新高二数学联赛班暑假第5讲平几中的定值与最值
奥数-第5讲线束定理、相似-联赛班学生版
与平行线相关的几何结论：一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例．如图所示，直线12l l ∥，过点O 的三条直线分别交1l 、2l 于A 、A '，B 、B '，C 、C '，求证AB BC ACA B B C A C ==''''''. 证明：因为AB A B ''∥，故AB OB OAA B OB OA ==''''． 同理可证BC OB B C OB ='''，AC OAA C OA ='''． 故AB BC ACA B B C A C ==''''''． 特别地，当AB BC =时，有A B B C ''''=，反之亦然.点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n 条直线所截的情形，即“过一点的n (3n ≥，n ∈N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理．二、线段等式：111x y z+=. 如图所示，AB CD EF ∥∥.若AB x =，CD y =，EF z =，则111x y z+=. 证明：由题意可得z CEx CA=，z AE y AC =， 则1z zx y +=， 即111x y z+=.三、线段等式：111EF AB CD λλλ=+++. 第５讲北京市初二数学竞赛专项训练FE DCBA在梯形ABCD 中，EF 平行于两条底边,交BC 和DA 于EF ,其中BE AFEC FDλ==,则有如下等式成立111EF AB CD λλλ=+++． 证明：由面积关系有：ABF BEC FCD ABE BEC ECD ABC ACD ABC BCD ABCD S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++=++==+=+梯形则由ABF BEC FCD ABC BCD S S S S S ∆∆∆∆∆++=+得到11111sin sin sin sin sin 22222AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC θθθθθ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅(θ为底边和腰BC 的夹角)所以AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 即()()EF BC AB BC BF CD BC CF ⋅=⋅-+⋅-可化简为CF BF EF AB CD BC BC =+，即111EF AB CD λλλ=+++． 这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明．【例 1】 如图所示，在梯形ABCD 中，O 是底AB 的中点，OC 、OD 分别交对角线BD 、AC 于E 、F ，FE 交AD 、BC 于G 、H ，求证GF FE EH ==.GD FEHOC B A【例 2】 如图所示，M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在CD 的延长线上取点P ，PM 交对角线AC 于Q ，求证NM 平分PNQ ∠.板块一：线束定理Q NMP D CBA【例 3】如图所示，在ABC∆中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是CDB∆和CDA∆的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，求证PQ CD=.PQONMFEDCBA【例 4】如图所示，H是ABC∆的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证EDH FDH∠=∠．FEHD CBA【例 5】如图所示，AD是ABC∆的外接圆O⊙的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、AC于M、N，求证OM ON=.NMPCBDOA【例 6】 (全国初中数学联合竞赛试题) 设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为M ，过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以点O 为圆心、OM 为半径的圆上的一点，求证OPF OEP ∠=∠.F PO E MCBA D板块二：线段等式相关【例 7】 (前苏联数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，已知正七边形127A A A …，证明121314111A A A A A A =+．A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【例 8】 (基辅数学奥林匹克竞赛试题) 在凸四边形ABCD 中，K 和M 分别是AB 和CD 边上的点，且有BK DMKA MC=.AM 与DK 交于点P ，BM 与CK 交于点Q ，求证KCD ADM BCM S S S ∆∆∆=+且 MPKQ ADP BCQ S S S ∆∆=+.QPK M DC BA【例 9】 如图所示，在四边形ABCD 中，DE EF FC ==，AG GH HB ==，求证四边形ABCD 的面积等于四边形EFHG 的面积的三倍．H DEG FCBA【例 10】 （2004年北京市初二数学竞赛）设111111A B C D E F ，，，，，分别是凸六边形ABCDEF 的边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 的中点．1ABC ∆，1BCD ∆，1CDE ∆，1DEF ∆，1EFA ∆，1FAB ∆的面积之和为m ，六边形ABCDEF 的面积为S ．证明：23S m =．A1AF1FE1ED1DC1CB1B习题 1.如图所示，AB是O⊙的直径，PA、PC是O⊙的切线，C是切点，CD AB⊥于D，PB交CD 于E.求证EC ED=.习题 2.