圆的辅助线的做法
初中数学作辅助线的方法
初中数学作辅助线的方法在数学中，辅助线是指在解题过程中，为了更加清晰地理解和解答问题，而额外添加的辅助线条。
辅助线能够帮助我们识别几何形状的性质、简化题目、发现问题的特点，进而解决问题。
下面将介绍一些初中数学中常用的辅助线的方法。
1.直线的辅助线：1.1利用等角性质：当一道题目中出现两条或多条直线之间存在相等角度的关系时，可以通过画一条平行于其中一条直线的辅助线，从而使问题更加清晰。
例如，当一道题目中有两条平行线上辅助线之间的交角等于已知夹角时，我们可以通过画一条与两条线垂直的辅助线，从而找到问题的解决方法。
1.2利用中点性质：当一道题目中出现一个直线段上存在中点的情况时，可以通过连接这个中点和其它的点，并利用中点将辅助线分成两等分的方式，简化问题。
例如，当一道题目中需要证明一个线段平分另一个线段时，可以通过在两个线段的中点之间画一条辅助线，从而将问题转化为证明两个等腰三角形。
2.圆的辅助线：2.1利用相切性质：当一道题目中出现一个圆和另一个圆间存在相切的情况时，可以通过在两个圆的相切点处引出切线，并连接相切点和圆心的辅助线来简化问题。
例如，当一道题目中有两个圆相切于一个点，需要求证两个圆的半径之比时，可以通过连接两个圆心之间的辅助线，并利用切线及其垂直性质来求解。
2.2利用内接性质：当一道题目中出现一个圆内接于一个图形的情况时，可以通过在圆和图形的交点处引出辅助线，并利用内接四边形的特点来简化问题。
例如，当一道题目中有一个圆内切于一个正方形，需要证明半径与正方形边长之比时，可以通过连接正方形的对角线并利用内接四边形的性质来证明。
3.三角形的辅助线：3.1利用中位线性质：当一道题目中有一个三角形的中位线时，可以通过连接三角形的中位线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。
例如，当一道题目中需要证明两个三角形形状相似时，可以通过连接两个三角形的中位线，然后利用垂直性质来证明。
3.2利用高线性质：当一道题目中有一个三角形的高线时，可以通过连接三角形的高线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。
怎样作圆的辅助线
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．
Ｍ Ｅ — Ｎ Ｇ ， ＯＭ － ０ Ｎ ． 且
直 径 所 对 的 圆周 角 是 ９ 。利 用 角度 相 等 或 互 ０，
在 Ｒｔ ＡＭ Ｏ 和 ．ｔ ＡＮ ０ 中 ， Ａ ＲＡ
。
余 ， 得 到 隐含 的条件 ， 而得 到所 求结论 ． 可 从 三 、 切 点 ， 作 过切 点 的半径 ， 据“ 有 可 根 圆 的 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 径 ”。 而 得 到 直 角 从
又 ‘ ＤＡＦ ． 。 一 ＢＡＤ ，
‘
心距 与 弧 、 之 间的关 系或 根 据垂 径 定 理 、 弦 弦 心距 平分弦解 题 ． 【 １ 如 图 １ ｏ ０ 与 Ｂ Ｃ 的 两 边 分 例 】 ， Ａ
．
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△ Ｄ Ａ Ｆ∽ △ ＢＡ Ｄ ，
ＡＤ Ａ Ｂ 一Ａ ～Ｆ 一 ，
积．
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ｃ 一 ０ ， Ｂ 丢 Ｃｌ Ａ Ａ
￣ Ｂ－ ０ ． ＤＡ 丢 Ｄ２ Ａ
解 ： 图 ４， 结 ＥＣ， 如 连
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ｃＤ 丢 ０ ＋ Ｄ２ Ｂ一 （Ｃ ０ ） Ａ Ａ
１ （ ８ 。 － ［ １ ０ 一 １ － ・ ８ 。 ￣ ２ ］ ） Ｉ（ ０ － －１ ）
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安徽 肥 西县 防虎 中学（ ３ ２ １ 张德 柱 ２１ ５）
圆 是 初 中 几 何 中 的 重 要 内 容 ， 好 圆 的 学 为 Ｆ， ＡＣ 于 Ｅ， 证 ： Ｄ 交 求 一ＡＥ ・ ＡＣ ．
证 明 ： 结 ＢＣ、 ， 连 ＢＤ
Ｄ
点 拔 ： 过 切 点 的 半 径 是 常 见 的 一 种 辅 作
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。
求证：PO平分/ APD。
=> OE=OF ]/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF0OP=OP=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。
证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F(=>(=AB CDAC=BD A C B D=> AB=CDOE丄AB, OF/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPDODP B图1-1证法2:连结OA, OD。
/ CAP= / BDP/ APC= / DPB => △ACP^A DBPAC=BD=>AP=DP、OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
