导数 不定积分
偏导数不定积分
偏导数不定积分
偏导数（partial derivative）是指在多元函数求导时，仅对某一
个自变量求导，而将其他自变量视为常数。
偏导数的不定积分并没有固定的定义，因为在进行不定积分时，需要确定一个特定的常数项。
而对于偏导数而言，不同自变量的偏导数所对应的常数项是不同的，因此不能直接对偏导数进行不定积分。
如果目标是对多元函数进行积分，可以使用定积分进行求解。
定积分可以对多个变量进行积分，而不仅限于单个自变量。
对于具体的多元函数，可以根据问题的需求和具体情况，对相应的变量进行积分。
不定定积分求导公式
不定定积分求导公式【最新版】目录一、不定定积分的概念二、求导公式的作用三、常见基本初等函数的求导公式四、复合函数和反函数的求导方法五、求导公式的应用示例正文一、不定定积分的概念不定积分，又称为反导数，是微积分中的一个重要概念。
它表示一个函数在某一区间上的累积变化率，其求解结果是一个原函数。
原函数的导数等于原函数，也就是说，原函数和它的导数互为逆运算。
不定积分在微积分中有着广泛的应用，例如求解变化率、曲线的斜率、体积、弧长等。
二、求导公式的作用求导公式是微积分中一个重要的工具，它可以帮助我们求解函数的导数。
通过求导公式，我们可以将复杂的函数求导问题简化为简单的计算。
有了求导公式，我们可以更容易地理解和分析函数的性质，如单调性、凸性、极值等。
此外，求导公式还在相关领域，如物理、化学、生物、经济学等有着广泛的应用。
三、常见基本初等函数的求导公式在微积分中，有一些常见的基本初等函数，它们的求导公式如下：1.幂函数：f(x) = x^n，n 为常数，导数为 f"(x) = n * x^(n-1)2.三角函数：f(x) = sin(x)，导数为 f"(x) = cos(x); f(x) = cos(x)，导数为 f"(x) = -sin(x)3.指数函数：f(x) = a^x，a 为常数且 a>0，导数为 f"(x) = a^x * ln(a)4.对数函数：f(x) = log_a(x)，a 为常数且 a>0，导数为 f"(x) = 1/(x * ln(a))四、复合函数和反函数的求导方法1.复合函数：设 f(x) 和 g(x) 都是可导的，复合函数 F(x) =f(g(x))，则 F"(x) = f"(g(x)) * g"(x)2.反函数：设 f(x) 是可导的，且存在反函数 F(x)，则 F"(x) =1/f"(F(x))五、求导公式的应用示例假设我们要求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 的导数，根据求导公式，我们可以直接计算得到 f"(x) = 3x^2 + 4x - 3。
导数与不定积分的关系(一)
导数与不定积分的关系(一)
导数与不定积分的关系
什么是导数和不定积分
•导数是一个函数在某一点的变化率或斜率的概念。
•不定积分是一个函数的反导数，即它是原函数的一个广义的原函数。
导数与不定积分的关系
•不定积分是导数的逆运算。
根据基本定理的第一部分，如果对于一个函数f(x)，它的导函数F(x)存在，则F(x)是f(x)的一个不定积分，也即是说F’(x) = f(x)。
为什么导数和不定积分存在这种关系
1.导数是一个函数的变化率，不定积分是函数的累积量。
导数描述
了函数某一点的瞬时变化情况，而不定积分则描述了函数在一个区间上的累积量。
2.导数和不定积分反映了函数的局部和整体特性。
导数反映了函
数在某一点上的变化趋势，而不定积分反映了函数的整体累积情况。
3.导数和不定积分的运算互为逆运算。
导数与不定积分之间具有
互为逆运算的性质，也就是说，对一个函数求导数，再对导数进
行不定积分，可以得到原函数，这种关系使得导数和不定积分有
着密切的联系。
总结
•导数和不定积分是数学中重要的概念，它们是互为逆运算的，导数描述了函数的局部特性，不定积分描述了函数的整体累积情况。
它们的关系使得我们可以通过不定积分求得函数的原函数，从而
更深入地理解和分析函数的性质。
在应用中，导数和不定积分也
有着广泛的用途，例如在物理学、经济学等领域的建模和分析中
起着重要的作用。
不定积分与求导数或微分互为逆运算
12
4.2.2 基本积分表
1
例6
求
sin
2
x 2
dx
．
解 利用三角函数的半角公式，有sin
cos x ，所以
2
x 2
2
sin
2
x 2
dx
1
cos 2
xdx
1 2
dx
1 2
cos xdx
1 2
(x
sin
x)
C．
13
例3 求 (3 x 1)2 dx ．
解 (3 x 1)2 dx (3 x2 23 x 1)dx
3 x2dx 2 3 xdx dx
3 5
5
x3
3 2
4
x3
x
C
．
10
4.2.2 基本积分表
例4 求
1 1
x2 x2
dx
．
解 先把被积函数化简：
2ex 3cos x C ．
8
4.2.2 基本积分表
例2
求
1
x
x2 x2
x3dx
．
解
1
x
x2 x2
x3
dx
(
1 x2
1 x
1
x)dx
1 x2
dx
1 x
dx
dx
xdx
1 x
ln
导数微分不定积分公式
导数微分不定积分公式一、导数1.定义导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
