18届高考数学二轮复习第二部分讲重点小题专练作业11理
2018届高考数学理科二轮总复习高考大题滚动练二 含解
高考大题滚动练(二)1．(2017·江苏苏州大学指导卷)已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)求函数f (x )的定义域和最小正周期； (2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求函数f (x )的值域． 解 (1)函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因为f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得π6<2x ＋π6<7π6， 所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )∈⎝⎛⎦⎤0，32， 即函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2的值域为⎝⎛⎦⎤0，32. 2．(2017·江苏泰州姜堰区质检)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d >0.由a 2a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， 所以a n ＝2n －1.(2)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1， 所以b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以b 1＝a 1＝1， b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …，b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1(n ≥2)，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1， 所以b n ＝3n －22n －1，n ≥2.b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．3．(2017·江苏新海中学质检)求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′， 所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1. 所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.4．在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解 方法一 将直线θ＝π3化为普通方程，得y ＝3x ，将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程，得 x 2＋y 2－10x ＋4＝0.联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0，消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为543，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫52，π3.方法二 联立直线与曲线的方程组⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4， 所以线段AB 中点的极坐标为⎝⎛⎭⎫ρ1＋ρ22，π3，即⎝⎛⎭⎫52，π3.。
2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 11 Word版含解析
高考大题专攻练11.函数与导数(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知函数f(x)=x·e x-1-a(x+lnx)，a∈R.xx专注92494447(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为x轴，求a的值.(2)在(1)的条件下，求f(x)的单调区间.(3)若任意x>0，f(x)≥f(m)恒成立，且f(m)≥0，求证：f(m)≥2(m2-m3).【解析】(1)f(x)的定义域是(0，+≦)，f′(x)=e x-1+x·e x-1-a，故f(1)=1-a，f′(1)=2-2a，故切线方程是y-(1-a)=(2-2a)(x-1)，即y=(2-2a)x+a-1；由2-2a=0，且a-1=0，解得a=1.(2)由(1)得a=1，f′(x)=(x+1)，令g(x)=e x-1-，x∈(0，+≦)，所以g′(x)=e x-1+>0，故g(x)在(0，+≦)上递增，又g(1)=0，x∈(0，1)时，g(x)<g(1)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(1，+≦)时，g(x)>g(1)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0，1)递减，在(1，+≦)递增.(3)f′(x)=(x+1)，令h(x)=e x-1-，x∈(0，+≦)，h′(x)=e x-1+，①a≤0时，h(x)>0，此时f′(x)>0，f(x)递增，无最小值，故a≤0不符合题意；②a>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，+≦)递增，取实数b，满足0<b<min，则e b-1<=，-<-2，故h(b)=e b-1-<-2<0，又h(a+1)=e a->1-=>0，所以存在唯一的x0∈(b，a+1)，使得h(x0)=0，即a=x0，x∈(0，x0)时，h(x)<h(x0)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(x0，+≦)时，h(x)>h(x0)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故x=x0时，f(x)取最小值，由题设，x0=m，故a=m·e m-1，lna=lnm+m-1，f(m)=me m-1(1-m-lnm)，由f(m)≥0，得1-m-lnm≥0，令ω(m)=1-m-lnm，显然ω(m)在(0，+≦)递减.。
高考数学二轮复习第二部分讲重点小题专练作业10理(2021学年)
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小题专练·作业(十)一、选择题１．设数列{a n}是公差不为0的等差数列,Ｓn是数列｛ａn｝的前n项和,若S1,Ｓ2，S４成等比数列,则错误!=( ）A.3B.４C．6 ﻩ D.７答案D解析由S1,S2，S4成等比数列,得S22=S１S4，即为(2ａ1+d)２=a1（4ａ１＋6d)．又ｄ≠0，故可化简为ｄ=2a1，所以错误!=错误!＝7。
２.已知{ａn｝为等比数列,a４+a7=2,a5a6＝－8,则a1＋a１０＝（）A．７B．５C．－５ﻩＤ.－7答案D解析∵｛ａn｝为等比数列,∴a5a6＝a4a７＝－8.联立错误!可解得错误!或错误!当错误!时,q3=－错误!，故a1＋a10=a4ｑ3＋a7q3＝－７;当错误!时,q３＝－2，同理，有a1+a1０＝－7.3．（2０17·西宁检测)已知正项数列{aｎ}中,ａ1=1，a2=2,2a n2＝a n+１2+a n-12(n≥2),则a６=( ）Ａ．１6 B.8C．２２ D.4答案 D解析由２ａn２=a n+12+a n－12(n≥2)得数列｛ａｎ2}是等差数列，且a12＝1，a22=４,则公差ｄ为3,所以ａ６2=ａ１２+５ｄ＝1+15=１6,又a６＞0,则a6＝４，故选D.４．(20１7·广州模拟）等比数列｛ａn}的前n项和为S n,若a2+S3＝0，则公比q=（) A．-1 B.1C．-2 D．２答案A解析∵a2＋S３=０,∴a1q＋a1＋a1q+a1q2＝０，即q２＋２q+１＝0,解得q＝－1。
