高二数学-09暑假1481
高二数学暑假作业最新的高二数学暑假作业试卷练习题
高二数学暑期作业最新的高二数学暑期作业试卷练习题第Ⅰ卷 (选择题：共60 分 )一、选择题 ( 共 12 小题，每题 5 分，每题四个选项中只有一项切合要求。
)1.的值为A. B. C. D.2.已知会合,则 =A. B. C. D.3.若，此中 a、b∈ R， i 是虚数单位，则A. B. C. D.4.命题 r：假如则且.若命题r的否命题为p，命题 r 的否定为 q，则A.P 真 q 假B. P 假 q 真C. p， q 都真D. p,q 都假5.扔掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A ，“骰子向上的点数是3”为事件 B，则事件A,B 中起码有一件发生的概率是A. B. C. D.6.设，，， (e 是自然对数的底数)，则A.B.C.D.7.将名学生疏别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方起码安排一名学生参加，则不一样的安排方案共有A.36 种B.24 种C.18 种D.12 种8. 一个袋子里装有大小同样的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时拿出 2 个，则此中含红球个数的数学希望是A. B. C. D.9.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为A. B. C. D.10.已知样本 9，10，11，x,y 的均匀数是10，标准差是，则的值为A.100B.98C.96D.9411.现有四个函数：① ;② ;③ ;④的图象 (部分 )以下：则依据从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A. ①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①12.若函数在R上可导，且知足，则ABCD第 II 卷 (非选择题，共90 分 )二、填空题 (每题 5 分)13.已知偶函数的定义域为R,知足，若时，，则14.设 a= 则二项式的常数项是15.下边给出的命题中：①已知则与的关系是②已知听从正态散布，且，则③将函数的图象向右平移个单位，获得函数的图象。
此中是真命题的有_____________ 。
2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)
新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。
此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。
3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。
相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。
(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。
5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。
第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。
8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。
9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。
如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。
10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。
11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。
参考高二数学暑假作业答案
参考高二数学暑假作业答案自己整理的参考高二数学暑假作业答案相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！[一]1?1变化率和导数1.1.1变化率1 . D2 . D3 . C4-3t-65 .x 26.3？317.(1)0?1(2)0?21(3)2?18.11m/s，10？1m/s 9.25 3t 10.128 a 64 a2 t 11 . f(x)-f(0)x=1x(x0)，-1-x(x0)1?1?2导数的概念1 . D2 . C3 . C4-15 . x0，x；x06.67.a=18.a=2 9.-410.(1)2t-6(2)初速度为v0=-6，初位置为x0=1(3)运动开始3秒，在原点向左变化8m (4)x=1，v=611.水面上升速度为0？16m/min，表明 v= h75 15 h ( h) 23，那么 v t= h t 75 15 h ( h) 23，即limt0vt=limt0ht75 15h(h)23=limt0ht25，那就是v’(t)=25h’(t)，那么h’(t)=1254=0？16(米/分钟)1?1?三阶导数的几何意义(一)1.C2切线的斜率。
B3。
B4。
f (x)在x0，y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)5.36.1357.割线的斜率是3？31，正切的斜率为38.k=-1，x y 2=09.2x-y 4=010.k=14，切点坐标为12，1211.有两个交点，交点的坐标是(1，1)，(-2，-8)1?1?3阶导数的几何意义(2)1.C2 a3 . B4 . y=x15。
16.37.y=4x-18.1039.1910.a=3，b=-11，c=9。
提示：首先找出a、b、c之间的关系，即c=3 2a。
B=-3a-2，然后求点(2，-1)处的斜率，得到k=a-2=1，即a=3 11.(1)y=-13x-229(2)125121?导数2的计算1?2?1几种常用函数的导数1.C2。
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祝大家暑假愉快!【快乐暑假】2019年高二数学暑假作业答案一.填空题1.A.2.3.3.(1)(4)..5.212cm?4.(1)(2)..6.(2)(4).7.300..8.90°.9.①与③.10.④.11.?30.12.2：1.13.3.14.若②③④则①.二.解答题15. S=60?+4?2;V=52?-38?=3148?16.证明：作PO??，,PEABPFAC??，垂足分别为,,OEF，连结,,OEOFOA，∵,PEABPFACPAEPAFRtPAERtPAFAEAFPAPA?????????????? ???，POABPOAB??????????，又∵ABPE?，∴AB?平面PEO，∴ABOE?.同理ACOF?.在RtAOE?和RtAOF?，,AEAFOAOA??，∴RtAOE??RtAOF?，∴EAOFAO???，即点P在平面?上的射影在BAC?的平分线上.17.证明：(1)因为E,F分别是11AB,AC的中点，所以EF//BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥ABC平面;(2)因为直三棱柱111ABCABC?，所以1111BBABC?面，11BBAD?，又11ADBC?，所以111ADBCC?面B，又11ADAFD?面，所以111AFDBBCC?平面平面.18.证明：(1)连结11AC，设11111ACBDO??连结1AO，?1111ABCDABCD?是正方体11AACC?是平行四边形11ACAC??且11ACAC?，又1,OO分别是11,ACAC的中点，11OCAO??且11OCAO?11AOCO?是平行四边形.111,COAOAO???面11ABD，1CO?面11ABD?1CO?面11ABD.(2)证明：////''''''ABDCDCABCDABDCDC? ?????是平行四边形'//'''''''BCADBCABD ADABD????????平面平面'//'''//'''''BC ABDCDABDBCCDC????????平面同理，平面?平面'//CDB平面''ABD.19.(本小题满分14分)(1)证明：?E.P分别为AC.A′C的中点， ?EP∥A′A，又A′A?平面AA′B， EP?平面AA′B∴即EP∥平面A′FB(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC BC?平面A′BC ∴平面A′BC⊥平面A′EC(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C由(2)知：BC⊥平面A′EC 又A′A?平面A′EC∴BC⊥AA′∴A′A⊥平面A′BC20.解：(1)证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN//BE，所以D1F//BE，所以1,,,EBFD四点共面.(2)因为GMBF?所以BCF?∽?MBG，所以MBBGBCCF?，即2332MB?，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，所以EM?面11BCCB.。
高二数学暑假作业9附答案
