2013年浙江省高考文科数学试卷及解析
2013年浙江省高考数学试卷(文科)教师版
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选：D．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选：C．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A 不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选：C．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选：A．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f （4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=0【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b 变为关于a的不等式可得a＞0．【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选：A．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=，，＞a∨b=，，＞若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，，＞，a∨b=，，＞，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k 的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F （4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：216．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解．【解答】解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，故ab=﹣1．故答案为：﹣1．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．【分析】由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=，，．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O 为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CPA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f （x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x ）=6x 2﹣12x +6，所以f′（2）=6 ∵f （2）=4，∴曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y=6x ﹣8； （Ⅱ）记g （a ）为f （x ）在闭区间[0，|2a |]上的最小值． f′（x ）=6x 2﹣6（a +1）x +6a=6（x ﹣1）（x ﹣a ） 令f′（x ）=0，得到x 1=1，x 2=a 当a ＞1时，比较f （0）=0和f （a ）=a 2（3﹣a ）的大小可得g （a ）= ， ＜ ， ＞；当a ＜﹣1时，∴g （a ）=3a ﹣1∴f （x ）在闭区间[0，|2a |]上的最小值为g （a ）=， ＜， ＜ ， ＞ ．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y=x ﹣2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．。
2013年高考真题——文科数学(浙江卷) Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=A、[-4,+∞）B、（-2, +∞）C、[-4,1]D、(-2,1]2、已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A、5-5iB、7-5iC、5+5iD、7+5i3、若αR，则“α=0”是“sinα<cosα”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，A、若m∥α，n∥α,则m∥nB、若m∥α，m∥β,则α∥βC、若m∥n，m⊥α,则n⊥αD、若m∥α，α⊥β,则m⊥β5、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A、108cm3B、100 cm3C、92cm3D、84cm36、函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是A、π，1B、π，2C、2π，1D、2π，27、已知a、b、c R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A、a>0,4a+b=0B、a<0,4a+b=0C、a>0,2a+b=0D、a<0,2a+b=08、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9、如图F1、F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A、 2B、 3C、32D、6210、设a，bR，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨若正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,则（第9题图）A 、a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B 、a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C 、a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D 、a ∨b ≥2,c ∨d ≥2非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013高考数学试卷(浙江文科)(全word,无误)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江)数学（文科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合S={x|x>－2}，T={x|－4≤x≤1}，则S∩T= A 、[－4,+∞） B 、（－2, +∞） C 、[－4,1] D 、(－2,1]2、已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A 、5－5iB 、7－5iC 、5+5iD 、7+5i 3、若α∈R ，则“α=0”是“sinα<cosα”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 4、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， A 、若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B 、若m ∥α，m ∥β，则α∥β C 、若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D 、若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β5、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A 、108cm 3B 、100 cm 3C 、92cm 3D 、84cm3 (第5题图) 6、函数cos 2x 的最小正周期和振幅分别是A 、π，1B 、π，2C 、2π，1D 、2π，2 7、已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则 A 、a>0,4a+b=0 B 、a<0,4a+b=0 C 、a>0,2a+b=0 D 、a<0,2a+b=08、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f ′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是(第8题图)A 、B 、C 、D 、9、如图F 1、F 2是椭圆C 1：x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 A 、2 B 、3 C 、32 D 、62(第9题图)10、设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩, ,,b a ba b a a b≤⎧∨=⎨>⎩ 若正数a 、b 、c 、d 满足ab≥4，c+d≤4，则A 、a ∧b≥2,c ∧d≤2B 、a ∧b≥2,c ∨d≥2C 、a ∨b≥2,c ∧d≤2D 、a ∨b≥2,c ∨d≥2非选择题部分（共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.