数学建模方法

1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h 考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗 时的 3% 。
0
f(h)
(3) 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
1.数学建模概论
（1）.数学模型与数学建模
数学模型（Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
数学建模（Mathematical Modeling）
4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
（3）. 数学模型的分类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 连续型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、优化模型等
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等
（4）. 数学建模与能力的培养
近几年，我校 ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 学生在全国大学生 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 数学建模竞赛中取 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 得了非常出色的成 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 绩，夺得国家二等 题的本领。 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 奖4项、省一等奖 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 16项、省二、三等 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 奖多项。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会
T

dA 1 2 dt r wT 椭圆面积 ab 0 dt 2 2ab 2 由此得出 r w 常数 T
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是： r r cos i r sin j 进而有 加速度
在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
（5）. 一些简单实例
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处， 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 显然是由于节省了从相遇点到 换一种想法，问题就迎刃而 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 会合点，又从会合点返回相遇点这一 解了。假如他的妻子遇到他后仍 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 载着他开往会合地点，那么这一 间？ 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 似乎条件不够哦 。。 天他就不会提前回家了。提前的 达会合点，故相遇时他已步行了二十 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？ 十分钟时间从何而来？ 五分钟。
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。

因此得出
a ( r rw )e r
2
j , eθ sin i cos j 由于2 r w r w 0
再将椭圆方程 两边微分两次，得 将前面得到的结果

2
p r (1 e cos )

( r rw )
2
p r

1 r
3
(r w) 0
2.初等模型
(1). 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
Y 航母 A(0,b) θ1 θ2 O B(0,-b) 护卫舰
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1 则 | BP | a | AP |
2 2 2
即：
2
x ( y b) a [ x ( y - b) ]
2 2 2 2
可化为：
X
2 2 a 1 4a b 2 b x y 2 2 2 a 1 (a 1) 2 2
令： h
2
a 1
2
a 1
2
b, r
2 2
r w
2
2ab
和焦参数 p
1 r
2 3
b
2
代入，即得
r rw
T 2 3 4 a
a
T
2
2
也就是说行星的加速度为
a 4 a T
2

1 r
2
er
由开普勒第三定律知 a 3 / T 2为常数。若记 G 那么就导出著名的 万有引力定律：
4 a
2
3
MT
2
F G
Mm r
2
2ab a 1
2
则上式可简记成 ：
x ( y - h) r
汇合点 p必位于此圆上。 即可求出P点的坐标和 θ2 的值。 （护卫舰的路线方程） y (tan 1 ) x b 本模型虽简单，但分析 极清晰且易于实际应用 （航母的路线方程 ）
2
y (tan 2 ) x b
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
例（万有引力定律的发现 ）
开普勒三大定律
十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 1.行星轨道是一 个椭圆，太 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 太阳位于此椭圆的一个焦 观察纪录下了当 点上。 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时 2.行星在单位时间内 扫过的 间的分 析计算后面积不变。 得出著名的Kepler三定律。 3.行星运行周期的平方正比 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分 方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。 于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而 改变 这其中必 定是某一 力学 （绝对常数） 规律 的反映，哼哼，我
k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有 g g kt v e k k g g kt 再积分一次，得： h t 2 e c k k
2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。
室 外
室 内 Ta
Tb T1
设玻璃的热传导系数 为k1，空气的 热传导系数 为k2，单位时间通过单 位面积由温度高的一侧流向温度低 的一侧的热量为θ 由热传导公式 θ=kΔT/d
T2
d
l
d
k1
T1 Ta d
要找出它。。。。
简单推导如下： 如图，有椭圆方程 :
r p 1 e cos
dA 1 2 r d
2
矢径所扫过的面 积A的微分为:
由开普勒第二定 律:
立即得出: 即:
0

dA dt
2

1 2
r w 常数
2பைடு நூலகம்
2
d dt
(r w) 2r r w r w

行星
r
太阳
2r w r w 0
（请自己据此给出严格证明）
例3 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便， 某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗 不妨可以提出以下 简化假设： 一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高， （1）水池、空气吸热不计，只考虑 否则会烫手，但也不能太低，否则洗不干净。 盘子吸热，盘子的大小、材料相同 （2）盘子初始温度与气温相同，洗 由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水 完后的温度与水温相同 那么热水为什么会变冷呢？假如 到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一 根据上述简化假设，利用热量守 盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？ 不难看出，是水 的温度在决 （3）水池中的水量为常数，开始温 定 你想建一个较精细的模型，你当 衡定律，餐馆老板的问题就很容 洗盘子的数量 ? ……… 不妨 下这一问题。 盘子是怎样洗的。盘子是先用冷水 度为T1，最终换水时的温度为 T2
2
er
（2）.数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 实体信 建模 求解 假设 验证 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 应用 息(数据) 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型。 在难以得出解析解时，也

ar

d
2 2
( r cos ) i
d dt
2 2
( r sin ) j j) ( 2 r w r w )( sin