17-3方向导数讲义与梯度
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导数偏导数方向导数梯度及其关系
导数：()()()00'000lim limx x f x x f x yfx x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,导数意义为函数变化率。
由定义可知，导数是对应一元函数。
偏导数：()()()0000000,,,limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆()()()0000000,,,limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆.偏导数是对应于多元函数。
其意义是：偏导数反应是函数沿坐标轴方向变化率。
方向导数：设l 为xOy平面上以()000,P x y 为始发点一条射线，()cos ,cos l αβ=e 是与l 同方向单位向量。
则该射线参数方程为：00cos cos x x t y y t αβ=+=+,那么，函数(,)f x y ,在()000,P x y 沿l 方向方向导数为：()()()0000000,cos ,y cos ,lim t x y f x t t f x y f ltαβ+→++-∂=∂。
从方向导数定义可知，方向导数()00,x y f l∂∂就是函数(,)f x y 在点()000,P x y 沿方向l 变化率。
方向导数也是对应于多元函数。
方向导数是一个标量值。
方向导数与偏导数关系：如果函数(,)f x y 在点()000,P x y 可微分，那么函数在改点沿任意方向l方向导数存在，且有()()()000000,,cos ,cos x y x y f f x y f x y lαβ∂=+∂,其中()cos ,cos l e αβ=为方向l 方向余弦。
（若方向()1,0l =e 也就是x 轴方向，则()0000,(,)x x y ff x y l∂=∂，若方向()0,1l =e 也就是y 轴方向，则()0000,(,)y x y f f x y l∂=∂）.梯度：设函数(,)f x y 在平面区域D 内有一阶连续偏导数，则对于每一个点()000,P x y D ∈都可以定出一个向量()()0000,,x y f x y f x y +i j ，这向量称为函数(,)f x y 在点()000,P x y 梯度，即()()()000000 ,,,x y f x y f x y f x y =+grad i j 。
173方向导数与梯度
z
故f 在P0沿l的方向导数存在,且
Pl
fl (P0 )
lim 0
f
P
f (P0 )
P0
o
y
x
fx (P0)cos fy (P0)cos fz (P0)cos . //
说明: (1). 由定理1知,如 f 可微, 则任意方向的方向导数皆可用偏导数表示:
t 0
t lx2 ly2 lz2
故f 在(0,0,0)沿任意射线l的方向导数皆存在,
且 f
1.
l (0,0,0)
例3.
设f
(x,
y)
1, 0,
当0
y x2, 其余部分
x
证明:fl (0,0)=0,但f 在(0,0)不连续. y
教材P.126 例2
o
y
x
证明: 设P x0 x, y0 y, z0 z为l上任一点,由已知:
f P f (P0) f x0 x, y0 y, z0 z f x0, y0, z0
fx (P0)x f y (P0)y fz (P0)z o
记 x x x0, y y y0, z z z0,
则射线l 的方向余弦＝向量P0P的方向余弦为：
z Pl
z P0 x y
o
y
cos
x
,
cos
y
,
cos
z
.
x
问题：(1).方向导数的计算？
(2).方向导数与可微、偏导数之间的关系？
高数 方向导数与梯度 知识点与例题精讲
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为
f f cos f cos f cos
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
x
P
设 x 轴正向到射线l 的转角
0
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值， 当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
，
f cos f cos
x
y
其中 为 x轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z l
cos( ) 2sin( )
方向导数与梯度
其中
e l = (cos α , cos β , cos γ )
例3 n 是2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在 (1,1,1) 处指向外侧的法向量， 处指向外侧的法向量，
6 x 2 + 8 y 2 在该点沿 的方向导数. 求u = n 的方向导数. z | n |= 14 n = ( 2 x ,3 y , z ) (1,1,1) = ( 2,3,1) 解 1 2 3 cos α = cos γ = cos β = 14 14 14 6 8 6x 6x 8y u x ( 1 ,1 , 1 ) = = = uy = ( 1 , 1 ,1 ) 14 14 z 6x2 + 8 y2 z 6x2 + 8 y2
zx
( 1, 0 )
=e
2y
=1
zy
( 1, 0 )
= 2 xe 2 y
( 1, 0 )
=2
∂f ∂l
( 1, 0 )
1 1 2 = 1⋅ ) =− − + 2 ⋅ (− 2 2 2
例2 求 z = 3 x 2 y − y 2 切线方向（ 增大方向） 沿曲线在该点处切线方向（ x 增大方向）的 方向导数. 方向导数. 解
l = (1,0)
∂f ∂l ∂f
l = (−1,0) −
∂l
f x (0,0) = lim t →0
lim f ( t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) lim f ( − t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 = t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) f ( t ,0) − f (0,0) = lim | t | 不存在 t →0+ t t
17-3方向导数与梯度
f (P) f (P0 )
fx (P0 ) cos f y (P0 ) cos fz (P0 ) cos .
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对于二元函数 f ( x, y) 来说, 相应于 (1) 的结果为
f l
( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0 , y0 )cos ,
由§1 例6 已知 fx (0,0) f y (0,0) 0 , 于是按方向
导数的计算公式 (1)，是否对任何方向 l ，恒有
f (0,0) 0 ? l
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若不对, 则求出正确答案; 并作出说明. 2. 一元函数 y f ( x) 的方向导数是什么？ 3. 一元函数 y f ( x) 的梯度 grad f ( x) 又是什么？
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2
2 3
3
1 3
1 3
.
