换元积分详解

1 6 sin x cos xdx sin xd sin x 6 sin x C
m n 对于形如 sin x cos xdx 的积分，
1 u 5 du u 6 C 6
当m, n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理.
高 等 数 学 电 子 教 案
1 1 1 ln(1 )dx ln(1 )dx ln(1 ) x x x d (1 1 ) x( x 1) 1 1 x x 2 (1 ) (1 ) x x
(7)利用三角函数公式,常用的三角形式: ①倍角公式
②积化和差公式
高 等 数 学 电 子 教 案
高 等 数 学 电 子 教 案
第二节
一、第一类换元法
换元积分法
通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个 函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分 的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分
方法. 第一换元积分法也称为凑元法。
高 等 数 学 电 子 教 案
定理1 设u =φ(x)在区间[a, b]上可导,
公式成立是有条件的.
1)等号右边的不定积分或原函数要存在, 且容易积分.
2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的 存在.
常用的变量代换有下列四种类型：
高 等 数 学 电 子 教 案
1、 三角代换
利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单 当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰 当的三角恒等式作三角代换. 例如对
( x) ,
g(u)在[α.β]上有原函数G(u), 则不定积分存在, 且
g ( ( x)) ( x)dx g (u )du |
u ( x )
G ( ( x)) C
证明: 用复合函数的求导法则，验证
[G( ( x)) C] G(u) ( x) g (u) ( x) g ( ( x)) ( x)

e x 1u
du 1 u2
arcsin(e x 1) C
例10
dx d ln x 1 d (2 ln x 1) 1 x(1 2 ln x) 1 2 ln x 2 1 2 ln x 2 ln | 2 ln x 1 | C
高 等 数 学 电 子 教 案
(5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx的形式, 例如
f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x
f (cos x) sin xdx f (cos x)d cos x
高 等 数 学 电 子 教 案
1 1 (6)被积函数可写成 f ( ) 2 的形式,例如 x x
例11
1 1 30 (8 x 1) dx (8 x 1) d (8 x 1) (8 x 1)31 C 8 248
30
例12
sin 3x sin 2 xdx
1 (cos5 x cos x)dx 2
1 1 1 1 [ d sin x d sin 5 x] sin x sin 5 x C 2 5 2 10
2

高 等 数 学 电 子 教 案
例6
dx 1 1 1 1 d ( x a) 1 [ ]dx d ( x a) x2 a2 2a x a x a xa 2a xa

1 1 xa (ln x a ln x a ) C ln C 2a 2a x a
高 等 数 学 电 子 教 案
常见的凑元法有以下几种情况: (1)关于自变量是线性形式,例如
1 f (ax b)dx a f (ax b)d (ax b) (a 0) g ( x) (2)被积函数可写成 的形式，例如 g ( x)
dx (ln x) (l x ln ln x dx ln ln x d (ln x);
dx dx 1 x n 1 dx 1 d ( x n 1) x x n1 x(1 x n ) [ x 1 x n ]dx x n 1 x n
(4)被积函数可写成 g(xn) x2n-1 的形式,例如
x 2 n 1 1 x n dxn ( x n 9)9 dx n ( x n 9)9
例8
csc xdx
dx d ( x / 2) d ( x / 2) sin x sin( x / 2) cos( x / 2) tg ( x / 2) cos 2 ( x / 2)
高 等 数 学 电 子 教 案
例9

e x dx 2e x e 2 x

d (e x 1) 1 (e x 1) 2
F ( x) d dt 1 f ( (t )) (t ) f ( (t )) f (x ) dt dx (t )
f ( x)dx F ( x) C ( 1 ( x)) C (t ) |t 1 ( x ) C
高 等 数 学 电 子 教 案
此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2 x等 例如
x 3 (1 cos 2 x) 1 1 x cos xdx dx x 3dx x 3 cos 2 xdx 2 2 2
3 2
ab 0,
dx a cos x b sin x 2 2 a b (
t 1 ( x )
(t ) |t 1 ( x ) C
( x ) 是x
=ψ(t)的反函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
证明: x (t ). dx (t )dt.
dt 1 . t 1 ( x ) dx (t )
f ( (t )) (t )dt (t )记F ( x) (t ) ( 1 ( x ))
例3
u dx d ( x / a) du 1 x a arctg C a2 x2 a[1 ( x / a)2 ] a(1 u 2 ) a a
x
例4

dx a2 x2

d ( x / a) 1 ( x / a)2

x u a
x arcsin C (a 0) a 1 u2
高 等 数 学 电 子 教 案
例7
cos x d (sin x) sin xt dt 1 1 1 sec xdx cos2 xdx 1 sin 2 x 1 t 2 2 (1 t 1 t )dt
1 1 1 sin x [ln(1 t ) ln(1 t )] C ln C 2 2 1 sin x
a sin xdx b cos xdx (a cos x b sin x) a cos x b sin x a cos x b sin x a cos x b sin x dx
高 等 数 学 电 子 教 案
(3)被积函数可写成 f (xn)xn-1 的形式,例如
高 等 数 学 电 子 教 案
例14
1 xdx dx 2 x3dx 1 x2 1 1 2 1 dx 2 2 2 1 x 2 2 1 x 2 dx 2 [ dx 1 x 2 ]
1 2 x ln 1 x 2 C 2
例15
sin 2 x 2sin x cos x sin 2 x cos xd cos x 2udu du 2 sin xdx d cos x 1 cos2 xdx 2 1 cos2 x
例13
1 cos 2 x 2 1 1 cos 4 x sin 4 xdx ( ) dx (1 2 cos 2 x )dx 2 4 2
1 3 1 3 1 1 ( 2cos 2 x cos 4 x)dx x sin 2 x sin 4 x C 4 2 2 8 4 32
“凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(φ(x))
高 等 数 学 电 子 教 案
例1
sin x d (cos x) tgxdx cos xdx cos x
du ln u C ln cos x C u
u cos x
例2
5 5
sin x u
5 2 5 2 u ax b 1 b 1 b du adx (ax b) 3 dx (ax b) 3 dx 2 u 3 du 2 u 3 du a a a a
8 5 3 3b 2 (ax b) 3 2 (ax b) 3 C 8a 5a
高 等 数 学 电 子 教 案
第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成 g(φ(x))φ’(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，
要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些
三角函数的恒等变换,分子分母的有理化, 分子加减某 项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同, 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数.
a 2 x 2 , a 2 x 2 可设x a sin t , x atgt
高 等 数 学 电 子 教 案
例1 求

a 2 x 2 dx(a 0)
解: x a sin t (

cos2 x 1u du d cos 2 x du ln|u| C u
cos x u
d cos 2 x ln 1 cos 2 x C 2 1 cos x
高 等 数 学 电 子 教 案
例16
2 1 b x 3 (ax b)2 dx [ (ax b) ](ax b) 3 dx a a