浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十一)(含答案详析)
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十四)(含答案详析)
专题限时集训(十四)[第14讲 空间角](时间：45分钟)1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 11所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．如图X14－1所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为π2，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.32 B.155 C.12 D.633．如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．大小不确定4．如图X14－2所示的是某个正方体的展开图，l 1，l 2是两条面对角线，则在正方体中，l 1与l 2的关系为( )图X14－2A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为π3D ．相交且夹角为π5．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°图X14－36．如图X14－3所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.12B.22C.35D.458．夹在两平行平面间的线段AB ，CD 的长分别为2和2，若AB 与这两个平行平面所成的角为30°，则CD 与这两个平行平面所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．如图X14－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面C 1D 1AB 与底面ABCD 所成二面角C 1－AB －C 的大小为________．10．等边△ABC 与正方形ABDE 有一公共边，二面角C －AB －D 为直二面角，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则异面直线EM 与AN 所成角的余弦值为________．11．如图X14－5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小为________．12．如图X14－6所示，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1的长为a ，底面ABCD 是边长AB ＝2a ，BC ＝a 的矩形，E 为C 1D 1的中点．(1)求证：DE ⊥平面EBC ；(2)求异面直线AD 与EB13．如图X14－7所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)求证：EF∥平面A1CD；(2)求证：平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD14．如图X14－8所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC ＝2，D为AC的中点．(1)若AA1＝2，求证：BC1⊥平面AB1C；(2)若AA1＝3，求二面角C1－BD－C的余弦值．专题限时集训(十四)1．D [解析] AA 1⊥平面AC ，故所成的角为90°.2．C [解析] 当A 1D 与BC 1所成的角为π2时，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，联结A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，联结OB ，易证A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ，则BC 1与平面BB 1D 1D所成的角为∠OBC 1.又BC 1＝2 2，OC 1＝2，所以sin ∠OBC 1＝OC 1BC 1＝12.3．D [解析]4．D [解析] l 1，l 2是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线，故一定相交且夹角为π3.5．C [解析] 如图所示，取BC 的中点E ，联结DE ，AE ，由题意知此三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12，tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3，故∠ADE ＝60°.6．D [解析] ∵AD 与PB 在平面不垂直，∴选项A 不正确． ∵平面PAB ⊥平面PAE ，∴平面PAB ⊥平面PBC 不成立，故选项B 不正确．∵BC ∥AD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 不成立，故选项C 不正确． 在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴选项D 正确．7．C [解析] 联结DF ，则由DF ∥AE 可知∠DFD 1或其补角为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体的棱长为2，则DF ＝D 1F ＝5，DD 1＝2.由余弦定理可得cos ∠DFD 1＝D 1F 2＋DF 2－D 1D 22D 1F ·DF ＝5＋5－42×5＝35.8．B [解析] 过A 作另一平面的垂线段AO ，垂足为O ，联结BO ，可知∠ABO ＝30°，由AB ＝2得AO ＝1.又因为两平面平行，所以点C 到另一平面的垂线段的长等于AO 的长．故CD 与两个平行平面所成的角的正弦值为AO CD ＝22，所以CD 与这两个平行平面所成的角为45°.9．45° [解析] AB ⊥BC ，AB ⊥BC 1，则∠C 1BC 为二面角C 1－AB －C 的平面角，其大小为45°.10.1510[解析] 如图所示，设G 为DE 的中点，联结NG ，则NG ∥EM ，∠ANG 即为异面直线EM 与AN 所成的角．设正方形的边长为2，则AN ＝3，AG ＝5，NG ＝EM ＝5，所以cos ∠ANG ＝（3）2＋（5）2－（5）22×3×5＝1510.11．90° [解析] 联结D 1M 11D 1M ，所以DN ⊥平面A 1MD 1. 又因为A 1M ⊂平面A 1MD 1，所以DN ⊥A 1M ，故直线A 1M 与直线DN 所成的角为90°. 12．解：(1)证明：由题意EC ＝ED ＝2a ，又CD ＝2a ，可知△DEC 中，EC 2＋ED 2＝CD 2，故EC ⊥ED.由BC ⊥平面CC 1D 1D ，得BC ⊥DE. 又EC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面EBC.(2)由AD ∥BC ，得∠EBC 即为异面直线AD 与EB 所成的角(或其补角)． 由BC ⊥平面DCC 1D 1，可知BC ⊥EC ， 即△EBC 为直角三角形，则tan ∠EBC ＝EC BC ＝2aa＝ 2.故异面直线AD 与EB 13．解：(1)111中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1.联结ED.在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC.又因为F 为A 1C 1的中点，所以A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，所以四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以EF ∥平面A 1CD.(2)证明：由题意，△ABC 是正三角形，因为D 为AB 的中点，故CD ⊥AB.又侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD.因为A 1A ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG .因为平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CD ∩平面A 1ABB 1＝A 1D ，所以BG ⊥平面A 1CD ，所以∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a5.在Rt △BCG 中，sin∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.14．解：(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有AA 1綊BB 1綊CC 1，又AA 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥平面ABC 且CC 1＝BC ， 故可知平行四边形C 1CBB 1为正方形，故有BC 1⊥B 1C.由于CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AC ，而AC ⊥BC ， CC 1∩BC ＝C ，故AC ⊥平面C 1CBB 1. 因为BC 1⊂平面C 1CBB 1，所以AC ⊥BC 1. 又AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面AB 1C.(2)过点C 作CE ⊥BD 于点E ，联结C 1E.因为CC 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BD.又CE ⊥BD ，CC 1∩EC ＝C ，所以BD ⊥平面CC 1E ，故BD ⊥C 1E.故∠C 1EC 为二面角C 1－BD －C 的平面角．由BC ＝AC ＝2，CC 1＝3，得BD ＝5，CE ＝BC ·CD BD ＝25.在Rt △CC 1E 中，CC 1＝3，C 1E ＝CC 21＋CE 2＝7 55，cos ∠C 1EC ＝CE C 1E ＝27.。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二十一)A(含答案详析)
专题限时集训(二十一)A
[第21讲 坐标系与参数方程]
(时间：30分钟)
1．已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)，定点A (0，－3)，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．
(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程；
