共点力的平衡 教师

相互作用 共点力的平衡考点1 物体的受力分析物体的受力分析是解决力学问题的基础，同时也是关键所在，一般对物体进行受力分析的步骤如下： 1．明确研究对象.在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体.在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简化.研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（既研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力.2．按顺序找力.必须是先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）.3．画出受力示意图，标明各力的符号4．需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形【例1】如图所示，物体A 靠在竖直墙面上，在力F 作用下，A 、B 保持静止.物体B 的受力个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】以物体B 为研究对象，B 受重力，向上的外力F ， A 对B 的压力N ，物体B 有相对A 上移的运动的趋势，故A 对B 的静摩擦力沿斜边向下.如图所示：【答案】C 【规律总结】进行受力分析时必须首先确定研究对象， 再分析外界对研究对象的作用，本题还可以分析A 的 受力，同学不妨一试.考点2 共点力作用下的物体的平衡1．共点力：几个力如果作用在物体的 ，或者它们的作用线 ，这几个力叫共点力. 2．平衡状态：物体的平衡状态是指物体 . 3．平衡条件：推论：（1）共点的三力平衡时，表示三力的矢量可以形成封闭的矢量三角形.（2）物体受n 个力处于平衡状态时，其中n －1个的合力一定与剩下的那个力等大反向.【例2】如图所示，猎人非法猎猴，用两根轻绳将猴子悬于空中，猴子处于静止状态.以下相关说法正确的是（ ）A ．猴子受到三个力的作用B ．绳拉猴子的力和猴子拉绳的力相互平衡C ．地球对猴子的引力与猴子对地球的引力是一对作用力和反作用力D ．人将绳子拉得越紧，猴子受到的合力越大【解析】以猴子为研究对象，猴子受自身的重力和两根绳子的拉力，共三个力，绳子拉猴子的力和猴子拉绳子的力是作用力和反作用力，地球对猴子的引力和猴子对地球的引力也是一对相互作用力，绳子拉得越紧，猴子仍然处于静止状态，合力仍然为零. 【答案】C 【规律总结】要区分平衡力和一对相互作用力. 考点3 共点力平衡的处理方法 1．三力平衡的基本解题方法（1）力的合成、分解法： 即分析物体的受力，把某两个力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力，二是把重力按实际效果进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力.（2）相似三角形法: 利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，建立方程求解力的方法．应用这种方法，往往能收到简捷的效果．2.多力平衡的基本解题方法：正交分解法利用正交分解方法解体的一般步骤：（1）明确研究对象；（2）进行受力分析；（3）建立直角坐标系，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上，将不在坐标轴上的力正交分解；（4）x 方向，y 方向分别列平衡方程求解.【例3】如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O 的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A 点，另一端绕过定滑轮，如图所示.今缓慢拉绳使小球从A 点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小N 及细绳的拉力T 大小的变化情况是 （ ）A.N 变大，T 变大B.N 变小，T 变大C.N 不变，T 变小D.N 变大，T 变小【解析】对A 进行受力分析，如图所示，力三角形AF ′N 与几何三角形OBA 相似，由相似三角形对应边成比例，解得N 不变，T 变小.【答案】C【规律总结】相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力的矢量三角形和结构三角形相似.【例4】倾角为θ的斜面上有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ.