二元一次方程组实际应用
二元一次方程的应用 公式是什么
二元一次方程的应用公式是什
么
二元一次方程的实际应用
二元一次方程组实际应用题中行程问题的种类较多，比如相遇问题、追及问题、流水行船问题、顺风逆风问题、火车过桥问题等，解这类问题抓住路程、时间、速度三者之间的关系：路程=速度×时间。
古代问题在方程组中也比较常见，一般虽然是古文，但是题目中一般都会有相应的解释，关键还是需要找到等量关系式。
销售问题中常见的量有：售价、成本价、利润、利润率等，利润=售价-进价、利润率=利润/成本价、总利润=单件利润×销售量。
二元一次方程的介绍
二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是1那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
二元一次方程的一般形式：ax+by=0(a,b不为0）。
二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
消元的方法有两种：代入消元法。
加减消元法。
二元一次方程组的实际应用
思路探索：本题的两个相等关系分别为小晶家水费19元和小磊家水费31元。
解析：设小晶家5月份用水y m 3，则小磊家5月份用水1.5y m 3。
可列方程组52(5)1952(1.55)31x y x y ⨯-=⎧⎨⨯-=⎩＋＋，解得 243xy x =⎧⎨=⎩，即38x y =⎧⎨=⎩答：表中的x 的值为3。
规律总结：根据本题中的相等关系虽然列出的是二元二次方程组，但我们可以把这个方程组看作是关于xy 和y 的二元一次方程组，然后求解。
例2：某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．思路探索：（1）本题有两个未知数“1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐”，两个相等关系“同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐”“同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐”（2）计算出“5个大餐厅和2个小餐厅”能够提供的吃饭的人数，然后跟5300相比较。
解析：（1）设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，根据题意，得2168022280.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得960360.x y =⎧⎨=⎩，答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐． （2）因为960×5＋360×2＝5520＞5300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．规律总结：题中出现多个相等关系的题目就要考虑使用二元一次方程组，尽管题目的问题可能问的不是直接求未知数的值。
探究：教材106页：探究3：如图，长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连，这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地。
二元一次方程组应用于体积和密度问题
二元一次方程组应用于体积和密度问题什么是二元一次方程组二元一次方程组由两个二元一次方程组成，每个方程中包含两个变量的一次项和常数项。
一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中，`a`、`b`、`c`、`d`、`e`、`f`是已知的系数。
通过解这个方程组，可以求解出变量`x`和`y`的值。
应用于体积问题二元一次方程组可以应用于解决与体积相关的问题。
例如，我们有一个长方体，已知其长度、宽度和高度分别为`l`、`w`、`h`，我们想要求解它的体积。
假设体积为`V`，我们可以建立如下的方程组：lwh = V这里，`l`、`w`、`h`是已知的值，`V`是未知的体积。
通过解这个方程组，我们可以求解出体积`V`的值。
应用于密度问题二元一次方程组也可以应用于解决与密度相关的问题。
例如，我们有一个物体，已知其体积为`V`，质量为`m`，我们想要求解它的密度。
假设密度为`ρ`，我们可以建立如下的方程组：m = Vρ这里，`V`是已知的体积，`m`是已知的质量，`ρ`是未知的密度。
通过解这个方程组，我们可以求解出密度`ρ`的值。
例子下面是一些关于体积和密度的问题的例子，演示了如何应用二元一次方程组来解决这些问题：例子1：长方体的体积已知一个长方体的长度为`10`，宽度为`5`，高度为`3`，求解它的体积。
解答：我们可以建立下面的方程组：10 * 5 * 3 = V通过计算，可以得到`V = 150`。
因此，这个长方体的体积为`150`。
例子2：物体的密度已知一个物体的质量为`20`，体积为`5`，求解它的密度。
解答：我们可以建立下面的方程组：20 = 5 * ρ通过计算，可以得到`ρ = 4`。
因此，这个物体的密度为`4`。
总结二元一次方程组在解决与体积和密度相关的问题时是非常有用的工具。
通过将已知的值和未知的变量构建成方程组，我们可以通过解方程组来求解未知的值。
通过这些例子，希望你能更好地理解如何应用二元一次方程组来解决体积和密度问题。
二元一次方程组在应用题(实际问题)中的应用
二元一次方程组在应用题（实际问题）中的应用二元一次方程组解实际问题的方法步骤：对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题容易，列方程组解应用题有以下几个步骤： 1． 选取定几个未知数；2． 依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； 3． 解方程组，得到方程组的解；4． 检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解.\例题分析： 例：某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？解：（1）解法一：设书包的单价为x 元，则随身听的单价为()48x -元根据题意，得48452x x -+= 解这个方程，得 x =92484928360x -=⨯-=答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