(2)在(1)的条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于E ，F 两点，求弦EF 的长．
2．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，
－5)，点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 是以M 点为圆心，4为半径的圆．
(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；
(2)判定直线l 与圆C 的位置关系．
3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． (1)将C 1的参数方程化为普通方程；
(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3
(ρ∈R )，求曲线C 1与C 2交点的极坐标．
4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的方程．
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3
(ρ>0)与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |的长．。
浙江专用2021届高考数学二轮复习预测提升仿真模拟卷十一含解析
高考仿真模拟卷（十一）（时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x｜｜x＋2|≤2｝，B＝[0，4］,则∁R(A∩B)＝() A．R B．｛0}C．｛x｜x∈R，x≠0} D．∅2．已知复数z＝1＋i（i是虚数单位),则错误!＝()A．i B．－iC．1＋i D．1－i3．“x〉4”是“x2－2x－3>0"的（)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．某四棱锥的三视图如图所示（单位:cm），则该四棱锥的体积(单位：cm3)是()A.错误!B．错误!5．函数y＝(x－1)2（x－2)e x(其中e为自然对数的底数)的图象可能是（)6．设不等式组错误!所表示的区域面积为S（m∈R)．若S≤1，则()A．m≤－2 B．－2≤m≤0C．0＜m≤2 D．m≥27。
在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC＝90°，D，E 分别是BC，AB的中点，AB≠AC,且AC＞AD。
设PC与DE所成角为α,PD与平面ABC所成角为β，二面角P。
BC.A为γ，则（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．γ＜β＜α8．已知抛物线C：y2＝－8x的焦点为F，直线l:x＝1，点A 是l上一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若错误!＝－3错误!，则｜AB|＝（)A．20 B．169．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若错误!－7·错误!－8＝0，且正整数m,n满足a1a m a2n＝2a错误!，则错误!＋错误!的最小值是（）A.错误!B．错误!C。
错误!D．错误!10．设函数f（x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M为函数y＝｜f （x)｜在［－1，1]上的最大值,N为｜a｜＋|b|的最大值() A．若M＝错误!，则N＝3 B．若M＝错误!,则N＝3C．若M＝2，则N＝3 D．若M＝3，则N＝3第Ⅱ卷(非选择题,共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．在（x＋a－错误!）(1＋x）3的展开式中,若a＝2，则x项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a的值为________．12．在一次随机试验中，事件A发生的概率为P，则事件A 发生的次数ξ的期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________．13．在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a,b，c。
新课标新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二)A(含答案详析)
专题限时集训(二)A[第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4b 的夹角的余弦值为( )A.310 10 B ．－310 10C.22 D ．－222．已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)，a ∥(a ＋b )，则m ＝( )A ．2B ．－2C ．－3D ．33．已知点A(－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7，4)B ．(7，14)C ．(5，4)D ．(5，14)4．观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n ＝________．5．阅读如图X2－1________．X2－1X2－26．在如图X2－2所示的数阵中，第________．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，且(b ＋λa )⊥c ，则λ＝() A ．－311 B ．－113 C.12 D.358．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y)相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．4B ．6C ．9D ．12图X2－39．阅读如图X2－3所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是( )A ．2B ．6C ．24D ．4810．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则有( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →11．观察下列不等式：1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，1＋12＋13＋…＋131>52，…，照此规律，第6个不等式为________________________________________________________________________．12．用火柴棒摆“金鱼”，如图X2－4所示，按照规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________(用n 表示)．－4 13．根据下面一组等式：S 1＝1；S 2＝2＋3＝5；S 3＝4＋5＋6＝15；S 4＝7＋8＋9＋10＝34；S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65；S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111；S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175；……可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________．14．我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5－6世纪)提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设：由曲线x 2＝4y 和直线x ＝4，y ＝0所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1；由同时满足x≥0，x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点(x，y)构成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2.根据祖暅原理等知识，通过考察Γ2可以得到Γ1的体积为________．专题限时集训(二)A1．C [解析] 由已知条件求得b ＝(2，0)，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝1×2＋1×02×2＝22. 2．C [解析] a ＋b ＝(2，m ＋1)，由a ∥(a ＋b )得－(m ＋1)－2＝0，解得m ＝－3.3．D [解析] 设B(x ，y)，由AB →＝3a 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14，所以选D.4．45 [解析] 观察所给算式的规律，我们发现：第一个式子的最后一个数为12＋0，第二个式子的最后一个数为22＋1，第三个式子的最后一个数为32＋2，…，所以第n 个式子的最后一个数为n 2＋n －1，而2013介于442＋43和452＋44之间，所以m ＝45.5．50 [解析] S ＝－1＋2－3＋4－…－99＋100＝50.6．66 [解析] 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ， 所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 9＝92－2×9＋3＝66.7．A [解析] 由(b ＋λa )⊥c 得b ·c ＋λa ·c ＝0，代入坐标得3＋11λ＝0，λ＝－311. 8．B [解析] 由a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y)垂直得2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝2×3＝6.9．B10．B [解析] 由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即OB →＋OC →＝2OD →＝2AO →，所以OD →＝AO →，即O 为AD 的中点．11．1＋12＋13＋…＋1127>72[解析] 观察不等式： 1＋12＋122－1>1＝22； 1＋12＋13＋…＋123－1>32； 1＋12＋13＋…＋124－1>42； 1＋12＋13＋…＋125－1>52； ……所以由此猜测第6个不等式为1＋12＋13＋…＋1127>72. 12．6n ＋2 [解析] 根据图形可知，当n ＝1时，S 1＝6＋2；当n ＝2时，S 2＝6×2＋2；当n ＝3时，S 3＝6×3＋2，…，依此推断，S n ＝6n ＋2.13．n 4 [解析] S 1＝1；S 1＋S 3＝1＋15＝16；S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81，由归纳推理可知S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.14．32π。