对于函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示为$f'(a)$或$\frac{{df}}{{dx}}\bigg，_{x=a}$。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
2.基本导数公式常见函数的导数公式如下：常值函数的导数为零：$\frac{{d}}{{dx}}(C) = 0$，其中$C$为常数。
幂函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。
指数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(a^x) = a^x \ln{a}$，其中$a>0$。
对数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\log_a{x}) = \frac{{1}}{{x \ln{a}}}$，其中$a>0$且$a\neq 1$。
三角函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\sin{x}) = \cos{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cos{x}) = -\sin{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\tan{x}) = \sec^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cot{x}) = -\csc^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\sec{x}) = \sec{x}\tan{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\csc{x}) = -\csc{x}\cot{x}$二、微分1.定义微分表示函数在其中一点附近的变化情况，主要有全微分和偏微分两种。
全微分：对于函数$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处全微分表示为$dz=\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$，其中$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$分别表示对于$x$和$y$的偏微分。
不定积分与定积分的概念
不定积分与定积分的概念在微积分学中，不定积分和定积分是两个重要的概念。
它们分别代表了对函数的积分运算，但在运算方法、符号表示和应用场景上有所不同。
一、不定积分的概念不定积分，又称原函数或者积分函数，是对函数的反导数运算。
对于函数f(x)，如果它的导数为F(x)，即f'(x)=F(x)，那么F(x)就是f(x)的不定积分。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
换句话说，不定积分就是求导运算的逆运算。
在这个过程中，我们可以得到一个函数的无数个原函数，因为对于任意常数C，F(x)+C也是f(x)的不定积分。
不定积分也可以理解为曲线与坐标轴围成的面积函数。
例如，函数f(x)=x^2，它的不定积分为F(x)=1/3x^3+C，其中C为常数。
通过不定积分，我们可以解决一些函数的原函数问题，同时也可以计算函数的面积、曲线长度、物理学中的质量、重心等问题。
不定积分在微积分学中占据重要地位，是很多进一步积分运算的基础。
二、定积分的概念定积分是对函数在一个闭区间上的积分运算。
与不定积分不同，定积分的结果是一个具体的数值。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]表示积分的区间范围。
定积分可以理解为曲线下的面积，也可以看作是函数在一段区间上的平均值与区间长度的乘积。
通过将区间细分成无限小的小矩形，并将这些矩形的面积相加，我们可以得到定积分。
定积分在各个学科中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、压力、功率等。
在统计学中，定积分可以用来计算概率密度函数下的概率值。
在经济学中，定积分可以用来计算收益和成本之间的差异。
三、不定积分与定积分的关系在不定积分和定积分之间有着紧密的联系。
根据牛顿-莱布尼茨公式，不定积分和定积分是互逆运算。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它就存在定积分∫[a,b]f(x)dx。
导数微分不定积分公式
一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
2导数与不定积分
例2-5 设
1 2 x arct an , ( x) x 0,
x 0, x 0,
又函数 f (x)在 x = 0处可导，求F(x)= f [ (x)]在 x = 0处 的导数.
f ( x)dx F ( x) C.