已知函数f若f (a)=3，则实数a= ____________. 12.从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率 均相等），则2名都是女同学的概率等于_________.13.直线y=2x+3被圆x 2+y 2－6x －8y=0所截得的弦长等于____ 14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____15.设z=kx+y ，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,若z 的最大值为12，则实数k=________ .16.设a,b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3+ax+b ≤(x 2－1)2, 则ab 等于________.17. 设e 1、e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x,y ∈R . 若e 1、e 2的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于_______.(第14题图)三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=3b . （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ) 若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积.19.(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ； （Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | .20.(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G为线段PC上的点.（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC ;（Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥平面BGD，求PGGC的值.21.(本题满分15分)已知a∈R，函数f(x)=2x3－3(a+1)x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（Ⅱ) 若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.22.(本题满分14分)已知抛物线C的顶点为O（0,0），焦点F（0,1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ) 过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB 分别交直线l：y=x－2于M、N两点，求|MN|的最小值.2013年浙江高考文科数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)教师版
2013 年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（5 分）（2013?浙江）设会合S={ x| x＞﹣ 2} ，T={ x|﹣4≤x≤1} ，则S∩ T=（）A．[ ﹣4，+∞）B．（﹣ 2，+∞）C．[ ﹣4，1]D．（﹣2，1]【剖析】找出两会合解集的公共部分，即可求出交集．【解答】解：∵会合 S={ x| x＞﹣ 2} =（﹣ 2，+∞），T={ x| ﹣ 4≤ x≤ 1} =[ ﹣ 4， 1] ，∴S∩ T=（﹣ 2，1] ．应选： D．2．（5 分）（2013?浙江）已知i 是虚数单位，则（2+i）（3+i ）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【剖析】直接利用多项式的乘法睁开，求出复数的最简形式．【解答】解：复数（ 2+i）（ 3+i） =6+5i+i2=5+5i．应选： C．3．（5 分）（2013?浙江）若α∈R，则“α =0是”“ sin＜αcos α”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】当“α =0可”以获得“sin＜αcosα”，当“sin＜αcosα”时，不必定获得“α =0，”获得“α =0是”“sin＜αcosα”的充足不用要条件．【解答】解：∵“α =0可”以获得“sin＜αcosα”，当“sin＜αcosα”时，不必定获得“α =0，”如α=等，∴“α =0是”“sin＜αcosα”的充足不用要条件，应选： A．4．（5 分）（2013?浙江）设 m、 n 是两条不一样的直线，α、β是两个不一样的平面，则以下命题正确的选项是（）A．若 m∥α，n∥α，则C．若 m∥n，m⊥α，则m∥nn⊥αB．若D．若m∥α，m∥β，则α∥βm∥α，α⊥β，则 m⊥β【剖析】用直线与平面平行的性质定理判断 A 的正误；用直线与平面平行的性质定理判断 B 的正误；用线面垂直的判断定理判断 C 的正误；经过面面垂直的判断定理进行判断 D 的正误．【解答】解： A、m∥α， n∥α，则 m∥ n， m 与 n 可能订交也可能异面，因此A 不正确；B、m∥α， m∥β，则α∥β，还有α与β可能订交，因此 B 不正确；C、m∥ n， m⊥α，则 n⊥α，知足直线与平面垂直的性质定理，故C 正确．D、m∥α，α⊥β，则 m⊥β，也可能 m∥β，也可能 m∩β =A，因此 D 不正确；应选： C．5．（5 分）（2013?浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）以下图，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【剖析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6， 6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4， 4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积 V=6×6×3﹣=100．应选： B．6．（5 分）（2013?浙江）函数 f（x）=sinxcosx+ cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【剖析】 f（x）分析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特别角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，依据正弦函数的值域，确立出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．【解答】解： f（x） =sin2x+（2x+），cos2x=sin∵﹣ 1≤sin（ 2x+ ）≤ 1，∴振幅为 1，∵ω=2，∴ T=π．应选： A．7．（5 分）（2013?浙江）已知a、 b、 c∈ R，函数 f（ x）=ax2 +bx+c．若 f（ 0） =f （4）＞ f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜ 0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜ 0，2a+b=0【剖析】由 f （0）=f（4）可得 4a+b=0；由 f （0）＞ f （1）可得 a+b＜0，消掉b变成对于 a 的不等式可得 a＞ 0．【解答】解：因为f （0）=f（4），即c=16a+4b+c，因此 4a+b=0；又 f（ 0）＞ f（ 1），即 c＞ a+b+c，因此 a+b＜ 0，即 a+（﹣ 4a）＜ 0，因此﹣ 3a＜0，故 a＞0．应选： A．8．（5 分）（2013?浙江）已知函数y=f（x）的图象是以下四个图象之一，且其导函数 y=f ′（x）的图象以下图，则该函数的图象是（）A ．B ．C ．D ．【剖析】 依据导数的图象，利用函数的单一性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数 f （′x ）的值在 [ ﹣1，0] 上的渐渐增大，故函数 f （x ）在[ ﹣1，0] 上增加速度渐渐变大， 故函数 f （x ）的图象是下凹型的．