15、三角形全等与相似
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等三角形是几何学中最基础的形状之一，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，相似和全等是两个重要的概念。
在本文中，我们将探讨三角形的相似性和全等性，并讨论它们的定义、特征以及它们在几何学中的应用。
1.相似三角形相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被认为是相似的。
换句话说，如果两个三角形的对应角相等，那么它们的形状是相似的。
但是需要注意的是，相似三角形的边长比例并不要求一致。
相似三角形的定义可用以下方式表示：定义1：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下重要结论：结论1：相似三角形的对应边比例相等。
结论2：相似三角形的周长比例等于对应边长比例。
结论3：相似三角形的面积比例等于对应边长比例的平方。
相似三角形在几何学中有很多应用。
它们可以用于解决实际问题，如测量高楼的高度，计算不可直接测量的距离等。
此外，在计算机图形学和建模领域，相似三角形也被广泛应用。
2.全等三角形全等三角形是指所有对应的角度和边长均相等的三角形。
当两个三角形的对边和对角度相等时，它们被认为是全等的。
全等三角形的定义可用以下方式表示：定义2：如果两个三角形的对应边和对应角度都相等，那么它们是全等的。
根据全等三角形的定义，我们可以得出以下重要结论：结论4：全等三角形的对应角度相等。
结论5：全等三角形的对应边长相等。
结论6：全等三角形的面积相等。
全等三角形在几何学中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计和制图中，全等三角形可用于绘制精确的放大图或缩小图。
此外，全等三角形还用于解决实际测量中的复杂三角形问题。
在实际问题中，相似和全等三角形经常用于计算难以测量的物体的尺寸或距离。
例如，通过测量一个人的身高和影子的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算高楼的高度。
同样地，借助全等三角形的特性，我们可以计算出一个三角形的面积，甚至计算出更复杂图形的面积。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等在数学中，三角形是一个十分重要的形状。
无论是在几何学还是三角函数中，对于三角形的相似与全等的理解都是必不可少的。
本文将详细讨论三角形的相似与全等，并给出相应的例子和应用。
一、三角形的相似当两个三角形的对应角度相等并且对应边成比例时，我们称这两个三角形为相似三角形。
简单来说，相似三角形是指形状相似但大小不同的三角形。
1. 相似三角形的条件两个三角形相似的条件有两个方面，即角度对应相等和边长成比例。
（1）角度对应相等：两个三角形的对应角度相等，即相似三角形的内角相等。
（2）边长成比例：两个三角形的对应边长之间成比例关系，可以通过边长比值进行表示。
2. 相似三角形的性质相似三角形有以下几个性质：（1）对应角相等：相似三角形的内角相等，即两个三角形的对应角度相等。
（2）对应边成比例：相似三角形的对应边长之间成比例关系，可以用边长比值进行表示。
（3）顶角相等：相似三角形中，顶角对应相等。
二、三角形的全等当两个三角形的对应角度相等，对应边长度相等时，我们称这两个三角形为全等三角形。
简单来说，全等三角形是指形状和大小均相等的三角形。
1. 全等三角形的条件两个三角形全等的条件有三个方面，即对边对角、对边对边和对角对边三个方面。
（1）对边对角：两个三角形一对边和夹角对应相等即可。
（2）对边对边：两个三角形三对边对应相等即可。
（3）对角对边：两个三角形两对角和夹边对应相等即可。
2. 全等三角形的性质全等三角形有以下几个性质：（1）对应边对应相等：全等三角形的对应边长相等。
（2）对应角对应相等：全等三角形的对应角度相等。
（3）对应高对应相等：全等三角形的对应高相等。
三、相似三角形与全等三角形的应用1. 相似三角形的应用（1）测量无法直接测量的高：利用相似三角形的性质，我们可以通过测量三角形的底边和高边的比例来求解无法直接测量的高。
（2）影子定理：当太阳光以平行光线照射地面上的物体时，物体产生的影子与物体本身是相似的，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度和长度。
三角形的相似性和全等性质
三角形的相似性和全等性质在数学中，三角形是一个重要的概念。
从几何角度来看，三角形是一个有三条边和三个内角的图形。
研究三角形的性质对于解决几何问题和证明数学定理都具有重要的意义。
本文将重点讨论三角形的相似性和全等性质，探讨它们的定义、判定方法以及一些重要的性质。
一、相似性的定义和判定方法相似性是指两个或多个图形在形状上具有相似的特点。
对于三角形来说，我们经常讨论的是三角形的相似性。
两个三角形相似的条件有两种：AAA相似条件和AA相似条件。
1. AAA相似条件当两个三角形的三个内角分别相等时，它们是相似的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF的内角A等于内角D、内角B等于内角E、内角C等于内角F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA相似条件当两个三角形的两个对应角分别相等时，它们是相似的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF的角A等于角D且角B等于角E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
通过上述相似条件，我们可以方便地判定两个三角形是否相似。