如图所示，以线段AB为直径作半圆,在另一侧作矩形ABCD，使2AB AD=，P为半圆上的任意一点，PC、PD分别交AB于F、E两点，求证222AF BE AB+=.FEPD CBA习题 3. (苏州市数学竞赛试题)如图所示，D、E分别是ABC∆的边BC、AB上的点，AD、CE交于F，BF、DE交于G.过G作BC的平行线分别交AB、CE、AC于M、H、N，求证GH NH=.NMHGF E D CB A习题 4. 如图所示，已知梯形ABCD ，AB CD ∥且7AB =、4CD =.延长AD 、BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC 、BD 的延长线于N 、M ，则MN = .BA CD ENM习题 5. 如图所示，直线l 同侧有三个相邻的等边ABC ∆、ADE ∆、AFG ∆，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形的边长依次分别为a 、b 、c ，连接GD 交AE 于N ，再连接BN 交AC 于L ，求证abcAL ab bc ca=++．lLNF DE GBA C两个简单的“悖论”你知道11111111-+-+-+-+等于多少？解：设23111x x x x=-+-++，则当1x =时，有111112=-+-+即1111111112-+-+-+-+=， 另解1：11111111(11)(11)(11)0000-+-+-+-+=-+-+-+=++++=，即111111110-+-+-+-+= 另解2：1111111(11)(11)(11)1001-+-+-+=+-++-++-++=+++=即111111111-+-+-+-+=大家觉得怪不怪，同一个式子，由于计算方法不同而得到了不同的值，这该怎样解释才使人信服？原来这是一个令大数学家欧拉既感兴趣又伤脑筋的问题，这里暂且用“悖论”作答吧．萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．。
平面几何中的定值与最值
平面几何中的定值与最值江苏省泗阳县李口中学 沈正中平面几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解平面几何中定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明。
平面几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求平面几何中最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等。
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑、推理与合情想象相结合等思想方法。
下面介绍几例。
【题例1】如图1所示，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关。
【解答】∵ ∠AMK ＝∠C ＝∠CAB ＝∠K ＋∠ABK ，∠AMK ＝∠MAB ＋∠ABK ，∴ ∠K ＝∠BAM ＝∠BAN ，同理，∠ABK ＝∠N ，则 △ABK ∽⌒△BNA，有, 故AK·BN＝AB2（常量），即AK和BN的乘积与M点的选择无关。
【题例2】已知等腰Rt△XYZ(∠Z=90°)的直角边长为1，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值。
【解答】本题分两种情况讨论：1. 如图2所示，若顶点Z在斜边AB上，取XY中点M，连CM、ZM、CZ，作AB边上的高CN，则CM＝MZ＝XY,∴CZ≤CM＋MZ＝XY＝，又∵CN≤CZ，∴CN≤，又∵AC＝CN，∴AC≤2。
2. 如图3所示，若顶点Z在斜边AC(或BC)上，设Z在AC上，令CX＝x，CZ＝y，过YH⊥AC于H，则Rt△YHZ≌Rt△ZCX(AAS)，由此得HZ＝CX＝x，HY＝CZ＝y，有△AHY为等腰直角三角形，∴AH＝HY＝y，设AC＝b，则2y＋x＝b，即x＝b－2y。
高二数学人教b版选修4-5课件：第二章_2.3～2.4_平均值不等式(选学)_最大值与最小值问题优化的数学模型
• ···• 24
x 4n
• 4
a x3n
n个 x 相乘 n
n＋1 ＝(n＋1)
nan，
由推广结论知nan＝1，∴a＝nn.
答案：A
一分耕耘一分收获
二、填空题
5．设 x，y∈R，且 xy≠0，则x2＋y12·x12＋4y2的最小值为______．
解
析
：
x2＋y12
x12＋4y2
＝
1
＋
4
＋
4x2y2
一分耕耘一分收获
∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2＝1－x2，即 x＝ 33时取“＝”号．
∴y≤2
9
3 .
∴y
的最大值为2 9
3 .
一分耕耘一分收获
(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简 记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一 正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件 决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如： 配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
一分耕耘一分收获
利用基本不等式求最值 [例 1] 已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1， 求 x＋y 的最小值． [思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵 活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不 等式求得和的最小值． [精解详析] 法一：∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，
一分耕耘一分收获
[精解详析] 设圆柱体的底面半径为 r，如图， 由相似三角形的性质可得
H－ H h＝Rr ， ∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0＜h＜H)． 根据平均不等式可得 V 圆柱＝4HπR2 2·H－2 h·H－2 h·h≤4HπR2 2H3 3＝247πR2H.
