(整理)9广义积分习题课.
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
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性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
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注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
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广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
广义积分敛散性分析_唐廷载
的还是发散的,数P的选取就带有一定的盲目性,常常出现不是把P选大了就是把P
选小了,因而不能判定的情况.究其原因,就是没有对被积函数厂(x)在x”+co或x、
b一0时的数量级进行必要的估计、分析,或者不一明确厂(x)的数量级同广义积分敛散性
阶数不高于从。<、<l)}。,,、}。,}。n,、汗。).,‘.,占沪}名声喃伪、}‘U,孟,口二‘{,人J)、
一
竺型噜生一一一一一一一{‘{{--—非无穷小量的正有界量{(氏1〕{发散{(o、1)1收敛阶数不高于;(。<;<l){,八、,、_,’庵。}。。,、一卜护豪器劣吴童尸、“一尸一“…‘”,‘’“’博散{〔气‘’准歇
唐拜载
1。问题的提出
在〔l〕第331一332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法:
I、设在〔a,+co)上厂(x)》0、并且连续:.
(1)如果limx”f(x)二l,其中0砍I<+co,P>l,
则I)”,(x)dx收敛;
(2)如果limx广(x)二l,其中0<l(+的,P簇l,
十‘.
表2广义积分敛散性同被积函数数量级和P的选取范围的关系
一
一-----,-----~-~
f(x,的数”一丁卜x)As一}一丁:f(x)d劣-
p的选取范围{敛散性
(l,+co)!收敛
P的选取范围{敛散性
常量零(一OO,1)1收敛敛
严巫阵l一阵一呼一阵阶数不低于入(入>l)的无穷小量(1,入〕敛}(一入,1)收敛1阶无穷小量散1(一‘,士…收,
二
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第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。
2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。
3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。
2、Cauchy 法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。
3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。
注意判别法使用的顺序。
例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。
q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。
05 第五节 广义积分
第五节 广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.分布图示★ 无穷限的广义积分★ 无穷限的广义积分几何解释★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 无界函数的广义积分★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题5-5 ★ 返回内容要点一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分⎰+∞-0dx e x .解 对任意的,0>b 有⎰-bx dx e 0⎰----=--bbxee 0)1(b e --=1于是⎰-+∞→bx b dx e 0lim)1(lim b b e -+∞→-=01-=1=因此⎰∞+-0dx e x⎰-+∞→=bxb dx e 0lim1=或⎰∞+-0dx e x+∞--=0xe )1(0--=.1=例2 (E02) 判断广义积分⎰+∞sin xdx 的敛散性.解 对任意,0>b⎰bxdx 0sin b xcos -=)0(cos cos +-=b b cos 1-=因为)cos 1(lim b b -+∞→不存在，故由定义知无穷积分⎰+∞sin xdx 发散.例3 (E03) 计算广义积分⎰+∞∞-+21x dx.解 ⎰∞+∞-+21x dx ⎰⎰+∞∞-+++=020211x dx x dx ⎰⎰+++=+∞→-∞→bb a a x dxx dx0221lim 1limb b a a x x 00][arctan lim ][arctan lim +∞→-∞→+=b a b a arctan lim arctan lim +∞→-∞→+=22ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.π=例4 计算广义积分.1sin 1/22⎰∞+πdx x x解 原式⎰∞+⎪⎭⎫⎝⎛-=π211sin x d x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→bb x d x π211sin limbb x π21cos lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+∞→2cos 1cos lim πb b .1=例5 (E04) 计算广义积分⎰+∞-0dt te pt (p 是常数, 且0>p 时收敛).解⎰∞+-0dt te pt ⎰∞+--=01pttdep⎰∞+-+∞-+-=011dt e pte ppt pt+∞-+∞---=02011pt pte pte p)10(10lim 12--+-=-+∞→p te p pt t .12p= 注: 其中不定式pt t te -+∞→lim ptt e t+∞→=limpt t pe 1lim+∞→=.0=例6 (E05) 讨论广义积分⎰∞+11dx x p的敛散性. 证 )1(,1=p ⎰∞+11dx xp ⎰∞+=11dx x+∞=1ln x ;+∞=)2(,1≠p ⎰∞+11dx x p +∞--=111p x p⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=1,111,p p p因此，当1>p 时，题设广义积分收敛，其值为;11-p 当1≤p 时，题设广义积分发散.