相似的三角形具有一些重要的性质，例如边长比例相等、角度相等、面积比例相等等，在几何问题中广泛应用。
二、全等性的定义和判定方法全等性是指两个图形在形状和大小上完全相等。
对于三角形来说，全等性也是一个重要的性质。
两个三角形全等的条件有三种：SSS全等条件、SAS全等条件和ASA全等条件。
1. SSS全等条件当两个三角形的三条边分别相等时，它们是全等的。
也就是说，如果三角形ABC的边AB等于边DE、边BC等于边EF、边CA等于边FD，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
2. SAS全等条件当两个三角形的两个对应边和对应夹角分别相等时，它们是全等的。
也就是说，如果三角形ABC的边AB等于边DE、边BC等于边EF且夹角B等于夹角E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
3. ASA全等条件当两个三角形的两个对应角和对应边分别相等时，它们是全等的。
三角形的相似与全等关系
三角形的相似与全等关系三角形是几何学中重要的基本概念，而相似与全等则是描述三角形关系的重要定理。
本文将介绍三角形的相似与全等关系，讨论其性质和应用。
一、相似三角形相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
两个三角形相似的条件是：1.对应角相等，2.对应边的比例相等。
根据这两个条件，我们可以得到两个重要的相似定理：AAA相似定理和AA相似定理。
1. AAA相似定理若两个三角形的三个内角两两相等，则这两个三角形相似。
简单来说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
2. AA相似定理若两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。
即，如果两个三角形的两个角度相等，那么它们相似。
相似三角形的性质：1. 相似三角形的对应边长度之比等于对应角的正弦值之比。
2. 相似三角形的对应边长成比例。
应用：相似三角形的应用非常广泛，包括解决间接测量问题、影子问题以及在几何证明中的运用等等。
相似三角形的性质为我们解决这些问题提供了有力的工具。
二、全等三角形全等三角形指的是具有相同的形状和尺寸的三角形。
两个三角形全等的条件是：它们的对应边长相等，对应角度相等。
根据这两个条件，我们可以得到两个重要的全等定理：SSS全等定理和SAS全等定理。
1. SSS全等定理若两个三角形的对应边长分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS全等定理若两个三角形的一个角度相等，而这个角的两边分别与另一个三角形的两边相等，则这两个三角形全等。
全等三角形的性质：1. 全等三角形对应边的角度相等。
2. 全等三角形的对应边，对应角相等。
应用：全等三角形的理论在解决几何问题中也有很大的应用价值，尤其是连续推导和证明题目中。
结论：三角形的相似与全等关系是几何学中的重要内容，它们在解决几何问题和几何证明中有广泛的应用。
相似三角形的关系通过对应角和对应边之间的比例关系来描述，全等三角形则要求对应边和对应角都相等。
通过理解和应用相似与全等三角形的定理和性质，我们能够更好地解决与三角形有关的问题。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似与全等是数学中涉及三角形的重要概念。
相似和全等代表了不同三角形之间的关系和性质。
在本文中，我们将深入探讨相似与全等的定义、判定条件以及应用。
一、相似三角形的定义与判定相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在讨论相似三角形之前，我们首先需要了解相似的含义。
1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
具体而言，设有三角形ABC和DEF。
若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以说两个三角形ABC和DEF相似。
2. 判定：相似三角形判定有三种情况：a) AA判定法：如果两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。
b) SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，两个对边成比例，则它们是相似的。
c) SSS判定法：如果两个三角形的三对边成比例，则它们是相似的。
二、相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，这些性质是在解决三角形问题时非常有用的。
1. 对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度成比例。
设∆ABC和∆DEF是相似三角形，若AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以得出两个三角形对应边的比例关系。
2. 对应角相等：在相似三角形中，对应角是相等的。
设∆ABC和∆DEF是相似三角形，若∠A=∠D，则可以得出两个三角形对应角的等量关系。
3. 高线比例定理：在相似三角形中，两个相似三角形的高线长度的比等于两个三角形底边长度比的相同。
设∆ABC和∆DEF是相似三角形，且h1和h2分别为相似三角形∆ABC和∆DEF的高线。
则h1/h2=AB/DE。
三、全等三角形的定义与判定全等三角形指的是具有相同大小和形状的三角形。
1. 定义：如果两个三角形的对应边和对应角全部相等，则它们是全等的。
具体而言，设有三角形ABC和DEF。
若AB=DE，BC=EF，AC=DF且∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以说两个三角形ABC 和DEF全等。