函数的最值-高二数学配套教学精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)
新知探究
练习：已知函数 = − − ．求函数 在 [, +∞) 上的最小值．
解： ′ = 3 2 − 2 − 2 = 3 + − ，
3
令 ′ = 0 ，解得 1 = − ， 2 = ．
①当 �� > 0 时， 在 [0, ) 上单调递减，在 [, +∞) 上单调递增，所以
（2）求 在区间[, ]上的最大值．
解：（1） ′ = 3 2 − 2 ，
因为 ′ 1 = 3 − 2 = 5 ，所以 = −1 ．
又当 = −1 时， 1 = 2 ， ′ 1 = 5 ，
所以曲线 = 在 1, 1
处的切线方程为 5 − − 3 = 0 ．
判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）一般地，连续函数f x 在[a, b]上既有最大值，又有最小值．( √ )
（2）函数的极值可以有多个，但最大（小）值最多只能有一个．( √ )
（3）最大（小）值一定是函数的极大（小）值．( ×)
（4）极大（小）值一定是函数的最大（小）值．( ×)
是函数的极小值，(2 )，(4 )，(6 )是函数
= ()的极大值.
追问1：进一步地，你能找出函数 = ()在区间[，]上的最小值、最大值吗？
从上图中可以看出，函数 = ()在区间[，]上的最小值是(3 )，最大值是().
l
新知探究
思考2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、
练习：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得
最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
北师版数学高二北师大版必修5课件基本不等式与最大(小)值
明目标、知重点
2.已知
x≥52，则
x2－4x＋5
f(x)＝
有(
2x－4
A.最大值52
B.最小值54
1234
)
C.最大值 1
D.最小值 1
解析 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5＝x2－x2－2＋ 2 1＝12x－2＋x－1 2≥1.
s2 积xy有最 大值为 4 . (2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当 x＝y 时， 和x＋y有最 小 值为 2 p .
明目标、知重点
2.基本不等式求最值的条件 (1)x，y必须是 正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 定值 ； 求 和 x ＋y的最小值时，应看积xy是否为 定值. (3)等号成立的条件是否满足.
探究点二 利用基本不等式证明不等式 例 2 已知 y＝x＋1x(x≠0)，证明：|y|≥2.
证明 (1)当x>0时，由基本不等式，
得 y＝x＋1x≥2， 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等号成立.
明目标、知重点
(2)当 x<0 时，－x>0，y＝x＋1x＝－[(－x)＋－1x]. 由(1)可知(－x)＋ 1 ≥2，
1234
解析 设两直角边分别为a，b， 直角三角形的框架的周长为l， 则12ab＝2，∴ab＝4， l＝a＋b＋ a2＋b2≥2 ab＋ 2ab＝4＋2 2≈6.828(m).
因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C
明目标、知重点
1234
4.(1)已知 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； 解 ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝12， 当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时取等号. ∴f(x)的最小值为12.
几何8 教师版 平几中的定值与最值
第五讲 平几 定值与最值本讲概述平面几何定值的求解思路：1．取特殊或极端位置猜测，在一般位置论证 2．通过推导、计算平面几何最值的求解思路： 1．图形中的特殊点2．注意到图形中元素间相互特殊关系 3．引入变量，利用二次函数求极值4．引入三角函数，利用三角函数的极值性 5．利用不等式 6．运用有关结论：①周长一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的面积最大； ②面积一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的周长最小； ③周长一定的平面n 边形中，正n 边形面积最大； ④面积一定的平面n 边形中，正n 边形周长最小．例题精讲板块一 平面几何定值【例1】 如图，ABC △为正三角形，动点D 在直线BC 上，过点D 作DE AC ⊥于E ．过点D 作BC 的垂线交过E 所作AB 的垂线于F ，CF 交AB 于P ．证明：APPB恒为定值．【解析】 如图，作PS FE ∥，PQ FD ∥，连结QS ． 显然，DEF △是正三角形．此时， PQ CP PSFD CF FE==． 从而PQ PS =，易知60QPS DFE ∠=∠=︒．故PQS △也是正三角形． 因为CQ CP CS CD CF CE ==，所以QS DE ∥． 从而，PQ BC ,QS CA ,SP AB ⊥⊥⊥． 于是，易知ASP BPQ CQS △∽△∽△． 