高二数学暑假作业九一、单选题 1．若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（ ）A.B.C.D.2．已知直线1l ： sin 10x y α+-=，直线2l ： 3cos 10x y α-+=，若12l l ⊥，则sin2α=（ ） A.23 B. 35± C. 35- D. 353．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A.B.C. D.4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 （ ）A. B. 5 C. 2 D. 10 5．已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）A.B.C.D. 6．已知圆，圆，A 、B 分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 7．动直线：（）与圆：交于点，，则弦最短为（ ）A.B.C.D.8．直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（ ）A. B. 4C. D. 8 9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 10．已知圆：与圆关于轴对称，为圆上的动点，当到直线的距离最小时，的横坐标为（ ）A.B.C.D.11．若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为A.B.C.D.12．已知直线20x y a -+=与圆O ： 222x y +=相交于A ， B 两点（O 为坐标原点），且AOB∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A.6或6- B. 5或5- C. 6 D. 513．过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ， B ，则AB =（ ）A. 53-B. 52-C.2215 D. 421514．已知圆22C:4630x y x y +---=,点()M 2,0-是圆C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是( )A. 20724140x x y +=+=，－B. 20724140y x y +=++=，C. 20724140x x y +=++=，D. 20724140y x y +=+=，－15．已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A 、B 两点，若22AB =，则实数m 的值等于（ ）A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或116．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（ ） A. ()()22112x y +++= B. ()()22114x y -++= C. ()()22112x y -++= D. ()()22114x y +++=17．已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（ ）A. 36+或36-B. 326+或326-C. 9或3-D. 8或2-18．过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（ ） A.19 B. 25 C.21 D.555 19．圆()()221:131C x y ++-=，圆()()222:554C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ， 2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值（ ） A. 6 B. 210 C. 7 D. 1020．已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是 A.()3,+∞ B. )2,⎡+∞⎣ C. )2,22⎡⎣ D. )3,22⎡⎣二、填空题21．过点且与相切的直线方程为__________．22．在平面直角坐标系中，圆与轴的两个交点分别为 ,其中在的右侧，以为直径的圆记为圆，过点作直线与圆，圆分别交于两点．若为线段的中点，则直线的方程为_________． 23．已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．24．已知直线于圆交于两点，圆在点处的切线相交于点，则四边形的面积为__________．25．已知点()()3,0,1,2A B ---，若圆()()22220x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.26．关于x 的方程2444x x kx k -+=+-有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围为_______________. 27．已知直线与圆交于两点，，且为等边三角形，则圆的面积为_____________．28．已知AB 为圆22:20C x y y +-=的直径，点P 为直线1y x =-上任意一点，则22||PA PB +的最小值为__________．三、解答题29．已知以点C 2,t t ⎛⎫⎪⎝⎭（t R ∈，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ， A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证： OAB ∆的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ， N ，若OM ON =，求圆C 的方程．30．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且y 轴和直线320x y -+=均与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线y x m =+与圆C 相交于,M N 两点，点()0,1P ，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围.31．已知圆，点，直线. （1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程； （2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.32．已知. (1)若的切线在轴、轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点向圆引切线为切点，为原点，若，求使最小的点坐标．高二数学暑假作业九答案1．A【解析】分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果.详解：因为坐标原点到直线的距离为，所以所以，即，选A.点睛：由求最值，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足.2．D【解析】因为，所以，所以，所以.故选D.3．A【解析】分析：先求出A，B 两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P 到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
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祝大家暑假愉快!【快乐暑假】2019年高二数学暑假作业答案一.填空题1.A.2.3.3.(1)(4)..5.212cm?4.(1)(2)..6.(2)(4).7.300..8.90°.9.①与③.10.④.11.?30.12.2：1.13.3.14.若②③④则①.二.解答题15. S=60?+4?2;V=52?-38?=3148?16.证明：作PO??，,PEABPFAC??，垂足分别为,,OEF，连结,,OEOFOA，∵,PEABPFACPAEPAFRtPAERtPAFAEAFPAPA?????????????? ???，POABPOAB??????????，又∵ABPE?，∴AB?平面PEO，∴ABOE?.同理ACOF?.在RtAOE?和RtAOF?，,AEAFOAOA??，∴RtAOE??RtAOF?，∴EAOFAO???，即点P在平面?上的射影在BAC?的平分线上.17.证明：(1)因为E,F分别是11AB,AC的中点，所以EF//BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥ABC平面;(2)因为直三棱柱111ABCABC?，所以1111BBABC?面，11BBAD?，又11ADBC?，所以111ADBCC?面B，又11ADAFD?面，所以111AFDBBCC?平面平面.18.证明：(1)连结11AC，设11111ACBDO??连结1AO，?1111ABCDABCD?是正方体11AACC?是平行四边形11ACAC??且11ACAC?，又1,OO分别是11,ACAC的中点，11OCAO??且11OCAO?11AOCO?是平行四边形.111,COAOAO???面11ABD，1CO?面11ABD?1CO?面11ABD.(2)证明：////''''''ABDCDCABCDABDCDC? ?????是平行四边形'//'''''''BCADBCABD ADABD????????平面平面'//'''//'''''BC ABDCDABDBCCDC????????平面同理，平面?平面'//CDB平面''ABD.19.(本小题满分14分)(1)证明：?E.P分别为AC.A′C的中点， ?EP∥A′A，又A′A?平面AA′B， EP?平面AA′B∴即EP∥平面A′FB(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC BC?平面A′BC ∴平面A′BC⊥平面A′EC(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C由(2)知：BC⊥平面A′EC 又A′A?平面A′EC∴BC⊥AA′∴A′A⊥平面A′BC20.解：(1)证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN//BE，所以D1F//BE，所以1,,,EBFD四点共面.(2)因为GMBF?所以BCF?∽?MBG，所以MBBGBCCF?，即2332MB?，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，所以EM?面11BCCB.。
高二数学暑假衔接第九讲