全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十三)(含答案详析)
专题限时集训(十三)[第13讲 直线与圆](时间：45分钟)1．过点A(1，2)且垂直于直线2x ＋( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝02．经过圆x 2－2x ＋y 2＝0的圆心且与直线x ＋2y ＝0平行的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．x －2y －2＝0 C ．x －2y ＋1＝0 D ．x ＋2y ＋2＝03．若直线(1＋a)x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值是( ) A ．1或－1 B ．2或－2 C ．1 D ．－1 4．已知圆C ：x 2＋y 2＝2与直线l ：x ＋y ＋2＝0，则圆C 被直线l 所截得的弦长为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 35．设过点(0，b)且斜率为1的直线与圆x 2＋y 2＋2x ＝0相切，则b 的值为( ) A ．2± 2 B ．2±2 2 C ．1± 2 D.2±16．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________．7．已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝02＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．圆C 1：x 2＋y 2－1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －5＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离9．若直线ax －by ＋1＝0过圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 10．若直线ax ＋2by －2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．1 B ．5C ．3＋4 2D ．3＋2 211．直线x －3y ＋2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的劣弧长为________．12．若直线l 与圆x 2＋(y ＋1)2＝4相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1，－2)，则直线l 的方程为________．13．已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝8(ab>0)过坐标原点，则圆心C 到直线l ：x b ＋ya＝1的距离的最小值等于________．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上的任意一点，点Q(2a ，a －3)(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为________．15．求圆心在抛物线x 2＝4y 上，且与直线x ＋2y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．16．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A(3，0)且与圆C 相切． (1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆C 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P′，直线QM 交直线l 2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′过定点，并求出定点坐标．专题限时集训(十三)1．C [解析] 直线2x ＋y －5＝0的斜率为－2，因此所求直线的斜率为12，方程为y －2＝12(x －1)，化为一般式为x －2y ＋3＝0. 2．A [解析] 圆x 2－2x ＋y 2＝0的圆心为(1，0)，所求直线方程为y －0＝－12(x －1)，即x ＋2y －1＝0.3．D [解析] x 2＋y 2－2x ＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，由|1＋a ＋1|（1＋a ）2＋12＝1得a ＝－1.4．C [解析] 因为d ＝|2|2＝1，所以弦长为2 （2）2－12＝2.5．C [解析] 设直线的方程为y ＝x ＋b ，圆心(－1，0)到直线的距离等于半径1，即|－1＋b|2＝1，解得b ＝1±2. 6．1 [解析] x 2＋y 2＋2x －4y ＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则有3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.7．A [解析] 由1×(a －2)＋(a －2)a ＝0得a ＝－1或a ＝2，因此“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．8．C [解析] 两圆标准方程分别为x 2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝9，（0－2）2＋（0－0）2＝2＝3－1，所以两圆位置关系为内切．9．B [解析] 因为直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1，2)，所以a ＋2b ＝1.由（a ＋2b ）28≥ab ab ≤18. 10．D [解析] 圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的圆心为(2，1)，由题知直线过圆心，所以2a ＋2b －2＝0，即a ＋b ＝1.故1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2（a ＋b ）b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.11.4π3[解析] 圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2|12＋（3）2＝1，直线l 与圆C 相交所得的弦长为2 22－12＝2 3，该弦所对的圆心角为π3×2＝2π3，所以劣弧长为2π3×2＝4π3.12．x －y －3＝0 [解析] 圆心坐标为(0，－1)，则直线l 的斜率为k ＝－1－2－（－1）1－0＝1，所以直线l 的方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.13.2 [解析] 由题意得a 2＋b 2＝8，x b ＋ya＝1可化为ax ＋by －ab ＝0，所以d ＝|a 2＋b 2－ab|a 2＋b 2＝|8－ab|8≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－a 2＋b 228＝|8－4|8＝ 2.14.5－2 [解析] 点Q 在直线x －2y －6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d ＝|1－2×0－6|12＋22＝5，因此线段PQ 长度的最小值为5－2.15．解：设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24，半径为r. 根据已知得r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋12t 2＋15＝510(t 2＋2t ＋2)＝510[(t ＋1)2＋1]≥510，当t ＝－1时取等号，此时r 最小为510，圆心坐标为(－1，14)，故所求的圆的方程是(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝120.16．解：(1)∵直线l 1过点A(3，0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切， 设直线l 1的方程为y ＝k(x －3)，即kx －y －3k ＝0.则圆心C(0，0)到直线l 1的距离为d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y ＝±24(x －3)，即2x ±4y －3 2＝0.(2)证明：对于圆方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，得x ＝±1，即P(－1，0)，Q(1，0)． ∵直线l 2过点A 且与x 轴垂直， ∴直线l 2的方程为x ＝3.设M(s ，t)，则直线PM 方程为y ＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎨⎧x ＝3，y ＝t s ＋1（x ＋1），得P′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，4t s ＋1.同理可得，Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2t s －1. ∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x －3)(x －3)＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －4t s ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －2t s －1＝0. 又∵s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±2 2. ∴圆C′过定点，且定点坐标为(3±2 2，0)．。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(二十)(含答案详析)