因此，AP BQ =．易知12BQ PB =，故12AP PB =（定值）．【例2】 如图，AB 为半圆O ⊙的直径，动点C 在半圆O ⊙上，CD AB ⊥于点D ．1O ⊙与AC ,CD ,AD ︵都相切，2O ⊙与BC ,CD ,DB ︵都相切，切点E ,F 在A ,B 上． 证明：不论点C 位置如何，ECF ∠恒为定值．S Q P FED C B A高二·联赛班·暑假第5讲·教师版32【解析】 设2O ⊙与BC ︵相切于点M ，与CD 相切于点N ，如图．易知2O ,O ,M 三点共线．由OA OM =，得OAM OMA ∠=∠； 类似，22O NM O MN ∠=∠；由2NO AO ∥，得2AOM NO M ∠=∠． 故22OMA O MA O MN ∠=∠=∠，从而A ,N ,M 三点共线． 于是，有2AF AN AM =⋅．又易知2AC AD AB AN AM =⋅=⋅，因此AC AF =． 同理BC BE =．此时CEF CFE BEC AFC ∠+∠=∠+∠11909022ABC BAC ⎛⎫⎛⎫=︒-∠+︒-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111801809013522ABC BAC =︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故18013545ECF ∠=︒-︒=︒（定值）【例3】 如图，在ABC △中，AB AC =，动直线l 通过点A （l 不通过BAC ∠内部），已知1O ⊙与直线l 、AB 及BC 都相切，2O ⊙与直线l 、AC 及BC 都相切． 证明：不论直线l 的位置怎样变化，12O ,O ⊙⊙的半径之和为定值．【解析】 设12O ,O ⊙⊙半径为12R ,R ，如图，作ABC △的高AD ．分两种情况：①当l BC ∥时，易知12O ,O ⊙⊙是两个等圆，且1212R R AD +=，所以， 12R R AD +=（定值）②当l 不平行于BC 时，设l 交BC 于点P ，易知12P ,O ,O 三点共线．记22APO CPO θ∠=∠=．设12E ,E 是两个切点，2PO 交AD 于S ，作AK l ⊥，点K 在2PO 上，易证AK AS =． 注意到111tan tan ()2R PE PA PB AB θθ=⋅=⋅+-， 221tan tan ()2R PE PA PC AC θθ=⋅=⋅++，故121tan (2)2R R PA PB PC θ+=⋅++1tan (22)2PA PD θ=⋅+ tan tan PA PD θθ=⋅+⋅AK SD AS SD AD =+=+=（定值）【例4】 如图，Q ⊙的直径A Bd =（定值）．O ,O '⊙⊙是两个动圆，它们既同时与⊙Q 内切，又同时与AB 相切．过点B 作Q ⊙的切线交射线AO ,AO '于点E ,F ；过点A 作Q ⊙的切线交射线BO ,BO '于点G ,H ．ABDFO E 1E 2S K P D O 2O 1l C B A证明：不论O ,O '⊙⊙的位置、大小怎样变化，AEF BGH S S +△△恒为定值．【解析】 如图，设O ⊙切AB 于点D 、切Q ⊙于点M ．显然，Q ,O ,M 三点共线，OD AB ⊥． 记()AD a ,BD b a b ==>，则 AB a b =+，1()2QM QA QB a b ===+，1()2QD a b =-．令OD x =，则1()2OQ a b x =+-．由222OQ OD QD =+，得22211()()22a b x x a b ⎡⎤⎡⎤+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得abx a b=+．易知AG ODAB BD=，即abAG a b a b b +=+． 从而AG a AD ==．同理BE BD b ==． 所以AG AE AD BD a b d +=+=+=． 同理AH BF d +=．故[]2111()()()()222AEF BGH S S AB EF GH AB AG BE AH BF d d d d +=+=+++=+=△△（定值）板块二 平面几何最值【例5】 如图，已知圆O 内部有2n 个小圆，其中每个都与其相邻的两个小圆相切，并且都与圆O 内切，其切点顺次为122n A ,A ,,A ．在这2n 个切点中，若任意相邻两切点1i i A ,A +的距离为11211(122)i i i,i n A A a i ,,,n ,A A +++===，且234521,,n ,a a a λ⋅⋅= ．证明：1234212,,n ,n a ,a ,,a -【解析】 设圆O 与2n 个小圆i O 的半径分别为(122)i R ,R i ,,,n = ，12AOA θ∠=．则221212122sin2(1cos )2,,A A a R ,a R θθ===- ．由余弦定理，212112()cos ()()R R R R R RR R R R θ-+-=--，所以221212124()(),R R R a R R R R =--． 同理，221114(3521)()()i i i ,i i i R R R ai ,,,n R R R R +++==--- ， 从而2212212342121224()()()()n n n,,n ,n n R R R R a a a R R R R R R -=--- ．同理，221222345211224()()()()n n n,,n,n R R R R a a a R R R R R R =--- ，故1234212234521,,n ,n ,,n,a a a a a a λ-== ．