（二）主要结论 1. f (x)在x0 处可导的充要条件是 f-(x0)与 f+(x0)存在 且相等. 2. f (x)在x0 处可微的充要条件是 f (x)在该点可导. 3.当所给函数可导时，有 (1) (u v) = u v ; (2) (Cu ) =Cu ;
6.设 f (x)可导，且F(x) = | f (x)|,则
(1)当 f (x0) 0时， F(x)在 x0 处可导，且
F ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ); | f ( x0 ) |
(2)当 f (x0) = 0时， F(x)在 x0 处可导的充分必要条 件 f (x0) = 0. 7.若 f (x)在 x0 处连续, 则| f (x)|在 x0 处也连续. 8. f (x)在 x = 0 处连续, 且 lim f (0) = 0.
u uv uv ; (3) (u v) = u v + uv ; ( 4) 2 v v dy (5) y f ( u)，u ( x ), 则 f ( u) ( x ); dx 1 (6) y f ( x )，x ( y),则 f ( x ) ( ( y) 0); ( y) n ( n) k ( n k ) ( k ) (7)(uv ) C n u v (莱布尼茨公式).
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定义 f ( x )在区间I 上的全体原函数称为 f ( x )在I 上的不定积分，记作 ∫ f ( x )dx .
即ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫
积 分 号
f ( x) dx = F( x) + C
被 积 表 达
被 积 积 分 函 变
数 量
积 分 常 数
式 不定积分 ∫ f ( x )dx是一个函数族F ( x ) + C .
( 1 + x 2 + 1)′ 1 + x2 + 1
复合函数求导
=
化简 =
x ( 1 + x 2 1) 1 + x 2
x 1+ x
2
x ( 1 + x 2 + 1) 1 + x 2
]= 2 x 1+ x
2
[
2 ( 1+ x ) 1
2 2
.
u( x ) u′( x )v ( x ) u( x )v ′( x ) (3) [ ]′ = (v ( x ) ≠ 0). 2 v( x ) v ( x)
常用函数导数表
1. (C)′ = 0
2. ( x )′ = x
x x
1
( ∈ R)
3. (a )′ = a ln a
1 4. (loga x)′ = loga e x
2
x2 ln x ( π )′ = 0 = (x 2 ln x )′ + (2 x cosx )′ +( π )′常数 π 2 x cos x 1 2 2 = ( x ) ′ ln x + x x
+ (2 x )′ cos x + 2 x(cos x)′
= 2 x ln x + x + cos x x 2 x sin x .
例4 y = lncos x , 求y′.
3
解 y = ln u, u = cos v, v = x3 ,
′ ′ x y′ = yu uv v′ = (ln u)′(cos v)′( x3 )′ x
1 sin v 2 2 = ( sin v ) 3 x = 3 x u cos v
= 3 x 2 tan x 3 .
v 公 ， 麻 ， 该 用 式ln = lnv ln u, 式 较 烦 应 先 公 u 后 求 . 然 再 导
解 y′ = (ln
1+ x 1
2
1+ x +1
2
)′
v ln = ln v ln u u
= [ln( 1 + x 2 1) ln( 1 + x 2 + 1)]′
=
( 1 + x 2 1)′ 1 + x2 1
练习题
1. 求函数y = x sin x ln x的导数.
2x 2. 求复合函数y = arctan 的导数. 2 1 x
3. 设y = ln 1+ x2 1 1+ x2 + 1 ,求y′. (考研题)
练习题
1. 求函数y = x sin x ln x的导数.
提示与分析：利用导数的乘法法则求解. 提示与分析：利用导数的乘法法则求解.
2
11)∫ sec x tan xdx = sec x + C;
熟 记 基 本 公 式
12)∫ csc x cot xdx = csc x + C; 13)∫ 1 1 x2 dx = arcsin x + C = arccos x + C; 1 14)∫ dx = arctan x + C 2 1+ x = arccot x + C.
张文娟 基础课教学部数学教研室
T:
23241346
求导数
1、求导法则
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x).
(2)[u( x) v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x).
常数因子可提到导数符号外面. 常数因子可提到导数符号外面.
2 1 2 + 2x . = = 2 2 2 2 x 2 (1 x ) 1+ x 1+ ( ) 2 1 x
2
3. 设y = ln
1+ x2 1 1+ x2 + 1
,求y′.