圆中常用的辅助线
圆中常用的辅助线在解决圆中的有关问题时，常需添加辅助线。
使分散的条件相对集中，让图形的性质充分显露出来，从而找出解决问题的途径。
添加的方法主要有以下几种：一、遇到弦时，常作弦心距、或者垂直于弦的半径（或直径），再连接圆心和弦的端点。
作用：1、利用垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质。
2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。
例1：在半径为10cm 的圆柱形油管内装入一些油后，截面如图所示。
若油面宽AB=16cm ，则油的最大深度为 cm例1 例2 例3二、遇到直径时，常作直径所对的圆周角作用：利用直径所对的圆周角是直角例2：如图、AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°、∠D=50°求∠CEB 的度数？注意：在圆中构造同弧或等弧所对的圆周角可得到相等的角，也是常用的辅助线。
三、遇到90°的圆周角时，常作圆周角所对的弦作用：90°的圆周角所对的弦是直径四、遇到切线时，常作经过切点的半径作用：圆的切线垂直于过切点的半径五、遇到证明某一直线是圆的切线时1、已知直线与圆有公共点时，常连接公共点和圆心。
然后证明这个半径垂直于直线，简称为“有点连半径，证垂直”。
2、若直线与圆的公共点没有明确指出时，常过圆心作直线的垂线段。
然后证明垂线段的长等于半径，简称为“无点作垂直，证d=r ”。
例4、如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由；（2）若2OB BG ==，求CD 的长．例5.在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于D,以D 为圆心,DB 长为半径作⊙D.试说明:AC 是⊙D 的切线.六、遇到两圆相切时，常作公切线和连心线作用：1、利用相切的性质。
2、相切两圆的连心线，必经过切点例6：如图所示，图中各圆两两相切，⊙O 的半径为6，⊙A 和⊙B 的半径相等，求⊙C 的半径七、遇到两圆相交时，常作公共弦和连心线作用：1、利用圆内接四边形的性质。
例谈圆中常见作辅助线的方法
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。
解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。
例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。
圆中常用的作辅助线的八种方法
习题课
阶段方法技巧训练（一）
202X
专训2 圆中常用的作辅助 线的八种方法
在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要
添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至
关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧
用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所
对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周
角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及
解：
又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，
02
∠CED＝∠OEB，
03
∴△CDE≌△OBE.
∴S△CDE＝S△OBE.
∴S阴影＝S扇形OCB＝ π·62＝6π(cm2)．
证明：
求DE的长． 如图，连接BE. ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形， ∴AE＝EC，即E为AC的中点． ∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线． ∴DE＝ AB＝ ×2＝1. 解：
7 遇切线巧作过切点的半径 方法 8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°， 点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
解：
5
遇弦加弦心距或半径
方法
5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相 垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP 的长为( ) A．3 B．4 C．3 D．4
圆中常见辅助线作法例析
弦心 距是 惯 用 的辅 助 线．
二、 当题 目 中 出 现 直 径 时 。 作 出 直 径 上 的 圆周 角 。 常 构 造 出直 角 ， 者 说 明 两 直 线 垂 直 ． 时 图 中 无 直 径 ， 可 根 或 有 还
．
Ｃ为 切 点 ，
ＯＣ ＿ＡＢ ， ＝ 曰ｃ ＝ Ｌ ＡＣ 旭