导函数 f ′（ x ）的值在 [ 0，1] 上的渐渐减小，故函数 f （x ）在 [ 0，1] 上增加速度渐渐变小，图象是上凸型的，应选： B ．．（分）（ 浙江）如图 、F 是椭圆 C ： +y 2 与双曲线 C 2 的公共焦点， 9 5 2013? F 1 2 1=1 A 、B 分别是 C 1、C 2 在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2 为矩形，则C 2 的离心率是（）A ．B ．【剖析】 不如设 | AF 1 | =x ，| AF 2| =y ，依题意C ．D ．，解此方程组可求得x ，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C 2 的离心率．【解答】 解：设 | AF 1| =x ，| AF 2| =y ，∵点 A 为椭圆 C 1： +y 2=1 上的点，∴ 2a=4， b=1，c= ；∴ | AF 1|+| AF 2| =2a=4，即 x+y=4；①又四边形 AF1 2 为矩形，BF∴+=，即 x2+y2（）2=，②=2c=12由①②得：，解得 x=2﹣，y=2+，设双曲线 C2的实轴长为 2m，焦距为 2n，则 2m=| AF2| ﹣ | AF1| =y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线 C2的离心率 e= = =．应选： D．10．（ 5 分）（2013?浙江）设 a， b∈ R，定义运算“∧”和“∨”以下：，a∨ b=，a∧b=，＞，＞若正数 a、 b、c、d 知足 ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧ d≤ 2D．a∨b≥2，c∨d≥2【剖析】依题意，对 a，b 赋值，对四个选项逐一清除即可．【解答】解：∵ a∧b=，， a∨ b=，，，＞，＞正数 a、b、c、d 知足 ab≥ 4， c+d≤4，∴不如令 a=1，b=4，则 a∧b≥2 错误，故可清除A， B；再令 c=1，d=1，知足条件 c+d≤ 4，但不知足 c∨d≥2，故可清除 D；应选： C．二、填空题：本大题共7 小题，每题 4 分，共 28 分.11．（4 分）（2013?浙江）已知函数 f（x）=，若f（a）=3，则实数【剖析】利用函数的分析式以及f（ a） =3 求解 a 即可．【解答】解：因为函数 f（x）=，又f（a）=3，a=10．因此，解得a=10．故答案为： 10．12．（ 4 分）（2013?浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率等于．【剖析】由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种状况， 2 名都是女同学的共有=3 种状况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种状况，知足 2 名都是女同学的共有=3 种状况，故所求的概率为：= ．故答案为：．13．（ 4 分）（2013?浙江）直线 y=2x+3 被圆 x2+y2﹣ 6x﹣8y=0 所截得的弦长等于4．【剖析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长知足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆 x2+y2﹣ 6x﹣8y=0 的圆心坐标（ 3，4），半径为 5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长知足勾股定理，因此直线 y=2x+3 被圆 x2+y2﹣ 6x﹣ 8y=0 所截得的弦长为： 2×=4 ．故答案为： 4．14．（ 4 分）（2013?浙江）某程序框图以下图，则该程序运转后输出的值等于．【剖析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，而后利用裂项乞降即可求解．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．15．（ 4 分）（2013?浙江）设 z=kx+y，此中实数x、y 知足若z的最大值为 12，则实数 k= 2．【剖析】作出题中不等式组表示的平面地区，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数 z=kx+y 对应的直线进行平移．经议论可适当当k＜ 0 时，找不出实数 k的值使 z 的最大值为 12；当 k≥0 时，联合图形可得：当 l 经过点 C 时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得 k=2，获得此题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，获得如图的△ABC 及其内部，此中 A（2，0），B（2，3），C（4，4）设 z=F（x，y） =kx+y，将直线 l：z=kx+y 进行平移，可得①当 k＜0 时，直线 l 的斜率﹣ k＞0，由图形可适当 l 经过点 B（2，3）或 C（4，4）时， z 可达最大值，此时， z max=F（2，3） =2k+3 或 z max=F（ 4，4）=4k+4但因为 k＜0，使得 2k+3＜12 且 4k+4＜12，不可以使 z 的最大值为 12，故此种状况不切合题意；②当 k≥0 时，直线 l 的斜率﹣ k≤0，由图形可适当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值此时 z max=F（4， 4） =4k+4=12，解之得 k=2，切合题意综上所述，实数 k 的值为 2故答案为： 216．（4 分）（2013?浙江）设 a，b∈R，若 x≥0 时恒有 0≤x4﹣ x3+ax+b≤（x2﹣ 1）2，则 ab 等于﹣1．【剖析】由题意，x≥0 时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，观察（x2﹣1）2，发现当 x=1 时，其值为 0，再比较不等式左侧的 0，可由两边夹的方式获得参数 a，b 知足的方程，再令 f（ x）=x4﹣x3+ax+b，即 f（x）≥0 在 x≥0 恒建立，利用导数研究函数在 x≥0 的极值，即可得出参数所知足的另一个方程，由此解出参数 a， b 的值，问题即可得解．【解答】解：考证发现，当 x=1 时，将 1 代入不等式有 0≤ a+b≤0，因此 a+b=0，当 x=0 时，可得 0≤ b≤ 1，联合 a+b=0 可得﹣ 1≤a≤0，令 f（ x）=x4﹣x3+ax+b，即 f（1）=a+b=0，又 f ′（x） =4x3﹣3x2+a， f ′′（x）=12x2﹣6x，令 f ′′（x）＞ 0，可得 x＞，则 f ′（x）=4x3﹣ 3x2+a 在[ 0， ] 上减，在 [，+∞）上增，又﹣ 1≤a≤ 0，因此 f ′（ 0） =a＜0，f ′（1）=1+a≥0，又 x≥0 时恒有 0≤x4﹣x3+ax+b，联合 f（ 1） =a+b=0 知， 1 必为函数 f（ x） =x4﹣ x3+ax+b 的极小值点，也是最小值点．故有 f ′（1）=1+a=0，由此得 a=﹣1，b=1，故 ab=﹣1．故答案为：﹣ 1．17．（4 分）（2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x +y，x、y∈R．若、的夹角为 30°，则的最大值等于2．【剖析】由题意求得=，||==，进而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于 30°，∴× ×=11 cos30 °=．∵非零向量=x +y，∴ || ===，∴====，故当=﹣时，获得最大值为2，故答案为2．三、解答：本大共 5 小，共 72 分.解答写出文字明、明程或演算步 .18．（ 14 分）（2013?浙江）在角△ ABC中，内角 A，B，C 的分 a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若 a=6，b+c=8，求△ ABC的面．【剖析】（Ⅰ）利用正弦定理化已知等式，求出sinA 的，由 A 角，利用特别角的三角函数即可求出 A 的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完整平方公式形，将a，b+c 及 cosA的代入求出bc 的，再由sinA 的，利用三角形面公式即可求出三角形ABC的面．【解答】解：（Ⅰ）由 2asinB= b，利用正弦定理得： 2sinAsinB= sinB，∵sinB≠0，∴ sinA= ，又 A 角，A= ；（Ⅱ）由余弦定理得： a2=b2+c22bc?cosA，即 36=b2+c2bc=（ b+c）23bc=64 3bc，∴bc= ，又 sinA= ，S△ABC= bcsinA= ．