解法二：设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元 根据题意，得x y y x +==-⎧⎨⎩45248解这个方程组，得x y ==⎧⎨⎩92360答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
（2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金： 45280%3616⨯=.（元） 因为3616400.<，所以可以选择超市A 购买。
在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金： 3602362+=（元）因为362400<，所以也可以选择在超市B 购买。
第8章第7课二元一次方程组的实际应用课件-人教版七年级数学下册
（2）该商场售完这400箱矿泉水，可获利多少元？ 现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B 型零件；
部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 易错点拨：因不理解题意而出错．
示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米
甲、乙两种车辆运土，已知5辆甲车和4辆乙车一次可运土140立方米，3辆甲车和2辆乙车一次可运土76立方米，若每辆甲车每次运土x 立方米，每辆乙车每次运土y立方米，则可列方程组_______________________． 1头大牛和1头小牛一天约用饲料各多少kg？ 某商场以每件x元购进一种运动服，如果每件以y元卖出，平均每天卖出10件，30天共获利18 000元，为了尽快回收资金，商场决定每
生产14个甲零部件或20个乙零部件．现有60名工人，问 件降价20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍可获利18 000元，求x、y的值．
某工厂车间生产甲、乙两种零部件．已知1个甲零部件和2个乙零部件配套成一个完整产品，每个工人每天可生产14个甲零部件或20个 乙零部件．现有60名工人，问应安排多少个工人生产甲零部件，多少个工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套．
9.甲、乙两种车辆运土，已知5辆甲车和4辆乙车一次可 运土140立方米，3辆甲车和2辆乙车一次可运土76立方米， 若每辆甲车每次运土x立方米，每辆乙车每次运土y立方 米，则可列方程组________53_xx_＋＋__42_yy_＝＝__17_46_0_，____．
二级能力提升练 某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所
二元一次方程组解的应用
二元一次方程组解的应用嘿，朋友！想象一下，你和你的小伙伴一起去商场逛街，突然看到一家超级棒的服装店在搞促销活动。
你兴致勃勃地走进店里，看到一件漂亮的 T 恤标价 50 元，一条牛仔裤标价 80 元。
这时，老板笑着说：“亲爱的顾客，如果你们一次性买两件 T 恤和一条牛仔裤，总价只要 180 元；要是买一件 T 恤和两条牛仔裤，总价是 200 元。
”这时候，你是不是开始在心里默默盘算，这到底怎么买更划算呢？别担心，这就是二元一次方程组大显身手的时候啦！咱们设 T 恤的单价为 x 元，牛仔裤的单价为 y 元。
根据老板给出的条件，咱们就能列出两个方程：2x + y = 180 ，x + 2y = 200 。
你看，这是不是就像我们在玩一个解谜游戏？通过巧妙地运用数学知识，就能找到答案。
咱们来解一解这个方程组。
先把第一个方程乘以 2，得到 4x + 2y = 360 。
然后用这个式子减去第二个方程，也就是（4x + 2y） - （x + 2y）= 360 - 200 ，算一算，3x = 160 ，那 x = 53.33 元。
再把 x 的值代入第一个方程，2×53.33 + y = 180 ，解得 y = 73.33 元。
算出来之后，你是不是心里一下子就有底啦？知道了单价，就能清楚怎么买更划算了。
再比如，学校组织春游。
老师给同学们准备了面包和牛奶。
已知每个面包 3 元，每瓶牛奶 2 元。
老师一共花了 100 元买了 40 份食物。
这时候，咱们又可以设面包买了 x 个，牛奶买了 y 瓶。
那么就有 x + y =40 ，3x + 2y = 100 。
解这个方程组，就能知道老师买了多少面包和牛奶，是不是很神奇？其实啊，二元一次方程组在我们的生活中无处不在，就像一个默默守护的小天使，在关键时刻帮我们解决难题。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多看似复杂的锁。
不管是购物时的精打细算，还是规划活动时的资源分配，它都能发挥巨大的作用。
人教版数学七年级下册 运用二元一次方程组解决实际问题
二 元
应用
和差倍分、几何面积、工程、配套等...
一 次
审题：弄清题意和题目中的_数__量__关__系_
方
程 组
解
的题
应步
用骤
设元：用字__母__表示题目中的未知数 列方程组：根据_2_个等量关系列出方程组 解方程组：代__入__法__、__加__减__法__ 检验作答
1.(扬州中考)《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其
中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三
十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解
决呢？ 解：设鸡有 x 只，兔有 y 只.
由题意，得
x y35， 2x4 y94.
解此方程组得
x23，
y
12.
答：鸡有 23 只，兔有 12 只.