DMO 'OQHGF EBA2nA 1高二·联赛班·暑假第5讲·教师版34于是可得1234212,,n ,n a ,a ,,a -【例6】 在Rt ABC △中，斜边2AC =，O 为AC 的中点，I 是ABC △的内心．求OI 的最小值． 【解析】 如图，以O 为圆心，OA 为半径作圆，连BI 延长交O ⊙于M ．则IAM OAM OAI CAM OAI ∠=∠+∠=∠+∠π142CBM OAI A =∠+∠=+∠ABI IAB AIM =∠+∠=∠．故M A M I =，知MAI △为等腰三角形， 又MC MA =︵︵，则MC MA =． AMC △为等腰直角三角形．以M 为圆心，MA 为半径作圆，则点I 在M ⊙上，连MO 延长交M ⊙于I '．易知OI OM IM MI OM OI ''+==+≥． 于是，OI OI MI OM '=-≥．因AMC △为等腰直角三角形，则2AC =，MA ,MI MA ===又1OM =，故1OI ．即OI1．注：用内切圆代换法可转换为代数问题求解【例7】 设ABCD 是一个梯形（AB CD ∥），E 、F 分别是线段AB 、CD 上一点，线段CE 与BF 相交于H ，线段ED 与AF 相交于G ．求证：14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是一个任意的凸四边形，结论是否还成立．【解析】 先证一个引理：梯形ABCD （AB CD ∥）中，AC ，BD 交于E ，则14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．显然ACD BCD S S =△△，都减去CDE S △，即有ADE BEC S S =△△，设为S ，则 CDEABE S S DE S BE S==△△，所以2ABE CDE S S S =△△．由均值不等式，224ABCD ABE CDE S S S S S S =++=△△≥，故14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．回到原题，由引理，1144EGF AEDF EHF BECF S S ,S S △△≤≤，相加即得14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是任意的凸四边形，结论未必成立． 当0DA ,E B ,F C →→→时，EFGH ABCD S S →，所以当AD BE CF ,,BC AB CD 足够小时，14EHFG ABCD S S >．【例8】 （*选讲）给定a2a <，内接于单位圆Γ的凸四边形ABCD 适合以下条件：①圆心在这凸四边形内部；②最大边长是a过点A ,B ,C ,D 依次作圆Γ的四条切线A B C D L ,L ,L ,L ．已知A L 与B L 、B L 与C L 、C L 与D L 、D L 与A L 分别相交于A ,B ,C ,D ''''四点．OI'MICB AA求面积之比A B C D ABCDS S ''''的最大值与最小值． 【解析】 01年CMO 试题．设圆Γ的圆心为O ，并记12342222AOB ,BOC ,COD ,DOA θθθθ∠=∠=∠=∠=．于是1234,,,θθθθ都是锐角，且1234πθθθθ+++=，不难求得 44111sin 2tan 2ABCDi A B C D i i i S ,S θθ''''====∑∑． 由于上式关于1234,,,θθθθ对称，不妨设AB a ,AD ==1234θθθθ≥≥≥，则14sin sin 2a ,θθ==1423π2θθθθ+==+．∴141414111sin()12tan tan cos cos cos sin sin 2θθθθθθθθθ++===2322tan tan sin 2θθθ+=121222sin 2sin 2sin 2sin 2A B C D ABCDS T S θθθθ''''+==+，而1211πsin 224,θθθ=≤≤，∴21sin 212θ≤． 由于T 是关于2sin 2θ的严格减函数，maxmin 22228(4)1122T ,T a a ===-⎛⎝．大显身手1． 证明：定圆(R)上任意一点到内接正三角形三个顶点距离的平方和是一个定值. 【解析】 如图，⊿ABC 是定圆O(R)的内接正三角形， 若P 与正⊿ABC 一个顶点重合（如P 与B 重合），则 PA 2+PB 2+PC 2=BA 2+BC 2=2BA 2=6R 2，即定值是6R 2. 可以证明，PA=PB+PC ，∠BPA=∠BCA=600. 在⊿PAB 中，由正弦定理得，AB 2=PA 2+PB 2-2PA ·PB ·cos600=PA 2+PB 2-PA ·PB ， 同理，AC 2=PA 2+PC 2-2PA ·PC ·cos600=PA 2+PC 2-PA ·PC ， 相加，AB 2+AC 2=2PA 2+PB 2+PC 2-PA(PB+PC)=PA 2+PB 2+PC 2， 即PA 2+PB 2+PC 2=AB 2+AC 2=2AB 2=6R 2(定值).高二·联赛班·暑假第5讲·教师版362． 如图，由圆()O r 外的定直线l 上任意点A 引二切线AB ,AC ．试证：两切点之间弦BC 恒过定点．【解析】 要证BC 恒过定点，则需要证明这一点在某一线段上与O 点距离为定值，为此作OH l ⊥于H ，设BC 与OH 交于P ，连Oa ，则OA BC ⊥，设交BC 于D ，则A ,D ,P ,H 四点共圆． 故OP OH OD OA ⋅=⋅．又22ODOA OB r ==，从而2r OP OH=为定值．由此可知P 为定点，由BC 过P 点可知结论成立．3． 