广义积分
广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
广义积分的计算方法
广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。
在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。
首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。
具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。
否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。
在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。
其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。
另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。
在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。
最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。
有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。
同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。
总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
10广义积分
在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记
lim a f ( x)dx a
b
b
f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ： 如 果 函 数 f : (a, b)
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10.3 广义积分的收敛性 判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分 随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的 收敛性。 Cauchy 准则、 单调有界收敛定理、 夹逼定理是判定收敛的普遍方法， 对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。 广义积分收敛的 Cauchy 准则 定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim
2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x
sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
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解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
第九讲广义积分
第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。
数学分析中的广义积分和应用
在数学分析中，广义积分是一个重要的概念，是对一些函数在区间上的积分的推广。
它的应用广泛，涉及到很多领域的计算和解决问题。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及一些应用。
首先，我们来看广义积分的定义。
在实数轴上，如果一个函数f(x)在区间[a,b)上是可积的，且对于任意的a≤c<b，都存在lim(x->c)∫[a,x] f(t)dt存在，则称该广义积分为收敛的，记作∫[a,b) f(x)dx。
如果lim(x->c)∫[a,x]f(t)dt不存在，则称该广义积分是发散的。
广义积分的性质与普通积分类似，我们可以用线性性、单调性、积分中值定理等方法来进行计算和证明。
此外，广义积分也满足Cauchy准则，即对于任意的ε>0，存在一个常数M>0，使得当a≤c≤d<b且|∫[c,d] f(x)dx|≥M时，有|∫[c,d] f(x)dx|<ε。
这个准则的意义在于可以通过对广义积分加上一个足够小的区间上的柯西收敛项来确定收敛性。
广义积分的应用领域非常广泛。
首先是在物理学中的力学、电磁学等方面的应用。
例如，在力学中，我们常常需要计算粒子在各种运动状态下的能量，这就需要对速度函数或者加速度函数进行广义积分。
在电磁学中，我们需要计算电场、磁场引起的能量分布，同样需要对电场强度或磁感应强度进行广义积分。
另外，在概率统计学中，广义积分也有着重要的应用。
概率密度函数可以看作是一种特殊的函数，它的积分对应于其概率的累积分布函数。
通过对概率密度函数进行广义积分，可以计算某个随机变量落在某个区间内的概率。
此外，在经济学中，广义积分也有一些应用。
经济学中的利润函数、边际效益函数等都可以看作是对某种经济现象的描述，而对这些函数进行广义积分可以得到更加具体的结果，帮助我们理解和解决实际经济问题。
最后，广义积分在工程学、生物学、医学等领域也有着广泛的应用。
例如，在工程学中，我们常常需要计算某个工程问题的能量消耗或者材料消耗，这就需要对相应的能量函数或者材料函数进行广义积分。
广义积分与无穷小量的概念与运算
广义积分与无穷小量的概念与运算在微积分学中，广义积分是一种重要的数学工具。
它的概念与运算方法与无穷小量密切相关。
本文将介绍广义积分和无穷小量的基本概念，并探讨它们之间的运算规则。
一、广义积分的概念广义积分是对一定范围内函数的积分运算。
它与定积分的概念类似，但对于某些函数而言，定积分的定义不能直接适用。
这时，我们就需要引入广义积分来处理这种情况。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的广义积分可表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁻)〖∫_a^t f(x)dx〗其中，lim表示极限，a和b为积分区间的端点。
在计算广义积分时，我们通常将b设为一个趋于无穷的数，使得函数在该点不再有定义上的问题。
二、无穷小量的概念无穷小量是微积分中一个重要的概念，它表示当自变量趋于某个确定值时，函数取得的极限为零。
无穷小量常用符号o来表示。
形式化地，如果当x趋于a时，函数f(x)满足lim┬(x→a)〖f(x) = 0〗，则称f(x)为x趋于a时的无穷小量。
无穷小量在微积分中有着广泛的应用。
例如，在求导数和积分中，可以利用无穷小量的性质进行计算和推导。
三、广义积分与无穷小量的关系广义积分中的无穷小量概念与极限的思想密切相关。
为了更好地理解广义积分与无穷小量的关系，我们以一个例子来说明。
考虑函数f(x) = 1/x，我们想要求解∫f(x)dx，其中积分区间为[1, ∞)。
首先，我们将该广义积分问题转化为极限问题，即求解lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx〗。
根据定积分的性质，我们可以通过求解定积分的极限来得到广义积分的值。
进一步计算，我们有：lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx = lim┬(t→∞)〖ln(t) - ln(1)〗= ∞〗由此可见，在这个例子中，广义积分∫f(x)dx的值为无穷大。
这说明函数f(x) = 1/x在区间[1, ∞)上不满足定积分的定义，因此需要引入广义积分的概念来处理。
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其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
+∞
dx 例3 ∫ −∞ 1+ x2
=∫
0 −∞ +∞ dx dx +∫ 2 2 0 1+ x 1+ x
+∞
= arctan x −∞ + arctan x 0
例8 计算广义积分 解
∫
1
0
1 dx . x
收敛
易知0 易知0为奇点 ，
∫
1 0
1 1 dx = 2 x 0 x = 2 − lim 2 x
x →0
= 2.
例9
∫
∫
3 0
3
dx ( x −1)
2 3
0
.
