圆辅助线的常用做法
浅谈圆的辅助线作法在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE≌△OPF，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE≌△OPF 0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OP A ≌△OP D 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBPAB (BD ，(CD (D 图 1 AC (AC (BD (AB (CD(D 图1-1AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D 作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。
求证 DM ⊥AC 。
分析：由AB 是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角。
于是可连结AD ，得∠ADB=Rt ∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B ，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM ⊥AC 。
证明 连结AD 。
AB 为⊙O 的直径 =>∠ADB=Rt ∠AB=ACDM 切⊙O 于D => ∠ADM=∠B=> ∠1+∠B=∠2+∠ADM =>∠AMD=∠ADB= Rt ∠ => DM ⊥AC 说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。
3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦例3 如图3,AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，DC 切⊙O 于C 点。
求∠A 的度数。
分析：由过切点的半径垂直于切线， 于是可作辅助线即半径OC ，得Rt △， 再由解直角三角形可得∠COB 的度数， 从而可求∠A 的度数。
图 2=>∠1=∠2D图 3解：连结OC 。
DC 切⊙O 于C =>∠OCD=90°OC=OB=BD=> ∠A=1/2∠COB=30°例4 如图4，已知△ABC 中，∠1=∠2， 圆O 过A 、D 两点，且与BC 切于D 点。
求证 EF//BC 。
分析：欲证EF//BC ，可找同位角或内错角是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE ，得一对内错角∠BDE 与∠DEF ，由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，故易证EF//BC 。
证明 连结DE 。
BC 切⊙O 于D =>∠BDE= ∠1∠2= ∠DEF =>∠BDE= ∠DEF =>EF//BC ∠1= ∠2说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。
4.当两圆相切，可作公切线或连心线 例5 已知：如图5，⊙O 1与⊙O 2外切 于点P ，过P 点作两条直线分别交⊙O 1与 ⊙O 2于点A 、B 、C 、D 。
求证 PB •PC=PA •PD 。
分析：欲证PB •PC=PA •PD ，即证PA ∶PB=PC ∶PD ，由此可作辅助线AC 、BD ，并证AC//DB ，要证平行，需证一对内错角相等，如∠C=∠D ，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN ，从而问题迎刃而解。
证明 连结AC 、BD ，过P 点作两圆的内公切线MN=>∠APM=∠C ，∠BPN=∠D∠APM=∠BPNAC N BD M PO 1O 2 .. 图 5=> COS ∠COD=OC/OD=1/2 =>∠COB=60°=> ∠C=∠D=> AC//DB => PA ∶PB=PC ∶PD => PB •PC=PA •PD说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。
例6 已知：如图6，⊙O 1与⊙O 2内切于点T ，经过切点T 的直线与⊙O 1与⊙O 2分别相交于点A 和B 。
求证 TA ∶TB=O 1A ∶O 2B 。
分析：欲证TA ∶TB=O 1A ∶O 2B ，可考虑证这四条线段所在的三角形相似，即证△TO 1A ∽△TO 2B ，于是只需连结O 2O 1，并延长，必过切点，则产生△TO 1A 和△TO 2B ，由∠1= ∠2=∠T ，则O 1A// O 2B ，易证线段比相等。
证明 连结并延长O 2O 1 ⊙O 1 和 ⊙O 2内切于点T O 1A=O 1T =>∠1= ∠T O 2T= O 2B =>∠2= ∠T=>△TO 1A ∽△TO 2B => TA ∶TB=O 1A ∶O 2B说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。
5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。
例7 如图7，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 点作⊙O 2的切线交⊙O 1于点C ， 直线CB 交⊙O 2于点D ，DA 延长线交⊙O 1 于点E ，连结CE 。
求证 CA=CE 。
分析：欲证CA=CE ，考虑在三角形中证它们所对的角相等，即∠E=∠CAE ，又由∠DAF=∠CAE ，想到弦切角∠DAF 与所夹弧对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB ，得∠E=∠DBA ，易证CA=CE 。
证明 连结AB 。
CA 切⊙O 2于A =>∠DAF=∠DBA四边形ABCE 内接于⊙O 1 =>∠E=∠DBAT BA O1 O 212图 6=> O 2O 1必过切点T=> ∠1= ∠2 => O 1A// O 2B FEBCAO 1 O 2..图 7D∠DAF=∠CAE=>∠E=∠CAE => CA=CE说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。
例8 如图8，在梯形ABCD 中，以两腰 AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点， 过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。
求证： MN ⊥AB 。
分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O 1O 2，必有MN ⊥O 1O 2，再由O 1O 2是梯形的中位线，得O 1O 2//AB ，从而易证MN ⊥AB 。
证明 连结O 1O 2交EF 于G => MN ⊥O 1O 2。
DO 1=O 1A ，CO 2=O 2B => O 1O 2是梯形ABCD 的中位线 => O 1O 2//AB =>∠EFA=∠EGO 1=Rt ∠ => MN ⊥AB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
6．有半圆，可作整圆例9 如图9，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC 于D ， = , AD 交BF 于E 。
求证 AE=BE分析：欲证AE=BE ，可考虑在三角形中证这两边所对角相等。
即∠ABF=∠BAE ，再考虑证这两个圆周角所对的弧相等，故需补全⊙O ，可证 = ，故有 = 易证AE=BE.证明 补全⊙O ，延长AD 交⊙O 于H ，直径BC⊥AD => = => = =>∠ABF=∠BAH => AE=BE说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。
7．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径例10 如图10，⊙O 1与⊙O 2相交于BA (AF (BA ( BH ((AF (BH (P A . FAB D O .HE C图 9 C DE M NG ABO 2O 1F图 8BA (BH (AF ， (BH( BA= AF ，(A、B两点，且O2在⊙O1上，点P在⊙O1上，点Q在⊙O2上，若∠APB=40°，求∠AQB的度数。