2018届高考数学(理)二轮专题复习：1-7 Word版含答案.doc
小题提速练(七)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由韦恩图知阴影部分表示的是A ∩(∁U B )，∵A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}＝{1,2,3}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}＝{0,1}，∴阴影部分对应的集合是A ∩(∁U B )＝{2,3}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为22＝4.2．若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－2C ．4D ．6 解析：选A.∵a ＋3i 1＋2i ＝a ＋－＋－＝a ＋＋－2a5为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0，解得a ＝－6.3．给出命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.关于以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A ．命题“p ∨q ”为假 B ．命题“p ∧q ”为真 C ．命题“p ∨﹁q ”为假D ．命题“p ∧﹁q ”为真解析：选A.命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a·b ＜0，且不异向共线，－2λ－1＜0，解得λ＞－12，由－λ＋2＝0，解得λ＝2，此时a 与b 异向共线，因此向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞且λ≠2，因此是假命题． 4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A ．24πB ．6πC ．4πD ．2π解析：选B.几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为2的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R ＝22＋22，R ＝62，所以外接球的表面积为4πR 2＝6π. 5．下面图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )7 8 9 10 116 9 1 3 6 72 9 4 1 58 6 3 1 4图1图2A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.6．已知正数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( )A ．1 B.14 32 C.116D.132解析：选C.根据约束条件画出可行域，把z ＝4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y化成z ＝2－2x －y，直线z 1＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 1最小值是－4，∴z ＝2－2x －y的最小值是2－4＝116.7．已知函数y ＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A ＞0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为()A. 3B. 2 C ．1D ．2解析：选A.过Q ，P 分别作x 轴的垂线于B ，C ，∵函数的周期T ＝2ππ2＝4，∴MN ＝2，CN ＝1，∵∠PMQ ＝90°，∴PQ ＝2MN ＝4，即PN ＝2，即PC ＝PN 2－NC 2＝4－1＝3，∴A ＝ 3.8．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100D ．10200解析：选B.由题意可得a n ＝n 2cos(n π)＋(n ＋1)2cos[(n ＋1)π]＝(－1)n －1(2n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3－5＋7－9＋11－…＋199－201＝50×(－2)＝－100.9．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，∴f (0)＝20＋a ＝0，解得a ＝－1，故x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1，令f (x )＝2x －12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0，综上所述，函数f (x )的零点个数是3个．10．设A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2＜2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)解析：选B.由题意可得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设M (m ，n )，可得m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2m 2－a 2＝b 2a 2，由题意k MA 1·k MA 2＜2，即为n －0m ＋a ·n －0m －a ＜2，即有b 2a 2＜2，即b 2＜2a 2，c 2－a 2＜2a 2，即c 2＜3a 2，c ＜3a ，即有e ＝ca＜3，由e ＞1，可得1＜e ＜ 3.11．已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，∠C ＝π3，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.∵OA →·OB →＝－12，圆的半径为1，∴cos∠AOB ＝－12，又0＜∠AOB ＜π，故∠AOB ＝2π3，又△AOB 为等腰三角形，故AB ＝3，从圆O 内随机取一个点，取自△ABC 内的概率为334π，即S △ABC S 圆＝334π，∴S △ABC ＝334，设BC ＝a ，AC ＝b ，∵C ＝π3，∴12ab sin C ＝334，得ab ＝3①，由AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，得a 2＋b 2－ab ＝3，a 2＋b 2＝6②，联立①②解得a ＝b ＝3，∴△ABC 为等边三角形．12．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )成立，则( ) A ．3f (ln 2)＞2f (ln 3) B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3) C ．3f (ln 2)＜2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定 解析：选C.令g (x )＝f xe x ，则g ′(x )＝f x x－f xxe2x＝f x －f xex，因为对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )，所以g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，又ln 2＜ln 3，所以g (ln 2)＜g (ln 3)，即feln 2＜feln 3，所以f2＜f3，即3f (ln 2)＜2f (ln 3)，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝________.