第5讲 空间向量及其运算
第八章 第5讲 空间向量及其运算.pptx
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
___a_1_b_1_＋__a_2_b_2＋__a__3b_3_＝__0___
模 夹角
|a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a32
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
6
知识衍化体验
考点聚焦突破
3
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，
b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b_互__相___垂__直___，
22
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋A→A1＝a＋b＋c， ∴| A→C 1| ＝ |a ＋ b ＋ c| ＝ （a＋b＋c）2 ＝ |a|2＋|b|2＋|c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a） ＝
12
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解析 O→C＝12A→C＝12(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1＝12A→B＋12A→D＋A→A1. 答案 12A→B＋12A→D＋A→A1 (2)解 M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N＝12O→A＋23(O→N－O→A)＝12O→A＋23[12(O→B＋O→C)－O→A]＝ －16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
第5讲 空间向量及其运算
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应 用的基础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面 问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向 量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或 证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
考点三 空间向量的数量积及其应用 【例3】 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝
90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求 BD的长．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
【训练3】 如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝ AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范
围是 0≤〈a，b〉≤π ，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
3．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模
夹角
向量表示
a·b a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，
(word完整版)空间向量及其运算知识,文档
厦门一中 2021 级数学竞赛讲座空间向量及其运算1．空间向量的看法：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算相同，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下OB OA AB a b ; BA OA OBa b ; OPa(R)运算律：⑴加法交换律：a b b aD'⑵加法结合律： (a b ) ca (b c)⑶数乘分配律：( a b)abA'a3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，D叫做平行六面体，并记作： ABCD －A BCD 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 A B4. 平面向量共线定理方向相同也许相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 aλ，使 b ＝ λ .要注意其中对向量 a 的非零要求． 5 共线向量若是表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． a 平行于 b 记作 a // b ．当我们说向量 a 、 b 共线〔或 a // b 〕时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同素来线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量 a 、 b 〔 b ≠ 0 〕， a // b 的充要条件是存在实数λ，使＝ λb .推论：若是 l 为经过点A 且平行于非零向量a 的直线，那么对于任意一点 O ，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OAt a ．其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .空间直线的向量参数表示式：C'B'CaOP OA t a 或 OP OA t (OB OA ) (1 t)OAtOB ，中点公式． OP1(OA OB )2ruuur r7．向量与平面平行：平面和向量 a ，作 OAa ，r若是直线 OA 平行于 或在内，那么我们说向量a 平行于平面 r．平时我们把平行于同一平面的向量， ，记作： a // 叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 rrr8．共面向量定理：若是两个向量a,b 不共线，p 与向量rrrr r a,b 共面的充要条件是存在实数x, y 使 pxaybBpPbMaA A 'O1厦门一中 2021 级数学竞赛讲座推论：空间一点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x, y ， 使uuur uuur uuuruuur uuuur uuur uuurMPxMAyMB①或对空间任一点 O ，有 OP OM xMA yMB ②uuuruuuruuuruuuur或 OP xOA yOB zOM ,( x y z 1) ③上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式r9 空间向量根本定理：若是三个向量r r ra, b, c 不共面，那么对空间任向来量 p ，存在一个唯一的有rrrr序实数组 x, y, z ，使 pxayb zcrrrrrr rrr假设三向量 a,b,ca,b , c 叫做基向量， 空间任意 不共面， 我们把 { a,b ,c} 叫做空间的一个基底，三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，那么对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ，uuur uuur uuur uuur使 OP xOA yOB zOCr ruuur r uuurr10 空间向量的夹角及其表示：两非零向量a, b ，在空间任取一点O ，作 OAa, OBb ，那么 r rr r ；且规定0 r r，显然有AOB 叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 ， 记 作 a,b a,br r r r r rr r 互相垂直，记作： r r a, bb, a ；假设 a,b 2 ，那么称 a 与b a b .uuur ruuurrr11．向量的模：设 OAa ，那么有向线段 OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a |.12．向量的数量积：向量r rr rcosr rr rr ra, b ，那么 | a ||b | a, b 叫做 a, b 的数量积，记作a b ，即r rrrr r ．a b| a| |b | cosa, bruuurrl 上与 l 同方向的单位向量，作点A 在 l 上的射影 A ，作点 B向量 ABa 和轴 l ， e 是在 l 上的射影uuuuruuurr. 可以证明uuuur B ，那么 AB 叫做向量 AB 在轴 l上或在 e 上的正射影 AB 的长度uuuur uuur r rr r |AB | | AB | cos a, e | a e |．13．空间向量数量积的性质：rr〔 r r r r r r r 0 r 2 1〕 a e | a | cos a, e ．〔 2〕 a ba b ．〔 3〕 | a | 14．空间向量数量积运算律： rrr r r r〔 r rr r1〕 ( a)b(a b)a (b) ．〔 2〕 ab b a 〔交换律〕． 〔 rrr r r r r3〕 a (bc ) a b a c 〔分配律〕r r a a ．z空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：A(x,y,z)〔1〕假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单r r rk位正交基底，用 { i, j , k} 表示；r r rO j yO 和一个单位正交基底i〔 2〕在空间选定一点{i , j, k} ，以点 O 为原点，r r rx 轴、 y 轴、 z 轴，它x分别以 i , j ,k 的方向为正方向建立三条数轴：r r rO xyz ，点 O 叫原点，向量 们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系i , j, k 都叫坐标 向量．