19．（ 14 分）（ 2013?浙江）在公差 d 的等差数列 { a n } 中，已知 a1=10，且 a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求 d，a n；（Ⅱ）若 d＜0，求 | a1 |+| a2|+| a3|+ ⋯+| a n| ．【剖析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且 a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，通公式 a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的，获得等差数列{ a n} 的前 11 大于等于 0，后边的小于0，因此分求d＜0 | a1|+| a2|+| a3 |+ ⋯+| a n| 的和．【解答】解：（Ⅰ）由意得，即，整理得 d23d 4=0．解得 d= 1 或 d=4．当 d= 1 ， a n=a1+（n 1）d=10（ n 1）= n+11．当 d=4 ，a n=a1+（ n 1） d=10+4（n 1）=4n+6．因此 a n= n+11 或 a n=4n+6；（Ⅱ）数列 { a n} 的前 n 和 S n，因 d＜ 0，由（Ⅰ）得 d= 1，a n= n+11．当n≤11 ，．当 n≥12 ， | a1|+| a2|+| a3|+ ⋯+| a n | =S n+2S11=．上所述，，| a1|+| a2|+| a3|+ ⋯+| a n| =．，20．（15 分）（ 2013?浙江）如，在四棱 P ABCD中，PA⊥面 ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ ABC=120°，G段PC上的点．（Ⅰ）明： BD⊥平面 PAC；（Ⅱ）若 G 是 PC的中点，求 DG 与平面 PAC所成的角的正切；（Ⅲ）若 G 足 PC⊥面 BGD，求的．【剖析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；AC与BD 的交点O，由条件可得BD 是 AC 的中垂，故 O AC的中点，且 BD⊥AC．再利用直和平面垂直的判断定理得 BD⊥面 PAC．（Ⅱ）由三角形的中位性以及条件明∠ DGO DG 与平面 PAC所成的角，求出 GO 和 AC的，可得 OC、OD 的，再利用直角三角形中的角关系求得 tan∠DGO的．（Ⅲ）先证 PC⊥ OG，且 PC==．由△∽△，可得，COG CAP解得 GC的值，可得 PG=PC﹣ GC 的值，进而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中， PA⊥面 ABCD，∴ PA⊥BD．∵AB=BC=2， AD=CD= ，设 AC与 BD 的交点为 O，则 BD 是 AC的中垂线，故 O 为 AC的中点，且 BD⊥AC．而 PA∩ AC=A，∴ BD⊥面 PAC．（Ⅱ）若 G 是 PC的中点， O 为 AC的中点，则 GO 平行且等于PA，故由 PA⊥面ABCD，可得 GO⊥面 ABCD，∴ GO⊥ OD，故 OD⊥平面 PAC，故∠ DGO为 DG 与平面 PAC所成的角．由题意可得， GO= PA=．△ABC 中，由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2﹣ 2AB?BC?cos∠ ABC=4+4﹣ 2× 2× 2×cos120 °=12，∴AC=2 ，OC= ．∵直角三角形COD中， OD==2，∴直角三角形 GOD中， tan∠DGO= =．（Ⅲ）若 G知足 PC⊥面 BGD，∵OG? 平面 BGD，∴ PC⊥OG，且 PC==．由△ COG∽△ CPA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴== ．21．（ 15 分）（ 2013?浙江）已知 a∈ R，函数 f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（ 2，f（ 2））处的切线方程；（Ⅱ）若 | a|＞ 1，求 f（x）在闭区间 [ 0，| 2a|] 上的最小值．【剖析】（Ⅰ）求导函数，确立切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f （x）在点（ 2，f（ 2））处的切线方程；（Ⅱ）分类议论，利用导数确立函数的单一性，进而可得极值，即可获得最值．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1 时， f ′（x）=6x2﹣ 12x+6，因此 f ′（2）=6∵ f（2）=4，∴曲线 y=f（x）在点（ 2，f（ 2））处的切线方程为y=6x﹣ 8；（Ⅱ）记 g（ a）为 f（x）在闭区间 [ 0，| 2a|] 上的最小值．f ′（x）=6x2﹣6（ a+1）x+6a=6（x﹣1）（ x﹣ a）令 f ′（x） =0，获得 x1=1，x2=a当 a＞1 时，x0（0，1）1（1，a）a（ a，2a）2a f （′x）+0﹣0+f （x）0单一递加极大值 3a单一递减极小值单一递加4a3﹣ 1a2（ 3﹣ a）比较 f （0）=0 和 f（a）=a2（3﹣a）的大小可得 g（ a） =，＜；，＞当 a＜﹣ 1 时，X0（0，1）1（1，﹣ 2a）﹣2af ′x）﹣0+f （）单一递减极小值﹣单一递加﹣3﹣24a2 x3a 128a∴ g（ a）=3a﹣ 1，＜∴ f（x）在闭区间 [ 0，| 2a|]上的最小值为 g（a）=，＜．，＞22．（ 14 分）（ 2013?浙江）已知抛物线 C 的极点为 O（0，0），焦点 F（0，1）（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；（Ⅱ）过 F 作直线交抛物线于A、B 两点．若直线 OA、OB分别交直线 l ：y=x﹣2于 M、N 两点，求 | MN| 的最小值．【剖析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得 p，确定出抛物线的张口方向，写出它的标准方程；（ II）由题意，可 A（x1，y1）， B（ x2，y2），直线 AB 的方程为 y=kx+1，将直线方程与（ I）中所求得方程联立，再联合弦长公式用所引入的参数表示出| MN| ，依据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线 C 的方程为 x2 =2py（p＞0）则 =1，解得 p=2，故抛物线 C 的方程为x2=4y（ II）设A（x1， y1）， B（ x2，y2），直线AB 的方程为y=kx+1，由因此消去 y，整理得 x2﹣ 4kx﹣ 4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，进而有 | x1﹣x2| ==4，由解得点M 的横坐标为x M===，同理可得点N 的横坐标为x N=，所以|MN|=| x M﹣x N| =|﹣| =8|| =，令 4k﹣3=t， t≠0，则k=，当 t＞ 0 时， | MN| =2＞2，当 t＜ 0 时， | MN| =2=2≥．综上所述，当 t=﹣，即k=﹣时，| MN|的最小值是．。
2013年浙江高考数学试题及答案解析
2013年浙江高考数学试题及答案解析
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2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A ．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A ．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3．．．．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A ．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A ．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C 2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b ∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A ．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A ．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．析：解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜c osα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个答：三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A ．