解析：因为点P (2,2)满足圆(x －1)2＋y 2＝5的方程，所以P 在圆上，又过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为a ＝2－02－1＝2.答案：214．在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的最大值为________．解析：∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形，∵∠DAC ＝π3－C ，∠ADC ＝2π3，在△ADC 中，根据正弦定理可得ADsin C ＝43sin 2π3＝DCsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋43＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3的最大值为1，则△ADC 的周长最大值为8＋4 3.答案：8＋4 315．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为________．解析：由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，可得y ＝±3·1－14＝±32，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设P (m ，n )，则m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝(m ＋1，n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32＝32n ≤332，可得F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案：33216．定义在R 上的函数，对任意实数都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝2，记a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2018＝________.解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3，∴f (x ＋1)≤f (x )＋1，∵f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，∴f (x ＋1)－f (x )＝1，∴{a n }是以f (1)为首项，公差为1的等差数列． ∴a 2018＝f (2018)＝f (1)＋(2018－1)×1＝2019. 答案：2019。
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 常考小题点4
θ=
������ · ������ |������ || ������ |
=
������ 1 ������2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������1 1 2 +������ 2 ������2 2
.
当 a· b>0(或a· b<0)时,则a与b的夹角为锐角(或钝角),或a与b方向 相同(或方向相反).要注意夹角θ=0(或θ=π)的情况.
2 5 5
解析: ∵向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),
∴b=
=(2,1), =
-4+1 5× 5
则 cos θ=
������ · ������ |������ || ������ |
=- .
5
3
-8-
一、选择题
二、填空题
6.(2017河南商丘二模,理8)若等边三角形ABC的边长为3,平面内
-4-
一、选择题
二、填空题
1.设向量 a,b 满足| a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=(
A )
A.1
B.2
C.3
D.5
解析: ∵|a+b|= 10,∴(a+b)2= 10.
∴|a|2+|b|2+2a· b=10.① ∵|a-b|= 6 ,∴(a-b)2=6. ∴|a|2+|b|2-2a· b=6.② 由 ① -② 得 a · b=1,故选A.
3 2
,0 ,C - ,0 , ������������ =
2 1 2
,
2
, ������������=(3,0).������������ = ������������ + ������������ = 2,
2018届高考数学理科二轮总复习高考小题分项练 2 含解
高考小题分项练2 函数的图象与性质1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为________．答案 [0，＋∞)解析 当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数． 2．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数，∴对称轴x ＝－1－a2＝0，∴a ＝1.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥4，f (x ＋3)，x <4，则f (f (－1))＝________.答案 0解析 f (f (－1))＝f (f (2))＝f (f (5))＝f (1)＝f (4)＝0.4．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________． 答案 6解析 函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值． 由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3，解得m ＝6. 故实数m 的值为6.5．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 当x ≥0时，y ＝|x |(1－x )＝x (1－x )＝x －x 2 ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14； 当x <0时，y ＝|x |(1－x )＝－x (1－x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14. 故y ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0，函数图象如图所示．所以函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x >0，g (x )，x <0是奇函数，则f (g (－2))＝________.答案 1解析 方法一 当x <0时，－x >0，g (x )＝－f (－x )＝－(2－x －3)＝3－⎝⎛⎭⎫12x ，所以g (－2)＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝3－2＝1.方法二 因为g (－2)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (g (－2))＝f (－f (2))＝f (－(22－3))＝f (－1)＝－f (1)＝1.7．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1,1]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2)解析 当a ＞1时，f (x )在[－1,1]上是增函数， ∵在x ∈[－1,1]上恒有f (x )＜2， ∴f (1)<2，∴1＜a ＜2.当0＜a ＜1时，f (x )在[－1,1]上是减函数， ∵在x ∈[－1,1]上恒有f (x )＜2，∴f (－1)<2， ∴1a ＜2且0＜a ＜1，∴12＜a ＜1. 综上所述，实数a 的取值范围为12＜a ＜1或1＜a ＜2.8．