第9讲： 一元二次不等式及其解法【开心自测】解下列不等式：① 112x >-； ②112x ->；【考纲要求】正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法； 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.【教学重难点】一元二次不等式的解法；【重难点命题方向】一元二次不等式的解集情况如下表： 判别式ac b 42-=∆ 0>∆0=∆ 0<∆ 二次函数)0(2>++=a c bx ax y的图象一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 的解集．【典型例题讲练】例1 ． 解下列不等式：⑴ 01832<++-x x (2) 18342<-≤x x(3)1212<+-x x (4) 0)4()1)(2)(3(2≥--+-x x x x例2设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a ，b.小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a 的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.变式：已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.例3 2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.小结：（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集.（2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.例4 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.变式1：解集为非空.变式2：解集为一切实数.小结：m 的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，m 的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x 轴的位置关系. 因此求解中，必须对实数m 的取值分类讨论.例5．已知不等式02>++c bx ax 的解集为()βα,，且βα<<0，求不等式02<++a bx cx 的解集．练习：已知不等式02>++q px x 的解集为{}2131|<<-x x ，求不等式012>++px qx 的解集．例6．当a 为何值时，不等式01)1()1(22<----x a x a 的解是全体实数．、练习：已知常数R a ∈，解关于x 的不等式022<+-a x ax ．例7已知函数))(2lg(2)(),1lg()(R t t x x g x x f ∈+=+=⑴．当1-=t 时，解不等式)()(x g x f ≤；⑵．如果当]1,0[∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数t 的取值范围．【基础限时训练】1．解不等式: (1) 03222>-+-x x (2) 01692≤+-x x⑶ 0)273)(132(22>+-+-x x x x ⑷23253≤--x x2．若关于x 的不等式01>+-x a x 的解集为),4()1,(+∞--∞ ，则实数a = ．3．已知不等式022>++c x ax 的解集为2131<<-x ，则=+c a ．4．若关于x 的方程09222=--k x kx 两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k 的取值范围是5．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，⑴若方程06)(=+a x f 有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式；⑵若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围.【拔高限时训练】1. 函数2112y x x =+-的定义域是（ ）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤2. 不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（ ）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞3. 集合A={2|540}x x x -+≤，B=2{|560}x x x -+≥，则A B =（ ）.A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤4. 不等式(5)(2)0x x --<的解集为 .5. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足210240d d -+<，则两圆的位置关系为 .6．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-08603422x x x x 的解集是不等式0922<+-a x x 的解集的子集，则实数a 的取值范围是 ．7．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围【李老师5分钟答疑】。
最新暑期初高中数学衔接教程【含答案】
课堂笔记第一章 乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道(a +b )2=a 2+2ab +b 2，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于(a +b )3=(a +b )2(a +b )=a 2+2ab +b 2 (a +b )=a 3+a 2b +2a 2b +2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，因此得到和的立方公式(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3．将公式中的b 全部改为-b ，又得到差的立方公式(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为(a ±b )3=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3．【例1】化简：(x +1)3-x x 2+3x +3 ．【解答】(x +1)3-x x 2+3x +3 =x 3+3x 2+3x +1-x 3-3x 2-3x =1．由完全立方公式可得(a +b )3-3a 2b -3ab 2=a 3+b 3，即(a +b )(a +b )2-3ab =a 3+b 3，由此可得立方和公式(a +b )a 2-ab +b 2 =a 3+b 3．将立方和公式中的b 全部改为-b ，得到立方差公式(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3．【例2】对任意实数a ，试比较(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 与1的大小．【解析】观察(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简．【解答】(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2=(1+a )1-a +a 2 (1-a )1+a +a 2=1+a 3 1-a 3 =1-a 6因为1-a 6-1=-a 6，对任意实数a ，-a 6≤0，所以课堂笔记(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2≤1．通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式．有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，⋯．另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便．【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+ c和ab+bc+ca表示．由于a4+b4+c4=a22+b2 2+c2 2，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解．【解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．由上式和已知得0=a2+b2+c2-1，即a2+b2+c2=1．(2)由ab+bc+ca=-12，得a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14．因为a+b+c=0，所以a2b2+b2c2+c2a2=14．再由(1)的结论，得a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1．因此a4+b4+c4=12．【例4】已知x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2．由已知得x2=1-x，故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x．因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+1课堂笔记=6x 2+2．以下同证法1习题1.11.若a +b =8，ab =2，则a 3+b 3=()A.128B.464C.496D.5122.若x +y +z =0，则x 3+y 3+z 3=()A.0B.x 2y +y 2z +z 2xC.x 2+y 2+z 2D.3xyz3.设A =n +1n 3，B =n 3+1n 3+6，对于任意n >0，则A ，B 大小关系为()A.A ≥BB.A >BC.A ≤BD.不一定4.(5-x )25+5x +x 2 =．5.观察下列各式的规律：(a -b )(a +b )=a 2-b 2，(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3，(a -b )a 3+a 2b +ab 2+b 3 =a 4-b 4．可得到(a -b )a n +a n -1b +⋯+ab n -1+b n =．(其中n 为正整数)．6.求函数y =(x -2)3-x 3的最大值．7.当x =33时，求代数式2x +1x 4x 2-2+1x 2 -1x 3的值．8.已知a ，b ，c 为非零实数，a 2+b 2+c 2 x 2+y 2+z 2 =(ax +by +cz )2，求证：x a =yb =zc ．课堂笔记§1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法．下面我们继续学习一些分解因式的方法．1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如图1．2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．