经过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：uuur 在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使rrO xyz 中的坐标，记作OA xiyj zk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系2厦门一中 2021 级数学竞赛讲座A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标．常有坐标系①正方体：以以下图，正方体ABCD A ' B ' C 'D ' 的棱长为 a ，一般选择点 D 为原点， DA 、 DC 、 DD ' 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ，那么各点坐标为亦可选 A 点为原点 . 在长方体中建立空间直角坐标系与之近似 . ②正周围体： 以以下图， 正周围体 A BCD 的棱长为 a ，一般选择 A 在BCD 上的射影为原点， OC 、 OD 〔或 OB 〕、 OA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，那么各点坐标为z D C ''A B ''DC yABxz A③正四棱锥：以以下图，正四棱锥P ABCD 的棱长为 a ，一般选择点 P 在平面 ABCD 的射影为原点， OA 〔或 OC 〕、 OB 〔或 OD 〕、 OP BOD所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，那么各点 zy坐标为PCx④正三棱柱： 以以下图， 正三棱柱 ABC A' B 'C ' 的底面边长为 a ，高为 h ，一般选择 AC 中点为原点， OC 〔或 OA 〕、 OB 、 OE 〔 E 为 O在 A 'C ' 上的射影〕所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，那么各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：r r〔 1〕假设 a (a 1 , a 2 , a 3) ， b (b 1 ,b 2 , b 3 ) ，那么r ra b (a 1b 1, a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) ，rrra b (a 1 b 1, a 2 b 2 , a 3 r b 3 ) ， a ( a 1 , a 2 , a 3 )(R) ，r rra b a 1b 1a 2b 2 a 3b 3 ， a // b a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 (R) ，rra b a 1b 1 a 2b 2 a 3 b 3 0 ．uuur〔 2〕假设 A(x 1, y 1 , z 1) ， B( x 2 , y 2 , z 2 ) ，那么 AB( x 2x 1 , y 2 y 1 , z 2z 1 ) ．DOCx AB yz AECABOC Byx一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标rr4 模长公式：假设a (a 1, a 2 , a 3 ) ，b (b 1, b 2 ,b 3 ) ，r r r a 12a 22a 32 rr r b 12b 22b 32． 那么 | a | a a， | b |b br r r rrab ra 1b 1 a 2 b 2a 3b 35．夹角公式： cos a b2．| a | |b | 2a 3 2222a 1 a 2b 1 b 2b 36．两点间的距离公式：假设 A(x 1, y 1 , z 1) ， B( x 2 , y 2 , z 2 ) ，uuur uuur 2 (x 2 x 1)2y 1 )2 (z 2 z 1)2 ，或 d A, B ( x 2 x 1 )2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2那么|AB| AB( y 2空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 在空间直角坐标系中，由uuurA(x 1, y 1 , z 1) 与 B( x 2 , y 2 , z 2 ) 确定直线 AB 的方向向量是 AB ( x 2x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) .r r的法向量 .平面法向量若是 a ，那么向量 a 叫做平面3厦门一中 2021 级数学竞赛讲座二、证明平行问题r rr ra 1b 1,a 2b 2 ,a 3b 3 (a 1 a 2a3 .1．线线平行：证明两直线平行可用a //b R) 或a//brrrrr r b 1b2rb 32.线面平行：直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 lur ，假设an 即 a n 0 那么 a// .uruuruur ur uur// .3.面面平行：平面的法向量为 n ，平面的法向量为 n ，假设n // n 即 nn那么12121 2三、证明垂直问题r r r r1．线线垂直：证明两直线垂直可用a ba b a 1b 1 a 2 b 2 a 3b 3 0r rr rrrr 2．线面垂直： 直线 l 的方向向量为 a ，平面 的法向量为 n ，且 lur，假设 a // n 即 a n 那么 a .uruuruurur uur3.面面垂直：平面 的法向量为 n 1 ，平面的法向量为 n 2 ，假设n 1n 2 即 n 1 n 2 0 那么.四、求夹角rrr r r r r r．线线夹角：设 a (a 1, a 2 ,a 3) b (b 1,b 2,b 3) (0 ,90] 为一面直线所成角， 那么：ab |a| |b| cos a,b ； 1r r r r r rcos r a b ra 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 ； cos | cos | . a,b a,b | a | | b | a 12 a 22a 32b 12 b 22 r b 32PA P．线面夹角： 如图， 为平面 的一条斜线， n 为平面 的一个法向量， 过 作平面 的 2垂线 PO ，连结 OA 那么PAO 为斜线 PA 和平面所成的角，记为易得sin| sin(uuur uuur ) | | cos uuur uuur |2OP, AP OP, APr uuurPr uuurr uuurn| cos | | cos| | n PA |n, APn, PAr uuur .ur uur| n || PA |OθA3． 面面夹角：设 n 1 、 n 2 分别是二面角两个半平面 、 的法向量，αur uurur uur当法向量 n 1 、 n 2 同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为n 1 , n 2 ；uurur uurur当法向量 n 1 、 n 2 一个指向二面角内， 另一外指向二面角外时， 二面角的大小为n 1, n 2.五、距离1．点点距离：设 A( x 1 , y 1, z 1 ) ， B( x 2 , y 2 , z 2 ) ， d A, B(x 2 x 1 )2( y 2 y 1 )2 ( z 2 z 1 )2uuur uuur uuur 2y 1 )2z 1 )2| AB| AB AB (x 2 x 1 ) ( y 2 ( z 2r2．点面距离： A 为平面 任一点， PA 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法向量，过P 作平面 的垂线 PO ，连结 OA 那么 PAO 为斜线 PA 和平面所成的角，记为易得uuur uuuruuuruuur r uuuruuur ruuur r| cos| PA n || PA n || PO | | PA | sin| PA|PA, n ||PA|uuurrr.| PA| | n || n |．线线距离： 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算. 设两条异面直线 a 、b 的3rr公垂线的方向向量为 n , 这时分别在 a 、 b 上任取 A 、 B 两点，那么向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 b 的距离 .即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线 ruuurr uuur 方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线 a 、 b 的距离 dn | AB n|.| ABr |r| n||n| 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离. 直线到平面的距离可转变成求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行4厦门一中 2021 级数学竞赛讲座平面间的局部叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.5。
高中数学同步教学课件 空间向量及其运算
在 D 中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，
但 a·b 与 a·c 不一定等于零，故 D 错误．
对于 B 项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，
∴|a·b|简： (1)12(a＋2b－3c)＋523a－12b＋23c＝________； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝________． (1)263a－32b＋161c (2)0 [(1)原式＝12a＋b－32c＋130a－52b＋130c ＝263a－32b＋161c． (2)原式＝A→B－A→C－C→D＋B→D＝C→B＋B→D－C→D＝C→D－C→D＝0．]
2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作 0． (2)单位向量：模等于 1 的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相 平行，此 时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常 规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有 向线段通过平移后，都能在 同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？