现用水平力F 推动木块，如图所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速运动.若斜面始终保持静止，求水平推力F 的大小. 【解析】分析物体受力情况如图所示： 由于物体处于平衡状态，则有：沿斜面方向:θθsin cos mg f F +=垂直与斜面方向：θθcos sin mg F N += 又N f μ=解得：θμθθμθsin cos )cos (sin -+=mgF【规律总结】多力平衡问题宜采用正交分解法，采用正交分解法时，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上.考点4 动态平衡【例5】如图所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m 的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小. 【解析】解法一：图解法对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G 和N 1进行平移，使它们构成一个三角形，如图的左图和中图所示.由于G 的大小和方向均不变，而N 1的方向不可变，当β增大导致N 2的方向改变时，N 2的变化和N 1的方向变化如图中的右图所示.显然，随着β增大，N 1单调减小，而N 2的大小先减小后增大，当N 2垂直N 1时，N 2取极小值，且N 2min = Gsin α. 解法二：解析法看上图的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：αsin N 2 = βsin G，即：N 2 =βαsin sin G ，β在0到180°之间取值，N 2的极值讨论是很容易的. G【答案】当β= 90°时，甲板对球的弹力最小.【规律总结】：求解三个力的动态平衡问题，一般是采用图解法，即先做出两个变力的合力（应该与不变的那个力等大反向）然后过合力的末端画方向不变的那个力的平行线，另外一个变力的末端必落在该平行线上，这样就能很直观的判断两个变力是如何变化的了，如果涉及到最小直的问题，还可以采用解析法，即采用数学求极值的方法求解.考点5 连接体的平衡问题【例6】有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙， OB 竖直向下，表面光滑.AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示.现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力F N 和摩擦力f 的变化情况是 （ ）A ．F N 不变，f 变大B ．F N 不变，f 变小C ．F N 变大，f 变大D ．F N 变大，f 变小【解析】以两环和细绳整体为对象求F N ，可知竖直方向上始终二力平衡，F N =2mg 不变；以Q 环为对象，在重力、细绳拉力F 和OB 压力N 作用下平衡，如图，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P 环向左移的过程中α将减小，N =mg tan α也将减小.再以整体为对象，水平方向只有OB 对Q 的压力N 和OA 对P 环的摩擦力f 作用，因此f =N 也减小.【答案】B【规律总结】正确选取研究对象，可以使复杂的问题简单化，整体法是力学中经常用到的一种方法.热点 共点力的平衡【真题1】（2008年广东理科基础）人站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯斜向上匀速运动，如图所示．以下说法正确的是（ ）A ．人受到重力和支持力的作用B ．人受到重力、支持力和摩擦力的作用C ．人受到的合外力不为零D ．人受到的合外力方向与速度方向相同【解析】人作匀速运动，故人所受合力为零，人所受重力和支持力均在竖直方向，故水平方向不应该受力，即人不受摩擦力作用.【答案】A【名师指引】本题考查平衡问题，属于基础题，切不可想当然认为人受到摩擦力.【真题2】（2008年海南卷）如图，质量为M 的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m 的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F 沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为（ ） A ．（M ＋m ）g B ．（M ＋m ）g －FC ．（M ＋m ）g ＋F sin θD ．