换元积分法
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
换元积分
第二节 换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第 二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节 换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .
换元积分法
1 4
(
2x 3
2x 1)dx
1 4
2x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1
31
3
2x 3 2x 1 C.
12
12
14
例12. 求 tan3 x dx tan2 x tan x dx
(sec2 x 1)tan x dx
a2 x2
a
18
例17. 求
解:
1 1 x2 a2 2a
(x a) (x a) ( x a)( x a)
1( 1 2a x a
1) xa
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx
x
a
1 2a
d( x a) xa
d( x a) xa
1 ln
2a
xa
ln
xa
C 1 ln 2a
xa xa
)
1 2
1
1 x
2
d(1
x2
)
u 1 x2
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例2 x 1 x2dx 1 1 x2d(-x2 ) 2
1 2
1 x2d(1 x2 ) u 1 x2 1
2
udu
1
2
3
u2
C
1
3
u2
C
1
(1
x
2
)
3 2
29
小结
1、常用的几种凑微分形式:
1
(1) f (ax b)dx a
换元积分法
∫ f (sec x )sec x tan xdx = ∫ f (sec x )d (sec x )
∫ f (arcsin x ) ∫
1
2
1− x 1 f (arctan x ) dx = ∫ f (arctan x )d (arctan x ) 2 1+ x
dx = ∫ f (arcsin x )d (arcsin x )
5
Hale Waihona Puke 调整系数时，只管 不管 不管b. 调整系数时，只管a不管 ∵d(b)=0
1 1 5 (ax + b ) dx = ∫ (ax + b ) d (ax + b ) = (ax + b ) 6 + C ∫ a 6a 补充例题 1 1 ∫ sin( 3 x + 2)dx = 3 ∫ sin( 3 x + 2)d (3 x + 2) = − 3 cos(3 x + 2) + C 1 1 sec 2 ( 2 x + 1)dx = ∫ sec 2 ( 2 x + 1)d ( 2 x + 1) = tan( 2 x + 1) + C ∫ 2 2
)
9
课本例题： 课本例题： 例5 求 ∫ tan xdx 解
∫ cot xdx = ln sin x + C
sin x 1 dx = − ∫ d cos x = − ln cos x + C ∫ cos x cos x
∫ tan xdx =
1 dx 例6 求 ∫ 2 2 a +x 1 1 1 1 1 x 解 ∫ 2 d( ) =∫ ⋅ dx = ∫ 2 ⋅ dx 2 2 2 a a a +x a x x 1+ 1+ a 1 x a = arctan + C a a
换元积分法
f (x)dx F(x) C
中的 x 换成了可微函数 j (x) . 所以说把基本积分表
中的积分变量换成可微函数 j (x) 后仍成立 .
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a, b 均为常数，且 a 0. a
例 1 求 sin(3x 2)dx.
解 对照基本积分表，上式与表中 sinx dx 相似，
a
dx 1 x 2
a
dx a
1
x
2
a
arcsin x C. a
dx
x
arcsin C.
a2 x2
a
例 5 求
dx a2 x2
(a > 0 常数).
解
dx a2 x2
1 dx
a2
1
x
2
1 a
dx a
则
ln x dx x
ln xdln x
1 ln2 2
x C.
一般公式:
f
(ln
x)
dx x
f (u) d u
(u ln x) .