这种方法能否推广呢？如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或(-1)×(-3)，按图1．2-2至图1．2-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算．12311×3+2×1=512131×1+2×3=712-3-11×- 3 +2×-1=-512-1-31×-1+2×-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图1．2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7．由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【解析】(1)因为2=1×2，-3=(-1)×3=1×(-3)，且一次项系数是1，所以可按图1．2-6用十字相乘法分解因式．(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把6a2-7a-5按图1．2-7用十字相乘法分解因式．【解答】(1)因为1×3+2×(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)．(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5= (2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)．11pq1×p+1×q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂笔记【例2】分解因式：x 2-x 2-x 2-x -2．【解析】先将x 2-x 视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决．【解答】x 2-x 2-x 2-x -2=x 2-x -2 x 2-x +1 =(x -2)(x +1)x 2-x +1 ．2.分组分解法观察多项式xm +xn +ym +yn ，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到x (m +n )+y (m +n )．这时又有了公因式(m +n )，因此能把多项式xm +xn +ym +yn 分解因式．分解过程是xm +xn +ym +yn =x (m +n )+y (m +n )=(m +n )(x +y )．一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．【例3】将下列各式分解因式：(1)x 3-x 2+x -1；(2)x 2+4(xy -1)+4y 2．【解答】(1)【解法1】x 3-x 2+x -1=x 3-x 2 +(x -1)=x 2(x -1)+(x -1)=(x -1)x 2+1 ．【解法2】x 3-x 2+x -1=x 3+x -x 2+1 =x x 2+1 -x 2+1 =x 2+1 (x -1)．(2)x 2+4(xy -1)+4y 2=x 2+4xy -4+4y 2=x 2+4xy +4y 2 -4=(x +2y )2-4=(x +2y +2)(x +2y -2)．【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．【例4】分解因式：x 3+3x -4．【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．【解答】x 3+3x -4=x 3+3x -1-3=x 3-1 +(3x -3)=(x -1)x 2+x +1 +3(x -1)=(x -1)x 2+x +4 ．课堂笔记【例5】已知x3-2x2y-xy2+2y3=0，x>y>0，化简：xz-2yz+1．【解答】因为x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0．又因为x>y>0，所以x+y≠0，x-y≠0，即只有x-2y=0．从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1．习题1.21.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-yD.4x2-y+(2x-y2)+2x-y2.要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个3.把多项式2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+．m2+5.将下列各式分解因式：(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a2．6.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b．7.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示x3+y32．8.当x=-1时，x3+2x2-5x-6=0．请根据这一事实，将x3+2x2-5x-6分解因式课堂笔记第一章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.多项式-3y 2-2yx +x 2分解因式的结果是()A.-(y +x )(3y +x )B.(x +y )(x -3y )C.-(y -x )(3y -x )D.(x +y )(3x -y )2.若a 3-b 3=3a 2b -3ab 2+1，其中a ，b 为实数，则a -b =()A.0B.-1C.1D.±13.若多项式2x 2+7x +m 分解因式的结果中有因式x +3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x -1B.2x +1C.x +1D.x -14.若a +1a =3，则a 2+a 3+a 4+1a 2+1a 3+1a 4=()A.7B.25C.47D.725.多项式4-x 2-2xy -y 2分解因式的结果是()A.(2+x +y )(2-x -y )B.(2+x +y )(2-x +y )C.(1+x -y )(4-x -y )D.(1-x +y )(4+x +y )6.若x -y -z =3，yz -xy -xz =3，则x 2+y 2+z 2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)7.若8x 3+12x 2y 2+6xy 4+y 6可分解为2x +y m 3，则m =．8.若关于x 的二次三项式ax 2+3x -9的两个因式的和为3x ，则a =．9.x 2+x +1x 2+1x -4=1x +x + 1x +x - ．三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)10.分解因式：(1)x 3-5x 2+6x ；(2)4m 3+m -1．11.已知x 2-x -1=0，求x 5-x 4-3x 3+3x 2+x 的值．12.已知a 2-9x 2+6xy -y 2(a +3x )2-(ay +3xy )=1，求证：y =6x ．课堂笔记第二章分式与根式§2.1分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．【例1】计算：a2+7a+10a2-a+1×a3+1a2+4a+4÷a+1a+2．【解析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．【解答】原式=a+2a+5a2-a+1×a+1a2-a+1a+22×a+2a+1=a+5【例2】先化简，再求值：m2+n2m2+2mn+n2-2mn÷m+nmn2×m3+3m2n+3mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中m=57，n=3．【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解．【解答】原式=m2+n2(m+n)2-2mn×m2n2(m+n)2×(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2mn(m+n)2×(m+n)(m-n)=m2-2mn+n2(m+n)2×(m+n)(m-n)=m-nm+n．当m=57，n=3时，原式=m-nm+n=57-357+3=910．【例3】已知xx2-3x+1=1，求x2x4-9x2+1的值．【解析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的．【解答】因为xx2-3x+1=1，所以x2-3x+1x=1，得x+1x=4．于是x4-9x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x2-11=16-11=5．因此x2x4-9x2+1=15．【注】本题解答中灵活应用了x2+1x2=x+1x2-2．课堂笔记2.分式的证明【例4】已知b +1c =1，c +1a =1，求证：a +1b =1，【解析】由已知两式消去c ，即可得到含a ，b 的关系式．【解答】由b +1c =1，得1c =1-b ；由c +1a =1，得c =1-1a ．所以(1-b )1-1a =1，得1-1a -b +b a =1，即-1a -b +b a =0．两边都乘以a ，得-1-ab +b =0，两边再都除以b ，得-1b -a +1=0，移项得a +1b =1．【例5】已知abc =1，求证：a ab +a +1+b bc +b +1+c ac +c +1=1．【解析】此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a →b→c →a ，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略．【解答】【解法1】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +1+ab a (bc +b +1)+abc ab (ac +c +1)=a ab +a +1+ab abc +ab +a +abc abac +abc +ab=a ab +a +1+ab 1+ab +a +1a +1+ab=a +ab +1ab +a +1=1．