（M ＋m ）g －F sin θ【解析】匀速沿斜面上升的小物体和斜面都处于平衡状态，可将二者看作一个处于平衡状态的整体，由竖直方向受力平衡可得：θsin )(F N g m M +=+，解得N ＝（M ＋m ）g －F sin θ【答案】D【名师指引】本题因是求外界对系统的作用力，故将二者视为一整体来研究，将使求解变得简单，当然，本题也可以采用隔离法，同学们不妨一试.【真题2】（2008年天津卷）在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A ，A 与竖直墙之间放一光滑圆球B ，整个装置处于静止状态.现对B 加一竖直向下的力F ，F 的作用线通过球心，设墙对B 的作用力为F 1，B 对A 的作用力为F 2，地面对A 的作用力为F 3.若F 缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中（ ）A ．F 1保持不变，F 3缓慢增大B ．F 1缓慢增大，F 3保持不变C ．F 2缓慢增大，F 3缓慢增大D ．F 2缓慢增大，F 3保持不变【解析】力F 产生了两个作用效果，一个是使B 压紧竖直墙面的力'1F ，一个是压紧A 的力'2F ，用整体法进行分析，可知'1F 和地面对A 的摩擦力大小相等，地面对A 的支持力为F g m m N b A ++=)(，地面对A 的作用力应指地面对A 的摩擦力和支持力的合力，当力F 缓慢增大时，'1F 和'2F 同时增大，故C 正确 【答案】C【名师指引】本题宜采用整体法和隔离法相结合来讨论，特别要理解地面对A 的作用力应指地面对A 的支持力和摩擦力的合力. 新题导练：1．用一轻绳将小球P 系于光滑墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间夹有一矩形物块Q ，如图所示.P 、Q 均处于静止状态，则下列相关说法正确的是 A.P 物体受4个力 B.Q 受到3个力C.若绳子变长，绳子的拉力将变小D.若绳子变短，Q 受到的静摩擦力将增大2．在倾角为α的斜面上，一条质量不计的皮带一端固定在斜面上端，另一端绕过一中间有一圈凹槽的圆柱体，并用与斜面夹角为β的力拉住，使整个装置处于静止状态，如图10所示.不计一切摩擦，圆柱体质量为m ，求拉力F 的大小和斜面对圆柱体的弹力N 的大小.某同学分析过程如下：将拉力F 沿斜面和垂直于斜面方向进行分解. 沿斜面方向：F cos β＝mg sin α（1）沿垂直于斜面方向： F sin β＋N ＝mg cos α （2）问：你同意上述分析过程吗？若同意，按照这种分析方法求出F 及N 的大小；若不同意，指明错误之处并求出你认为正确的结果.◇限时基础训练1.下列情况下，物体处于平衡状态的是（ ）A ．竖直上抛的物体到达最高点时 B.做匀速圆周运动的物体 C ．单摆摆球摆到最高点时 D.水平弹簧振子通过平衡位置时 2．下列各组的三个点力，可能平衡的有 （ ） A ．3N ，4N ，8NB ．3N ，5N ，7NC ．1N ，2N ，4ND ．7N ，6N ，13N3.右图是一种测定风力的仪器的原理图，质量为m 的金属球，固定在一细长的轻金属丝下端，能绕悬点Ｏ在竖直平面内转动，无风时金属丝自然下垂，有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ的大小与风力大小F 有关，下列关于风力Ｆ与θ的关系式正确的是（ ） Ａ．Ｆ＝mg ·tan θ Ｂ．Ｆ＝mg ·sin θＣ．Ｆ＝mg ·cos θ Ｄ．Ｆ＝mg ∕cos θ4.如图所示，在同一平面内，大小分别为1N 、2N 、3N 、4N 、5N 、 6N 的六个力共同作用于一点，其合力大小为（ ）A ．0B ．1NC ．2ND ．35．A 、B 、C 三物体质量分别为M 、m 、m 0，作如图所示的连接，绳子不可伸长，且绳子和滑轮的摩擦均不计，若B 随A 一起沿水平桌面向右做匀速运动，则可以断定（ ） A ．物体A 与桌面之间有摩擦力，大小为m 0g B ．物体A 与B 之间有摩擦力，大小为m 0gC ．桌面对A ，B 对A ，都有摩擦力，方向相同，大小均为m 0gD ．桌面对A ，B 对A ，都有摩擦力，方向相反，大小均为m 0g6．一质量为M 的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F 始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g ．现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为（ ） A.)(2gF M -B.g FM 2- C.gFM -2 D. 07.如图所示，三个完全相同的木块放在同一个水平面上，木块和水平面的动摩擦因数相同.