xdx 1 dx2. 2
则
xe x2 dx 1 e x2 dx 2 1 ex2 C
2
2
经求导验算，
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2
例7
求
ln x x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即 x
1 dx d(ln x). x
1
换元积分法简明易懂
换元积分法简明易懂换元积分法又被称为代数凑式法，是一种常用的数学积分方法。
它适用于求解一些复杂的积分，通过将被积函数中的一部分进行代数凑式，将原积分转化为一个新的积分形式。
因此，它是日常生活中数学计算中的重要手段之一。
下面我们来详细了解一下这个方法。
一、变量代换假设要求解一个积分式为：∫f(x)dx换元积分法的第一步是选定一个新的变量，使得在这个新的变量下，原来的积分式的形式会更加简单。
例如，可以选定一个新的变量u，使得：u = g(x)其中，g(x)为一个可导函数。
因此，根据链式法则，可以得到：也就是说，新变量u的微分可以表示为：将上述表达式代入原积分式中，可以得到：∫f(x)dx = ∫f(g(x))/g'(x) du这样，原来的积分式已经被变成了一个用u表示的新的积分式。
二、换元积分法的具体操作1、当原积分式中只有一项如果原积分式中只有一个项f(x)，需要进行代数凑式。
比如：∫x^3cos(x^2)dx令u=x^2，那么可以得到：du/dx = 2x由此，可以得到：这样，原来的积分式就变成了一个用u表示的新的积分式。
对于这个新的积分式，我们可以使用几何意义、分部积分等方法进一步求解。
对于原积分式中的多项式，需要将其中一部分代入新变量中，比如：∫(x+1)sin(x^2+2x+1)dx三、特殊情况换元积分法也适用于一些特殊的积分式。
下面介绍几种常见的特殊情况。
1、当原式中出现了幂函数时此时，需要选定一个新的变量u，使得du/dx中出现了与f(x)的形式相同的幂函数。
比如：比如：∫√(1-4x^2)dx = -1/8 ∫√udu以上就是换元积分法的具体操作，希望能够对大家有所帮助。
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
换元积分法是指将一个原有的积分按某种规定定义相互换算兑换为新的积分的方法，
又称按档次分类法。
换元积分法是一种将原有积分分类标准化，并形成新分类规则的方法。
换元积分法建立在原有考核标准和实践考核指标基础上，以提高参加者考核成绩，以便做
出客观公正的评价和决策，从而实现考核绩效的改进。
换元积分法的基本原理是把原有积分按照规定的分类档次，换元无量纲化，即把原有
积分按规定的档次换元转换为新的标准积分，这样就可以很轻易比较不同参与考核者的考
核绩效。
换元积分法的设计要求考核指标的划分不可过于任意，也不可过多，考核标准的
标准分类档次应该越多越好，考核者的表现也应该由易至难分成多个档次，使考核更加客
观公正。
换元积分法还具有计算简便、考核灵活可编辑性、更利于客观评价等特点。
在考核中，有许多分类标准，比如能力和表现，进步程度等等，换元积分法可以利用各种标准进行积分，把原有积分按照规定的档次换算为新的标准积分，这样可以使考核更加客观公正，并
且它可以很灵活地根据考核过程不断改进，便于做出客观公正的评价和决策。
换元积分法是一种有效的考核方式，它可以有效规范各种考核测试，使考核成绩具有
一定的公正性和可比性，使市场参与者更容易把握自己的考核状态。
然而，换元积分法的
实施也有一定的局限性，即考核内容受限于原有的积分考核标准和实践考核指标，可能无
法满足实际考核的新要求，因而需要定期修正考核内容和指标，让它更适应变化的环境。
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
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2013-12-11
定理 5.4.2 设函数 f ( x) 在区间 I 上连续， x (t ) 在 I 的对应 区间 I t 内单调，并有连续导数，则
f ( x)dx f ( (t)) (t)dt
其中 t 1 ( x) 是 x (t ) 的反函数．
t 1 ( x )
解法三
1 1 1 sin xcos x x d x sin2 d(2 ) x d sin2 x x cos2 2 4 4
x C ．
11-2
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例 5.4.2
求不定积分
1 x(ln x) p dx ，其中 p 为常数．
p 1, p 1.
ln ln x C, 1 1 解 dx dlnx 1 p p (ln x) 1 p C, x(ln x) (ln x) 1 p
11-13
dx
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1 解法二 作倒代换 x ，则 t tt dx 1 1 1 x x2 1 1 1 ( t 2 )dt 1 t 2 t 2 dt 2 1 t t 1 sgn( t ) d t sgn( )arcsin t C t 1 t2
定理 5.4.1 （第一类换元法）设函数 f (u) 在区间 D 上有一个原 函数 F (u) ， ( x) 在区间 I 上 （内） 可导， 且有 {( x)| x I} D ， u 则
f ( ( x)) (x)dx
u ( x )
f (u )du F (u ) C F ( ( x)) C ．
当 x 1 时，令 x sec t, 0 t ，则 2
sec ttan t 1 ) x x 2 1 sec ttan t dt dt t C arccos( x C dx
1 arccos C ． 综上可得 2 x x x 1
b a
f (x)dx f ( (t)) t)d t ． (
证 由于 f ( x) 在 [a, b] 上连续，所以 f ((t)) ( t) 在 [, ] 上连续，
因此等式两边的定积分均存在．设
F ( x) 为 f ( x) 在 [a, b] 上的一个
原函数，则 F (( t)) 为 f ((t)) ( t) 在 [, ] 上的一个原函数， 则
证 设 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数，则
f (x)dx F (x) C ．
，
又 dF ( (t )) F ( ( t)) (t dt ( t)) dt ) f ( () t
所以
f ( (t)) ( t) dt dF ( (t))
例 5.4.3