・ ． ．
分 析 ： 问题 需要 结合 题 意 画 出 示 意 图进 行 分 析 ， 以 本 可 画 出 两种 图形 如 图 ９ 图 ｌ 同 时 需要 添 加 适 当的 辅 助 线． 、 ０，
在 Ｒ ＺＡ Ｃ中 ， Ｃ＝６ｍ，Ａ＝１ ｃ ｔｋ Ｏ Ｏ ｃ Ｏ ０ ｍ．
分 析 ： 据 切 线 的 性 质 ， 圆 的 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 根 “ 径 ” 作 出半 径 ， 据 垂径 定理 、 ， 根 勾股 定 理 相 结 合 解 决．
五 、 圆 相 交 时 。 接 公 共弦 （ 圆 相 切 时 。 过 切 点 的 两 连 两 作 公切 线）利用公共弦 （ 切线 ） ， 公 沟通 两 圆 的角 或 线 段 ．
・
麓题思路 ・
新课 哥 覃导 学 ２３ 口．己 １１ １
在 Ｒ ＡＡ Ｍ 中 ， Ｍ ＝ ～ 『 ： （ｍ） ｔ Ｏ Ｏ 二 ３ｃ 故点 ｍ 圆 中 常 见 辅 助 线 作 法 例 析 Ｐ到 圆心 Ｏ 的最 短距 离是 ３ｃ ．
说 明： 本题考查 了图形运 动 的特 点， 涉及 到 垂径定 理 、
・ ． ．
Ａ ＝、 Ｃ 伍
ＡＢ ＝２ ＡＣ ＝ １ ｍ． ６ｃ
：、 ｉ ＝ （ｍ） （ ８ｃ ，
初三圆中常见的辅助线的相关定理有哪些？
初三圆中常见的辅助线的相关定理有哪些？
圆是初中数学中常见的几何图形之一。
在圆的研究中，我们会
遇到一些辅助线。
辅助线可以帮助我们理解圆的性质和解决相关问题。
下面是初三圆中常见的辅助线的相关定理：
1. 中垂线定理
如果两条线段的中点连线垂直于这两条线段，则这两条线段的
中点连线是它们的中垂线，并且中垂线会经过圆心。
2. 弦的垂直定理
如果一条弦上的两个弧所对应的圆心角相等（或为180度），
则此弦为这两个弧的弦的垂直平分线。
3. 弦长定理
如果两条弦在圆上的弦长相等，则它们所对应的圆心角相等。
4. 切线垂直弦定理
切线和半径的垂直性定理：切线与过切点的半径垂直。
5. 切割弦定理
切线和弦的切割定理：当一条切线和一条弦相交时，它们所夹的弧所对应的圆心角相等。
这些定理在解决圆相关问题时具有重要的作用。
通过应用这些辅助线的相关定理，我们可以更好地理解圆的性质，推导出其他定理，并解决一些与圆相关的几何问题。
以上是初三圆中常见的辅助线的相关定理。
希望对你有帮助！。
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方法指导 • • • • 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
•
•
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
作业：如图，以D为圆心的两个同心圆中，BD经过圆心 D，且与小圆交于B，与大圆交于C，∠A BC=90°， ∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC。 求证：（1）AC是⊙D的切线； （2）AB＋EB=AC. （3）若BC=8，AC=10，求大圆与小圆围成的圆 环的面积（结果保留∏）
• 练习：如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点， 点A在⊙O上，且 BAP C 求证： PA是⊙O的切线。
4、与切线有关的证明： （1）知切线，连切点，得垂直 （性质）
直线和圆相切，必知切点，连接圆 心和切点，利用切线的性质定理得直角 或直角三角形。
（2） 知交点，连交点，证垂直。 （判定） 不知交点，做垂直，证相等。
例如
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DEA EBD
C
• 练习：如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm， 点C在圆周上，且∠BAC=30°， ∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的 长．
3、作直径，作圆周角
• 例.如图， ABC 内接于⊙O， B 30 , AC 2cm ⊙O的半径为________
遇到证明直线是圆的切线时，①若 已知直线和圆有交点，则连接圆心和交 点，证明垂直。②若不知直线和圆有无 交点，则过圆心作这条直线的垂线段， 证OA=r,则l为切线。
1、已知：△ABC中AB=AC，O为BC的中点， 以O为圆心的圆与AC相切于点 E， 求证：AB与⊙O也相切。
2.已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点， PA⊥AB，• 弦BC∥OP，求证：PC为⊙O的切线.
圆中常用辅助线的做法
1、作弦心距
证明圆中与弦有关的问题， 常需作弦心距（即垂直于弦 的直径或半径），其目的在 于利用垂径定理来沟通弦、 弦心距之间的关系，连半径
构造直角三角形解决问题。
例如：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P， 且∠OPB＝∠OPD，求证： =
2、作直径的圆周角
由于直径所对的圆周角为直 角，所以在有关圆的证明问题中， 利用该性质极易构造出直角三角 形，从而将问题化归到直角三角 形中去证明。