3.1 基本不等式 学案(高中数学必修五北师大版)
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.1基本不等式》77
《基本不等式)0,0(2>>+≤b a b a ab 》教学设计一、教学目标知识与技能： 1.理解两个正数的算术平均数不小于他们之积的2倍的不等式的证明。
2．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及几何解释。
过程与方法：本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形俩方面深入的探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
基本不等式的证明要注重严密性，每一步都有理论依据，培养学生的逻辑能力。
情感，态度与价值观：培养学生举一反三地逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。
引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．二、教学重点和难点 三、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：理解“=”成立的充要条件.三、教学过程：1．动手操作，几何引入 如图是2021年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．若，则．学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；（2）若，则请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于，于是要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课题内容基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．几何证明，相见益彰探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例2.求的值域．变式1. 若，求的最小值．在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．练一练（自主练习）：1.已知，且，求的最小值．2.设，且，求的最小值．5．归纳小结，反思提高基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．。
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3．1基本不等式教学设计（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用本节是选自北师版普通高中课程实验标准数学（必修5）第三章《不等式》的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时也是为了以后学习《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。
二、教学目标1．知识与技能:探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，会用基本不等式解决简单的最大小值问题。
2 过程与方法: 通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
3．情感态度与价值观：通过本节的学习，体验成功的快乐，激发学习的兴趣。
三、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过程。
难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。
关键:抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识来突破难点。
四、教法分析1、教学方法：引导发现法、探索讨论法本节内容从实际问题出发，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题，建构自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。
这样安排是为了体现数学知识的产生与发展，体现数学的应用价值。
新课标中对知识的发生的过程提出了较高的要求，重视学生对问题的探究能力，为了激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现，再创造的过程，本节宜用引导发现法、探索讨论法。
2、教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。
3、学法指导：问题探究法根据新课标“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法。
高中数学第三章不等式3.1基本不等式教案北师大版必修5
3.1基本不等式[规范解答] 证明1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc(2分)精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
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基本不等式周凤荣教学目标：知识目标：学会推到并掌握基本不等式，理解其几何意义；能力目标：通过数形结合的思想，探究基本不等式；情感目标：通过学习体会数学教学重难点： 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；难点：用基本不等式求最大最小值，基本不等式2a b ab +≤等号成立条件。
教学过程创设情境，引入课题通过2021北京国际数学家大会会徽“赵爽弦图”，介绍我国对勾股定理的证明比欧洲早500年。
通过告诉学生我国数学史，引出学生兴趣，提问学生在这个图形中能找出一些相等或不等关系嘛？讲授新课 1探究图形中的不等关系（学生小组讨论，之后教师归纳总结）：在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
得到结论：重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2证明重要不等式因为 222)(2b a ab b a -=-+ 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=当时当时所以，0)(2≥-b a ，即.222ab b a ≥+ )""(号时取当且仅当==b a 说明“当且仅当”的含义 特别的，如果a>0,b>0,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上 式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤——基本不等式 由于先前证过重要不等式，让学生来证明基本不等式。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.1基本不等式》
北京师范大学版高中数学必修5第3章第3节第1课时基本不等式彭小明江西省赣州市第一中学 341000一、教学目标1知识与技能理解和掌握基本不等式及其证明过程和几何意义，并能运用基本不等式解决问题．2过程与方法通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；培养学生探究能力及分析、解决问题的能力．3情感、态度与价值观通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的思维看世界，用数学知识认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质．二、教学重点、难点1．教学重点：对基本不等式的理解与掌握2．教学难点：基本不等式的应用三、教学方法：启发、引导、探究法，讲练结合法四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学思路：以几何图形辅助代数知识讲授，先让学生观察图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，积极调动地学生的学习热情。
由形到数，再由数到形的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果主要采用“观察——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式六、学法指导：小组合作进行自主探究，教师适时点拨和总结反思根据本节课特点及学生的认知心理，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、通过自己的观察，想象，思考，实践，主动发现规律、获得知识，体验成功七、教学设计理念通过创设问题情境，充分调动学生学习的热情，激发学生的学习兴趣，启发学生通过动眼、动脑、动手对问题思考探究。