2. 有甲、乙两数，甲数的 3 倍与乙数的 2 倍之和等于 47， 甲数的 5 倍比乙数的 6 倍小 1，这两个数分别是多少？
知识点1：和差倍分问题 合作探究
探究一：养牛场原有 30 只大牛和 15 只小牛，1 天 约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 只大牛和 5 只小 牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每 只大牛 1 天约需饲料 18 ~ 20 kg，每只小牛 1 天约需 饲料 7 ~ 8 kg. 你认为李大叔估计的准确吗？
x = 45， 解此方程组得
y = 15.
60 cm
答：每块小长方形地砖的长和宽分别是 45 cm，15 cm.
4. A 地至 B 地的航线长 9750 km，一架飞机从 A 地 顺风飞往 B 地需 12.5 h，它逆风飞行同样的航线需 13 h，求飞机的平均速度与风速.
解：设飞机的平均速度为 x km/h，风速为 y km/h.
二元一次方程组实际应用
二元一次方程组实际应用
在我们的日常生活中，二元一次方程组可以被广泛应用。
这种方
程组由两个未知数和两个方程构成，其形式如下：
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
其中，a1、a2、b1、b2、c1和c2都是已知数，而x和y则是未知数。
这种方程组可以使用代数方法或者图形方法求解。
二元一次方程组在解决问题时有广泛的指导意义。
下面举几个例子：
1. 经济问题：我们可以使用二元一次方程组解决各种涉及到经济
问题的计算。
例如，我们可以用它来计算药品价格和医疗消费之间的
关系，或者计算房子的租金和用户需求之间的关系。
2. 教育问题：我们可以用二元一次方程组来计算学生数和教育资
源之间的关系，或者计算学生的成绩和学校教学水平之间的关系。
3. 质量问题：我们可以使用二元一次方程组来解决质量控制问题，比如计算两种不同材料的质量比较，或者计算不同等级的产品质量之
间的关系。
4. 科技问题：我们可以用二元一次方程组解决各种与科技相关的问题，例如计算电子设备之间的相关性或者计算不同农业技术对作物收成的影响。
二元一次方程组也可以帮助我们更好地理解和探索数学的本质，以及如何应用数学知识去解决实际问题。
当我们遇到一个包含未知数的问题时，通过建立相应的二元一次方程组来查找答案并进行计算，不仅可以帮助我们找到答案，而且可以帮助我们理解问题本质，并更好地掌握数学知识。
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课题：8.3实际问题与二元一次方程组教学目标:能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的等量关系，列出方程组，并解决生活中一些实际问题重点:分析题目给出的实际问题，找出题中的等量关系，根据等量关系，列二元一次方程组难点:根据题目找出等量关系教学流程:、知识回顾问题：解决实际问题的基本思路:r———I 设未知数数学问題（二元一次方程组）加减法实际问题的答案・检验》数学问题的孵（二元一次方程组的二、探究1养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg ; —周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg .饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18〜20kg ,每头小牛1天约需饲料7〜8kg.你能通过计算检验他的估计吗?问题1: “你能通过计算检验他的估计吗？”如何理解这句话?问题2:题中有哪些未知量?答案：每头大牛1天饲料用量和每头小牛1天饲料用量这两种未知的量.问题3:题中包含哪些等量关系?答案:30头大牛1天所需饲料+ 15头小牛1天所需饲料=原来1天的饲料总量42头大牛1天所需饲料+ 20头小牛1天所需饲料=现在1天的饲料总量问题4:你能根据数量关系列出方程组吗?解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.根据题意，得'30x+15y =67542x+20y =940儿一次方程解决这个问题吗?追问：你能用解这个方程组,I X =207 =5答：每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg .因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高问题5:在列方程组之前我们先做了哪些工作?练习1:某市现有42万人，预计一年后城镇人口将增加0.8% ,农村人口将增加1.1%, 这样全市人口将增加1%，求这个市现有城镇人口与农村人口各多少万人?解：设这个市城镇人口X万人，农村人口y万人.根据题意可列方程组:x + y =42(1 + 0.8%)x + (1 +1.1%)y = 42 咒(1 +1%) 或(x"420.8%x + 1.1%y =42x1%解这个方程组，得X =14答：这个市现有城镇人口14万人，农村人口28万人.三、探究2据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2.现要把一块长200m、宽100m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物•怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3: 4?问题1:本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗?m问题2:长度涉及的数量关系:答案：AE+ BE = 200mX + y =200问题3:产量比与种植面积的比有什么关系答案：甲总产量：乙总产量=S甲：SNX 2100x:100 yx2 =3: 4问题4:你能根据数量关系列出方程组，并解决这个问题吗?解：如图，一种种植方案为：甲乙两种作物的种植区域分别为长方形 此时设AE = xm , BE = ym ,根据由题意可列方程组:[x + y = 200[100x:100y>c2 =3: 4解这个方程组，得: 「X =120y=80答：过长方形土地的长边上离一端120m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两个长方形.