分别给它们施加一个大小为F 的推力，其中给第一、三两木块的推力与水平方向的夹角相同.这时三个木块都保持静止.比较它们和水平面间的弹力大小N 1、N 2、N 3、和摩擦力大小f 1、f 2、f 3，下列说法中正确的是 ( ) A.N 1>N 2>N 3，f 1>f 2>f 3 B.N 1>N 2>N 3，f 1=f 3<f 2 C.N 1=N 2=N 3，f 1=f 2=f 3D.N 1>N 2>N 3，f 1=f 2=f 38.如图所示，质量为m 的楔形物块，在水平推力F 作用下，静止在倾角为θ的光滑固定斜面上，则楔形物块受到的斜面支持力大小为 （ ）A ．Fsin θB ．sin Fθ C ．mgcos θ D ．cos mgθ9．如图所示，质量为m 的物体靠在粗糙的竖直墙上，物体与墙之间的动摩擦因数为μ.若要使物体沿着墙匀速运动，则与水平方向成α角的外力F 的大小如何？10．如图所示，质量为M 的直角三棱柱A 放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m 的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A 和B 都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？◇基础提升训练11.如图2-3-20所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°.两小球的质量比12m m 为 ( ) A.33 B.32 C.23 D.22 12.在广场游玩时，一小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块置于水平地面上，如图所示.若水平的风速逐渐增大（设空气密度不变），则下列说法中正确的是( )A ．细绳的拉力逐渐增大B ．地面受到小石块的压力逐渐减小C ．小石块滑动前受到地面施加的摩擦力逐渐增大，滑动后受到的摩擦力不变D ．小石块有可能连同气球一起被吹离地面13.如图所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，球B 用长为L 的细绳悬于O 点，球A 固定在O 点正下方，且点OA 之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1．现把A 、B 间的弹簧换成劲度系数为k 2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F 2，则F 1与F 2的大小之间的关系为A ．F 1 > F 2B ．F 1 = F 2C ．F 1 < F 2D ．无法确定 14.如图（甲）所示的装置,OA 、OB 是两根轻绳，AB 是轻杆，它们构成一个正三角形，在AB 杆两端分别固定一个质量均为m 的小球，此装置悬挂在O 点，开始时装置自然下垂，现对小球B 施加一个水平力F ，使装置静止在图乙所示的位置，此时OA 竖直.设在图（甲）中OB 对小球B 的作用力大小为T ，在图（乙）中OB 对小球B 的作用力大小为T ’，则下列说法中正确的是（ ）A ．T ’=2TB ．T ’>2TC ．T ’<2TD ．T ’=T15．如图所示，用两根细线把A 、B 两小球悬挂在天花板上的同一点O ，并用第三根细线连接A 、B 两小球，然后用某个力F 作用在小球A 上，使三根细线均处于直线状态，且OB沿竖直方向，两小球均处于静止状态.则该力可能为图中的（ ）A ．F 1 B.F 2 C.F 3D.F 416．如图所示，质量为m 的正方体和质量为M 的正方体放在两竖直墙和水平面问，处于静止状态.m 与M 相接触边与竖直方向的夹角为α若不计一切摩擦，求： （1）水平面对正方体M 的弹力大小； （2）墙面对正方体m 的弹力大小.能力提升训练17．如图所示，用轻绳吊一个重为G 的小球，欲施一力F 使小球在图示位置平衡(θ<30°)，下列说法正确的是（）A ．力F 最小值为θsin ⋅GB ．若力F 与绳拉力大小相等，力F 方向与竖直方向必成θ角．C ．若力F 与G 大小相等，力F 方向与竖直方向必成θ角．D ．若力F 与G 大小相等，力F 方向与竖直方向可成2θ角．18．如图所示，质量为m 的物体在沿斜面向上的拉力F 作用下，沿放在水平地面上的质量为M 的粗糙斜面匀速上滑，此过程中斜面体保持静止，则地面对斜面（ ） A ．无摩擦力 B ．有水平向左的摩擦力大小为F ·cos θC ．支持力等于（m +M ）gD ．支持力为（M +m ）g －F sin θ19．如图所示，光滑斜面倾角为︒=30θ，一个重20N 的物体在斜面上静止不动.轻质弹簧原长为10cm ，现在的长度为6cm.