分析连结O2A、O2B，在⊙O1中利用圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°，在⊙O2中，∠AQB=1/2∠AO2B=70°。
证明过程略。
说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。
几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结论的桥梁，也是解题的重要手段。
学生在做几何题时，明知需要引辅助线，但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。
因此，恰当添加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。
参考文献1.赵玉宽，《数理天地》中《圆内辅助线》2.林运来，《数理天地》中〈〈圆的辅助线〉〉3.伊红钟旭天陈士军〈〈初中数学教学案例专题研究〉〉。
圆添加辅助线的方法与技巧
圆添加辅助线的方法与技巧哎呀，今天咱们聊聊圆，圆这个家伙，看似简单，其实里面的门道可不少。
说到圆，大家脑海里是不是浮现出那优美的曲线，像个大饼、又像个球，真是惹人爱呢。
不过，要想把圆弄得更漂亮、更有意思，咱们就得动动脑筋，添加一些辅助线，嘿，这可不是随便画几条线那么简单哦。
咱们得理解什么叫辅助线。
这可不是随便画的线，而是要起到帮助我们理解、分析的作用。
比如，咱们在画一个圆的时候，加几条径向线，这样一来，圆的每个部分都能清晰可见，真是方便极了。
就像开车时要有导航，不然你可真是迷了路。
这样的辅助线还能够帮助我们分清圆的各个部分，比如直径、弧长之类的，哎呀，这可不是小事，做数学题可全靠这些呢。
然后说到如何添加辅助线，其实方法多着呢。
比如说，可以从圆心向外画几条线，这样就能把圆分成若干个扇形，像个美味的披萨，让人一看就想吃。
这样的做法可真是让人眼前一亮。
再比如，咱们可以画出直径，直径可是圆中最重要的线之一，能够告诉我们圆的大小。
这条线也方便我们后续的计算，比如圆的面积、周长，嘿，真是一箭双雕呀。
还有一种常见的辅助线是切线。
这可是一个非常有意思的概念，切线就像是在圆边上轻轻一碰，接触的那一瞬间，哇，简直太完美了。
想象一下，一辆车刚好驶过圆的边缘，不留痕迹，恰到好处，这样的画面是不是美得不要不要的呢。
通过添加切线，咱们能更好地理解圆的性质，像是给自己的知识加了一把钥匙，打开了新世界的大门。
哎，我忍不住想起了生活中的一些例子。
就像咱们做菜，添加调料的时候，如果只是一味的撒盐，味道可能就很单调。
可如果你把盐、酱油、花椒粉统统加上，哇塞，味道就丰富多了，口感层次分明，简直让人欲罢不能。
圆也是这个道理，辅助线就像是调料，添加进去，立马让原本简单的圆生动起来。
咱们还可以通过对称性来添加辅助线。
就像是把圆对折，能够形成对称的两个部分，这样不仅让圆看起来更有美感，也方便我们在解题时找到关键点。
生活中很多事物也是这样的，像情侣间的默契，总是能在关键时刻彼此呼应，简直让人羡慕。
有关圆的七种辅助线的作法
有关圆的七种辅助线的作法作者：来源：《语数外学习》2015年第10期圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.一、有关直径问题，常作直径上的圆周角例1 ; 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N.（1）求证：BA·BM=BC·BN;（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴ ;= ;，∴AB·BM=BC·BN;（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B= ;∠MON=30°，∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.二、有关弦的问题，常作其弦心距例2 ; 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= ;PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO= 90°，又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴ ;= ;，∴PO2=PM·PC=PM·（ ;PN），即PM·PN= 2PO2.说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径例3 ; 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？图 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图6证明：（1）如图6，连接OC.∵PC=PF，∴∠4=∠5，∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.如图6，连接AE，∵ ;= ;，∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA，∴ ;= ;.即AD2=DE·DF.说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线例4 ; 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .（1）求证：PC平分∠BPD;（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.图7证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，∠CPD=∠A+∠QCP，∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.图8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图9（2）上述结论仍然成立.如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理.五、两圆相交，常连结公共弦或连心线例5 ;已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.图10 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图11（1）EA=ED成立.证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，∵∠FAC=∠DAE， ;∴∠ABC=∠DAE，而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D，∴EA=ED;（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=90°，∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图12∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，而CB=2，CE=8 ;∴AC2=2×8=16，AC=4，故⊙O1直径为4.说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形例5 ;如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.图13 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图14证明：如图14，连结AC，BD，∵∠C和∠B都是⊙O中弧 ;所对的圆周角，∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴ ;= ;，即AP·BP=CP·DP.说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形例6 ; 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O 半径的长.图15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图16解：如图16，作直径AD，连结BD.∵∠ACB与∠D都是 ;所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°，又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=30°，∴BD= ;AD，设BD=x，则AD=2x，∴AB= ;= ;= ;x，∴x= ;= ;=2 ;，∴r= ;AD=x=2 ;.