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F 2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C 2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A ．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a ）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2 联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x +y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专解三角形．题：分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a ，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD 的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD 的交点为O ，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC 的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x0（0，1）1（1，a）a（a，2a）2af′（x）+0﹣0+f（x）0单调递增极大值3a﹣1单调递减极小值e2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X0（0，1）1（1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0+f（x）0单调递减极小值3a﹣1单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y 1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x 2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M ===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M ﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t 不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B ．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d ＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值单调递增4a3e2（3﹣a）比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
浙江省考试院2013届高三数学上学期测试试题 文(含解析)新人教A版
2013年浙江省考试院高考数学测试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•浙江模拟）已知集合A{﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，2 } B．{﹣2，﹣1，2 } C．{﹣2，1，2 } D．{﹣2，﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意解出集合B，再根据交集的定义进行求解；解答：解：集合A{﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣x﹣2≥0}，∴B={x|x≥2或x≤﹣1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选B点评：此题主要考查一元二次不等式的解法以及交集的定义，是一道基础题；2．（5分）（2013•浙江模拟）已知a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据均值不等式的性质，可以得只要a＞0，就有“a+≥2，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵a＞0，可得a+=2（当a=1时等号成立，）若a+＞2＞0，∴a＞0，∴“a＞0”⇔“a+≥2”，∴“a＞0”是“a+≥2”的充分必要条件，故选C；点评：此题主要考查均值不等式的应用及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．（5分）（2013•资阳二模）已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；解答：解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，其中熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答的关键．4．（5分）（2013•浙江模拟）若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则（）A．函数f[g（x）]是奇函数B．函数g[f（x）]是奇函数C．函数f（x）•g（x）是奇函数D．函数f（x）+g（x）是奇函数考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：令h（x）=f（x）．g（x），由已知可知f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），然后检验h（﹣x）与h（x）的关系即可判断解答：解：令h（x）=f（x）．g（x）∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）∴h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）．g（x）=﹣h（x）∴h（x）=f（x）．g（x）是奇函数故选C点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用，属于基础试题5．（5分）（2013•浙江模拟）在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（）A．86，3 B．86，C．85，3 D．85，考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：由茎叶图写出8个数据，去掉79和92，然后利用平均数和方差公式计算．解答：解：由茎叶图看出，8个数据的最大值是92，最小值是79，去掉后还剩的数据为：84，84，85，87，88，88．平均数，方差为=3．故选A．点评：本题考查了茎叶图，极差、方差和标准差，解答的关键是熟记公式，是基础题．6．（5分）（2013•浙江模拟）函数y=sin （2x+）的图象可由函数y=cos 2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x 的路线，即可得到选项．解答：解：函数y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函数y=sin（2x+）的图象，向右平移个单位长度，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin （2x+），即可得到函数y=sin （2x+）的图象．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．7．（5分）（2013•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若||=a，||=b，则=（）A．a2﹣b2B．b2﹣a2C．a2+b2D．a b考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量的线性运算及向量的数量积公式，即可得到结论．解答：解：∵AD⊥DC，∴=0，∴==﹣=﹣∵AB⊥BC，∴=0，∴﹣=﹣∵||=a，||=b，∴﹣=b2﹣a2∴=b2﹣a2，故选B．点评：本题考查向量在几何中的应用，考查向量的线性运算及向量的数量积公式，属于中档题．8．（5分）（2013•浙江模拟）设函数f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．x2＞0 D．x3＞2考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0可得 x=．