无界函数的广义积分例7 (E06) 计算广义积分).0(022>-⎰a xa dx a解 原式⎰-→-=+εεa x a dx 0220lim εε-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+a a x 00arcsin lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+→0arcsin lim 0a a εε.2π=例8 (E07) 计算广义积分 ⎰21ln xx dx. 解⎰21ln x x dx⎰+→+=210ln lim εεx x dx⎰+→+=210ln )(ln lim εεxx d 210)][ln(ln lim εε+→+=x ))]1ln(ln()2[ln(ln lim 0εε+-=+→.∞=故题设广义积分发散.例9 (E08) 讨论广义积分⎰11dx x q的敛散性. 证 )1(,1=q ⎰101dx x q⎰=101dx x10ln x =,+∞=)2(,1≠q ⎰101dx x q 1011q x q -=-⎪⎩⎪⎨⎧<->∞+=1,111,q qq 因此，当1<q 时，广义积分收敛，其值为;11q- 当1≥q 时，广义积分发散.例10 计算广义积分⎰=⋅-33/21)1(x x dx瑕点. 解⎰-303/2)1(x dx⎰⎰-+-=313/2103/2)1()1(x dxx dx⎰-103/2)1(x dx 13/1)1(3/211--=x 3=， ⎰-313/2)1(x dx 313/1)1(3/211--=x ,233⋅= ∴⎰-303/2)1(x dx).21(33+=例11 计算广义积分.)1(03⎰∞++x x dx解 此题为混合型广义积分，积分上限为,+∞下限0=x 为被积函数的瑕点. 令,t x =则,2t x =+→0x 时，,0→t +∞→x 时，,+∞→t 于是⎰+∞+03)1(x x dx ⎰∞++=2/32)1(2t t tdt.)1(202/32⎰∞++=t dt再令,tan u t =取,arctan t u =0=t 时,0=u +∞→t 时,2π→u 于是⎰∞++03)1(x x dx ⎰=2032sec sec 2πuudu⎰=20cos 2πudu .2=注: 本题若采用变换t x =+11等，计算会更简单,请读者自行解之.例12 (E09) 计算广义积分⎰-10)1(arcsindx x x x .解 被积函数有两个可疑的瑕点:0=x 和.1=x 因为1)1(arcsin lim 0=-+→x x x x 所以, 1=x 是被积函数的唯一瑕点.从而⎰-1)1(arcsin dx x x x ⎰-=1)1(arcsin dx x x x 102)(arcsin x =.42π=例13 计算.11105⎰∞+++xx x dx解 分母的阶数较高，可利用到代换，令,1tx =则⎰∞+++11051xx x dx ⎰++-=110541dt tt t ⎰++=110541tt dt t再令,5t u =则⎰++110541tt dt t ⎰++=12151u u du ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12432151u du102121ln 51⎪⎭⎫⎝⎛++++=u u u .321ln 51⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=课堂练习1. 计算广义积分⎰+∞+122)1(ln dx x xx ;2. 判断广义积分⎰-101ln dx x x的瑕点.。
13.积分与反常积分习题题目2010_45405037
１． ∫0 x 3 e − x dx ；
+∞
2
２． ∫1
π
+∞
arctan x dx ； x2
３． ∫0
+∞
x ln x (1 + x 2 ) 2
dx ；
4．计算 Euler 积分 五、证明题 （１）举例说明：
∫
2 0
ln sin xdx ．
∫a
+∞
f ( x)dx 收敛未必有 lim f ( x) = 0 ．即使非负函数也是如此．
二、定积分 ∫0 f ( x)dx 是和式 ∑ f (ξ i ) ⋅ Δxi 的极限，这个定义为定积分的近似计算提供了依
i =1
1
n
据．设定积分
∫0 f ( x)dx
1
存 在 ， 则 当 n → ∞ 时 ， 两 个 和 式 ： Sn =
1 n i −1 )和 ∑ f( n i =1 n
Σn =
1 n 2i − 1 1 ) 都趋向于 ∫0 f ( x)dx ．不过收敛速度有所不同．研究下面的问题： ∑ f( n i =1 2n
x →+∞ +∞
（２） 求证： 如果 f ( x) 在 [a,+∞) 上非负且一致连续，∫a 后习题）
f ( x)dx 收敛， 则 lim f ( x) = 0 ． （书
x →+∞
假设 f ′( x) 在 [0,1] 上连续，试证 （1） |
∫
1
0
f ( x)dx − S n |≤
a ≤ x ≤b
1 M； 2n
（2） |
∫
1
0
f ( x)dx − Σ n |≤
1 M， 4n
(整理)广义积分被积函数的极限
三、规划环境影响评价
4.建设项目环境影响评价文件的分级审批
1.依法评价原则；
The Limit of The Generalized Integral’s integrand
广义积分被积函数的极限
顾敏康01830535
（徐州师范大学数学系徐州221116）
摘要本文讨论了广义积分 的被积函数 当 时的极限情况，这里我总结出了几个 的条件.
关键词广义积分;被积函数;极限
由文献[1]知无穷积分 收敛，则有当 时 是否成立？反之是否成立？结果答案都是否定的.例如 不存在，但 收敛，而 ，但 发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当 时为零.
则
.
证明方法与过程同上.
最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件.
定理3若函数 在 上有连续的导数， 和 都收敛，
则
证明由于 有连续的导数，则
由 收敛知 存在，
不妨设
若 不妨设 取 则存在 ，当 时，有
从而
这与 收敛矛盾.
所以
例3对定义在 上的函数 显然在 上有连续的导数，对无穷积分
由于
故函数 在 上一致连续.
引理3若函数 在 上可导，且 有 其中 为常数，则 在 上一致连续.
证明因为 在 上可导，对 ，
则 在 上连续，在 内可导，
所以
从而
.
由引理2知 在 上一致连续.
高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。