换元积分法
微积分中的换元积分法
微积分中的换元积分法在微积分中，换元积分法是一种非常重要的积分方法，它主要用于解决一些较难的积分问题。
换元积分法是一种基本的数学思想，它可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分，从而更加方便地求解。
本文将详细地介绍换元积分法的基本思想和应用方法，并结合一些典型的例子进行讲解。
一、基本思想换元积分法的基本思想是通过变量替换的方式，将一个积分式中的变量替换成另一个变量，从而把一个较难的积分问题转化成一个较简单的积分问题。
具体来说，设有一个积分式：∫f(x)dx如果能够将x用t表示出来，并且求出dt/dx，那么就可以把积分式中的x全部用t来表示，将原来的积分式变成：∫f(t)(dt/dx)dx然后再将t看作自变量，x看作因变量，对f(t)(dt/dx)进行积分，最终得到原来的积分值。
二、应用方法换元积分法的应用方法比较灵活，下面将分别介绍三种典型的应用方法。
1.代换法代换法是换元积分法中最常用的方法，其具体思路是将积分式中的变量用一个新的变量表示出来，然后对新的变量进行求导，最终得到积分式中的原变量的微元。
代换法的一般步骤如下：（1）根据积分式中的特点选取代换变量（2）用代换变量表示出积分式中的自变量，并求出代换变量的微分（3）将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，将原积分式变为代换后的积分式（4）对代换后的积分式进行求解，得到最终答案代换法的应用可以通过一个例子来具体说明。
例1：求积分∫x√(1+x^2)dx。
解：积分式中含有根号，所以很难直接求解，这时就可以采用代换法来解决。
选取代换变量t=1+x^2，此时x^2=t-1。
对t求导，得到dt/dx=2x，即dx=(1/2√t)dt。
将x√(1+x^2)dx用代换变量表示为(t-1)√tdt/2，完成了变量替换。
此时将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，积分式变为：∫(t-1)√tdt/2对上式进行积分，最终得到积分值为：(2/3)(1+x^2)√(1+x^2)-2/3arcsin(x)+C其中C是积分常数。
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
换元积分
第二节 换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第 二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节 换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .
换元积分法
f (x)dx F(x) C
中的 x 换成了可微函数 j (x) . 所以说把基本积分表
中的积分变量换成可微函数 j (x) 后仍成立 .
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a, b 均为常数，且 a 0. a
例 1 求 sin(3x 2)dx.
解 对照基本积分表，上式与表中 sinx dx 相似，
a
dx 1 x 2
a
dx a
1
x
2
a
arcsin x C. a
dx
x
arcsin C.
a2 x2
a
例 5 求
dx a2 x2
(a > 0 常数).
解
dx a2 x2
1 dx
a2
1
x
2
1 a
dx a
则
ln x dx x
ln xdln x
1 ln2 2
x C.
一般公式:
f
(ln
x)
dx x
f (u) d u
(u ln x) .
xdx 1 dx2. 2
则
xe x2 dx 1 e x2 dx 2 1 ex2 C
2
2
经求导验算，
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2
例7
求
ln x x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即 x
1 dx d(ln x). x
1
换元积分法简明易懂
换元积分法简明易懂换元积分法又被称为代数凑式法，是一种常用的数学积分方法。
它适用于求解一些复杂的积分，通过将被积函数中的一部分进行代数凑式，将原积分转化为一个新的积分形式。
因此，它是日常生活中数学计算中的重要手段之一。
下面我们来详细了解一下这个方法。
一、变量代换假设要求解一个积分式为：∫f(x)dx换元积分法的第一步是选定一个新的变量，使得在这个新的变量下，原来的积分式的形式会更加简单。
例如，可以选定一个新的变量u，使得：u = g(x)其中，g(x)为一个可导函数。
因此，根据链式法则，可以得到：也就是说，新变量u的微分可以表示为：将上述表达式代入原积分式中，可以得到：∫f(x)dx = ∫f(g(x))/g'(x) du这样，原来的积分式已经被变成了一个用u表示的新的积分式。
二、换元积分法的具体操作1、当原积分式中只有一项如果原积分式中只有一个项f(x)，需要进行代数凑式。
比如：∫x^3cos(x^2)dx令u=x^2，那么可以得到：du/dx = 2x由此，可以得到：这样，原来的积分式就变成了一个用u表示的新的积分式。
对于这个新的积分式，我们可以使用几何意义、分部积分等方法进一步求解。
对于原积分式中的多项式，需要将其中一部分代入新变量中，比如：∫(x+1)sin(x^2+2x+1)dx三、特殊情况换元积分法也适用于一些特殊的积分式。
下面介绍几种常见的特殊情况。
1、当原式中出现了幂函数时此时，需要选定一个新的变量u，使得du/dx中出现了与f(x)的形式相同的幂函数。
比如：比如：∫√(1-4x^2)dx = -1/8 ∫√udu以上就是换元积分法的具体操作，希望能够对大家有所帮助。
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
