换元积分法PPT课件
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4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
换元积分法
1 4
(
2x 3
2x 1)dx
1 4
2x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1
31
3
2x 3 2x 1 C.
12
12
14
例12. 求 tan3 x dx tan2 x tan x dx
(sec2 x 1)tan x dx
a2 x2
a
18
例17. 求
解:
1 1 x2 a2 2a
(x a) (x a) ( x a)( x a)
1( 1 2a x a
1) xa
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx
x
a
1 2a
d( x a) xa
d( x a) xa
1 ln
2a
xa
ln
xa
C 1 ln 2a
xa xa
)
1 2
1
1 x
2
d(1
x2
)
u 1 x2
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例2 x 1 x2dx 1 1 x2d(-x2 ) 2
1 2
1 x2d(1 x2 ) u 1 x2 1
2
udu
1
2
3
u2
C
1
3
u2
C
1
(1
x
2
)
3 2
29
小结
1、常用的几种凑微分形式:
1
(1) f (ax b)dx a
经济数学44换元积分法
2 1 a [a 1 x d ( a x )a 1 x d ( a x ) ]
2 1 aln axln axC
21alnaaxx C． 类似可得
x2 1a2dx21alnx x a aC．
ESC
一、第一换元积分法
例15 求 secxdx ． 解 sexcdx c1oxsdx
例2
求
1 x2
1
ex
dx.
e 被积函数是两个因子:
1 x
和
1 x2
的乘积
解
因
(1x)
1 x2
,
视
于是被积函数具有形式
(x)
1, x
可用换元 积分法
x12e1x e1x(x12)f((x))(x)
本例可不设出中间变量
u
1 x
,按如下格式书写:
1 x2
1 212 1lnxd(12lnx)
1 2lnlnxC
ESC
一、第一换元积分法
例13 co1 s2x(tanx1)dx
•解法一
co1 s2x(tanx1)dx (tanx1)d(tanx1)(tanx21)2C
•解法二
co1 s2x(tanx1)dx (tanx1)d(tanx)tan22xtanxC
x2x4dx1 2x21 42xdx12 x214d(x24)
于是 1 0 x2
x
4
dx
12ln(x24)
1 0
1 2lnx(24)C,
1 2[l1 n 2(4)ln02(4)
由牛顿—莱
]布尼茨公式
12(ln52ln2).
ESC
一、第一换元积分法
2 1 aln axln axC
21alnaaxx C． 类似可得
x2 1a2dx21alnx x a aC．
ESC
一、第一换元积分法
例15 求 secxdx ． 解 sexcdx c1oxsdx
例2
求
1 x2
1
ex
dx.
e 被积函数是两个因子:
1 x
和
1 x2
的乘积
解
因
(1x)
1 x2
,
视
于是被积函数具有形式
(x)
1, x
可用换元 积分法
x12e1x e1x(x12)f((x))(x)
本例可不设出中间变量
u
1 x
,按如下格式书写:
1 x2
1 212 1lnxd(12lnx)
1 2lnlnxC
ESC
一、第一换元积分法
例13 co1 s2x(tanx1)dx
•解法一
co1 s2x(tanx1)dx (tanx1)d(tanx1)(tanx21)2C
•解法二
co1 s2x(tanx1)dx (tanx1)d(tanx)tan22xtanxC
x2x4dx1 2x21 42xdx12 x214d(x24)
于是 1 0 x2
x
4
dx
12ln(x24)
1 0
1 2lnx(24)C,
1 2[l1 n 2(4)ln02(4)
由牛顿—莱
]布尼茨公式
12(ln52ln2).
ESC
一、第一换元积分法
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
高数课件-定积分的换元积分法与分部积分法
0 ( 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
《换元积分法》课件
确定新变量
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
第2节换元积分法
或
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数， 且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时， 可以不必将 u 写出来。 例3 求不定积分 解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数， 且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时， 可以不必将 u 写出来。 例3 求不定积分 解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x
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解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
2020/3/24
2
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不 定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分 法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换， 得到复合函数的积分法，称为换元积分法。
x2 1 x2 dx ? 令 x sin t
x2 1 x2 dx (sint)2 1 sin2 t cos tdt
sin2 t cos2 tdt
目的是去掉根式。
2020/3/24
3
二 第一类换元法
若 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C .
设 u ( x)（且可微，根据复合函数微分法，） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
C
5
5
熟练以后就不需要进行 u ( x) 转化了
2020/3/24
8
例4 求
x (1 x)2 dx.
解
x
(1 x)2 dx
x 11 (1 x)2 dx
1
1
[ (1
x)
(1
x)2
]d
(1
x)
ln(
x
1)
C1
(1
1
x)
C2
ln( x 1) 1 C (1 x)
2020/3/24
cos 3x cos 2x 1 (cos x cos5x), 2
cos
3
x
cos
2 xdx
1 2
(cos
x
cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
2
10
2020/3/24
16
例13 求 csc xdx.
解
cs
sin x
sin2 x dx
1
1 cos2 x d(cos x)
第二节 换元积分法
(Substitution Rules)
一 问题的提出 二 第一类换元法（凑微分法） 三 第二类换元法 四 小结 五 思考与判断题
2020/3/24
1
一 问题的提出
我们知道 cos xdx sin x C
但是
cos2xdx sin2x C,
(sin2x C) cos 2x
2
2
24
例7 sin3 xdx
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx
正弦余 弦 (三1 角co函s2数x)积d c分os偶x 次幂(co降s x幂齐13 c次os幂3 x拆) 开C
放在微分号d 后面。
2020/3/24
11
例8
求
1 1 e xdx.
解
1
1 e
x
dx
(1
1 e x
)e
x
dx
1
ex ex
dx
ex
1
d(x)
dex
1 ex
1 ex
1
d (1 e x )
1 ex
ln(1 e x ) C .
2020/3/24
12
例9 求 tan5 x sec3 xdx
解 tan5 x sec3 xdx
tan4 x sec2 x secx tan xdx
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
2020/3/24
15
例12 求 cos 3x cos 2xdx.
解 利用三角学中的积化和差公式，得
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(3 2x) C. 2
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例3 求
x(1
1 5
ln
dx. x)
解
1 dx x(1 5ln x)
1
1 5ln
d(l x
n
x)
1 5
1
1 5l
n
d (1 x
5
ln
x)
u
1
1 lnu
2 ln
C
x
1l
1 5
1 u
du
n(1 5ln
x)
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
ln(cscx cot x) C.
类似地可推出 secxdx ln(secx tan x) C.
剩下的因子2x恰好是u x2的导数，于是有
2xe x2 dx e x2 d( x2 )
eudu eu c
ex2 c
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例2 求
3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 dx 2x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
u 3 2x
f [( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x)
于是可得下述定理
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定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法）
注意 使用此公式的关键在于将
(sec2 x 1)2 sec2 xd secx
(sec6 x 2sec4 x sec2 x)d secx
1 sec7 x 2 sec5 x 1 sec3 x C
7
5
3
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例10
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
dx
1 cos x sin2 x
dx
1
1
sin2 x dx sin2 x d(sin x)
cot x 1 C. sin x
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例11 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
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例5 求
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
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例6 求 cos2 xdx
解
cos2 xdx
1 cos 2x dx 2
1 ( dx 1 cox2xd(2x)) x sin2x C
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x) F ( ( x)) C
即将 f [( x)]( x)dx拼凑成(( x))d( x)
第一类换元法又称为凑微分法。
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例1 求
2xe x2 dx
解 被积函数中的一个因子为e x2 eu , u x2 ,