【解法2】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +abc +b bc +b +1+bc b (ac +c +1)=1b +1+bc +b bc +b +1+bc bac +bc +b=1b +1+bc +b bc +b +1+bc 1+bc +b=1+b +bc bc +b +1=1．3.繁分式我们知道，像2m ，ab 1+b ，⋯这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像1x +1x ，a 1+b b 1+a，⋯这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，1x +1x =课堂笔记xx x+1x=xx2+1【例6】化简：1+1-xx1-1-xyxy．【解析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法．【解答】【解法1】原式=1+1-xxxy1-1-xyxyxy=xy+y-xyxy-1+xy=y2xy-1．【解法2】原式=1+1-xx÷1-1-xyxy=x+1-xx÷xy-1+xyxy= y2xy-1．【例7】化简：x+1x2-x+1x-11-x-1x2÷x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2x-2x+3．【解析】观察发现，上式中出现最多的是x+1x，而x2+1x2=x+1x2-2，因此设x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简．换元法在繁分式化简中是一种常用的方法．【解答】设x+1x=a，则x2+1x2=x+1x2-2=a2-2．原式=a2-a-11-a2÷a2-a+1a2-2a+1=a2-a2-a+1a-12×(a-1)2a2-a+1 =a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1．课堂笔记习题2.11.下列运算中，错误的是()A.a b =acbc (c ≠0) B.-a -ba +b =-1C.0.5a +b 0.2a -0.3b =5a +10b 2a -3b D.x -y x +y =y -x y +x 2.若x +1x =4，则x 2x 4+x 2+1=()A.10 B.15C.115D.1163.若a +1b=1，b +2c =1，则c +2a =()A.1B.2C.3D.44.化简：11-11-1x ．5.化简：a 3-a 2-a +1a 3-3a 2+3a -1．6.计算：1-a -11-a 2÷a 3+1a 2-2a +1×11-a．7.已知1a +1b+1c =0，求证：a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2．8.已知xyz =1，x +y +z =2，x 2+y 2+z 2=16，求1xy +2z +1yz +2x+1zx +2y的值．课堂笔记§2.2根式及其迲算1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母．把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，620=625=6×525×5=355．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．【例1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x≠y)；(3)x-y3x-3y-x+y3x+3y．【解析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号．其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分．【解答】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3．(2)【解法1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y．【解法2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y．(3)【解】x-y3x-3y-x+y3x+3y=(3x)3-(3y)33x-3y-(3x)3+(3y)33x+3y=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3y)2 =23xy【例2】计算：1+23+5(1+3)(3+5)+5+27+3(5+7)(7+3)．【解析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+23+5，(5+7)+(7+3)=5+27+3．因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化．【解答】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5-7(5+7)(5-7)课堂笔记+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1【例3】计算：1-x -11+x -1+22-x ÷2+xx -1．【解析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便．【解答】原式=(1-x -1)2(1+x -1)(1-x -1)+22-x×x -12+x=1-2x -1+x -11-x +1+2x -12-x =x2-x．【例4】已知a =12+3，求1-2a +a 2a -1-a 2-2a +1a 2-a的值．【解析】先化简再求值，同时注意(a -1)2=|a -1|．【解答】因为a =12+3=2-3<1，所以原式=(a -1)2a -1-(a -1)2a (a -1)=(a -1)-|a -1|a (a -1)=a -1--(a -1)a (a -1)=a -1+1a=2-3-1+2+3=3.2.根式的证明【例5】已知(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，且a 2-c 2=b 2，其中a >b >0，求证：x 2a 2+y 2b2=1．【解析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方．【解答】【证明】因为(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，所以(x +c )2+y 2=2a -(x -c )2+y 2两边平方，整理得a 2-cx =a (x -c )2+y 2．两边再平方，整理得a 2-c 2 x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2 ．把a 2-c 2=b 2代入得b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，两边同除以a 2b 2，得x 2a 2+y 2b2=1．【例6】已知a ，b 都是非负数，并且1-a 2×1-b 2=ab ，求证：a 1-b 2+b 1-a 2=1．【解析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明．但A 2=B 2，未必有A =B ，因此在证明过程中必须确定A ，B 是课堂笔记否同号．【解答】【证明】将1-a2×1-b2=ab两边平方，得1-a21-b2=a2b2，即1-a2-b2+a2b2=a2b2，得a2+b2=1．a1-b2+b1-a22=a21-b2+b21-a2+2ab1-b2×1-a2=a2+b2-2a2b2+2a2b2=1.因为a，b都是非负数，所以a1-b2+b1-a2≥0．因此a1-b2+b1-a2=1．3.n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n 次方根．例如，由于24=16和(-2)4=16，我们把2或-2叫做16的4次方根．当n 是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，也可以把两个方根合起来写作±n a．例如，416=2，-416=-2，合起来写作±416=±2．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．【例7】(1)求-32243的5次方根；(2)求(-8)2的6次方根．【解析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果．需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个．求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解．【解答】(1)5-32243=5-2535=-23．(2)±6(-8)2=±626=±2．【例8】(1)当x<0时，求|x|+4x4+23x3的值．(2)若n为自然数，2n a2n=-a，a的取值范围是什么？【解析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论．【解答】(1)当x<0时，|x|+4x4+23x3=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0．(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是2n a2n=|a|．又因为2n a2n=-a，所以a≤0．类似于二次根式的性质，我们也可以得到n次根式的性质：(1)(n a)n=a．课堂笔记(2)当n 为奇数时，na n =a ；当n 为偶数时，na n =|a |=a ,a ≥0；-a ,a <0.(3)mpa mp =na m (a ≥0)，n ab =n a ⋅n b (a ≥0,b ≥0)，na b=na n b(a ≥0,b >0)，n a m =(n a )m (a ≥0)．从指数式的角度看，a =a 12，3a =a 13，⋯，n a =a 1n ，所以a m =na m ，a -mn =1n am ．课堂笔记习题2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根2.当a>0时，-ax3=()A.x axB.x-axC.-x-axD.-x ax3.把a-ba+b(a≠b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-b C.a+b-2aba-bD.a+b-2abb-a4.