y＝ln x
D．y＝x2＋1
A [由于 y＝sin x 是奇函数；y＝ln x 是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但
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单元评估检测(二)函数、导数及其应用(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数f (x )＝1－3x＋1log 12x ＋，则函数的定义域为()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为()A ．－19B ．－9C ．19D ．9C3．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则() A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是() A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝()A ．1B ．2C ．3D ．4C6．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－7))＝()A ．3B ．－3C ．2D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：/件)应为() A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为()D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为() A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0D10．已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是()图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝()A ．0B ．1C ．2D ．4D12．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为() A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________． (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.－615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.1816．某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－fx ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立．(1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解](1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性．[解](1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b ＝1，f＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1， g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝d ＝1，g＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1， 所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围．(3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解](1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2.(2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1，所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．[解](1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(a 为常数)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln2. [解](1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ， 因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝x ＋2x －x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值范围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根． 记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－x 22＋2x 2x 2＋－1－x 2.令k (x )＝x 2－x 2＋2xx ＋－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.k ′(x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)， 记p (x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋2＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0； 当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0， 所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减， 即0＜f x 2x 1＜－12＋ln2.。