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，可得＞x2＞0．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．9．（5分）（2013•浙江模拟）已知双曲线x2﹣=1，点A（﹣1，0），在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过点（）A．（3，0）B．（1，0）C．（﹣3，0）D．（4，0）考点：双曲线的简单性质；恒过定点的直线．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设PQ的方程为x=my+b，与双曲线方程x2﹣=1联立，结合A（﹣1，0），AP⊥AQ可求得b的值，从而可知直线PQ过的定点，于是可得答案．解答：解：设PQ的方程为x=my+b，则由得：（m2﹣）y2+2bmy+b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2是该方程的两根，∴y1+y2=，y1•y2=．又A（﹣1，0），AP⊥AQ，∴•=﹣1，∴y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，又x1=my1+b，x2=my2+m，∴（1+m2）y1y2+（b+1）m（y1+y2）+（b+1）2=0①，将y1+y2=，y1•y2=代入①得：（1+m2）﹣+（b+1）2=0，整理得：（b2﹣1）（1+m2）﹣2bm2（b+1）+（m2﹣）（b+1）2=0，∴b2﹣2b﹣3=0，∴b=3或b=﹣1．当b=﹣1时，PQ过（﹣1，0），即A点，与题意不符，故舍去．当b=3时，PQ过定点（3，0）．故选A．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的相交问题，突出考查韦达定理的应用，考查综合分析与解决问题的能力，属于难题．10．（5分）（2013•浙江模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：函数y=f（x）的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g（x）的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f（x）的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g （x）的解析式再进行判断；解答：解：如图：函数y=f（x）的图象为折线ABC，函数f（x）为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B（0，1），C（1，﹣1），这直线BC的方程为：l BC：y=﹣2x+1，x∈[0，1]，其中﹣1≤f（x）≤1；若x＜0，可得lAB：y=2x+1，∴f（x）=，我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤，解得0≤f（x）≤1，此时g（x）=f[f（x）]=﹣2（﹣2x+1）=4x﹣2；若＜x≤1，解得﹣1≤f（x）＜0，此时g（x）=f[f（x）]=2（﹣2x+1）=﹣4x+2；∴x∈[0，1]时，g（x）=；故选A；点评：此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的解析式求法，是一道好题；二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江模拟）已知i是虚数单位，a∈R ．若复数的实部为1，则a= 9 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi（a、b为实数）的形式，利用实部为1，求出a即可．解答：解：复数==，复数的实部为1，，所以a=9．故答案为：9．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．（4分）（2013•浙江模拟）某四棱柱的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱柱的体积为12 cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：原几何体是一个直四棱柱，高为2；底面是一个直角梯形，上、下底长分别为2，4，高为2．据此可计算出答案．解答：解：由三视图可知：原几何体是一个直四棱柱，高为2；底面是一个直角梯形，上、下底长分别为2，4，高为2．∴V直四棱柱==12．故答案为12．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．13．（4分）（2013•浙江模拟）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．考点：程序框图．分析：根据已知流程图可得程序的功能是计算S=+…++的值，利用裂项相消法易得答案解答：解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+…++=1﹣=故答案为：点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．14．（4分）（2013•浙江模拟）从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：由题意由组合数公式分别写出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，由古典概型公式可得答案．解答：解：从3男2女这5位舞蹈选手中，随机抽出2人参加舞蹈比赛共有=10种方法，而恰有一名女选手即从3名男选手和2名女选手中各选1名，故有=6种方法，故所求概率为：P==故答案为：点评：本题为古典概型的求解，写对总的基本事件数和符合条件的基本事件数是解决问题的关键，属基础题．15．（4分）（2013•浙江模拟）当实数x，y满足不等式组（m为常数）时，2x+y的最大值为4，则m= ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出目标函数的最值，即可求解比值．解答：解：若使得不等式有公共区域，则m＞0作出不等式组表示的平面区域，如图所示令z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大结合图象可知，当z=2x+y经过点B时z最大由题意可知A（m，）此时z=m=4∴m=故答案为：点评：本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．16．（4分）（2013•浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．解答：解：∵F1，F2是椭圆C+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，如图：∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a②①+②得：x+4+3﹣x+5=4a，∴a=3，x=2．在Rt△F1F2A中，=+，∴4c2=4+16=20，∴c=．∴椭圆的离心率为e=．故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．17．（4分）（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，则a的取值范围是[，+∞）．考点：基本不等式；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f （x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，我们可将其转化为a≥恒成立，进而将其转化为a≥g（x）max=，解不等式可得a的取值范围．解答：解：∵函数f （x）=，且f （x）≥4，对于任意的x∈N*恒成立即a≥==令g（x）=，则g（x）≤6﹣4，当且仅当x=2﹣1时g（x）取最大值又∵x∈N*，∴当x=2时，g（x）取最大值故a≥即a的取值范围是[，+∞）故答案为：[，+∞）点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2013•浙江模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（14分）18．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB﹣sinC的取值范围．