(-1)101的7次方根是，0的8次方根是，(-4)2的4次方根是，(-4)4的4次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2×32)4=，18÷32=．6.已知a=13+22，b=13-22，求1b-1-1a-1的值．7.化简：(a-b)3+2a a+b ba a+b b-3b-3aba-b．8.化简：(1)a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)n a<b<0,n>1,n∈N∗．9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1．课堂笔记第二章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.若分式x +yx -y中的x ，y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A.不变B.是原来的3倍C.是原来的13D.是原来的162.计算a b-b a÷a +b a 的结果是()A.a -b aB.a +b bC.a -bbD.a +b a3.把a +ba -b(a ≠b )分母有理化的结果是()A.-1B.a +b a -bC.a +b +2aba -bD.a +b +2abb -a4.下列式子错误的是()A.(a )2=aB.3a 3=aC.(n a )n =a (n >1的整数)D.na n =a (n >1的整数)5.化简x -|x |x的结果是()A.-|x |B.-xC.x 2D.x6.若n 为自然数，2n +1a 2n +1=a ，则a 的取值范围是()A.a ≥0B.a <0C.a ≤0D.a 为全体实数二、填空题(本题有4小题，每小题6分，共24分)7.64的平方根是，立方根是，6次方根是．8.化简：1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=．9.化简：11+11+1x=．10.当x <0时，5x 5+4x 4+3x 3=．三、解答题(本题有3小题，第11，12题各15分，第13题每题16分，共46分)11.若(x -10)2+4y -4=0，求y x 的10次方根．课堂笔记12.化简：x+1x-1-x-1x+11x2-1．13.当a=12-1时，求a2+6a2-1-a+1a-1+1÷a3+8a4+3a3+2a2的值．课堂笔记第三章方程与方程组§3.1三元一次方程组我们已经学习了二元一次方程组及其解法, 知道解二元一次方程组的基本思想是:二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解二元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法. 消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在现实生活中, 我们会遇到末知数不止两个的方程, 下面我们就来学习三元一次方程组.像x +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y ,4x +2y +z =0,x +2y -z =3,2x -y +2z =-4这类方程组中含有三个末知数, 含末知数的项的次数都是1 , 这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致, 通过消元转化为我们会解的方程组:三元一次方程组⟶消元二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例1】解方程组x +y +z =12,①x +2y +5z =22,②x =4y .③【分析】将方程③分别代入方程①②, 得到只含y ,z 的二元一次方程组.【解】将方程③分别代入方程①②, 得方程组5y +z =12④6y +5z =22⑤解得y =2,z =2.把y =2,z =2代人方程①, 得x +2+2=12, 所以x =8.方程组的解是x =8,y =2,z =2.【例2】解方程组课堂笔记4x+2y+z=0①x+2y-z=3②2x-y+2z=-4③【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元, 转化为二元一次方程组. 将方程①+②, 可以消去z, 将方程③+②×2, 也可以消去z, 从而得到二元一次方程组.【解】方程①+②, 得5x+4y=3.④方程③+②×2, 得4x+3y=2. ⑤方程④和方程⑤组成方程组5x+4y=34x+3y=2解得x=-1,y=2.把x=-1,y=2代人方程②, 得-1+2×2-z=3, 所以z=0.方程组的解是x=-1,y=2,z=0.【例3】解方程组x:y:z=1:2:7,2x-y+3z=21.本题含有三个末知数, 只有两个方程, 其中方程①含有比例. 如果设x=a, 则y=2a,z=7a, 就得到了关于x,y,z三个末知数之间的关系, 代入方程②即可求解.【解】由方程①, 设x=a,y=2a,z=7a.代人方程②, 得2a-2a+21a=21, 即a=1.于是x=1,y=2,z=7.方程组的解是x=1,y=2,z=7.【注】本题的解答实际上用了比例的性质(第五章). 虽然方程组形式上是两个方程, 但方程①实际上隐含了两个方程:2x=y,7y=2z.通过上面几道例题, 我们发现, 三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元, 化归为二元一次方程组, 再化归为一元一次方程. 实际上, 消元是解一次方程组的主要方法. 解一次方程组的消元“化归”基本思想, 可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.习題3.1课堂笔记1.解方程组3x -y +2z =3,2x +y -4z =11,若要使运算简便,消元的方法应选取.7x +y -5z =1,()A.先消去x .B.先消去y .C.先消去z .D.以上说法都不对.2.已知方程组2x -y +z =5,5x +8y -z =9,则x +y 的值是()A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程3x -y -7=0,2x +3y =1,y =kx -9有公共解, 则k 的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.4.当x =0,1,-1时, 二次三项式ax 2+bx +c 的值分别为5,6,10, 则a =b = ,c =.5.已知方程组x -2y +z =0,2x +4y -z =0,则x :y :z =6.解下列三元一次方程组:①x -4y +z =-32x +y -z =18x -y -z =7②x :y :z =2:3:5x +y +z =1007.若|a -b -1|+(b -2a +c )2+|2c -b |=0, 求a ,b ,c 的值.8.己知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,求2x 2+3y 2+6z 2x 2+5y 2+7z 2的值.§3.2一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)由配方法可化为x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2.因为a ≠0, 所以4a 2>0. 式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:①b 2-4ac >0这时b 2-4ac 4a 2>0, 由①式得x +b 2a =±b 2-4ac 2a , 方程有两个不相等的实数根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a.②b 2-4ac =0课堂笔记这时b2-4ac4a2=0, 由①式得x+b2a2=0, 方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0这时b2-4ac4a2<0, 由①式得x+b2a2<0, 而x取任何实数都不能使x+b2a2<0, 因此方程无实数根.这说明, 根据b2-4ac的值的符号, 我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的情况. 一般地, 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式, 通常用希腊字母Δ表示它, 即Δ=b2-4ac.归纳起来, 有①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;③Δ<0⇔方程没有实数根.【例1】【例1】不解方程, 判别下列方程的根的情况:②5x2=2(x-10);③8x2+(m+1)x+m-7=0.①x2+2x-1=0;【解】①因为Δ=22-4×(-1)=8>0, 所以方程有两个不相等的实数根.②将原方程整理, 可得5x2-2x+20=0.因为Δ=(-2)2-4×5×20=-396<0, 所以方程没有实数根.③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-15)2.因为无论m取何值, 都有Δ=(m-15)2≥0, 所以方程有两个实数根.【例2】【例2】已知关于x的方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根, 求k的范围.【分析】将方程化成一般形式, 二次项系数k-2≠0. 因为一元二次方程有两个不相等的实数根, 所以Δ>0.【解】方程(k-2)x2+k=(2k-1)x可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根, 所以课堂笔记k -2≠0,Δ=[-(2k -1)]2-4k (k -2)=4k +1>0.解得k >-14且k ≠2.所以k 的取值范围是k >-14且k ≠2.【例3】证明:关于x 的一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根, 只要证Δ<0即可.【证明】二次项系数m 2+1≠0.Δ=(-2m )2-4m 2+1 m 2+4 =-4m 4+4m 2+4 =-4m 2+2 2.因为无论m 取什么实数, 都有m 2+2>0, 所以-4m 2+2 2<0, 即Δ<0. 