说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.《轴对称》拓展精练参考答案1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;8.309087;9.15°;10.480m2或768 m211. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB=OB=3 ;，RB=OB=3 ;，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR=2×3 ;=7;（2）PR的长度是小于7，理由如下：∠A BC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB+BR>PR，∵PB+BR=2OB=2×3 ;=7，∴PR图形的平移与旋转强化练习参考答案1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;;6.5;7. ;+1;8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;（2）a=5或a=6.9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°;②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°;③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠AOD= ;=120°- ;，∴190°-α=120°- ;，解得α=140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
圆辅助线作法汇总(值得一看)
辅助线是指在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段，是初中学生学习中很重要的一部分，也是各种考试的热点，下面就让我们看下与圆有关的辅助线的做法。
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆虽然是初中数学最熟悉的几何图形之一，但它有很多新的知识点，尤其有许多知识点都与前面的知识紧密联系着，解题时必须用到直线型中的定理、法则。
因此，解题时先要由条件对图形有比较好的认识，再联想相关知识，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一解决。
下面就让我们看看圆中常见的辅助线的作法：1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4.遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7.遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内切圆,内角平分线梦园;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;若是添上连心线,切点肯定在上面;二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径;作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量;2、常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点;作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角;2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角;作用：利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点;作用：利用圆周角的性质,可得到直径;4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形;5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径;2若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心即作半径,再证其与直线垂直;6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段;作用：利用内心的性质,可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等;例题1、如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A=45°,BC=2,求⊙O的面积; 例题2、如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在弧AMB上,则∠C的度数是________.例题3、如图,AB是⊙O的直径,AB=4,弦BC=2,∠B=例题4、如图,AB、AC是⊙O的的两条弦,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,⊙O的半径是例题5、如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB;求证：直线L与⊙O相切;例题6、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB 上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为______________例题7、如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=例题8、如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB 于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图,ΔABC中,∠C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15㎝,BO=10㎝,求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.4、如图,学校A附近有一公路MN,一拖拉机从P点出发向PN方向行驶,已知∠NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A周围100米以内受到噪音影响,问：当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时,则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线;圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一,与圆有关的问题,汇集了初中几何的各种图形概念和性质,其知识面广,综合性强,随着新课程的实施,园的考察主要以填空题,选择题的形式出现,不会有比较繁杂的证明题,取而代之的是简单的计算;圆中常见的辅助线有：1作半径,利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时,常作垂直于弦的直径弦心距,利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距,构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时,常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时,常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时,有两种情况：1已知直线与圆有公共点时,连接圆心与公共点,证此半径与已知直线垂直 ,简称“有点连线证垂直,”2已知直线与圆无公共点时,过圆心作已知直线的垂线段,证它与半径相等,简称“无点做线证相等”此外,两解问题是圆中经常出现的问题,涉及弧,弦,与圆有关的角,点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系等知识,着重考察思维的完备性和严谨性,应特别引起重视。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