较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物问题5:你还能设计其他种植方案吗?I ：ITTA数量关系:AE + DE = 100m为3 : 2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长多 个长方形的长的2倍还多6cm ，求这两个长方形的面积解：设第一个长方形长为 5xcm ，则宽为4xcm;第二个长方形长为 3ycm ,则宽为2ycm.根据题意可列方程组:[2(5x +4x) -2(3y + 2y) =112 [4x -3y X 2 =6解得:•••第一个长方形面积为： 5X 9X 4X 9 = 1620( cm 2)第二个长方形面积为：3X 5 X 2 X 5= 150( cm 2)AEFD 和 BCFE.甲总产量：乙总产量= S 甲：S 乙X 2练习2:有两个长方形,第一个长方形长与宽之比为5 : 4,第二个长方形的长、宽之比 112cm ,第一个长方形的宽比第二xm乙2(X1 [71104答：这两个长方形的面积分别为1620cm2、150cm2.四、探究3如图，长青化工厂与A, B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地•公路运价为1.5元/(t • km)，铁路运价为1. 2元/(t • km)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少兀?问题1：“1.2元/(t • km) ”是什么意思?答案：每吨货物每千米的运费是 1. 2元问题2：销售款与哪种量有关？原料费与哪种量有关?答案：产品数量；原料数量问题3:公路运费和铁路运费与哪些量有关呢?答案：产品数量；原料数量问题4：题中包含哪些等量关系？答案:产品的公路运费+原料的公路运费=公路总运费产品的铁路运费+原料的铁路运费=铁路总运费冋题:你能完成下面的表格吗?问题现在，你能解决这个问题了吧?解：设制成xt产品，购买yt原料.根据题意可列方程组:11.5咒(20x+10y ) = 15000[1.2x(110x +120y ) = 97200解得:X =300[y = 400分析：题目所求数值=销售款-原料费-运输费销售款：8000X = 8000 X 300 = 2400000原料费：1000y = 1000 X 400 = 400000••• 2400000 —800000- 15000 - 97200= 1887800答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800 元.练习3: —批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过第一次第二次甲种货车/辆 2 5 乙种货车/辆 3 6 累计运货吨数/吨15.535现租用该公司 3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗解：设每辆甲车装 X 吨，每辆乙车装y 吨，根据题意可列方程:'2x +3y =15.5L 5X + 6y = 35解这个方程组，得:X =4 [y=2.5•••应付运费：30X (3X 4+ 5X 2.5) = 735 答：货主应付运费为 735元. 五、归纳解决实际问题的基本思路:———I i 设未知数！ ■冥际问题■鸣！ -------- ':列方程组］■ ..... .. . .六、体验收获今天我们学习了哪些知识?1.如何用二元一次方程组解决实际问题?2.在什么情况下考虑选择设间接未知数?七、达标测评1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅,可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供 2280名学生就餐.若7个数学问题（-兀一次方程组）数学问题的斜 （•—元一次方程组的实陆问題的答案代入法或 加减法解：设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名、y名学生就餐，根据题意可列方程组: 2y=168。
尸2x + y =2280解得:l x =960J -360若7个餐厅同时开放，则有： 5 X 960 + 2X 360 = 55205520> 5500答：若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5500名学生就餐.2.从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少？解：设坡路长xkm,平路长ykm，根据题意可列方程组:fx y 54—十——=3 4 60—丝l5 4 60解得:x=1.5y"-6x+ y= 3. 1答：甲地到乙地全程是 3.1km.3.某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，若制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，若制成奶片销售，每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下：每天可加工3吨酸奶或1吨奶片，受人员和季节的限制，两种方式不能同时进行受季节的限制，这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕，为此该厂制定了两套方案: 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成你认为哪种方案获利最多, 为什么解:方案一：生产奶片4天, 共制成4吨奶片，获利2000 X 4 = 8000（元）其余5吨直接销售，获利500 X 5= 2500（元）•••共获利：8000 + 2500 = 10500（元）方案二：设生产奶片用x天，生产酸奶用y天，根据题意可列方程组: 「X + y =4 jX +3y =9解得:l x =1.5"=2.5•••共获利：1.5 X 1X 2000 + 2.5 X 3X 1200 = 12000（元）10500V 12000答：第二种方案获得最多，为12000元.八、布置作业教材101页习题8.3第2、6题.。