因此, 一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【例4】当m 为何值时, 关于x 的方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根.和m 2-4≠0两种情形讨论.【解】①当m 2-4=0, 即m =±2时, 2(m +1)≠0, 方程为一元一次方程, 总有实数根.②当m 2-4≠0, 即m ≠±2时, 要使方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根, 则Δ=[2(m +1)]2-4m 2-4 =8m +20≥0, 解得m ≥-52.因此, 当m ≥-52且m ≠±2时, 方程有实数根.综合①②, 当m ≥-52时, 方程有实数根.习题3.21.方程x 2+1=0,x 2+x =0,x 2+x -1=0,x 2-x =0中, 无实根的方程有()A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.2.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中, 若a <0, 则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.课堂笔记C.没有实数根.D.无法确定.3.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, 若a与c异号, 则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定4.若关于x的一元二次方程(m-2)2x2+2(m+1)x+1=0有两个不相等的实数根, 则m的取值范围是5.若二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积, 则k的取值范围是6.不解方程, 判别下列方程的根的情况:③5x2+1-7x=0.①2x2+3x-4=0;②16y2+9=24y7.证明：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实数根.8.已知关于x的方程k2-1x2+2(k+1)x+1=0有实数根, 求k的取值范围.§3.3书达定理及其应用方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=-b±b2-4ac2a, 不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值, 而且反映了根与系数之间的联系. 本节我们进一步讨论根与系数的关系.根据求根公式可知, 当b2-4ac≥0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba,x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a=(-b)2-b2-4ac4a2=c a.因此, 方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-b a,x1x2=c a.这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.课堂笔记反过来, 如果x 1,x 2满足x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca, 那么x 1,x 2一定是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根, 这就是韦达定理的逆定理.特别地,①如果方程x 2+px +q =0的两个根是x 1,x 2, 那么x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q ;②以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-x 1+x 2 x +x 1x 2=0【例1】根据一元二次方程根与系数的关系, 求下列方程两根的和与积:①x 2-5x -8=0;②3x 2=1-6x ;③2x 2-43x -22=0. 化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0), 直接应用韦达定理x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 来求.【解】①x 1+x 2=-(-5)=5,x 1x 2=-8.②方程化为3x 2+6x -1=0, 则x 1+x 2=-2,x 1x 2=-13.③x 1+x 2=--432=26,x 1x 2=-222=-2.【例2】已知方程5x 2+2x -15=0, 求:①两根的倒数和;②两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根, 但是计算较繁. 根据韦达定理, 将代数式变形成念有x 1+x 2和x 1x 2形式的式子, 可以筒化运算.【解】设方程的两根为x 1,x 2, 根据韦达定理, 有x 1+x 2=-25,x 1x 2=-3.①1x 1+1x 2=x 1+x 2x 2x 2=-25-3=215.②x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-252-2×(-3)=15425.【例3】当k 取何值时, 关于x 的方程3x 2-2(3k +1)x +3k 2-1=0, ①有一根为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.【解】要使方程有根, 必须Δ=[-2(3k +1)]2-4×33k 2-1 ≥0, 解得k ≥-23.①若方程有一根为零, 则x 1x 2=0. x 1x 2=3k 2-13=0, 解得k =±33.课堂笔记因为±33>-23, 所以当k=±33时, 方程有一个根为零.②若方程有两个互为相反数的实根, 则x1+x2=0. x1+x2=23(3k+1)=0, 解得k=-13, 因为-13>-23, 所以当k=-13时, 方程有两个互为相反数的实数根.③若方程两根互为倒数, 则x1x2=1. x1x2=3k2-13=1, 解得k=±233.因为233>-23, 而-233<-23, 所以当k=233时, 方程的两实根互为倒数.【例4】写出一个二元二次方程, 使它的两个根为-5和23.【分析】方程的根是由它的系数决定的, 给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程, 但得到的一元二次方程不唯一, 不过它们各次项的系数对应成比例. 为了方便, 一般设所求的方程为x2+px+q=0.【解】设所求的方程为x2+px+q=0, 由根与系数的关系可知-5+23=-p, -5×23=q, 得p=133,q=-103.因此, 一元二次方程为x2+133x-103=0, 即3x2+13x-10=0.1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根, 则x21+x22的值是().A.15.B.6.C.12.D.3 .2.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是().A.y2+5y-6=0.B.y2+5y+6=0.C.y2-5y+6=0.D.y2-5y-6=0.3.若m,n是方程x2+2x-2002=0的两实数根, 代数式3m+mn+3n的值是().A. -2008.B. -1996.D. 1996 .C. 2008 .课堂笔记4.若关于x 的方程m 2-2 x 2-(m -2)x +1=0的两实根互为倒数, 则m 的值是5.以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是6.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根, 利用根与系数的关系求下列各式的值:①x 1+1 x 2+1 ;②x 1x 2+x 2x 1;③x 1-x 27.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0, 两根之比为3:5, 求证:64ac =15b 2.8.已知关于x 的一元二次方程2x 2+ax -2a +1=0, 两个实根的平方和为294, 求a 的值.§3.4可化为一元二次方程的分式方程我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法. 本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.【例1】解方程4x -1x -1=1.【分析】解分式方程, 首先要找这个分式方程的最简公分母, 然后方程两边同乘以最简公分母, 约去分母, 使分式方程化为整式方程.【解】方程的两边同乘最简公分母x (x -1), 得4(x -1)-x =x (x -1).整理, 得x 2-4x +4=0.解得x 1=x 2=2.检验：当x =2时, x (x -1)=2(2-1)=2≠0.所以原方程的根是x =2.验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母, 看结果是不是零, 使最简公分母为零的根是增根, 必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数, 所得方程与原方程同解. 而我们在解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母, 它是一个整式, 当这个整式为零时, 就不符合方程的同解原理要求, 所得整式方程的根就不一定是原方程的根, 因此解分式方程必须验根.课堂笔记【例2】解方程1x+2-4x-5x2-x-6=1.【分析】将分式方程的分母进行因式分解, 从而确定出最简公分母是(x+2)(x -3).【解】方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-3), 得x-3-(4x-5)=x2-x-6整理, 得x2+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.检验:当x=-4或x=2时, (x+2)(x-3)≠0.所以原方程的根是x1=-4,x2=2.课堂笔记【例3】解方程8x 2+2x x 2-1+3x 2-1x 2+2x=11.【分析】按一般解法, 应先去分母, 整理后为一元四次方程, 结果较繁. 