设12C ,C 为同心圆，2C 的半径是1C 的半径的两倍，四边形1234A A A A 内接于圆1C ，设41A A 延长线交圆2C 于1B ，12A A 延长线交圆2C 于2B ，23A A 延长线交圆2C 于点3B ，34A A 延长线交圆2C 于点4B ．试证：四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．并确定等号成立的条件．【解析】 设圆心为O ，连结144OB ,OB ,OA ，设1C 的半径为R ，则2C 的半径为2R ．在四边形441B A OB 中，由托勒密定理，414144441OA B B OB A B OB A B ⋅+⋅⋅≥． 即14444122R B B R A B R A B ⋅+⋅⋅≥，14414422B B A B A B -≥．同理12121122B B A B A B -≥，23232222B B A B A B -≥，34343322B B A B A B -≥， 相加得12233441122334412()B B B B B B B B A A A A A A A A ++++++≥， 即四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．等号成立时，1i i i OA B B +共圆，1111i i i i i i i iA AOB B O B B O A AO +++-∠=∠=∠=∠， ∴1234A A A A 为菱形，又为圆内接四边形，所以1234A A A A 为正方形．H P D O l C B A。
新高一暑假数学衔接课程 第五讲(二次函数的最值问题)
●新高一暑假数学衔接课程第5讲：二次函数的最值问题1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值． 例1、求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．例2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3、当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4、求函数y=x 4-3x 2+2的最小值．例5、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．例6、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【课后作业】1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________． 3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4.已知函数y ＝2x 2+4x －3，当x ≤0时，求y 的取值范围．5．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．6．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
高二数学人教B版选修4-5第二章2.3～2.4平均值不等式(选学)最大值与最小值问题优化的数学模型含
平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型［读教材填要点］1. 平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)： 设a i , a 2,…，a n 为n 个正数，则 a i + a 2+…+ a *、 n ---------------a i a 2…a n , 等号成立 ? 岂=a 2=・・・=a n .① 推论1：设a i , a 2，…，a n 为n 个正数，且 a i a 2…a n = 1,贝U a i + a 2 + ^+ a n >n. 且等号成立? a ^= a ? = •••= a n = 1.② 推论2:设C 为常数，且a 1, a 2,…，a n 为n 个正数；则当a 1 + a 2+^+ a n = nC 时, a 1a 2 …a n < C ，且等号成立？ a 】=a ? = •••= a 』. ⑵定理2：设a 1, a ：,…，a n 为n 个正数，则 n ----------- n ______________a1a2…an > 1丄1丄丄1，a 1 a 2 a n 等号成立 ? a 1= a ?=•••= a n . ⑶定理3：设a 1, a ：,…，a n 为正数，则等号成立 ? a 1= a 2=・・・=a n . 推论：设a 1, a 2,…，a n 为n 个正数，则2. 最值问题设 D 为 f(x)的定义域，如果存在 X o € D ，使得 f(x)W fU o )(f(x) >f(x o )), x € D ,拍象问题情境牝，新知无师自通［对应学生用书P33］2. 3〜2.4a 1 + a 2 +•+ a nn丄'a n(a 1+ a ：+…+ a n )d +右+…+右)》沁.则称f(x o)为f(x)在D上的最大(小)值，x o称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最x()()[]1a_2f b Vab(1)(2)⑶[1]6 10 16.y 9x 1 9 1x y x yx 4 y 12x 4 y 12 (x y)min 16・f(x) 3-(x 0)f(x) 1 P34](x 9y)(x y)高频考点题组化.