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例2 设函数
1, 当 0 y x2, x 时,
f (x, y) 0,
其余部分.
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已知它在原点不连续 (当然也就不可微)．但在始于原点
的任何射线上, 都存在包含原点的充分小的一段，
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(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
2. P73 题 16
u
2x0
2x0 a2
2 y0
2 y0 b2
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
方向导数与梯度PPT课件
.
18
➢定义 设函数 f (x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,称向量
fx(x0,y0)ify(x0,y0)j 为函数 f (x, y)在点P0(x0, y0)的梯度, 记作
grafd(x0,y0),或f(x0, y0). 即: g f ( x r 0 , y 0 ) a f ( x 0 , d y 0 ) f x ( x 0 , y 0 ) i f y ( x 0 , y 0 ) j , 其中 i j 称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子
其中 co,scos,cos是方向l的方向余弦.
例1 求 f(x,y,z)x yy zz在x点(1,1,2)沿方向l的方向导数,
其中l的方向角分别为 60o,45o,60o.
例2 设 n是曲面 2x23y2z26在点 P(1,1,1)处指向外侧
的法向量,求函数 u 6x2 8y2 在点 P处沿方向 n 的方向导数.
第九讲 方向导数与梯度
.
1
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
.
2
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
.
3
一、方向导数
（一）定义 （二）计算
.
4
一、方向导数
（一）定义 （二）计算
.
5
➢引言
y
fx(x0, y0) l函i数m f沿(x0 x 轴 方x,向y0)的变f(x 化0,率y0)
x 0
t 当 P沿着l趋于 P0 (即 t 0)时的极限存在，则称此极限为
函数
f(x,
y,z)在P
0
沿方向l的方向导数,记作 f l
. (x0, y0, z0 )
.
8
方向导数与梯度-34页精选文档
（如图）
令|PP| (x)2(y)2,
且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
l i0m f(x x,y y)f(x,y)
或 li m 0f(xco s,y co s)f(x ,y) 是否存在？
x
y
或
f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
cos sin
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数
都存Байду номын сангаас，且有 f f cos f sin ，
思考题解答
x z(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )
lim| x|. x0 x
同 理 ： y z(0,0) ly i0m | y y|
故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在 .
沿 任 意 方 向 l { x , y , z } 的 方 向 导 数 ,
两边同除以 , 得到
f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
故有方向导数
cos
cos
f l
f(x x,y y)f(x,y)
lim
0
f cosf cos
x
在几何上 zf(x,y)表示一个曲面
曲面被平面
zc所截得
z z
f c
(x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
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在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n的方向导数.
解: n(4x,6y,2z)P2(2,3,1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
Hale Waihona Puke 1414而u x
6x P z 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 162831 41 11
n P 14
例4.
处矢径 r 的模 , 试证 证:
f(r)
x x2 y2 z2
f (r) x r
f (r ) f (r) y ,
y
r
f(r)f(r) z
z
r
graf(rd)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
x
y
z
zP
f(r)1(xiy jzk ) r
r
o
y
f (r)1r r
f(r)r0
x
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l x
特别:
• 当 l 与 x 轴同向0,时 ,有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 ,时 ,有 f f
2
l x
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例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2xyz 2
l P
14
x2y 314
o
x
(设 c 1c2c3)
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式 (2 g)r (C a u ) d C gruad (4 g( ) u rv ) a u g dv r v a gd u rad
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例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为 u4q r(r x2y2z2),试证
gru a dE (场强 E4πεqr2r0)
证: 利用例4的结果 grf( a r) df(r)r0
graud
q
4r
r0
q
4
r2
r
0
E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
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例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
yx
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1,2x)x2(1,4)
cos 1 , cos 4
17
17
y P
o1 2x
60 17
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例3. 设 n是曲面
精品
17-3方向导数与 梯度
一、方向导数
定义: 若函数 f(x,y,z)在点 P(x, y,z) 处
沿方向 l (方向角为,,) 存在下列极限:
l
P
f lim 0
P(x,y,z)
l i0fm (x x ,y y ,z z ) f(x ,y ,z )记 作 lf
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
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( 2 )gf rM a ( 2 d ,1 ,0 ) f
cos
l l M l grad f M
arcco6s
l
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定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
ffco sfco sfco s l
l x y
z
P
证明: 由函数 f(x,y,z)在点 P 可微 , 得
P(x,y,z)
f f x f y f z o () x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
gr f a (fx ( d x ,y ),fy (x ,y )) 3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f gradf l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
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思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
o()
故 f limffco sfco sfco s
l 0 x
y
z
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对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
y
lf l i0fm (x x ,y y)f(x ,y) l
P
fx (x ,y )co fy s (x ,y )coso
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
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解答提示:
1. (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数
l fM fx co fy s co fz s co ( 1 ,1 s ,1 )
7
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二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向量
Gxf,
f, y
f z
l0(co ,cso ,s co )s
当l 0与G方向一致, 方时向导数取最大值：
maxf G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为,,) 的方向导数为
ffco sfco sfco s
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f fcosfcos
l x
y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
graf d xf, yf, zf
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1. 定义 向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作gradf, 即
f , x
f , y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
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对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 gradf P.