2．下列命题中正确的是( )
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若 a⊥(b－c)，则 a·b＝a·c＝0
B [对于 A 项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故 A 错误．
对于 C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
空间向量及其运算知识总结
共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些
向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可
能是同一直线，也可能是平行直线． 6． 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在 实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于 任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式
， ，， ，， ． （2）若，，则． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标
4
模长公式：若，， 则，． 5．夹角公式：． 6．两点间的距离公式：若，， 则，或
空间向量应用
一、直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在 空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是.
当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为； 当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的 大小为.
五、距离
1．点点距离：设，，
2．点面距离：为平面任一点，已知为平面的一条 斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连 结则为斜线和平面所成的角，记为易得
.
3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量 的正射影性质直接计算.设两条异面直线、的公垂线 的方向向量为, 这时分别在、上任取、两点，则向 量在上的正射影长就是两条异面直线、的距离.即两 异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点 的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.直线、的距离. 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条 直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到 这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点 到平面的距离. 5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做 两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面 间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的 长度叫做两个平行平面间的距离.
空间向量及其运算(共22张PPT)
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
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第5讲空间向量及其运算一、填空题1．给出下列四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP→＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP→＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的序号是________．解析 其中①③为正确命题．答案 ①③2.如图所示，在平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM→用a ，b ，c 表示为________． 解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .答案 －12a ＋12b ＋c3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________．解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－3，μ＝12.答案 2，12或－3，124．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________． 解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355.答案 3555.如图，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA→，BC →〉的值为________． 解析 设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA→，BC →〉＝0. 答案 06．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a ·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0.两式相减，得46a ·b ＝23|b |2，∴a ·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a |＝|b |.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.答案 60°7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为________．解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 216a8．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA→＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； 解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →，则MA →、MB →、MC →为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案 ③9．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．解析 |a |＝22＋(－1)2＋22＝3，|b |＝22＋22＋12＝3，a·b ＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝49，sin 〈a ，b 〉＝659，S 平行四边形＝|a||b|sin 〈a ，b 〉＝65.答案 6510．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列四个命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 12；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B→的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|A B →·AA 1→·A D →|.其中正确命题的序号是________．解析 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确．答案 ①②二、解答题11．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.12.如图，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 的长．解 (1)设A B →＝p ，A C →＝q ，A D →＝r .由题意可知：|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.M N →＝A N →－AM →＝12(A C →＋A D →)－12A B →＝12(q ＋r －p )，∴M N →·A B →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0.∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD .(2)由(1)可知，MN ＝12(q ＋r －p )．∴|M N →2|＝MN →2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. ∴|M N →|＝22a ，∴MN 的长为22a . 13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＋2μ＋3v ＝0λ＋8μ－3v ＝0. 易知⎩⎨⎧ λ＝－5μ＝1v ＝1是其中一组解，则－5AB→＋AC →＋AD →＝0. ∴A 、B 、C 、D 共面．14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC→； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，(1)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a ) ＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。