例谈圆中常见作辅助线的方法
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。
解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。
例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。
圆中常见的辅助线
圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
例：如图,在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。
求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上的一点，AB = 10cm,PA = 4cm 。
求⊙O 的半径。
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证: AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB ∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =(二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD =3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明:连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM∴∠AMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算;弦心距来中间站..圆上若有一切线;切点圆心半径连..要想证明是切线;半径垂线仔细辨..是直径;成半圆;想成直角径连弦..弧有中点圆心连;垂径定理要记全..圆周角边两条弦;直径和弦端点连..要想作个外接圆;各边作出中垂线..还要作个内切圆;内角平分线梦园..如果遇到相交圆;不要忘作公共弦..若是添上连心线;切点肯定在上面..二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距;或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径..作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形;根据勾股定理求有关量..2、常常连结圆心和弦的两个端点;构成等腰三角形;还可连结圆周上一点和弦的两个端点..作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角..2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角..作用：利用圆周角的性质;得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点..作用：利用圆周角的性质;可得到直径..4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB;得到直角或直角三角形..5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定;则常过圆心作直线的垂线段;再证垂足到圆心的距离等于半径..2若直线过圆上的某一点;则连结这点和圆心即作半径;再证其与直线垂直..6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点;或过内心作三角形各边的垂线段..作用：利用内心的性质;可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时;连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等..例题1、如图;已知△ABC内接于⊙O;∠A=45°;BC=2;求⊙O的面积..例题2、如图;弦AB的长等于⊙O的半径;点C在弧AMB上;则∠C的度数是________.例题3、如图;AB是⊙O的直径;AB=4;弦BC=2;∠B=例题4、如图;AB、AC是⊙O的的两条弦;∠BAC=90°;AB=6;AC=8;⊙O的半径是例题5、如图所示;已知AB是⊙O的直径;AC⊥L于C;BD⊥L于D;且AC+BD=AB..求证：直线L与⊙O相切..例题6、如图;P是⊙O外一点;PA、PB分别和⊙O切于A、B;C是弧AB上任意一点;过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E;若△PDE的周长为12;则PA长为______________例题7、如图;△ABC中;∠A=45°;I是内心;则∠BIC=例题8、如图;Rt△ABC中;AC=8;BC=6;∠C=90°;⊙I分别切AC;BC;AB于D;E;F;求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点;PB;PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图;ΔABC中;∠C=90°;圆O分别与AC、BC相切于M、N;点O在AB 上;如果AO=15㎝;BO=10㎝;求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点;BC切⊙O于E点.求证：AD 也和⊙O相切.4、如图;学校A附近有一公路MN;一拖拉机从P点出发向PN方向行驶;已知∠NPA=30°;AP=160米;假使拖拉机行使时;A周围100米以内受到噪音影响;问：当拖拉机向PN方向行驶时;学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时;则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线..圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一;与圆有关的问题;汇集了初中几何的各种图形概念和性质;其知识面广;综合性强;随着新课程的实施;园的考察主要以填空题;选择题的形式出现;不会有比较繁杂的证明题;取而代之的是简单的计算..圆中常见的辅助线有：1作半径;利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时;常作垂直于弦的直径弦心距;利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距;构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时;常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时;常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时;有两种情况：1已知直线与圆有公共点时;连接圆心与公共点;证此半径与已知直线垂直 ;简称“有点连线证垂直;”2已知直线与圆无公共点时;过圆心作已知直线的垂线段;证它与半径相等;简称“无点做线证相等”此外;两解问题是圆中经常出现的问题;涉及弧;弦;与圆有关的角;点与圆;直线与圆;圆与圆的位置关系等知识;着重考察思维的完备性和严谨性;应特别引起重视。
圆中常见的辅助线的作法分类大全
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM •PN=2PO 2.分析：要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC=21PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是________.CBBA2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB ∴BN AB BMBC∴AB ·BM=BC ·BN（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90° ∵N 为OC 中点∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60° ∵OM=OB ，∴∠B=21∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3． 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。