提示与分析： 提示与分析：
若 y = ln u, u = 令 1+ x2 1 1+ x + 1
2
,则 用 商 求 要 到 的 导
dy dy du = dx du dx
′ x y′ = yu u′ . x
复 合函 数的求 导法则 可叙 述为： 复合函 数的导 数，等 于函 数对中 间变量 的导 数乘 以中 间变量 对自 变量的 导数.
中间变量 中间变量 自变量
设y = f (u), u = (v), v =ψ ( x),则复合函数 y = f {[ψ ( x)]} 求导法则为： 的
不定积分
定义 设函数F( x)与f ( x)在区间I上有定义. 若在I上 F′( x) = f ( x), 则称函数F( x)为f ( x)在区间I上的一个原函数.
1 1 ， Q( cos2x)′ = [ sin 2 x ] 2 = sin 2x， 2 2 1 1 ， ( cos2x + 1)′ = [ sin 2 x ] 2 = sin 2x， 2 2 1 1 ∴ cos2x和 cos2x + 1都是sin2x的原函数. 2 2
2x 2. 求复合函数y = arctan 的导数. 2 1 x
提示与分析：利用复合函数求导数的链式法则求解. 提示与分析：利用复合函数求导数的链式法则求解.
2x 解 y = arctan v , v = 2 1 x d y dv 1 2(1 x 2 ) 2 x ( 2 x ) y′ = = 2 1+ v (1 x 2 )2 dv dx
1 (ln u)′ = ，(cos v )′ = sin v， ( x 3 )′ = 3 x 2 . u
例5 y = ln x , 求y′.
函数，
ln x , y = ln x = ln( x ),
分段函数
解 根据定义域，去掉绝对值符号，为分段
x > 0, x < 0.
1 当x > 0时， y′ = (ln x )′ = (ln x)′ = , x ( x )′ 1 当x < 0时， y′ = (ln x )′ = [ln( x)]′ = = , x x 1 综 ， (ln x )′ = . 上 x
不定积分的性质
1. [∫ f ( x)dx]′ = f ( x).
不定积分的导数等于被积函 数.
2.
∫ F′( x)dx = F( x) + C,或∫ dF( x) = F( x) + C.
函 数的 导 数 ( 或微 分 ) 的不 定 积 分等 于 该
函数与任意常数之和.
微分运算与求不定积分的运算是互逆 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 互逆的
5)∫ exdx = ex + C;
熟 记 基 本 公 式
a 6)∫ a dx = + C; lna
x
x
7)∫ cos xdx = sin x + C; 8)∫ sin xdx = cos x + C; 9)∫ sec2 xdx = tan x + C; 10)∫ csc xdx = cot x + C;
设y = f [ ( x )]是由函数y = f ( u)及u = ( x ) 复合而成的函数，并设函数u = ( x )在点x处 可导，y = f ( u)在对应点u = ( x )处也可导， 则 有复 合函数 的求导 法则 ：
此式也可 写为
dy = f ′(u) ′( x), dx
中间变 量 自变 量
解( x) v( x sin = u′( x)′v( x) + u( x)v′( x) [u y′ = ( x)]′ x ln x )
= ( x sin x )′ ln x + x sin x (ln x )′ 1 = (sin x + x cos x ) ln x + x sin x x
= (sin x + x cos x ) ln x + sin x .
一个函数的原函数是不是只有一个呢？ 一个函数的原函数是不是只有一个呢？
一个函数的原函数是不是只有一个呢？ 一个函数的原函数是不是只有一个呢？ 以下的例子中 C 为任意常数
1. (sin x )′ = cos x , (sin x + C )′ = cos x .
1 1 (ln x + C )′ = . , 2. (ln x )′ = x x 1 3. ( cos 2 x )′ = sin 2 x , 2 1 ( cos 2 x －3 ′ = sin 2 x , + 1) 2 1 ( cos 2 x + C )′ = sin 2 x . 2
1 1 x
2
(arccos x)′ =
1 1 x
2
;
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 (arccot x)′ = . 2 1+ x
例1 已知y = x ln x + 2 x cos x + π ,,,,求y′. π
2
π 解 y′ = ( x ln x + 2 x cos x + π )′
dy dy du dv = . dx du dv dx
3 y 例 y = sin x,求 ′.