观察方程, 左边的两个分式x 2+2x x 2-1和x 2-1x 2+2x 互为倒数, 可以通过“换元”, 将方程化简.【解】设x 2+2x x 2-1=y , 则x 2-1x 2+2x=1y , 于是原方程变形为8y +3y =11.方程两边同乘y , 得8y 2-11y +3=0解得y 1=1,y 2=38.经检验, y 1=1,y 2=38都是方程8y +3y=11的根.当y =1时, x 2+2xx 2-1=1, 去分母, 整理, 得x 2+2x =x 2-1.解得x 1=-12.当y =38时, x 2+2x x 2-1=38, 去分母, 整理, 得5x 2+16x +3=0.解得x 2=-3,x 3=-15.检验:把x =-12,x =-3,x =-15分别代人原方程的分母, 各分母都不为零.所以, 原方程的根是x 1=-12,x 2=-3,x 3=-15.习题3.41解下列方程:(1)2x -12x -1=1;(2)2x 2-6xx -3=x +5.2. 解下列方程:(1)x -1x 2-2x -1x =x x -2;(2)24x 2-4x -3-14x 2-8x +3-2x -51-4x 2=0.课堂笔记3.解下列方程:(1)xx+12+5x x+1+6=0;(2)x2-3x+3xx2-3=132.§3.5简单的根式方程像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=1,x+1-2x+1=3这类根号内含有末知数, 且根指数为2的方程, 叫做二次根式方程.二次根式方程可以通过把方程的两边平方, 化为整式(或分式)方程来解. 不过变形有可能产生增根. 因此, 解二次根式方程时, 必须把变形所得整式(或分式)方程的根, 代人原方程进行检验.【例1】解方程2x2-7x=x-2.【分析】通过两边平方化为整式方程.【解】两边平方, 得2x2-7x=x2-4x+4整理, 得x2-3x-4=0.解得x1=4,x2=-1.检验:把x=4代人原方程, 左边=2×42-7×4=2, 右边=4-2=2, 所以x= 4是原方程的根;把x=-1代人原方程, 右边=-3, 而左边的算术平方根不可能是负数, x=-1是增根.原方程的根是x=4.【例2】解方程3x-5-x+2=1.【分析】方程左边有两个二次根式, 如果直接平方, 结果较繁. 一般把其中一个根式移到方程的右边, 使方程左右两边各含有一个根式.【解】移项，得3x-5=x+2+1.两边平方, 得3x-5=1+2x+2+x+2.化简, 得x-4=x+2.两边再平方并整理, 得x2-9x+14=0.解得x1=2,x2=7.课堂笔记经检验, x =2是增根;x =7是原方程的根.【例3】解方程x 2+8x +x 2+8x =12.【分析】x 2+8x 是x 2+8x 的算术平方根, 如果直接平方, 结果很繁. 若设x 2+8x =y , 则原方程就转化为关于y 的一元二次方程.【解】设x 2+8x =y , 那么x 2+8x =y 2, 原方程就变形为y 2+y -12=0.解得y 1=-4,y 2=3.当y =-4时, x 2+8x =-4无解.当y =3时, x 2+8x =3, 解得x 1=-9,x 2=1.经检验, 原方程的根为x 1=-9,x 2=1.习题3.51.解下列方程:(1)2x -2x +1=5；(2)x +x -3=3.2.解下列方程:(1)2x -5-x -3=1；(2)5x +4-x +3=1.1解下列方程:(1)x -1x +2-52=-x +2x -1；(2)x 2+x -x 2+x -2-4=0.§3.6简单的二元二次方程组像x 2+y 2=1,x 2-2y 2+x +3y -10这类含有两个末知数, 并且含有末知数的项的最高次数是2的整式方程, 叫做二元二次方程. 由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程, 或一个二元二次方程和一个二元一次方程, 组成的方程组叫做二元二次方程组.解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次, 消元就是把二元化为一元, 降次就是把二次降为一次, 其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解.本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题.【例1】解方程组课堂笔记x2+y2=1------1x+y-1=0----(2【解】由方程(2), 得y=1-x(3)把方程(3)代人方程(1), 得x2+(1-x)2=1.整理, 得x2-x=0.解得x1=0,x2=1把x=0代人方程(3), 得y=1;把x=1代人方程(3), 得y=0.原方程组的解是x1=0,y1=1;x2=1,y2=0.【注】解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 其解法是先由二元一次方程出发, 用含一个末知数的式子表示另一个末知数, 再把这个式子代人二元二次方程, 达到消元的目的, 转化为一元二次方程求解.【例2】解方程组x2+2xy+y2=1,x2+4y2=8【分析】方程(1)变形为(x+y)2=1, 把它化为两个二元一次方程x+y+1=0和x+y-1=0, 分别与方程(2)组成方程组x+y+1=0,x2+4y2=8,x+y-1=0,x2+4y2=8;x2+4y2=8两个方程组即可.【解】由方程(1)得x+y+1=0,x+y-1=0.原方程组变形为x+y+1=0,x2+4y2=8;x+y-1=0,x2+4y2=8.分别解这两个方程组, 得原方程的解为x1=-2,y1=1;x2=25,y2=-75;x3=2,y3=-1;x4=-25,y4=75.【注】由两个二元二次方程组成的方程组, 如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程, 就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的形式.。
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高二数学 第十四讲 两平面垂直的判定 8.1
教学目标
1． 理解二面角及二面角的平面角的概念； 2． 理解平面与平面垂直的概念；
3． 掌握两个平面垂直的判定定理并能灵活应用； 4． 培养学生的空间想象能力和辨证思维。
教学重点与难点
重点：两个平面垂直的判定定理。
难点：两个平面垂直的判定定理的灵活应用。
教学过程
一、 复习回顾
● 在平面几何中“角”是怎样定义的？
（从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
） ● 平面中的等角定理如何叙述？
（如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
）
二、 问题情境、学生活动
● 发射人造卫星时，卫星的轨道平面和地球赤道平面形成一定的角度，笔记本电脑使用时，也需要展开一定的角度等等，那么我们如何来刻画这种两个平面所成的“角”呢？
三、 数学理论、数学运用
1． 二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的表示：l αβ--
与平面角的比较：
α
β
l
角
二面角 图形
定义 从一点出发的两条射线所组成的图形
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
构成 边－点－边（顶点）
面－直线－面（棱） 表示法
AOB ∠
二面角l αβ-- 或二面角AB αβ--
2．二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上；2.线在面内；3.与棱垂直
二面角的平面角的范围：0180θ︒︒≤≤ （平面角是直角的二面角叫作直二面角） 二面角的平面角的作法：1.定义法；2.作垂面
思考：二面角l αβ--的平面角AOB ∠的大小与点O 的位置有关吗？
例1
如图所示:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中： （1）求二面角D 1-AB -D 的大小；
（2）求二面角A 1-AB -D 的大小。
3．平面与平面垂直
一般地，如果两个平面所成地二面角是直二面角，我们就说这两个平面垂直. 记作：αβ⊥
问题情境：
为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
O
A
B α
β
l
A A 1
B C
D B 1
D 1
C 1
如何判断两个平面垂直？
4．平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直. 符号语言：}
l l ααββ
⊥⇒⊥⊂ 图形语言：
简记为：线面垂直⇒面面垂直
实例：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直，就是依据这个面面垂直的判定定理。
例2
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB
分析：根据两个平面垂直的判定定理，要证平面 A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB ，只需在其中的一个
平面内找一条直线垂直于另一个平面即可。
例3
已知⊥PA 平面ABC ，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，求证：平面⊥PAC 平面PBC
β
l α
A
A 1 B
C
D B 1 D 1
C 1
例4
在三棱锥ABC P -中，AC AB PC PB ==,，点D 为BC 中点，PD AH
⊥于H ，连接BH ，
求证：平面⊥ABH 平面PBC
探究拓展：
（1）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？ （2）要使一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，需满足什么条件？
四、 回顾反思
判断两平面垂直的方法有哪些？
1． 定义：两平面所成的二面角是直二面角 2． 判定定理：线面垂直⇒面面垂直
15分钟当堂练习：
1在正方体'
'
'
'
D C B A ABCD -中，二面角A BC D --'
的大小是 。
2已知⊥PA 平面ABC ，0
90=∠ACB ，连接PC PB ,则互相垂直的平面有 对。
3已知二面角βα-- 为0
60，如果平面α内有一点A 到平面β的距离为3，那么A 在平面
β上的射影1A 到平面α的距离为 。