专题限时集训(二十)[第20讲 分类与整合思想、化归与转化思想](时间：45分钟)1.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.322．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g （x ），x <0为奇函数，则f [g (－1)]＝( )A ．－20B ．－18C ．－15D ．173．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋b tan ⎝⎛⎭⎫π5x (a ，b 为常数)，若f (1)＝1，则不等式f (31)>log 2x的解集为________．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x )内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )；②对于任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)；③y ＝f (x ＋2)的图像关于y 轴对称．下列结论中，正确的是( )A ．f (4.5)<f (6.5)<f (7)B ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)C ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)D ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)7．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1)8．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，且△ABC ，△ACD ，△ADB的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．2πB ．6πC ．4 6πD ．24π9．已知向量α，β，γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一个确定的β，|γ|的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意β，m －n 的最小值是( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2 10．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设 H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．1611．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．12．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x .若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .14．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（0<x ≤1），ax －1（－1≤x ≤0），且g (x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax(0<a <1)，讨论f (x )的单调性．专题限时集训(二十)1．C [解析] sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.2．C [解析] 由于函数f (x )是奇函数，所以g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x ，g (－1)＝－3.故f (－3)＝g (－3)＝－15.3．{x |0<x <2} [解析] 函数f (x )为奇函数且周期为10，f (31)＝f (1)＝1>log 2x ，得0<x <2.4．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在R 上是增函数，当x <1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)．故函数f (x )的值域为(－∞，2)．5．C [解析] 由题意，得f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |.若a ＝0，则f (x )＝|x |，此时f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a<0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax 2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y <0恒成立，故f (x )＝|ax 2－x |在区间(0，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的．反之若a >0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a上y <0，此时f (x )＝|ax 2－x |在区间0，12a 上单调递增，在区间12a ，1a上单调递减．故函数f (x )不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．6．B [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的最小正周期为4；根据②知函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增；根据③知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，所以f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)．故f (4.5)<f (7)<f (6.5)．7．C [解析] 由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a ，6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a ，6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a 2<5，（a －1）2（a ＋2）≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－5<a <5，a ≥－2，故实数a 的取值范围是[－2，1)．8．B [解析] 设侧棱AB ，AC ，AD 的长度分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.故2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π.9．A [解析] 方法一，设α＝(1，0)，β＝⎝⎛⎭⎫12，t ，γ＝(x ，y )，由(α－γ)·(β－γ)＝0，得(x －1，y )·⎝⎛⎭⎫x －12，y －t ＝0，即x 2－32x ＋12＋y 2－ty ＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x －342＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝116＋t 24.|γ|的几何意义是圆上的点到坐标原点的距离，其最大值为圆心到坐标原点的距离加圆的半径，最小值为圆心到坐标原点的距离减去圆的半径，最大值与最小值之差为圆的直径，故m －n ＝2116＋t 24≥12，当且仅当t ＝0时等号成立，此时β＝⎝⎛⎭⎫12，0.方法二，将向量α，β，γ的起点放在点O ，终点分别记作A ，B ，C .由|α－β|＝|β|可知点B 在OA 的垂直平分线上．根据(α－γ)·(β－γ)＝0知点C 在以AB 为直径的圆上，则m －n 为圆的直径．又因为OB ＝AB ，故只要OB 最小即得，结合图形，在点B 为OA 的中点时取得，即m －n 的最小值为12.10．C [解析] 不等式f (x )≥g (x )，即x －2(a ＋2)x ＋a 2≥－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4≥0，解得x ≤a －2或x ≥a ＋2.根据定义，H 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）≤g （x ），H 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）≥g （x ）.当x ≤a －2或x ≥a ＋2时，H 1(x )＝f (x )，此时H 1(x )min ＝f (a＋2)＝－4a －4；当a －2≤x ≤a ＋2时，H 1(x )＝g (x )，此时H 1(x )min ＝g (a ＋2)＝－4a －4，即函数H 1(x )min ＝－4a －4.当x ≤a －2或x ≥a ＋2时，H 2(x )＝g (x )，此时H 2(x )max ＝g (a －2)＝－4a ＋12；当a －2≤x ≤a ＋2时，H 2(x )＝f (x )，此时H 2(x )max ＝f (a －2)＝－4a ＋12.综上所述，A ＝－4a －4，B ＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16.11.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [解析] 由f (x )＝x －1x ，f (2mx )＋2mf (x )<0，可得4mx 2<1＋4m 22m.若m >0，则x 2<1＋4m 28m 2不恒成立；若m <0，则x 2>1＋4m 28m 2，当x ∈[1，＋∞)时，若要使不等式恒成立，则1＋4m 28m 2<1，即m 2>14，所以m <－12.综上可知m <－12. 12.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 [解析] 根据题意知函数f (x )＝2|x |，若f (x ＋a )≥f 2(x )，则2|x ＋a |≥(2|x |)2＝22|x |，所以|x ＋a |≥2|x |，即3x 2－2ax －a 2≤0对任意的x ∈[a ，a ＋2]恒成立．令g (x )＝3x 2－2ax－a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g （a ）≤0，g （a ＋2）≤0，解得a ≤－32，即a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 13．