同时采用多媒体辅助教学，加强直观性和启发性，增大课堂容量，提高课堂效率。
在“以学生发展为核心”的理念下，要关注学生“学会”知识，更要关注学生“会学”知识；倡导合作探究性学习,培养学生的创新精神和实践能力，更加贴近素质教育，更加人性化、信息化、多元化。
北师大版高中数学必修五基本不等式复习教案
课题§3.3.1基本不等式2a bab +≤第1课时课型 新授课 课时备课时间教学目 标知识与技能学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 过程与方法 通过实例探究抽象基本不等式情感态度与价值观通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣重点应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程难点基本不等式2a bab +≤等号成立条件 教学方法教学过程1.课题导入基本不等式2a bab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤用分析法证明：要证2a bab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.1基本不等式》6
3.1 基本不等式：2b a ab +≤ 见涛 在前两节课的复习当中，学生已掌握了一些不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法本节课的研究是前三节学习的延续和拓展，起到了承上启下的作用本节课通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案,进而去寻找隐含的相等关系与不等关系。
通过分析得出基本不等式：(0,0)2a b ab a b +≥>>，然后从两种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式。
教学重点1创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2从两方面探索基本不等式的证明过程；3利用基本不等式求函数最值。
教学难点1对基本不等式从不同角度的探索证明；2利用基本不等式求函数最值时所需要注意的条件。
教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能1创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2尝试让学生从两种角度探索基本不等式的证明过程；3使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要使用配凑等方法，创造条件应用基本不等式。
二、过程与方法1采用探究法，进行启发式教学；2将探索过程设计成问题，结合高考考点，激发学生去积极思考，从而培养他们学习数学的兴趣。
三、情感态度与价值观1通过具体问题的解决，让学生去感受、日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，培养学生良好的思维习惯；教学过程导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图抽象出一些几何图形吗？ 推进新课下图案中隐含什么样的几何图形呢？设直角三角形的两直角边的长分别为y x ,，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？ 显然正方形的面积不小于四个直角三角形的面积之和。
数学北师大版高中必修5基本不等式教案
§3.1基本不等式(1)教学目标：1、知识与技能目标：（12a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标：（1）由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。
教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。
教学难点：2a b +≤求最值的前提条件。
二、讲授新课重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）1.去替换222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什2a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。
2.推理证明：作差法 说明：1）我们称a ＋b 2为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义：当b a =时，等号成立，其含义是：如果ba =那么ab b a =+2仅当b a =时，等号成立，其含义是：如果ab b a =+2那么b a =，综合起来：其含义是：b a =等价于ab b a =+24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项，问：a ，b ∈R －？3.(1)探究:(课本P88) 第5页如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。
过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。
引导学生发现：2a b +表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤2a b +(0,0>>b a )几何意义：半弦长不大于半径长。
(2)为正数,a b 的几何平均数，称2a b +为正数,a b 的算术平均数。
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3.1 基本不等式
学习目标
1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;
2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
3. 初步掌握不等式证明的方法
学习重点
会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 学习难点
理解并掌握重要的基本不等式使用时注意的条件 教学方法
引导式教学
学习过程
【自学引导】
1．阅读教材P 88—89
2．算术平均数与几何平均数定义.
3．基本不等式的推导及理解.
【新知梳理】
1．重要不等式：
（1）形式：222a b ab +≥；
（2）成立的前提条件：,a b R ∈；
（3）等号成立的条件，当且仅当 时取等号.
2．基本不等式：
（1）推导依据：222a b ab +≥；
（2）形式 ；
（3）成立的前提条件： ；
（4）等号成立的条件：当且仅当
时取等号.
3．算术平均数与几何平均数
（1）定义： 叫做正数,a b 的算术平均数. 叫做正数,a b 的几何平均数.
（2）结论：两个正数的算术平均数
它们的几何平均数.
（4）基本不等式又被称为均值不等式.
【存在问题】
【例题应用】学生自主完成课本第88-第89页例题1.
【尝试练习】
1．已知,,a b c R ∈，求证：
222a b c ab bc ca ++≥++.
2．已知,,a b c 为不相等的正数，且1abc =.求证：
111
a b c
<++.
【总结引导】
1．重要不等式与均值不等式成立的前提条件有何不同？
2．基本不等式的几种不同表述.
【目标测试】
1．已知,(0,1)a b ∈且a b ≠，下列各式中最大的是（ ）
A ．22a b +
B ．
C ．2ab
D ．a b +
2．已知0ab ≠，,a b R ∈，则下列式子恒成立的是（ ）
A ．2b a a b +≥
B ．2b a a b
+≥- C ．2b a a b +≤- D ．||2b a a b
+≥ 3．已知0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．111a b +≥
B ．111a b
+>
C 2≥
D ．1
1ab ≥
4．若11
0a b <<，则下列不等式：
①a b ab +<；②||||a b =；
③a b <；④2b a
a b +>中，正确的不等式有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．设1a >，且2log (1)a m a =+， log (1),a n a =+log (2)a p a =，则m,n ，p 的大小关系是（
） A ．n m p >> B ．m p n >>
C ．m n p >>
D ．p m n >>
【收获与不足】
参考答案
【新知梳理】
1．a b =
2．2a b
+≥ ,a b R +∈ a b =
3．2a b
+ 不小于
目标检测
1．D 2．D 3．A 4．B 5．B。