换元积分法是指将一个原有的积分按某种规定定义相互换算兑换为新的积分的方法，
又称按档次分类法。
换元积分法是一种将原有积分分类标准化，并形成新分类规则的方法。
换元积分法建立在原有考核标准和实践考核指标基础上，以提高参加者考核成绩，以便做
出客观公正的评价和决策，从而实现考核绩效的改进。
换元积分法的基本原理是把原有积分按照规定的分类档次，换元无量纲化，即把原有
积分按规定的档次换元转换为新的标准积分，这样就可以很轻易比较不同参与考核者的考
核绩效。
换元积分法的设计要求考核指标的划分不可过于任意，也不可过多，考核标准的
标准分类档次应该越多越好，考核者的表现也应该由易至难分成多个档次，使考核更加客
观公正。
换元积分法还具有计算简便、考核灵活可编辑性、更利于客观评价等特点。
在考核中，有许多分类标准，比如能力和表现，进步程度等等，换元积分法可以利用各种标准进行积分，把原有积分按照规定的档次换算为新的标准积分，这样可以使考核更加客观公正，并
且它可以很灵活地根据考核过程不断改进，便于做出客观公正的评价和决策。
换元积分法是一种有效的考核方式，它可以有效规范各种考核测试，使考核成绩具有
一定的公正性和可比性，使市场参与者更容易把握自己的考核状态。
然而，换元积分法的
实施也有一定的局限性，即考核内容受限于原有的积分考核标准和实践考核指标，可能无
法满足实际考核的新要求，因而需要定期修正考核内容和指标，让它更适应变化的环境。
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
换元积分法
第二换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行
例20 求 解
a
x
t
例21 求 解
x
t a
例22 求 解
x
t a
例20—例22中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：
补充的积分公式：
例2 求 解
例3 求 解
用第一换元积分法求不定积分的步骤是：
上述过程可表示为
例4 求 解
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中，关键是换元，若在被积函数中
作变量代换
还需要在被积表达式中再凑出
即 ，也就是 ，这样
才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微 分”法.
一般的说，若积分
不易计算可以作适当的
变量代换
，把原积分化为的形源自式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将
代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理5.3
证 由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有
这就说明了
是的f(x) 原函数.
例18 求 解
例19 求 解
的积分，可分两种情况：
例14 求 解
例15 求 解
还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形 成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个 常数项，属于同一个原函数族.
例16 求 解法1 解法2
解法3
二、第二类换元积分法
例17 求 解
一、第一类换元法
例1
分析
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1 4
(
2x 3
2x 1)dx
1 4
2x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1
31
3
2x 3 2x 1 C.
12
12
14
例12. 求 tan3 x dx tan2 x tan x dx
(sec2 x 1)tan x dx
a2 x2
a
18
例17. 求
解:
1 1 x2 a2 2a
(x a) (x a) ( x a)( x a)
1( 1 2a x a
1) xa
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx
x
a
1 2a
d( x a) xa
d( x a) xa
1 ln
2a
xa
ln
xa
C 1 ln 2a
xa xa
)
1 2
1
1 x
2
d(1
x2
)
u 1 x2
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例2 x 1 x2dx 1 1 x2d(-x2 ) 2
1 2
1 x2d(1 x2 ) u 1 x2 1
2
udu
1
2
3
u2
C
1
3
u2
C
1
(1
x
2
)
3 2
29
小结
1、常用的几种凑微分形式:
1
(1) f (ax b)dx a
d(ax b)
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
(x n
)1 x
dx
1 n
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
(4) f (sin x)cos xdx
dsin x
(5) f (cos x)sin xdx
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
21
解法 2
(sec x tan x) secx tan x
sec2 x secx
secx tan tan x
x
dx
d(sec x tan x)
secx tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
22
cot x csc x C .