名师一点就通x2x 3x 2.62xi)f(x) 12xf(x)max2]x22x (1(1y22 ,6y x(1 x2)x呢y x(ix2)2X2)2x22x2(1(1 x2)x2 131 x2 1(1)x2)2x)(1x2427.x2(1 x)2解：y = x (1 — x) = x x(1 — x) 1=x x (2 — 2x)x 2v 1 孜+ x + 2 — 2x1 x 8 - 土 、2 3 _2 27_27'当且仅当x = 2 — 2x ，即x = 3时取等号.34此时，y max =.□目 1利用平均值不等式解应用题［例3］已知圆锥的底面半径为 R ,高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆 柱的体积最大？并求出这个最大的体积.［思路点拨］本题考查算术一几何平均不等式在实际问题中的应用， 解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系, 等式求最大值.［精解详析］设圆柱体的底面半径为 r ,如图，由相似三角形的性质可得 H — h _ 匚 H = R ，R …r = H (H — h).2n R 2--V 圆柱=n h = -^2(H — h) h(0v h v H).根据平均不等式可得=27的.（1）在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值.⑵在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求 最值的.3. 如图（1）所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿 虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图 （2）所示，求这个正六棱柱容器容积的最大然后利用算术一几何平均不24T R H — h H —4 n R H 3 "HF 3H _ h i当且仅当一厂=h ,即h =尹时,V 圆柱最大=27n 2H.2如图可知2h + 3x = 3,即 h = 23(1 - x),所以V = S 底人=6X —^3%2 h41 3.当且仅当2= i —x 即x = 2时，等号成立.2 32 1所以当底面边长为3时，正六棱柱容器容积最大值为3燦［:训舊超芙蛙、兰在锹娈走泓 ［对应学 生用书P35］一、选择题121.函数y = 3x + _2(x>0)的最小值是( 入 A . 6 C . 9c 12 3x 3x 12 3/3x 3x 12y = 3x + x 2= 2+7+=》3 込三 7 =9，答案：C2.已知x + 2y + 3z = 6，则2x + 4y + 8z 的最小值为(值.解：设正六棱柱容器底面边长为穿x2#(1— x) = 23 X 穿X ,二+；+1—x 2 2 _______ < 3 .) B . 6.6 D . 12解析: 当且仅当 3x2 -2，即x = 2时取等号.xx(x>0)，高为 h ,A122x>0,4y>0,8z>0 2x 4y 8z2y—3Zx 2y 40 ig(n2x3z2212^5 2x22y4 12.23z222‘z x 22yx 4y4ig yio. xy loo.lg xy2nx+o_1)n+1 x Jn nn(n 1) igloo 2.ax ~nx4y 40 lg x ig y104xy1 2x1x -xn 1(n N )二、填空题5. _______________________________________________________ 设x, y€ R，且xy 丰0,则x2+ y・步+ 4y2的最小值为__________________________________ .解析：x2+ 1 X2+ 4y2= 1 + 4+ 4x2y2+ x2y2> 1 + 4 + 2 - 4x2y2-^= 9，当且仅当4x2y2 =x2^时等号成立，即IxyU#时等号成立.答案：96. ____________________________________________________ 若x, y € R且xy= 1，则£+ y £+ x/勺最小值是_____________________________________________ .解析：•/ x>0, y>0,xy= 1,••• x+y -+ x = 1 + 2 x2卜乞+ xyy x y x> 1 + 3^x2y2= 4,2 2当且仅当—=y = xy,y x即x = y= 1时取等号.答案：47. 对于x€ [0,扌，，不等式壬 +—— > 16恒成立，则正数p的取值范围为、一'2丿sin x cos x解析：令t= sin2x,则cos2x= 1 —t. 又x € 0, t € (0,1).不等式一―+— > 16可化为sin x cos xP> 16—1 (1 —t), 而y = 16—十(1 —t)=17—；+ 16t W 17 —2 '1 16t= 9,当；=16t，即t =1时取等号，t 4因此原不等式恒成立，只需p> 9.答案：[9 ,+^ )&设三角形三边长为3,4,5, P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是_________ .解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x, y,乙三角形的面积为S.36S 1(3x 4y 5z)32 42 52 1S 23 46.3x 4y 5z 2 6 12.3习3x 4y 5z 3x 4y 5z 12.b- ya - X o24V2(.aabbx1-Vb -ya - X240V2o24Vo24VV2oQo 480V4V2Q00V 201615.4.3 (xX (.aab(xyz)maxbx.m m4801-V0013V 2 240100VV36答：轮船航行速度为 20千米/小时时，每千米航行费用总和最小. 