数学培训计算方法

(u)
f k 1 xk
n
f k 1 xk
n
xk xk
xk xk
xk
( xk )
， u 相对误差限为
r ( xk )
8
f k 1 xk
n
xk xk
( xk )
u

f k 1 xk
n
xk xk
。
例 测得某长方形场地的长与宽的近似值为
x x 2 . 0 my , y 1 . 0m x 160m, y 100m ， 若
求 A xy 的绝对误差限与相对误差限。
， 试
A A A xy, y, x x y A A 2 ( A) ( x ) ( y ) 36( m ) x 160 x 160 x y 100 y y 100 ( A) r ( A) 0.00225 A
, n 1
，
因此共有 4n 2 个方程，为确定 4n 个系数，需再给出 2 个条件：实 际中常有以下三种类型的端点条件作为附加条件。
（一）给出两端点的一阶导数 S '( x0 ), S '( xn )
（二）给出两端点的二阶导数 S "( x0 ), S "( xn ) ，最常用的自然边界条 件： S "( x0 ) S "( xn ) 0. （三）用周期函数，即满足给出 S ( x0 ) S ( xn ) 时，令它们的一二阶 导数分别相等，即 S '( x0 ) S '( xn ), S "( x0 ) S "( xn ) （周期条件） 可以证明 4n 元线性方程组有惟一解，即 S ( x) 被唯一确定。
当 n 2 时，为二次多项式，称为抛物插值公式。
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
数， Pn ( x) 称为插值多项式。
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Lagrange 插值
设次数不超过 n 次插值多项式 Pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) 其中
li ( x)
ynln ( x)
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn ) 为 n 次多项式。
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Hermite插值
Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插 值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使 插值函数和被插函数的密和程度更好 。 由于给定值增加了一倍，插值多项式代定系数也增加一 倍，当节点数为n+1时，可唯一确定一个次数不超过2n+1的 插值多项式。
xn b(n 1 个相异节点）
处的函数值 f ( xi ) yi (i 0, , n) 。 插值问题就是根据这些已知数据来 构 造 一 个 次 数 不 高 于 n 的 多 项 式 Pn ( x) ， 使 Pn ( x) 满 足
Pn ( xi ) f ( xi )(i 0, , n) 。 点 xi 称为插值节点，y f ( x) 称为被插值函
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分段线性插值
简单地说，就是将两个相邻的节点用直线连接起来，形 成折线，就是分段线形插值函数。 I n ( x) 有 良 好 的 收 敛 性 ， 即
n (i 0,1, 区间 [ xi , xi1 ] 上是线性函数
记作 I n ( x) ，满足 I n ( xi ) yi ，且 I n ( x) 在每个小
Si ( x) ai x3 bi x2 ci x di ，其中 ai , bi , ci , di 待定，共 4n 个。
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Si ( xi ) Si 1 ( xi ) Si '( xi ) Si 1 '( xi ) , i 1, 由 2 可得， S "( x ) S "( x ) i 1 i i i
x0 , x1 ,
, xn 是 [a, b] 上互异的数，则插值问题的余项当 x [a, b] 时，有
如下估计
f ( n1) ( ) n Rn ( x) (x x j ) 。 (n 1)! j 0
例：用线性插值求 115( x 10.723805).
例：用抛物插值求 115( x 10.7238).
三次样条函数记作 S ( x), (a x b) ，满足 1. 在每个小区间 [ xi1, xi ],(i 1, , n) 上是三次多项式； 2. 在 a x b 上二阶导数连续； 3. S ( xi ) yi ,(i 0,1, , n)
由 1 可记， S ( x) {Si ( x), i [ xi1, xi ],(i 1, , n)} ，
x x 表示的精度。
例 测一物体长度 5m,其误差限为 0.01m,通常将 准确长度记为
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S 5 0.01
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xx r ( x) 称 x x 为近似数 x 的相对误差。无量 纲的量，通常用百分数表示。
若
r ( x) ( x)
x r
( x)
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数值运算的一些原则
1.简化步骤，减少运算次数，减少舍入误差的积累；
2.避免相近数相减，以防有效数字的严重损失而影响精度； 3.避免使用‚小分母‛，以防运算结果过大而溢出； 4.防止大数‚吃‛小数； 5.选用数值稳定的计算公式，避免误差的传播。
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第二节 插值
绝对误差与相对误差
设 x 是精确值， x 是其近似值 ，称 ( x) x x 为 x 的绝对误差。 绝对误差可正可负， 且依赖于量纲。
若 ( x) x x ，称 为 x 的绝对误差限，有 了误差限，可知 x 的范围为 x x x ，常 用
பைடு நூலகம்
2 1.414 0.000213562
1 10 3 2
例 写出下列数的 5 位有效数字的近似值 723.32134 、 13.42230、 0.02541369、 6.000043
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数值运算的误差估计
设函数 u f ( x1,
, xn ), x1,
, xn 分别为 x1 ,
, xn 的
近似值，则函数 u 的近似值 u f ( x1, 差为
, xn ), ，且 u 的误
(u) u u f ( x1, , xn ) f ( x1, , xn )
du
xk xk , xk xk xk
则 u 的误差限为
r (u )
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插值多项式的余项
把差 f ( x) Pn ( x) 称为用插值多项式 Pn ( x) 代替 f ( x) 的余项，误 差或插值余项，记为： Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
( n) ( n 1) 定 理 设 f ( x) 在 区 间 [a, b] 上 连 续 ， f ( x) 在 [a, b] 上 存 在 ，
1） P 3 ( xi ) yi , P 3 '( xi ) mi ； 2） P3 ( x) 在每个小区间 [ xi , xi 1 ] 上是不超过三次的多项式。
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三次样条插值
样条来自于船舶，飞机等设计中描绘光滑外形曲线用的 绘图工具。一根有弹性的细长木条用压铁固定在节点为，其 他地方让它自然弯曲，如此画出的曲线称为样条曲线。 因为这种曲线的曲率是处处连续的，所以要求样条函数 是二阶导数连续。
有的理论上虽不够完美，但通过对比分析、 实际计算和实践检验等选手，被认为是行之有效 的方法。
第一节
误差来源
误差
固有误差
计算误差
（量测误差）
截断误差：用数值方法求近似解时所产生的误差。如 用收敛无穷级数的前有限项代替无穷级数。 舍入误差：对某个数进行舍入时产生的误差。 舍入方法很多，有收尾法（只入不舍），去尾 法（只舍不入），四舍五入等。
1, i j Pn ( x) 满 足 P 且 满 足 li ( x j ) ， 则 n ( xi ) yi (i 0, 0, i j
, n) 。 称
li ( x)(i 0,
, n) 为节点 x0 , x1 ,
, xn n 次插值基函数。
ynln ( x)
n
Pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
插值与 Lagrange,Newton,Gauss等数学家名字连在一起， 最初来源于天体计算的需要。比如:得到了若干的观测值，即 某星球在若干时刻的位置，需要计算星球在另一些时刻的位置。
插值：通俗的讲，就是在若干已知的函数值之间插入一些 未知的函数值。
已知 y f ( x) 在 [a, b] ， a x0 x1
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插值的MATLAB实现
拉格朗日插值 编写一个函数M文件，名为Lagr.m
设有 n 个节点，以数组 x0, y0 输入（程序中用 n 个节点，不是前面所
m 个插值点以数组 x 输入， 讲的 n 1 个节点） 输出数组 y 为 m 个插值。
Lagr.m Lagra.m