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当b ＝1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，此时，T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1.当b ≠1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，（2n －1）b n －1，n ≥2， 此时，T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)b n －1，①两端同时乘以b ，得bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n .②①－②，得(1－b )T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －1－(2n －1)b n ＝2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…b n －1)－(2n －1)·b n－b ＝2（1－b n ）1－b－(2n －1)b n －b ，所以T n ＝2（1－b n ）（1－b ）2－（2n －1）b n 1－b －b1－b.综上所述，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1，b ＝1，2（1－b n ）（1－b ）2－（2n －1）b n 1－b －b1－b ，b ≠1. 14．解：(1)f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若f ′(x )>0，则0<x <1a ，若f ′(x )<0，则x >1a ，故此时f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)令h (x )＝ax －1(－1≤x ≤0)，当a ＝0时，h (x )＝－1，g (x )max ＝f (1)＝0≤1，符合题意． 当a <0时，h (x )max ＝h (－1)＝－a －1，f (x )max ＝f (1)＝－a ， ∴g (x )max ＝－a ≤1，结合a <0，可得－1≤a <0. 当a >0时，h (x )max ＝h (0)＝－1. 若1a≥1，即0<a ≤1，f (x )max ＝f (1)＝－a ≥－1， ∴g (x )max ＝－a ≤1，结合0<a ≤1，可得0<a ≤1.若1a <1，即a >1，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1<－1， ∴g (x )max ＝－1≤1，符合题意．综上所述，当g (x )≤1恒成立时，a ≥－1.15．解：由已知可得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＝0，得ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1.(1)若0<a <12，则x 2>x 1.当0<x <1或x >1a －1时f ′(x )<0；当1<x <1a－1时，f ′(x )>0.故函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1，1a －1. (2)若a ＝12时，x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立，当且仅当在x ＝12处f (x )的值等于零，故此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)若12<a <1，则0<x 2<x 1.当0<x <1a －1或x >1时，f ′(x )<0；当1a－1<x <1时，f ′(x )>0.故此时函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1a －1，1. 综上所述，当0<a <12时，函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1，1a －1；当a ＝12时，函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当12<a <1，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1a －1，1.。
湖北高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十一)(含答案详析)
专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．1002．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n －23．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．214．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－4005．已知等差数列{a n }，a 1＝3，d ＝2，前n 项和为S n ，设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，则T n ＝________．6．数列{2n·3n }的前n 项和T n ＝________．7．设两数列{a n }和{b n }，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1），则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为( )A.1－（4n －1）（－3）n 16B.1＋3n （4n ＋1）16C.1－3n （4n ＋1）16D.1－（4n ＋1）（－3）n168．已知数列{a n }，a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为1837，则n ＝________．9．若数列{c n }的通项c n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫13n，则数列{c n }的前n 项和R n ＝________． 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝5，S 9＝99，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫4a 2n －1的前n 项和T n ＝________．11．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．12．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________．13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＋2a n a n －1＝0(n ∈N *，n>1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <12.14．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝2，S n 为其前n 项和，若5S 1，S 3，3S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和T n .若对 n ∈N *，T n ≤k(n ＋4)恒成立，求实数k 的取值范围．15．设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈[1，3]，求实数m 的取值范围．专题限时集训(十一)1．C [解析] ∵S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2．C [解析] S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3．C [解析] 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号．因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10>0，S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 10＋a 11)<0.故n ＝19为所求，选C.4．B [解析] S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5.12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n n ＋1＋n （n ＋2） [解析] ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋2)， ∴1S n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝12(11＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝12[n n ＋1＋n2（n ＋2）]． 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·3n ＋1＋32 [解析] T n ＝2·31＋4·32＋6·33＋…＋2n·3n ，①3T n ＝2·32＋4·33＋6·34＋…＋2n·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝2·31＋2·32＋2·33＋…＋2·3n －2n·3n ＋1，则T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·3n ＋1＋32.7．D[解析] b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1]＝n. 记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n ＝1－（－3）n4－n ×(－3)n ，故S n ＝1－（4n ＋1）（－3）n16.8．18 [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n ＝2n －1.又因为1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1，所以S n＝12(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝1837，解得n ＝18. 9．