2. 判定：a) SSS判定法：如果两个三角形的三对边全部相等，则它们是全等的。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等三角形是几何学中最基本的图形之一，在我们日常生活和学习中经常会遇到。
了解三角形的相似与全等是理解和解决一些几何问题的基础。
本文将详细介绍三角形的相似与全等的概念、性质和应用。
一、三角形的相似1. 相似三角形定义相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
两个三角形相似，表示它们的各边之间的比例相等，对应的角相等。
2. 判定相似的条件（1）AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
（2）AA相似判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似的。
（3）边比例判定：如果两个三角形的对应边的比例相等，则它们是相似的。
3. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应边成比例。
（2）相似三角形的对应角相等。
（3）相似三角形的对应角的边对角度的比例相等。
4. 相似三角形的应用相似三角形的概念广泛应用于测量、几何推理和工程设计等方面。
例如，在测量中可以利用相似三角形的性质计算难以直接测量的长度和距离；在工程设计中可以根据相似三角形的比例关系设计物体的缩放比例。
二、三角形的全等1. 全等三角形定义全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
两个三角形全等，表示它们的对应边和对应角均相等。
2. 判定全等的条件（1）SSS全等判定：如果两个三角形的三对对应边相等，则它们是全等的。
（2）SAS全等判定：如果两个三角形的两对对应边和夹角相等，则它们是全等的。
（3）ASA全等判定：如果两个三角形的两对对应角和夹边相等，则它们是全等的。
3. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等。
（2）全等三角形的对应边相等。
（3）全等三角形的边和角对应的比例相等。
4. 全等三角形的应用全等三角形的理论和性质在测量、构造和几何推理中有着广泛的应用。
例如，在地理测量中可以利用全等三角形的知识计算高度、距离和角度；在建筑设计中可以根据全等三角形的性质进行准确的图纸缩放。
总结：三角形的相似与全等是几何学中重要的概念，它们在解决实际问题和进行几何推理时起着关键作用。
三角形的相似性与全等性
三角形的相似性与全等性相似性和全等性是几何中重要的概念，用于描述三角形之间的关系。
本文将就三角形的相似性和全等性进行深入探讨，并探讨它们在几何学中的应用。
一、相似性的定义和性质相似性是指两个或多个几何图形在形状上具有相似性质，即它们的对应边长成比例，并且对应角度相等。
对于三角形而言，如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边长成比例，那么它们是相似的。
相似三角形的性质有以下几点：1. 对应角度相等：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
2. 对应边长成比例：如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们是相似的。
3. 对应高度成比例：如果两个三角形的对应高度成比例，那么它们是相似的。
在相似三角形中，可以根据这些性质来解决一些关于长度和角度的问题。
例如，我们可以利用相似三角形的边长比例来求解未知边长的长度。
二、全等性的定义和性质全等性是指两个几何图形在形状和大小上完全相同。
对于三角形而言，如果两个三角形的对应边长相等，并且对应角度相等，那么它们是全等的。
全等三角形的性质有以下几点：1. 对应边长相等：如果两个三角形的对应边长相等，那么它们是全等的。
2. 对应角度相等：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是全等的。
与相似三角形不同的是，全等三角形的大小和形状完全相同，可以互相重合。
三、相似性和全等性的应用相似性和全等性在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用方式：1. 利用相似性解决测量问题：通过观察相似三角形的边长比例，可以求解一些无法直接测量的距离。
例如，在实际测量中，我们可以利用相似三角形原理来测量高楼的高度，只需要知道一个已知高度的建筑物和其阴影的长度。
2. 利用全等性证明几何定理：通过运用全等三角形的性质，可以证明一些几何定理。
例如，在证明角平分线定理时，可以通过构造一条辅助线，使得两个三角形完全重叠，从而证明角平分线的定理。
3. 利用相似性和全等性解决问题：在解决一些复杂的几何问题时，可以利用相似三角形和全等三角形进行推导和求解。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似和全等是几何学中最基本的概念之一，它们在三角形的研究中起着重要的作用。
本文将探讨三角形的相似与全等的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、相似三角形相似三角形指的是具有相同形状但不一定相等的三角形。
两个三角形相似的条件有两个：首先，它们对应的角相等；其次，它们的对应边成比例。
换句话说，相似三角形的对应角度相等且对应边的比值相等。
根据相似的定义，我们可以推导出相似三角形的一些性质。
首先，相似三角形的对应边的比值等于它们对应角的对边比值，即相似三角形的任意两条边与对应角的正弦比相等。
其次，相似三角形的对应角互为相等角。
这些性质对于解决实际问题中的三角形相似性很有帮助。