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理与三角函数间的关系式可求得cosA=，从而可求得A的大小；（Ⅱ）由C=﹣B，再结合辅助角公式即可求得cosB﹣sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，2acosA=bcosC+ccosB，∴由正弦定理===2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，即sin2A=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，∴2sinAcosA﹣sinA=0，∴sinA（2cosA﹣1）=0，而sinA≠0，∴cosA=，又A∈（0，π）∴A=…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=﹣B，故cosB﹣sinC=cosB﹣sin（﹣B）=cosB﹣[sin cosB﹣cos sinB]=cosB﹣cosB+（﹣）sinB=﹣cosB﹣sinB=﹣sin（B+），∵0＜B＜，∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，∴﹣1≤﹣sin（B+）＜﹣．∴cosB﹣sinC的取值范围是[﹣1，﹣]…14分点评：本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力，属于中档题．19．（14分）（2013•浙江模拟）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．（Ⅰ）求a及b n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n的值．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由等比数列{an}的前n项和S n=2n﹣a，n∈N*，先分别求出a1，a2，a3，由，能求出a；由公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，列方程组先求出首项和公差，由此能求出b n．（Ⅱ）由，知a n==2（n﹣1），故数列{a n}的前n项和T n=n（n﹣1）．由此能求出使T n＞b n的最小正整数n的值．解答：解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，n∈N*，∴a1=S1=2﹣a，a2=（22﹣a）﹣（2﹣a）=2，a3=（23﹣a）﹣（22﹣a）=4，∵，∴22=（2﹣a）•4，解得a=1，∴．∵公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，∴，∴（8+3d）2=（8+d）（8+7d），解得d=0（舍），或d=8，∴b n=8n﹣5，n∈N*．（Ⅱ）∵，∴a n==2（n﹣1），∴数列{a n}的前n项和T n=2（1﹣1）+2（2﹣1）=2（3﹣1）+2（4﹣1）+…+2（n﹣1）=2[0+1+2+3+…+（n﹣1）]=2×=n（n﹣1）．∵b n=8n﹣5，T n＞b n，∴n（n﹣1）＞8n﹣5，∵n∈N*，∴n≥9，∴使T n＞b n的最小正整数n的值是9．点评：本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式及求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．20．（15分）（2013•浙江模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，A B⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．考点：直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：（I）根据E，F分别是PC，PD的中点，结合三角形中位线定理及平行公理，可得AB∥EF，进而由线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC，故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF 所成角的大小，作MH⊥AF，垂足为H，连接EH，可证得∠MEH是ME与平面ABEF所成角，解Rt△EHM可得答案．解答：证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点∴EF∥CD又∵AB∥CD，∴AB∥EF，又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB；∴EF∥平面PAB；解：（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小作MH⊥AF，垂足为H，连接EH∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，PA∩AD=A∴AB⊥平面PAD∴EF⊥平面PAD∵MH⊂平面PAD∴EF⊥MH∴MH⊥平面ABEF∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角在Rt△EHM中，EM=AC=，MH=∴sin∠MEH==∴AC与平面ABEF所成角的正弦为点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力，其中（1）要熟练掌握线面平行的判定定理；（2）的关键是找出线面夹角的平面角．21．（15分）（2013•浙江模拟）已知函数f （x）=x3﹣3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f （x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式﹣1≤f （x）≤1对x∈[0，]恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（I）根据函数解析式，求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，分别分析导函数的符号，进而可得不同情况下f （x）的单调区间；（Ⅱ）根据（I）中的结论，分a≤0，0＜a＜3和a≥3三种情况分析不等式﹣1≤f （x）≤1对x∈[0，]是否恒成立，综合讨论结果，可得答案．解答：解：（I）∵f （x）=x3﹣3ax+1，∴f′（x）=3x2﹣3a，当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞故f （x）的单调增区间为（﹣∞，）和（，+∞），f （x）的单调减区间为（，）（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，]递增，且f（0）=1，此时无解；当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，）上递减，在（，]递增，∴f （x）在[0，]的最小值为f（）=1﹣2a∴，即解得：a=1当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，]上递减，且f（0）=1，∴解得：a≤此时无解综上a=1点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力22．（14分）（2013•浙江模拟）如图，A，B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t（t＞0）上．（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；（Ⅱ）求|AB|的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义及线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值；（Ⅱ）利用|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”，可得结论．解答：解：（Ⅰ）y2=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴|FA|+|FB|=x1+x2+2∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上∴x1+x2+=2t，∴|FA|+|FB|=2t+2；（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”∴|AB|的最大值是2t+2．点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
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2013年浙江省高考文科数学试卷
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