当函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点时，a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤0或a >1}解析 ∵f (1)＝lg 1＝0，∴当x ≤0时，函数f (x )没有零点，故－2x ＋a >0或－2x ＋a <0在(－∞，0]上恒成立，即a >2x 或a <2x 在(－∞，0]上恒成立，故a >1或a ≤0.9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n 的最小值为________．答案 92解析 由题意得点A (－2，－1)， 故－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2.∴2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝n m ＋m n ＋2＋12≥4＋12＝92， 当且仅当m ＝n ＝23时，等号成立．10．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在x ∈[2，＋∞)上恒有|y |>1，则a 应满足的条件是________． 答案 12<a <1或1<a <2解析 若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1. 由题意知log a 2<－1，∴a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1. 由题意知log a 2>1，∴a ∈(1,2)． 综上可知，12<a <1或1<a <2.11．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 二次函数y ＝x 2－2x －t 在[0,3]上的最大值为2或最小值为－2，f (1)＝1－2－t ＝－1－t ＝－2，∴t ＝1，或f (3)＝3－t ＝2，∴t ＝1.综上t ＝1.12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________． 答案 7解析 由题意作出y ＝f (x )在区间[－2,4]上的图象，与直线y ＝1的交点共有7个，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为7.13．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝a －|x |(a >1)．当K ＝1a 时，函数f K (x )的单调减区间是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意知，当K ＝1a(a >1)时，令f (x )≤1a ，即a －|x |≤1a，解得x ≤－1或x ≥1；令f (x )>1a ，即a －|x |>1a ，解得－1<x <1.所以f K (x )如图实线所示．由图象知，f K (x )在(1，＋∞)上为减函数．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．若直线y ＝k (x ＋1)(k＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，13解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1.作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.。
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小题专练·作业(十一) 一、选择题1．(2017·长沙一模)(x2－1x)6的展开式中( )A．不含x9项B．含x4项C．含x2项D．不含x项答案 D解析T r＋1＝(－1)r C6r x12－2r x－r＝(－1)r C6r x12－3r，故x的次数为12，9，6，3，0，－3，－6.选D. 2．(2017·东北四市联考)哈尔滨市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排( )A．40 B．60C．120 D．240答案 B解析从五个不同的部门选取两个部门有C52种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有C42C22种方法，所以不同的安排方案有C52C42C22＝60种，故选B.3．(2017·乌鲁木齐调研)学校拟定安排六位老师5月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为( )A.715B.613C.23D.45答案 A解析本题考查计数原理、古典概型、六位老师值班的排法有C62C42C22＝90种，其中满足要求的排法分为两类：第一类，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5月1号，有C42C22＝6种；第二类，王老师和李老师不在同一天值班，有C41C31C22×3＝36种，共42种，所以所求概率为P＝4290＝715.4．(2017·上海十四校联考)若x1，x2，x3，…，x10平均数为3，则3(x1－2)，3(x2－2)，3(x3－2)，…，3(x10－2)的平均值为( )A．3 B．9C．18 D．27答案 A解析由题意得x1＋x2＋x3＋…＋x10＝30，所以3(x1－2)＋3(x2－2)＋3(x3－2)＋…＋3(x10－2)＝3(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10)－60＝30，所以所求平均数3(x －2)＝3010＝3，故选A.5．(2017·太原一模)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k(x ＋2)，在[－1，1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( ) A.12 B.2－22 C.3－33D.2－32答案 C解析 通解：若直线l ：y ＝k(x ＋2)与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝2|k|k 2＋1>1，又k∈[－1，1]，所以－1≤k<－33或33<k ≤1，所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为2－2332＝3－33，故选C.优解：如图，当直线l ：y ＝k(x ＋2)与圆C ：x 2＋y 2＝1相切时，直线l 的倾斜角为π6或5π6，即斜率为33或－33，所以直线l 与圆C 有公共点时－33≤k ≤33，所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为1－2332＝3－33，故选C.6．(2017·西宁检测)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( ) A.35 B.59 C.25 D.110答案 B解析 在第一次摸出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，则第二次摸出新球的概率是59，故选B.7．(2017·合肥质检二)已知5件产品有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( ) A ．3 B.72 C.185 D ．4答案 B解析 由题意知，ξ的所有可能取值为2，3，4.P(ξ＝2)＝A 22A 52＝110，P(ξ＝3)＝3×2×1＋2×3×1＋3×2×1A 53＝310，P(ξ＝4)＝C 32C 21A 33A 21A 54＝35，所以E(ξ)＝2×110＋3×310＋4×35＝72，故选B. 8.(2017·济南一模)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号．根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．