积分换元法练习题
换元法怎么练习题
换元法怎么练习题换元法是微积分中的一种重要方法，用于解决复杂的积分问题。
它通过对被积函数的自变量进行合理的替换，从而简化积分的计算过程。
本文将通过一些实例来介绍换元法的练习题，并给出相应的解题思路和步骤。
首先，我们来考虑以下例子：计算积分∫(1+x^2)dx。
根据换元法的思想，我们需要选取一个合适的变量替换，使被积函数在新的变量下形式更简单。
对于这个例子，我们可以选择令x=tanθ，其中θ是某个角度。
通过这个变换，我们有dx=sec^2θdθ，且1+x^2=1+tan^2θ。
将换元结果代入原积分中，可以得到新的积分∫(1+tan^2θ)sec^2θdθ。
这个积分的结果比原积分容易计算得多，而且在计算过程中可以应用三角函数的性质，使计算更加简洁。
接下来，让我们来考虑一个稍微复杂一点的例子：计算积分∫x^2√(1+x^3)dx。
这个积分涉及到了一次函数和根号的组合，看起来有些复杂。
然而，通过合适的换元，我们可以将其转化为更容易处理的形式。
我们选择令u=1+x^3，这样我们可以通过直接对u进行求导得到du=3x^2dx，而x^2√(1+x^3)dx就可以变成(1/3)√udu。
接下来，我们可以将积分∫(1/3)√udu转化为∫(u^(1/2))/3du，这个积分更容易计算。
最后，我们只需根据换元给的关系u=1+x^3，将积分的结果转化回原变量，即可得到答案。
最后，让我们考虑一个更具挑战性的例子：计算积分∫(ln x)/(x+1)dx。
这个积分涉及到了自然对数和有理函数的组合，看起来难度较高。
然而，换元法依然是解决这个问题的一种有效途径。
我们可以选择令u=lnx，这样我们可以通过对u进行求导得到du=dx/x。
将这个换元结果代入原积分中，可以得到∫u/(e^u+1)du。
这个新的积分虽然形式稍微复杂了一些，但仍然可以通过适当的变换，将其转化为更容易计算的形式。
通过以上几个例子，我们可以看到换元法在解决一些复杂积分问题时的威力和优势。
§4.2换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x CF u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dxf u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dxf u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解 33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=， dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
微积分第二类换元法
平方和、差 再开方
分母阶 数高
非“平方和、 差再开方”
基 本 积 分 表
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln sec x tan x C; csc xdx ln csc x cot x C; 1 1 x a x dx a arctan a C;
(9) sec x tan xdx sec x C
(10) csc x cot xdx csc x C
(11) 1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (12) dx arctan x C 2 1 x
(13) tan xdx ln cos x C
sec tdt ln sect tan t C
x ln a
x2 a 2 a
C1
x
x2 a2
atຫໍສະໝຸດ ln x x2 a 2
C.
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
例4 解
求积分
x 3 ln xdx .
3
u ln x ,
3
x dv x dx d ( ), 4
4
1 4 1 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
5-2 不定积分的换元积分法
1 2 xdx (2) xe dx
(1)
5 x2
1 3 1 1 2 1 2 x 2 C (1 2 x ) 2 d (1 2 x ) 2 3 2
x (3) dx 2 2 3x
e 10
1
5 x2
1 5 x2 d (5 x ) e C 10
1 (2) 2 dx； a x
1 a 2 x 2 dx；
x a 2 x 2 dx
1 1 x x (3) dx； dx； dx； dx 3 2 2 5 1 x (1 x ) 1 x (1 x )
19
换元积分法
二、第二换元积分法
第一换元法中 ( x) u f [ ( x)] ( x)dx
1 ln1 2 ln x C 2
1 1 ln x d (ln x ) 1 x
x
1 1 1 d (1 2ln x ) 1 x (1 2ln x ) 2
x
11
换元积分法
利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成 中间变量的微分，常见的有：
1 dx d ax b a 1 n 1 x dx d x n n e x dx d(e x ) cos xdx d(sin x ) sec 2 xdx d(tan x ) 1
1 (t 1) 1 1 1 x dx 1 t 2tdt 2 1 t dt 1 2 (1 )dt 1 t
2t 2ln 1 t C
2 x 2 ln( 1 x) C
23
换元积分法
练习 求下列函数的不定积分 x 1 (1) x x 1dx; (2) 3 dx . 3x 1
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分的方法如下：
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
第一类换元法也叫凑微分法，通过凑微分，最后依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。
第二类换元法的变换式必须可逆，并且Φ（x）在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：根式代换法，三角代换法。
两种换元法例题如下：
第一类换元积分法
原式=∫(x-1+1)/根号下(x-1)dx
=∫[根号下(x-1)+1/根号下(x-1)]d(x-1)
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数。
第二类换元积分法
令t=根号下(x-1)，则x=t^2+1，dx=2tdt
原式=∫(t^2+1)/t*2tdt
=2∫(t^2+1)dt
=(2/3)*t^3+2t+C
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
第二换元积分法练习题含答案-2021年个人精心整理
. ..
December 1, 2019 2 / 51
一、第二换元积分法练习题
38.
d√x
39. √ dx
40. x2√1 − x dx
(1 + x2) 1 − x2
2x − 3 + 1
√ 41. x 4 2x + 3 dx 42.
x+1
√
dx 43.
x2 1 − x2 dx
x x−2
ln 2x
2x3x
a2 − x2 + C
2
a2
9.3 arcsin
x 2
−
1 x
2
4 − x2 + C
1 10. arccos + C
|x|
x
11. √
+C
1 + x2
1 12.
arcsin(x − 1) + (x − 1)
2x − x2
2
x
1
13. arcsin x − √
+ C 14.
1 + 1 − x2
2
+C
arcsin x + ln x + 1 − x2 + C
三、习题解答
当 x < −a 时, 设 x = −u, 则 u > a, 且 dx = −du, 于是
√ x2 − a2 dx = x
√ u2 − a2 du (用上段结果) u
=
u2 − a2 + a arccos
a u
+C
=
x2 − a2 + a arccos
a −
+C
x