相似三角形在实际问题中有许多应用。
例如，在地理测量中，我们使用相似三角形来确定无法直接测量的距离。
又如在影视制作中，使用相似三角形原理制作特技镜头，可以使角色在观众眼中看起来比实际更大或更小。
相似三角形的应用广泛而且重要，它为我们解决各种问题提供了一种简便有效的方法。
二、全等三角形全等三角形指的是具有相同形状和相等边长的三角形。
全等三角形的条件有三个：它们的三个对应边相等。
全等三角形的性质也是我们在解决问题中经常使用的。
首先，全等三角形的对应角相等，即它们的三个内角互相对应相等。
其次，全等三角形的对边相互对应相等。
这些性质给出了判断和证明全等三角形的方法，是解决实际问题的关键。
全等三角形在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，在建筑设计中，我们使用全等三角形来测量和绘制建筑物的各个部分。
在地图制作中，使用全等三角形来测量和标注地理位置。
全等三角形的应用不仅方便快捷，而且能够保证准确性，是我们解决实际问题中不可或缺的工具。
三、相似与全等三角形的差异相似三角形与全等三角形的最大差异在于它们的边长是否相等。
相似三角形只要求对应边成比例，而不要求边长相等；而全等三角形则要求三边完全相等。
另外，相似三角形和全等三角形在解决问题时的思路也有所不同。
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E
D
C B A
三角形全等与相似
（海一）16.已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，
AC CE =，.B EDC ∠=∠
求证：.BC DE =
（朝毕）16．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，且BF=AC.
求证：DF=DC.
（西一）15．如图，点C 在线段AB 上，△DAC 和△DBE
(1) 求证：△DAB ≌△DCE ；
(2) 求证：DA ∥EC ．
（东一）5. 如图，下面是利用尺规作AOB ∠的角平分线OC 的作法，在用尺规作角平分线
时，用到的三角形全等的判定方法是
A ．SSS
B ．SAS
C ．ASA
D ．AAS
（东一）15.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，作∠EAB =∠BAD ，AE 边交CB 的延长线于点E ，延长AD 到点F ，使AF =AE ，连结CF ．
求证：BE =CF ．
D
A
C E
B
（石一）15.已知：如图，点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD ＝BE . 求证：△ACD ≌△CBE .
（朝一）16．已知：如图，OP 平分∠MON ，点A 、B 分别在
且OA =OB ，点C 、D 分别在OM 、OP 上，且∠CAP =∠
求证：AC =BD ．
（丰一）15．已知：如图，在△ABC
中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的
垂线BE 、CF ， 垂足分别为点E 、F ． 求证：BE =CF ．
（延一）7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上， DE//BC ，若AD ：AB=3：4，AE=6，则AC 等于
A. 3
B.4
C. 6
D.8
（延一）16．（本题满分5分）
已知：如图，E 为BC 上一点，AC ∥BD ，AC=BE ，BC=BD. 求证：AB=DE
（密一）16．已知：如图，AB=AE ，∠1＝∠2，∠B=∠E. 求证：BC=ED.
P
O
E
D
C
B
A
B
C
（门一）16．已知：如图，点A 、E 、B 在同一条直线上，
AC ∥DB ，AB =BD ，AC =BE ． 求证：BC =DE ．
（平一）5．如图，点D E F ，，分别是ABC △三边的中点，若△周长为20cm ，则DEF △ 的周长为 A ．15cm
B ．
20cm 3
C ．5cm
D ．10cm
（平一）15．已知：如图，AB ∥CD ，AB =EC ，BC =CD . 求证：AC =ED .
（房一）16．如图，点C 、B 、E 在同一条直线上， AB ∥DE ∠ACB=∠CDE ，AC=CD ．
求证：AB=CD ．
（顺一）15．已知：如图，CA 平分BCD ∠, 点E 在AC 上，BC EC =，AC DC =．
求证：A D ∠=∠ ．
（通一）15. 已知：如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别
在AB 、AC 上，且使AE ＝AD .
求证：∠B ＝∠C .
A B
D
E
E
D
C
B A
第16题图图 E
D C
B A E
C
A D B
（怀一）16．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别过点C 、B 作射线AD 的垂线段，垂足分别为E 、F ．求证：BF=CE ．
（昌一）16. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，AD =AB ，AE ⊥AC ，AE = AC ． 求证：BE =CD ．
（大兴一）3．如图，△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE =4cm ，则△ABD 的周长是
A ．22cm
B ．20 cm
C ．18cm
D ．15cm
（大兴一）16.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,延长AB 到点D ，使BD=AB,取AB 的中点E ，连结CD 和CE.
求证：CD=2CE . D
B
C
E
A
E
D
C
B
A
E D
C
B
A。