(1)求弹簧的劲度系数；(2)若斜面粗糙，将这个物体沿斜面上移6cm ，弹簧与物体相连，下端固定，物体仍静止于斜面上，求物体受到的摩擦力的大小和方向.参考答案考点整合：考点1．同一点；交于同一点；2.静止或匀速直线运动；3.合外力等于零 新题导练：限时基础训练1．D 【平衡状态是指合外力为零，ABC 三种情况物体都有加速度，水平弹簧振子通过平衡位置时，合外力为零】 2．BD 【三个力能处于平衡状态，则这三个力一定能组成三角形的三条边】3．A 【小球受三个力，重力、绳子的拉力，水平风力，三力平衡即可得出答案】4．A 【分别把3N 与6N 、 4N 与1N 、5N 与2N 先合成，这三对力的合力均为3N ，且互成120°，故合力为零】 5． A 【设绳子的拉力为F T ，则由C 物体做匀速直线运动的条件可知F T ＝mg ，又由B 物体在水平方向也做匀速直线运动可知B 物体在水平方向上应不受力的作用，所以B 、A 两物体间没有摩擦力．由A 、B 整体做匀速直线运动的条件可知，A 与桌面间的摩擦力为F ＝F T ＝m 0g 】6．A 【设减少的质量为△m ，匀速下降时：Mg =F ＋kv ，匀速上升时：Mg －△mg ＋kv = F ，解得△mg = 2(M －F g)】 7．B 【分别以三个物体为研究对象，分析受力，列平衡方程即可】 8．BD 【以楔形物体为研究对象，分析其受力如图所示，根据平衡条件 解得N ＝sin F θ＝cos mg θ】9．解析：当物体沿墙匀速下滑时，受力如图（a ）所示，建立如图所示的坐标系，由平衡条件得F 1sin α+F 1f =mg ①1N F =F 1cos α②又有F 1f =μ1N F ③ 由①②③解得F 1=αμαcos sin +mg当物体匀速上滑时，受力如图（b ）所示，建立如图所示的坐标系，由平衡条件得F 2sin α=F 2f +mg ④2N F =F 2cos α⑤又有F 2f =μ2N F ⑥由④⑤⑥解得F 2=αμαcos sin -mg.答案：αμαcos sin -mg 或αμαcos sin +mg10．解析：选取A 和B 整体为研究对象，它受到重力（M+m ）g,地面支持力N ，墙壁的弹力F 和地面的摩擦力f 的作用（如图2-3-7所示）而处于平衡状态.根据平衡条件有：N-(M+m)g=0,F=f,可得N=（M+m ）g再以B 为研究对象，它受到重力mg ，三棱柱对它的支持力N B ,墙壁对它的弹力F 的作用（如图2-3-8所示）.而处于平衡状态，根据平衡条件有：N B .cos θ=mg, N B .sin θ=F, 解得F=mgtan θ.所以f=F=mgtan θ 基础提升训练11.A[由F N 与F T 水平方向合力为零可知，F N =F T ；竖直方向有2F T cos30°=m 1g ，又F T =m 2 g ，从而得2m 2 g ×23=m 1 g ，解得12m m =33]F12．AC 【把气球和石块作为一整体，整体受到重力，地面对石块的支持力，水平风力和地面对石头的摩擦力，支持力和重力是一对平衡力，石块滑动之前水平风力和地面对石头的静摩擦力是一对平衡力，滑动以后是滑动摩擦力，大小不变，故BD 错误，C 正确，以气球为研究对象，易知A 正确】13．B 【以B 为研究对象，分析其受力如图，力的矢量三角形和三角形ABO 相似，固有LLG F =，即F ＝G ，与弹簧的弹力无关，故B 正确】 14．C 【甲图中，以B 为研究对象，B 受三个力，依题意有mg mg T 33230cos ==，乙图中，AB 之间的轻杆无作用力，(如果有的话，OA 就不会竖直方向了)此时有mg mgT 260cos =='，故T T 2<'】 15．BC 【OB 恰好竖直方向，故AB 之间的细绳无张力，A 球受力平衡，则拉力的方向应在竖直向上（包含竖直向上）和OA 绳子所在的直线（不包含OA 方向）之间，故BC 正确】 16．(1)以两个正方体整体为研究对象整体受到向上的支持力和向下的重力,整全处于静止状态,所以水平面对正方体M 的弹力大小为(M+m)g (2)对正方体m 进行受力分析如图 把N 2沿水平方向和竖直方向分解 有 2cos N mg α= 21sin N N α= 解得1N mgctg α= 能力提升训练17． ABD 【此题实际实际上可视为一动态平衡问题，如图，可知ABD 正确】18．BD 【把M 、m 视为一整体，竖直方向有g m M F N )(sin +=+θ，水平方向有θcos F f =】 19．解：(1) 对物体受力分析，则有：sin mg F θ=此时1F kx =联立上面二式，代入数据，得：k =250m/N (2)物体上移，则摩擦力方向沿斜面向上有：sin f mg F θ'=+此时25F kx '==N 代入得15f =N …NA。