11•如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯•大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低， 桌子的边缘处仍然是不亮的•由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮 度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角B 的正弦成正比，而和这里k 是一个和灯光强度有关的常数•那么究竟应该怎样选择灯 的高度h ，才能使桌子边缘处最亮?解:「r = cos 0.E 2= * sin 2 0 cos 4 016k 2 2 2 =32 （2sin 0 cos 0 cos 0 22222k 2sin 0+ cos 0+ cos 0 3 _ _108’当且仅当 2sin 2 e= cos 2 0 即卩 tan 2 0=1, tan0=h = 2tan 0= 2，即 h = \/2米时，E 最大.这一点到光源的距离r 的平方成反比•即E =譽02...E = k sin民os 0_ _ n ^^（o<毕口等号,。
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平面几何定值的求解思路：
1．取特殊或极端位置猜测，在一般位置论证 2．通过推导、计算
【例1】 如图，ABC △为正三角形，动点D 在直线BC
上，过点D 作DE AC ⊥于E ．过点D 作BC 的
垂线交过E 所作AB 的垂线于F ，CF 交AB 于P ．证明：AP
PB
恒为定值．
【例2】 如图，AB 为半圆O ⊙的直径，动点C 在半圆O ⊙上，CD AB ⊥于点D ．1O ⊙与AC ,CD ,AD
︵
都相切，2O ⊙与BC ,CD ,DB ︵
都相切，切点E ,F 在A ,B 上．
知识点睛
经典精讲
5.1定值问题
第
证明：不论点C 位置如何，ECF ∠恒为定值．
【例3】 如图，在ABC △中，AB AC =，动直线l 通过点A （l 不通过BAC ∠内部），已知1O ⊙与直
线l 、AB 及BC 都相切，2O ⊙与直线l 、AC 及BC 都相切． 证明：不论直线l 的位置怎样变化，12O ,O ⊙⊙的半径之和为定值．
【例4】 如图，Q ⊙的直径AB d =（定值）．O ,O '⊙⊙是两个动圆，它们既同时与⊙Q 内切，又同时
与AB 相切．过点B 作Q ⊙的切线交射线AO ,AO '于点E ,F ；过点A 作Q ⊙的切线交射线BO ,BO '于点G ,H ．
证明：不论O ,O '⊙⊙的位置、大小怎样变化，AEF BGH S S +△△恒为定值．
E
G
A
B
平面几何最值的求解思路： 1．图形中的特殊点
2．注意到图形中元素间相互特殊关系 3．引入变量，利用二次函数求极值 4．引入三角函数，利用三角函数的极值性 5．利用不等式 6．运用有关结论：
①周长一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的面积最大；
②面积一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的周长最小； ③周长一定的平面n 边形中，正n 边形面积最大； ④面积一定的平面n 边形中，正n 边形周长最小．
【例5】 如图，已知圆O 内部有2n 个小圆，其中每个都与其相邻的两个小圆相切，并且都与圆O 内切，
其切点顺次为122n A ,A ,,A ．在这2n 个切点中，若任意相邻两切点1i i A ,A +的距离为
11211(122)i i i ,i n A A a i ,,
,n ,A A +++===，且234521,,n ,a a a λ⋅⋅
=．
证明：1234212,,n ,n a ,a ,
,a -．
知识点睛
经典精讲
5.2最值问题
2n
A
【例6】在Rt ABC
△中，斜边2
AC ，O为AC的中点，I是ABC
△的内心．求OI的最小值．【例7】设ABCD是一个梯形（AB CD
∥），E、F分别是线段AB、CD上一点，线段CE与BF相交于H，线段ED与AF相交于G．
求证：
1
4
EHFG ABCD
S S
≤．如果ABCD是一个任意的凸四边形，结论是否还成立．
C
B
【例8】 （*选讲）给定a
2a <，内接于单位圆Γ的凸四边形ABCD 适合以下条件：
①圆心在这凸四边形内部；
②最大边长是a
过点A ,B ,C ,D 依次作圆Γ的四条切线A B C D L ,L ,L ,L ．已知A L 与B L 、B L 与C L 、C L 与D L 、D L 与A L 分别相交于A ,B ,C ,D ''''四点．
求面积之比A B C D ABCD
S
S ''''的最大值与最小值．
【演练1】证明：定圆(R)上任意一点到内接正三角形三个顶点距离的平方和是一个定值.
实战演练
A
【演练2】如图，由圆()O r 外的定直线l 上任意点A 引二切线AB ,AC ．试证：两切点之间弦BC 恒过定点．
【演练3】 设12C ,C 为同心圆，2C 的半径是1C 的半径的两倍，四边形1234A A A A 内接于圆1C ，设41A A 延长线交圆2C 于1B ，12A A 延长线交圆2C 于2B ，23A A 延长线交圆2C 于点3B ，34A A 延长线交圆2C 于点4B ．试证：四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．并确定等成立的条件．
l
A。