1－n ＋13n [解析] R n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋3×⎝⎛⎭⎫132＋5×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ，①13R n＝1×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋5×⎝⎛⎭⎫134＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫13n ＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，②①－②，得23R n ＝13＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫134＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，化简得23R n ＝13＋2×⎝⎛⎭⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝23－2（n ＋1）3×⎝⎛⎭⎫13n ，所以R n ＝1－n ＋13n .10.n n ＋1 [解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 2＝5，S 9＝99，∴a 1＋d ＝5，9（2a 1＋8d ）2＝99，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝2n ＋1.设b n ＝4a 2n －1(n ∈N ＋)．∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n(n ＋1)，∴b n ＝44n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n－1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n－1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 11．765 [解析] 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21.∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝（－60＋90－63）×302－(－60＋60－63)×20＝765.12．10 [解析] 设最佳使用年限为x 年，年平均费用为y 万元，则y ＝15＋1.5x ＋x （x ＋1）2×0.3x ＝15x＋0.15x ＋1.65≥4.65，此时x ＝10.13．证明：(1)已知a n －a n －1＋2a n a n －1＝0，两边同除以a n a n －1得1a n－1a n －1＝2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，于是1a n＝2n －1，a n ＝12n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1），则b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)<12. 14．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，∵5S 1，S 3，3S 2成等差数列， ∴2S 3＝5S 1＋3S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝5a 1＋3(a 1＋a 1q)， 化简得2q 2－q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－32.因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝－32不合题意，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n ＝n ，则c n ＝1b n b n －1＝1n （n ＋1）＝1n－1n ＋1，T n ＝1－12＋12－13＋ (1)－1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.∵nn ＋1≤k(n ＋4)，∴k ≥n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n ＋5.∵n ＋4n＋5≥2n·4n ＋5＝9，当且仅当n ＝4n，即n ＝2时等号成立，∴1n ＋4n＋5≤19，因此k ≥19， 故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞. 15．解：(1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m2；所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1.② ②－①，得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n －13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， b n ＝2n 3＋29－29⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝6n ＋2＋（－2）1－n9.(3)S n ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2m 3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n>0，所以由S n ∈[1，3]得， 11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， 注意到，当n 为奇数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，故1≤2m 3≤2，解得32≤m ≤3；当n 为偶数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1， 故43≤2m3≤3，解得2≤m ≤6. 由于对于任意的正整数n 都有11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， 所以2≤m ≤3.。
全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十四)(含答案详析)
专题限时集训(十四)[第14讲 圆锥曲线的方程与性质](时间：45分钟)1．已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的左焦点为F 1，右顶点为A ，上顶点为B.若∠F 1BA ＝90°，则椭圆的离心率是( )A.5－12B.3－12C.32D.122．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4 10x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 29＝1B ．x 2－y 2＝15 C.x 29－y 2＝1 D.x 29－y 29＝1 3．已知抛物线x 2＝－4y 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．54．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)右支上的一点P(x 0，y 0)到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为2 2，且到两条渐近线的距离之积为23，则双曲线的离心率为( )A.52B.62C. 5D. 65．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＝0截得的弦长为2 5，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62C.3 55D. 56．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的14，则双曲线的离心率是( )A ．2B ．4 C.4 1515 D.2 337．抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 212－y4＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A.4 33B.2 33C.33D ．2 3 8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．16 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 55B.62C.32D.5511．已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为________．12．设F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2＝1的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0.若此双曲线的离心率等于52，则点P 到x 轴的距离等于________．13．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积的最大值为12，则椭圆方程为________．14．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝36，则抛物线的方程为________．15．已知椭圆与双曲线x 2－y 2＝0有相同的焦点，且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0，1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，长轴的左、右端点分别为A 1，A 2，且FA 1→·FA 2→＝－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过焦点F 斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D.试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．专题限时集训(十四)1．A [解析] 根据已知得－b c ×b a ＝－1，即b 2＝ac ，由此得c 2＋ac －a 2＝0，即⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(舍去负值)．2．