sin x 1 C tan xd x cos xd x cos xd(cos )x ln|cos | x ．
sec x(sec x ) tan x tan sec x sec 2x x sec xd x sec x tan x d x sec x x d x tan
采用双曲代换 x asht 或者 x acht 来去掉根式．
在例 5.4. 8 中，令 x asht ，那么 x 2 a 2 acht ,dx achtdt , dx acht x dt dt t C1 arsh C1 则 2 2 acht a a x
dx a2 x2
ln( x a 2 x 2 ) C ．
11-10
一般地，当被积函数含有 a 2 x 2 ， x 2 a 2 和 x 2 a 2 时， 可利用三角恒等式换元，以去掉被积函数中的根号，从而使被 积表达式简化．
对被积函数含有
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x 2 a 2 时，还可利用公式 ch 2 x sh 2 x 1 ，
11-6
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例 5.4.6 求不定积分
1 dx ． 1 sin x
1 1 sin x dx dcos x 1 解法一 dx dx 2 2 tan x C ． 2 1 sin x cos x cos x cos x cos x
解法二
例 5.4.1 求不定积分 sin xcos xdx ．
1 解法一 sin xcos x x d(sin )x sin d sin x 2
2
x C ．
2 x C ．
1 解法二 sin xcos x x d( cos )x d(cos ) x d cos x cos x cos 2
1 1 sgn( x) arcsin C arcsin C x x
注: 由于开根号的 讨论比较复杂， 且难度较大 ， 故在不定积 分中，一般情况下 不建议讨论。
11-14
5.4.2 定积分换元法
(t ) 为单值函数，满足
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定理 5.4.3 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，函数 x (t ) ，其中 ⑴ () a, ( ) b ，且当t [, ] 或[ , ] 时， (t) [ a, b] ； ⑵ (t ) 在 [, ] 上具有连续导数． 则有
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5.4
5.4.1 不定积分换元法
㈠
换元积分法
第一类换元法-凑微分法
先考察 2xe d x ．---数学思想：从具体到抽象 比较基本积分表，根据函数微分 有
2 ？ u
x2 2xeຫໍສະໝຸດ ux2dx e d(x ) = e du
x
2
．
e C e C
x2
11-1
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1 1 xa [ln|x a|-ln|x a|] C ln C 2a 2a xa
11-5
1 例 5.4.5 求不定积分 dx ． x 1 e 1 ex ex 解法一 dx (1 )d x x d dx x x x 1e 1 e 1 e
1 1 1 1 x dx 2 d 1 sin x dx x x 2 x 2 x 2 (cos sin ) (1 tan ) cos2 2 2 2 2
2 x 2 d(1+tan ) C x 2 x 2 (1 tan ) 1 tan 2 2 1
11-7
( t)) ( x) f( x)d x F ( C F C
．
11-9
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例 5.4.8 求不定积分
1 x a
2 2
dx ，其中常数 a 0 ．
解 先设法去根号．根据三角恒等式 1 tan 2 t sec2 t ，令
x a tan t, t ( , ) ，则 2 2 dx a sec2 t a2 x2 a sec t dt sec tdt ln | sec t tan t | C1 ．
11-12
例 5.4. 9 求不定积分
x
dx x 1
2
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．
解法一 当 x 1 时，令 x sec t, 0 t
2
，则
sec ttan t 1 x x 2 1 sec ttan t dt dt t C arccos x C
dx
⑵ 不定积分换元法中， 换元后的新变量要换回到原来变量． 而 定积分换元法中不需要换回， 只需继续计算， 直到算出定积分 为止．
⑶ 不定积分有第一换元法和第二换元法，而定积分仅此一个 换元法．事实上，如果将式
b a
f (x)dx f ( (t)) (t)d t 自左向
b a
f (x)dx F (b) F (a) F ( F( ( ( )) ))
f(
()) ( )d t ． t t
11-15
2013-12-11
定积分换元法与不定积分换元法存在着下列几个不同点．
⑴ 在定积分换元法中，积分上限和积分下限需要变换，并且 变换前后的积分上限和积分下限相互对应．而不定积分换元 法中无此项．
1 d(sec x tan ) sec x tan x ln sec x tan x x C
11-3
另解
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
d tan ; （19） sec x x ln |sec x |x C
（20） csc x x ln |csc x |x C d cot ;
dx 1 x dx 1 xa （21） 2 arctan C; （22） 2 ln C; 2 2 a x a a x a 2a x a dx x arcsin C ; （23） 2 a a x2 dx ln( x x 2 a 2 ) C ; （24） 2 x a2 dx ln | x x 2 a 2 | C. （25） 2 x a2
x x 2 2 ln( ( ) C1 x x2 a) C ， 1) ln( a a
其中 C C1 ln a ．
11-11
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基本积分表 （二）
（17） tan x x ln |cos x C （18） cot x x ln |sin x ; d | ; d | C