高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理学案 理 北师大版

§3.3定积分与微积分基本定理1．定积分的定义给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)：将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.第i个小区间为[x i－1，x i]，设其长度为Δx i，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[x i－x i]上的值最大．设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δx i＋…＋f(ξn)Δx n.在这个1，小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[x i－1，x i]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δx i＋…＋f(ζn)Δx n.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分．记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x＝A.2．定积分的性质①ʃb a1d x＝b－a.②ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x.③ʃb a[f(x)±g(x)]d x＝ʃb a f(x)d x±ʃb a g(x)d x.④ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x.3．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．知识拓展1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x . (2)若f (x )为奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃba f (t )d t .( √ ) (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃba f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × ) 题组二 教材改编 2．ʃe ＋121x －1d x ＝ . 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．ʃ0－11－x 2d x ＝ . 答案π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是 m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t |21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．题组三 易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝8－14×24＝4，故选D.6．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为 ． 答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3.7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为 ．答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1+x |10＝13＋1＝43.题型一 定积分的计算1．ʃ1－1e |x |d x 的值为( ) A ．2 B ．2e C ．2e －2 D ．2e ＋2答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －xd x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C.2．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在 答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10+⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.3．(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ . 答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x ＝2 ʃ10x 2dx=2·x 33|10＝23.思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分 典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝ . (2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝ . 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.命题点2 求平面图形的面积典例 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为 ． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)， 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为113⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋ʃ31(3－x )d x ＝(3x －ln x )113|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2|31＝(3－1－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为 ． 答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ39－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为 ．答案 94解析 由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4.易知抛物线在点A 处的切线斜率k 1＝4，在点B 处的切线斜率k 2＝－2.因此，抛物线在点A 处的切线方程为y ＝4x －3，在点B 处的切线方程为y ＝－2x ＋6.两切线交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是S ＝320⎰[(4x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋332⎰[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x ＝320⎰x 2d x ＋332⎰(x 2－6x ＋9)d x＝13x 3320|+⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 332| ＝98＋98＝94. 题型三 定积分在物理中的应用典例 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为m.答案494解析 由图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t 2112|+2t|31⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃba v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .跟踪训练 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233J C.433 JD ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×32|21＝433，∴F (x )做的功为433 J.1．20π⎰sin 2x2d x 等于( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰1－cos x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x 20|π＝π4－12. 2．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( ) A ．π B.π2C ．π＋1D ．π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝π2＋12x 2|1－1＝π2.故选B. 3.已知函数y ＝f (x )的图像为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 2－x |0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |10＝－13－23＝－1，故选D.4．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 6．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( ) A ．a >b B ．a ＋b <1 C ．a <b D ．a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1. ∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A. 7．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1.8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 9．20π⎰2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ＝ .答案 2 解析 由题意得20π⎰2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x＝20π⎰(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )π20|＝⎝⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 10．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ． 答案3解析 所求面积S ＝π3π3⎰－cos x d x ＝sin x π3π3|-＝sin π3－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝ 3.11．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝ .答案 49解析 封闭图形如图所示，则ʃa0x d x =2332x |a 0＝2332a －0＝a 2，解得a ＝49.12.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为 ．答案 43解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图像过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15 答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积S ＝ʃ10(x -x 2)d x=(2332x -13x 3)|10＝13， 故选A.14．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 方法一 S 1＝ 13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.15．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝ .答案 π2＋e －1e －2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x－1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2.而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2.16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝ .答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x44－x 3|20＝－4.。