C [解析] 抛物线y 2＝4 10x 的焦点为(10，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝10，e ＝10a ＝103.∴a ＝3，b ＝1，∴该双曲线的方程为x 29－y 2＝1.3．A [解析] 抛物线x 2＝－4y 的准线为l ：y ＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e ＝ 2.4．B [解析] 由题意知a ＝2，|bx 0－ay 0|a 2＋b 2·|bx 0＋ay 0|a 2＋b2＝23，所以b 2x 20－a 2y 20a 2＋b 2＝23，因此a 2b 2a 2＋b 2＝23，因此b ＝1，e ＝1＋12＝62. 5．C [解析] 圆心(3，0)到渐近线的距离为32－⎝⎛⎭⎫2 522＝2，所以|3b|a 2＋b2＝2，b 2a 2＝45，e ＝1＋b 2a 2＝3 55.6．D [解析] 由题意可知c2＝|bc|a 2＋b2，所以a 2＝3b 2，e ＝1＋b 2a 2＝2 33.7．A [解析] y 2＝8x 的准线为x ＝－2，双曲线x 212－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以S ＝2 33×2×2×12＝4 33.8．D [解析] 即a 2＋b 2a ·m 2－b 2m>1，即(a 2＋b 2)(m 2－b 2)>a 2m 2，即－a 2b 2＋b 2(m 2－b 2)>0，即a 2＋b 2<m 2，故以a ，b ，m 为边长的三角形一定是钝角三角形．9．B [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB|，显然，AB 最短即为通径，|AB|min ＝2·b 2a ＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min ＝11.10．A [解析] 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为(3，0)，半径r ＝2，双曲线的一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.圆心到直线bx －ay ＝0的距离d ＝|3b|a 2＋b 2＝r ＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，即b 2＝45a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋45a 2＝95a 2，所以e 2＝95，即e ＝3 55.11．3 [解析] 由GA →＝λPF 1→可知GA ∥PF 1，因为G 是△PF 1F 2的重心，所以|PO||GO|＝3＝|OF 1||OA|＝ca，所以e ＝3. 12.55 [解析] ∵x 2a 2－y 2＝1的离心率等于52，∴a 2＋1a 2＝54，∴a 2＝4.∵点P 在双曲线x 24－y 2＝1上，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝16.又∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF ⊥PF 2， ∴|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|＝16，解得|PF 1||PF 2|＝2.设P 点到x 轴的距离等于d ，则12|F 1F 2|·d ＝12|PF 1||PF 2|.解得d ＝55.13.x 225＋y29＝1 [解析] 当点P 为椭圆的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大，此时△PF 1F 2的面积为S ＝12×8×b ＝12，解得b ＝3.又a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆方程为x 225＋y 29＝1.14．y 2＝2 3x [解析] 设A(x 0，y 0)，则点A 关于点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的对称点B 的坐标为(p－x 0，－y 0)，该点在抛物线的准线x ＝－p 2上，所以p －x 0＝－p 2，即x 0＝3p2，此时B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－y 0.点C ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0.所以BA →＝(2p ，2y 0)，BC →＝(0，2y 0)，因为BA →·BC →＝36，所以4y 20＝36，解得y 0＝3(舍去负值)，此时点A ⎝⎛⎭⎫32p ，3，代入抛物线方程，得9＝3p 2，解得p ＝3，所以所求的抛物线方程为y 2＝2 3x.15．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a>b>0，由c ＝2，c a ＝22，可得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），可得x 1＝－2x 2.①设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程，整理得 (2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，则x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1，② x 1x 2＝－22k 2＋1，③ 由①②得x 2＝4k 2k 2＋1，将x 1＝－2x 2代入③得x 22＝12k 2＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋12＝12k 2＋1，解得k 2＝114.又△AOB 的面积S ＝12|OP|·|x 1－x 2|＝12·|12k|2k 2＋1＝3 148.所以△AOB 的面积是3 148.16．解：(1)依题设A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，则FA 1→＝(－a －1，0)，FA 2→＝(a －1，0)． 由FA →1·FA →2＝－1，得1－a 2＝－1，解得a 2＝2，又c ＝1， 所以b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意直线l 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，弦AB 的中点为M(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 0＝2k 22k 2＋1，y 0＝－k2k 2＋1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.直线MD 的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 22k 2＋1，令y ＝0，得x D ＝k 22k 2＋1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22k 2＋1，0. 若四边形ADBE 为菱形，则x E ＋x D ＝2x 0，y E ＋y D ＝2y 0.所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 22k 2＋1，－2k 2k 2＋1. 若点E 在椭圆C 上，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 22k 2＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 2＋12＝2.整理得k 4＝2，解得k 2＝ 2.所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．此时点E 到y 的轴距离为|x E |＝12－3 27.。
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专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．若数列{a n }是等差数列，且a 3＋7a n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．722．已知数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列，则数列{nb n }的前n 项和T n ＝( )A ．2－⎝⎛⎭⎫12n －1B ．2－⎝⎛⎭⎫12nC ．2－n ＋22nD ．2－n ＋12n3．若数列{c n }的通项c n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫13n ，则数列{c n }的前n 项和R n ＝( )A ．1－n ＋13nB ．1－n3nC ．1＋n3n D ．1＋n ＋13n4．已知等差数列{a n }，a 1＝3，d ＝2，前n 项和为S n ，设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，则T n ＝( )A.12⎣⎡⎦⎤n n ＋1－n 2（n ＋2）B.12⎣⎡⎦⎤1n ＋1－12（n ＋2） C.12⎣⎡⎦⎤1n ＋1＋12（n ＋2） D.12⎣⎡⎦⎤nn ＋1＋n 2（n ＋2） 5．数列{c n }的通项为c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1），则其前n 项和S n ＝________． 6．数列{2n ·3n }的前n 项和T n ＝7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n 用H n 来表示．对于a n ＝3n，其“和谐和”H n ＝( )A.3n ＋2－6n －94B.3n ＋1－6n －94C.3n ＋1＋6n －94 D.3n ＋6n －948．设两数列{a n }和{b n }，a n ＝⎝⎛⎭⎫－13n －1，b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1），则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为( )A.1－（4n －1）（－3）n 16B.1＋3n （4n ＋1）16C.1－3n （4n ＋1）16D.1－（4n ＋1）（－3）n 169．已知数列{a n }，a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为1837，则n ＝________．