5.(5分)(2013•浙江)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则该几何体的体积是()
6.(5分)(2013•浙江)函数f(x)=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是()
2
8.(5分)(2013•浙江)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()
A. B. C. D.
9.(5分)(2013•浙江)如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()
A. B. C. D.
10.(5分)(2013•浙江)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b=a∨b=
二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.(4分)(2013•浙江)已知函数f(x)=,若f(a)=3,则实数a=_________.
12.(4分)(2013•浙江)从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都是女同学的概率等于_________.
13.(4分)(2013•浙江)直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________.
14.(4分)(2013•浙江)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于_________.
15.(4分)(2013•浙江)设z=kx+y,其中实数x、y满足若z的最大值为12,则实数k=_________.
16.(4分)(2013•浙江)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤(x2﹣1)2,则ab等于_________.
17.(4分)(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于_________.
三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(14分)(2013•浙江)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB= b.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
19.(14分)(2013•浙江)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(Ⅰ)求d,a n；
(Ⅱ) 若d＜0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.
20.(15分)(2013•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明：BD⊥面PAC；
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值；
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.
21.(15分)(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)若|a|＞1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
22.(14分)(2013•浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ) 过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值.
2013年浙江省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
等
5.(5分)(2013•浙江)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则该几何体的体积是()
=100.
6.(5分)(2013•浙江)函数f(x)=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是()
f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+
sin(2x+)
2
8.(5分)(2013•浙江)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()
A. B. C. D.
9.(5分)(2013•浙江)如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限
的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()
A. B. C. D.
依题意,
：
2a=4,b=1,c=
,=
得：﹣,y=2+
,2c=2=2
==
10.(5分)(2013•浙江)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b=a∨b=
,a,
二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.(4分)(2013•浙江)已知函数f(x)=,若f(a)=3,则实数a=10.
f(x)=
12.(4分)(2013•浙江)从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都是女同学的概率等于
.
名共有=15=3
名共有
=3
故所求的概率为：
故答案为：
13.(4分)(2013•浙江)直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4.
×=4
14.(4分)(2013•浙江)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于.
S=1+++的值
+++
+++
+﹣+﹣﹣=.
故答案为：
15.(4分)(2013•浙江)设z=kx+y,其中实数x、y满足若z的最大值为12,则实数k=2.
解：作出不等式组
16.(4分)(2013•浙江)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤(x2﹣1)2,则ab等于﹣1.
17.(4分)(2013•浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于2.
,|=
===,
的最大值
、和=∵非零向量=x+y||==
==
=时取得最大值为
三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(14分)(2013•浙江)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB= b. (Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
b,2sinAsinB=
sinA=
A=
,sinA=
=bcsinA=
19.(14分)(2013•浙江)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (Ⅰ)求d,a n；
(Ⅱ) 若d＜0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.
由题意得即
,
20.(15分)(2013•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明：BD⊥面PAC；
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值；
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.
=可得
PA,
PA=.
,OC=
,OD=
=
PC=.
﹣
=.
21.(15分)(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax (Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)若|a|＞1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
g(a)=
g(a)=
22.(14分)(2013•浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ) 过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值.
=4
=
=
|MN|=|=|﹣||= ,|MN|=2＞
,|MN|=2=2≥
时的最小值是。