6答案 B解析 由茎叶图得班里40名学生中，获得“诗词达人”称号的有8人，获得“诗词能手”称号的有16人，获得“诗词爱好者”称号的有16人，则由分层抽样的概念得选取的10名学生中，获得“诗词能手”称号的人数为10×1640＝4，故选B.9．(2017·武昌调研)若(3x－3x)n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项是( ) A ．－270 B ．270 C ．－90 D ．90答案 C 解析 (3x －3x)n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于(3x＋3x)n 的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.(3x －3x)n 的通项T r ＋1＝C 5r (3x)5－r ·(－3x)r ＝C 5r ·35－r·(－1)r ·x r －52＋r 3，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴展开式中的常数项为T 4＝C 53·32·(－1)3＝－90，故选C.10．(2017·石家庄一模)下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程y ∧＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ∧就增加0.2个单位 答案 C解析 根据相关定义知选项A ，B ，D 均正确；选项C 中，对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，对判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误，选C.11．(2017·唐山模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为y ∧＝0.85x －0.25.由以上信息，得到下表中c 的值为( )A.5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析 x －＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y －＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c 5，代入回归直线方程中，得14＋c 5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.12．(2017·湖北七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( ) A ．101.2万元 B ．108.8万元 C ．111.2万元 D ．118.2万元答案 C解析 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ∧＝10.2x ＋a ∧经过样本点的中心(4，50)，∴50＝10.2×4＋a ∧，解得a ∧＝9.2，∴回归方程为y ∧＝10.2x ＋9.2，∴当x ＝10时，y ∧＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.13．(2017·郑州三次预测)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x 12＋x 22＋x 32＋x 42≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．65 C ．80 D ．81答案 B解析 根据题中x 12＋x 22＋x 32＋x 42≤3考虑x 1，x 2，x 3，x 4的可能取值：(1)4个数均为0，有1个；(2)有1个数取值为0，另外3个数从{－1，1}中取，共有C 41·23＝32个；(3)有2个数取值为0，另外2个数从{－1，1}中取，共有C 42·22＝24个；(4)有3个数取值为0，另外1个数从{－1，1}中取，共有C 43·2＝8个．所以集合A 中满足条件的元素个数为1＋32＋24＋8＝65，故选B. 14．(2017·郑州模拟)某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：附参照表：参考公式：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.则下列结论正确的是( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”D ．有90%以上的把挥认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关” 答案 C解析 由题设知a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，所以K 2的观测值k ＝100×（45×15－30×10）255×45×75×25≈3.030，且由附表可知2.706<3.030<5.024，所以有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”，故选C. 二、填空题15．(2017·长沙二模)某校2017年元旦晚会对2个相声和5个小品安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有________种．答案 1 320解析 若第一个节目排相声甲，有A 66＝720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有A 51A 55＝600种排法．根据加法计数原理可得共有720＋600＝1 320种排法． 16．(2017·天星联考)已知二项式(x ＋1a x )n的展开式中，二项式系数之和为64，令x 3的项的系数为154，则a ＝________．答案 2解析 因为二项式系数之和为64，所以2n ＝64，解得n ＝6，又(x ＋1a x )6的通项T r ＋1＝C 6r x 6－r(1a x )r ＝a －r C 6r x6－32r ，由6－32r ＝3得r ＝2，故15a －2＝154，得a ＝2.17．(2016·合肥六校)某校为了解高三1 000名学生二模化学成绩情况，随机抽取了100名高三学生的二模考试化学成绩作为样本进行调查，按成绩分组得到的频率分布直方图如图所示．则根据频率分布直方图可估计该校二模化学成绩在90分以上的有________人．答案 300解析 样本中成绩在90分以上的频率为0.04×5＋0.02×5＝0.3；所以该校二模化学成绩在90分以上的有1 000×0.3＝300人．18．(2017·沈阳调研)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________． 答案 0.648解析 由题意得所求概率P ＝C 32×0.62×(1－0.6)＋C 33×0.63＝0.648.19．(2017·广州调研)某工厂为了对一种新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________．答案 13解析 由表中数据得x －＝6.5，y －＝80，由y －＝－4x －＋a ∧，得a ∧＝106，故线性回归方程为y ∧＝－4x ＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程，可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为26＝13.20．(2017·广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为________． 答案 40解析 ∵每袋大米质量服从正态分布ξ～N(10，σ2)，∴P(ξ<9.9)＝12[1－P(9.9≤ξ≤10.1)]＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为2 000×0.02＝40.。