10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝5，S 9＝99，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a 2n －1的前n 项和T n ＝________．11．已知数列{a n }是首项为1，公差为20的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n ·b n }的前n 项和为________．12．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________．13．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 9成等比数列．(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2（n ＋1）b n(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＋2a n a n －1＝0(n ∈N *，n >1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <12.15．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，公比q ≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 2，b 13＝a 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记c n ＝(－1)n b n ＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .专题限时集训(十一)1．B [解析] S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 3＋a 7）2＝18.2．C [解析] 因为b n ＝12n ，nb n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，即T n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n2n ＝2－n ＋22n .故选C.3．A [解析] R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋3×⎝⎛⎭⎫132＋5×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ，① 13R n＝1×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋5×⎝⎛⎭⎫134＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫13n ＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，②①式减②式得23R n ＝13＋2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫134＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则23R n ＝13＋2×⎝⎛⎭⎫132⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝23－2（n ＋1）3×⎝⎛⎭⎫13n ，故R n ＝1－n ＋13n ，故选A.4．D [解析] ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，∴1S n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝1211－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1211＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12n n ＋1＋n 2（n ＋2）.故选D. 5.2n ＋1－22n ＋1－1 [解析] c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， 则S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n 1－1＝2n ＋1－22n 1－1. 6.⎝⎛⎭⎫n －12·3n ＋1＋32[解析] T n ＝2·31＋4·32＋6·33＋…＋2n ·3n ，① 3T n ＝2·32＋4·33＋6·34＋…＋2n ·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝2·31＋2·32＋2·33＋…＋2·3n －2n ·3n ＋1，则T n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·3n ＋1＋32. 7．A [解析] S n ＝32(3n －1)，H n ＝32(31＋32＋…＋3n －1×n )＝3n ＋2－6n －94.故选A.8．D [解析] b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)·⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝n . 记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n＝1－（－3）n 4－n ×(－3)n ，故S n ＝1－（4n ＋1）（－3）n16.9．18 [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n ＝2n －1.又因为1a n a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，所以S n ＝121a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝1837，解得n ＝18. 10.n n ＋1[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 2＝5，S 9＝99，∴a 1＋d ＝5，9（2a 1＋8d ）2＝99，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝2n ＋1.设b n ＝4a 2n －1(n ∈N ＋)．∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n (n ＋1)，∴b n ＝44n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 11.（20n －29）·3n ＋292 [解析] a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，b n ＝3n －1，令S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，①则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n ，②①－②得，－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n＝1＋20×3（1－3n －1）1－3－(20n －19)·3n ＝(29－20n )·3n －29，所以S n ＝（20n －29）·3n ＋292.12．10 [解析] 设最佳使用年限为x 年，年平均费用为y 万元，则y ＝15＋1.5x ＋x （x ＋1）2×0.3x ＝15x＋0.15x ＋1.65≥4.65，此时x ＝10.13．解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ，因为a 1＝S 1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .b 1＝a 1＝2，则由b 1，b 3，b 9成等比数列，即b 23＝b 1b 9，得(2＋2d )2＝2×(2＋8d )， 解得d ＝0(舍去)或d ＝2，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)c n ＝2（n ＋1）b n ＝1n （n ＋1），数列{c n }的前n 项和T n ＝11×2＋12×3＋13×4…＋1n ×（n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．证明：(1)已知a n －a n －1＋2a n a n －1＝0，两边同除以a n a n －1得1a n －1a n －1＝2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，于是1a n ＝2n －1，a n ＝12n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1），则b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝121－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝121－12n ＋1<12. 15．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d . 由已知得a 2＝3q ，a 3＝3q 2，b 1＝3，b 4＝3＋3d ，b 13＝3＋12d ， 故⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋3d ，3q 2＝3＋12d ，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1＋d ，q 2＝1＋4d ，解得d ＝2或d ＝0(舍去)， 所以q ＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝2n ＋1.(2)由题意得c n ＝(－1)n b n ＋a n ＝(－1)n (2n ＋1)＋3n ， S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝－3＋5－7＋9－…＋(－1)n －1(2n －1)＋(－1)n (2n ＋1)＋3＋32＋…＋3n .当n 为偶数时，S n ＝n ＋3n ＋12－32＝3n ＋12＋n －32；当n 为奇数时，S n ＝(n －1)－(2n ＋1)＋3n ＋12－32＝3n ＋12－n －72.所以S n ＝⎩⎨⎧3n ＋12＋n －32，n 为偶数，3n ＋12－n －72，n 为奇数.。