8
例8
x(1
dx 2ln
x)
1 x
1
1 2 ln
dx x
1
1 2 ln
d(ln x
x)
1 2
1
1 2 ln
d(2 x
ln
x)
1 2Βιβλιοθήκη 11 2 lnd(1 x
2
ln
x)
1 ln1 2ln x C . 2
例9
1 x (1
x)
dx
1 1 dx x (1 x)
第四节 换元积分法
第五章
一、第一类换元法（凑微分法） 二、第二类换元法
1
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧，本节和下节就来介绍求 积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。
在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
x)
2 e3 x C
3
例14. 求 sec6 xdx .
解: 原式 = sec4 x sec2 xdx (tan2 x 1)2d tan x
(tan4 x 2tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
16
例15. 求
解:
11
x
1 2
[
1dx
sin
x
1
cos
d(sin x
x
cos
x)]
1
( x ln sin x cos x ) C .
2
24
例23
sin2
x
dx
1 2
1
cos 2xdx
1 2
[
1dx
1 2
cos
2
x
d(2 x )]
说明: 三角函数为偶次幂时,
1 (x 1 sin2x) C . 22
可用倍角公式降低三 角函数的幂次.
6
例5
sin x x dx sin
x
1 dx x
2 sin xd x 2 cos x C .
例6
tan x dx
sin cos
x x
dx
1 cos
d x
cos
x
ln cos x C ln secx C
tan x dx ln secx C .
类似地， cot x dx ln csc x C .
2
1 1
x
d
1
x 2 1 (
d x )2
x
2arctan x C .
9
常用凑微分公式：
dx 1 d(kx b) ( k 0 )； xdx 1 dx2 ；
k
2
1 dx 2d x ； 1 dx dln x ；
x
x
sin xdx d cos x ；cos xdx dsinx ；
sec2 xdx d tan x ；csc2 xdx d cot x ；
1
1 x
2
dx
d
arctan
x
；
1 dx d arcsin x ； 1 x2
或 1 dx d arccos x ； 等等.
1 x2
10
练习：
1. xex2dx 1 e x2 C . 2
2. x4 cos x5dx 1 sin x5 C . 5
3.
x dx 1 dx2 1 arcsin x2 C .
dcos x
30
(6) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(7) f (ex )exdx
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
更多的凑微分方法可参考P212
2、常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin2 x cos2 x 等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
ln(1 e x ) ln[e x (ex 1)] 两法结果一样
20
例19. 求
解法1
1 cos
x
dx
cos x cos2 x
dx
d sin x 1 sin2 x
1 2
1 1 sin x
1 1 sin x
d sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2
例24 sin3 x dx sin2 x sin x dx
sin2 x dcos x
(1 cos2 x)dcos x
cos x 1 cos3 x C . 3
说明: 三角函数为奇次幂时, 拿出一次去凑微分.
25
例25 sin2 x cos5 x dx sin2 x cos4 x cos xdx
1 4
(
3 2
2 cos
2x
1 2
cos 4x)
cos4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
4x)
dx
3
2
dx
cos
2
x
d(
2x)
1 8
cos 4x d(4x)
28
第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟 记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对 被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因 子。
x
d(sin
x
cos
x)
ln sin x cos x C . 23
例22
sin
sin x
x cos
x
dx
1 2
sin
x
cos sin
x x
sin cos
x x
cos
x
dx
1 2
(1
sin sin
x x
cos cos
x )dx x
1 2
[ 1dx
sin sin
x x
cos cos
x dx]
sin2xdx 2 sin2xd(2x)
1
2 cos 2x C.
解（二） sin2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sinx) sin x2 C; 解（三） sin2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
sec2 x tan x dx tan x dx
tan x dtan x tan x dx
1 tan2 x ln sec x C . 2
tan x dx ln secx C .
15
例13.
求
e3 x
dx . x
解: 原式 = 2