三角函数的图象和性质总结大全(精品教案)

3．函数 的图像向左平移 个单位后，得到 的图像，则 的解析式为（）
Ａ． Ｂ． Ｃ．Байду номын сангаасＤ．
4．函数f(x)=cosx(x R)的图像按向量(m,0)平移后，得到函数y=-f(x)的图像，则m的值可以为（）
A. B. C.－ D.－
5.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如右：
2．三角函数的单调区间：
的递增区间是 ，递减区间是 ；
的递增区间是 ，递减区间是 ，
的递增区间是 ，
3．函数
最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图像的对称轴是直线 ，凡是该图像与直线 的交点都是该图像的对称中心。
4．由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋ )的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换。
(2)y＝cosx的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：
(0,1)， ，(π，－1)， ，(2π，1)．
8．三角函数的图像和性质
函数性质
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图像
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
12.若 则（）
A. B.
C. D.
13.函数 的最小正周期是（）
A. B. C. D.
14.在函数 、 、 、 中，最小正周期为 的函数有（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
15. 的图像中相邻的两条对称轴间距离为（）
A．3πB． C． D．
16.函数 的一条对称轴方程（）
A． B． C． D．
17.使 （ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（）
6．若 ，则 .
7．函数 的最小正周期为．
8．函数 （ 为常数， ）
在闭区间 上的图像如右图所示，则 =.
三、解答题
1.已知函数 的部分图像如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由.
2.已知函数
（1）求 的最小正周期及对称中心；（2）若 ，求 的最大值和最小值.
3.设函数 ， ， ，且以 为最小正周期．
①形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
②形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
【例2】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx 的最大值与最小值．
2．作函数的图像时，首先要确定函数的定义域 。
3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像时只要作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像。
4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。
5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。
【示例】►已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的单调递增区间为 (k∈Z)，单调递减区间为 (k∈Z)，则ω的值为________．
三【习题讲与练】
1．函数 图像的对称轴方程可能是（）
A． B． C． D．
2．将函数 的图像按向量 平移后所得的图像关于点 中心对称，则向量 的坐标
可能为（）
A． B． C． D．
(2)若0＜α＜， 是偶函数，则α的值为________．
【训练4】(1)函数y＝2sin(3x＋φ) 的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图像关于原点成中心对称图形．则φ＝________.
难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．
先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，再沿x轴向左( ＞0)或向右( ＜0＝平移 个单位，便得y＝sin(ωx＋ )的图像。
5．由y＝Asin(ωx＋ )的图像求其函数式：
7．“五点法”描图
(1)y＝sinx的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：
(0,0)， ，(π，0)， ，(2π，0)．
其中一个假命题的序号是，因为当 时，该命题的结论不成立.
2.函数 的最大值为________.
3.若函数 的最小正周期 满足 ,则自然数 的值为______.
4.满足 的 的集合为_________________________________.
5.若 在区间 上的最大值是 ，则 =________.
利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图像向左( ＞0)或向右( ＜0＝平移｜ ｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ )的图像。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
【训练3】函数f(x)＝sin 的单调减区间为______．
考向四 三角函数的对称性
正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
【例4】►(1)函数y＝cos 图像的对称轴方程可能是()．
A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝
(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
二、【考点分析】
考向一 三角函数的周期
【例1】►求下列函数的周期：
；
考向二 三角函数的定义域与值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
学习情况
课后作业
课题
三角函数的图像和性质
教学内容
三角函数的图像、性质
教学目标
1．掌握三角函数的图像及其性质在图像交换中的应用；
2．掌握三角函数的图像及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．
教学重点
三角函数的图像和性质
教学难点
三角函数的图像性质、和应用
新课内容
一、【主要知识点】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
A． B． C．πD．
18.已知函数 ， 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的单调递增区间是( )
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1.关于 的函数 有以下命题：
①对任意 ， 都是非奇非偶函数；②不存在 ，使 既是奇函数，又是偶函数；
③存在 ，使 是偶函数；④对任意 ， 都不是奇函数.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sinx、cosx的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
（1）求 ；（2）求 的解析式；（3）已知 ，求 的值．
4.已经函数
(Ⅰ)函数 的图像可由函数 的图像经过怎样的变化得出？
（Ⅱ）求函数 的最小值，并求使 取得最小值的 的集合。
四．【思维总结】
1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图像，很多函数的性质都是通过观察图像而得到的。
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：
无对称轴
对称中心：
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间
；
单调减区间
单调增区间
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；
单调减区间
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
单调增区间
奇偶性
奇
偶
奇
两条性质
(1)周期性
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
C．向左平移 个长度单位D．向右平移 个长度单位
9.把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）
A． B．
C． D．
10．已知函数 =Acos( )的图像如图所示， ，则 =（）
A. B. C.- D.
11.函数 是 上的偶函数，则 的值是（） A. B. C. D.
【训练2】(1)求函数y＝的定义域；(2)
(3)已知 的定义域为 ，求 的定义域.
考向三 三角函数的单调性
求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．
【例3】►求下列函数的单调递增区间．
(1) ，(2) ，(3) .
6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。
7．判断y=－Asin（ωx+ ）（ω＞0）的单调区间，只需求y=Asin（ωx+ ）的相反区间即可，一般常用数形结合 而求y=Asin（－ωx+ ）（－ω＜0＝单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之。