收敛
是奇点， 注意： 解 注意：x = 1 是奇点，
dx
2 3
∫
( x − 1) 1 dx dx
+
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛； 收敛 当极限不存在时，称广义积分发散 发散. 当极限不存在时，称广义积分发散.
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a < c < b ) 外连 的邻域内无界( 为瑕点) 续，而在点c 的邻域内无界(c 为瑕点).如果两个 都收敛， 广义积分 ∫a f ( x )dx 和 ∫c f ( x )dx 都收敛，则定义
2 1
原式 = ∫ ( x − 1 +
1 ) dx x −1
2 2 8 3/ 2 2 = ( x − 1) + 2 x −1 = . 1 1 3 3
解2. 设 x − 1 = t , 则x = t 2 + 1 , dx = 2tdt ,
x →1⇒ t → 0; x = 2⇒ t =1, 2 1 1t + 1 = 2∫ ( t 2 + 1)dt 原式 = ∫ ⋅ 2 td t 0 0 t
1 3 8 = 2( t + t ) = . 3 3 0
1
例11
∫
1
0
ln x dx = ( x ln x ) 0 −
1
x→0
∫ dx
0
1
= (0 − lim+ x ln x ) − 1
= −1 .
1 ln x = lim+ = lim+ x = − lim+ x = 0 1 1 x→0 x→0 x→0 − 2 x x
a→−∞
b
限为函数 f ( x ) 在无穷区间 ( −∞, b] 上的广义积 分，记作∫−∞ f ( x )dx.
b
∫−∞ f ( x)dx = alim ∫a f ( x)dx →−∞
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛； 收敛 发散. 当极限不存在时，称广义积分发散 当极限不存在时，称广义积分发散.
b b→+∞
∫a
+∞
f ( x)dx = lim ∫a f ( x)dx
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限存在时，称广义积分收敛； 收敛 当极限不存在时，称广义积分发散 发散. 当极限不存在时，称广义积分发散.
类似地， 上连续， 类似地，设函数 f ( x ) 在区间(−∞, b]上连续，取
a < b ，如果极限 lim ∫a f ( x )dx 存在，则称此极 存在，
例4 讨论广义积分 解 当 p = 1 时,
∫
+∞
a
1 dx ( a > 0 , p > 0 )的收敛性. 的收敛性. p x
∫
+∞ a
1 dx = ln x x
+∞ a
= +∞ ，
所以积分发散； 所以积分发散； 积分发散
当 p ≠ 1时 , 1− p +∞ 1 x ∫ a x p dx = 1 − p
广义积分
在前面所讨论的定积分事实上是有条件 一是积分区间是有限区间， 的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数 在积分区间上有界。 在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这 两个前提， 两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广 ：无穷区间上的积分——无穷限积分，无界函 无穷区间上的积分 无穷限积分， 无穷限积分 数在有限区间上的积分——无界函数积分或瑕 无界函数积分或 数在有限区间上的积分 无界函数积分 积分，统称为广义积分或旁义积分， 积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论 过的定积分称为常义积分。 过的定积分称为常义积分。
0
= −[ lim xe
x → +∞
x → +∞
+e
− x +∞
x → +∞
lim xe
−x
x = lim x x → +∞ e
]
= −[0 + ( lim e − x − e 0 )]
=1.
1 = lim x = 0 x → +∞ e
说明: 说明 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可 以互相转化 以互 相转化 .
a 为 f ( x ) 的奇点或瑕点. 奇点或瑕点.
上连续， 定义 2 设函数 f ( x ) 在区间(a , b]上连续，而在 的右邻域内无界( 为瑕点) 点 a 的右邻域内无界(a 为瑕点)．取ε > 0 ，如果 存在， 极限 lim ∫a +ε f ( x )dx 存在 ， 则称此极限为函数
ε → +0
例6
∫
+∞
0
dx . 2 2 (1+ x )
解
令 x = tan t , 则dx = sec 2 tdt ,
x = 0 ⇒ t = 0,
原式 =
x → +∞ ⇒ t →
2
π
2
,
∫
π
2 0
π sec t dt = 2 cos2 t dt 4 ∫0 sec t
=
π
4
.
二、无界函数的广义积分
的任一邻域内都无界, 如果函数 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界,则称点
0
+∞
= arctan 0 − lim arctan x x →−∞ + lim arctan x − arctan 0
= [0 − ( −
π
x →+∞
2
)] + [
π
2
− 0]
=π.
例4 讨论广义积分 解 当 p = 1 时,
∫
+∞
a
1 dx ( a > 0 , p > 0 )的收敛性. 的收敛性. p x
类似地， 上连续， 类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b )上连续， 的左邻域内无界( 为瑕点) 而在点 b 的左邻域内无界(b 为瑕点).取ε > 0 ， 如果极限 lim ∫a
ε → +0
b
b −ε
存在， f ( x )dx 存在，则称此极限为
b −ε
上的广义积分， 函数 f ( x ) 在区间[a , b )上的广义积分， 记作 ∫a f ( x )dx = εlim ∫a →0
b
b
∫ ∫
∫
+∞ a b
f ( x)dx = lim ∫
b
−∞
f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx = lim F( x) a = F( x) −∞
b b
a→−∞ a
b→+∞ a b
lim F( x) b = F( x) +∞ f ( x)dx = b→+∞ a a
a→−∞
而对
+∞ a
=∫
1 0
dx ( x − 1)
1 3
2 3
+∫
3
dx ( x − 1)
2 3
1
，
0
∫
( x − 1) 3 dx