数学进位制与位值原理课件五年级奥数2020年
小学奥数讲义5年级-12-位值原理-难版
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。
写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。
用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：其中a 可以是1～9中的数码，但不能是0，b 和c 是0～9中的数码。
利用位值原理可以解决很多数论问题。
【例1】某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；【解析】本题属于基础型题型。
我们不妨设a ＞b ＞c 。
典型例题知识梳理(abc -cba ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c ； 【小试牛刀】ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差；【解析】(ab -ba ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b ；【例2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．【小试牛刀】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数． 【解析】设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-． 根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+． 推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【例3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？ 【解析】设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【小试牛刀】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【例4】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。
数学：第15讲《位值原理与进位制进阶》讲义
天很多同类被抓走了，痛苦 的捂住了眼睛 . 他想知道 今天有多少同类被图中的怪 物抓走了，你该如何告诉 他？ 【答案】 （1）137 ； （2） 【分析】 （1）观察发现怪物共有 8 个手 指，可知怪物使用 8 进制： 2 1 1 8 2 8 137 （2）观察可知此怪物用六进 制，137 3 62 4 6 5 ，因 此 (137)10 (345)6 ，则表示方法 应为： 倒取余数法：
(4)a,b,c 分别是 0～9 中不同的数 码,用 a,b,c 共可组成六个三位数, 如果其中五个三位数之和是 2234,那么另一个三位数是 _____. 【分析】 (1)123+132+213+231+312+321 =1332 (2) abc acb bac bac cab cba 222 (a b c) ,一定是 222 的 倍数. (3)设这三个数字分别是 a 、b 、c , 有 222 a b c 2886, a b c 13; 百位最小为 1,和为 13,应该让个 位越大越好,个位为 9,因此最小 值为 139;
abcd cdab 1010a 101b 1010c 101d
,是 101 的倍数.在所给的 5 个数 中只有 9696 是 101 的倍数,故正 确的答案为 9696. 练一练 (1)一个四位数,将其 4 个数位上 的数字求和,再加上原来的四位 数,得到一个新的四位数;再将得 到的新四位数 4 个数位上的数字 求和,再加上这个新的四位数,又 得到一个新四位数;如此操作四 次,最后得到的数是 2012,问最初 的四位数是多少? (2)以五位数为例说明： 其原序数 和反序数之差一定是 99 的倍数．
进位制 课件
类型 一 k进制数转化为十进制数
【典型例题】
1.把七进制数123化成十进制数为
.
2.下列各数85(9),301(5),
1000(4)中最小的数是
.
【解题探究】1.七进制数从右边数第二位的数字若是 k(k=0,1,2,3,4,5,6),其在十进制中表示的数是多少? 2.相同进制中,位数越多的数越大对吗?不同进制中的数如何比 较大小? 探究提示:1.表示的数是7k. 2.对,相同进制中,位数越多的数越大,不同进制中的数需化为同 进制中的数比较大小,通常都化为十进制数.
【互动探究】把题2中的四进制数化为十二进制数. 【解题指南】结合题2的解法,转化为十进制数458,然后再化 为十二进制数. 【解析】由本题2的解答知13022(4)=458, 再把十进数458化为十二进制数. 458=322(12), 故13022(4)=322(12).
【解析】1.选C.因为 所以15=1111(2),故C正确.
2.先把四进制数13022化为十进制数. 13022(4)=1×44+3×43+0×42+2×4+2×40 =256+192+0+8+2 =458. 再把十进制数458化为六进制数. 458=2042(6). 故13022(4)=2042(6).
除k取余法
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)七进制的基数是7,用0,1,2,3,4,5,6六个数字表示.( ) (2)任何进位制中都要用到数字0.( ) (3)不同进位制中,十进制的数比二进制的数大.( )
提示:(1)正确.由几进制的基数就是几知(1)正确. (2)正确.0在进位制中都是要用到的数. (3)错误.不同进位制中的数,要化为同一进位制下的数才能比 较大小. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
五年级奥数位值原理
位值原理知识框架当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲知识点一：位值原理的认识【例 1】填空：365= ×100+ ×10+ ×1365=36×+5×=2×+3×＋a×+b×=203 +×【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。
五年级奥数. 数论.位值原理(C级).学生版
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。
解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题【例 1】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．知识框架重难点例题精讲位值原理【巩固】将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。
那么B＋A是B－A的________倍。
五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
进位制之间的转换课件
数据的混淆和加密。
工程技术中的应用
01
02
03
电子工程
在电子工程中，进位制转 换用于数字电路设计和分 析，如逻辑电路、微处理 器等。
通信工程
通信工程中的信号处理和 编码解码过程常常涉及到 进位制转换，如调制解调 、信道编码等。
自动化系统
在自动化控制系统中，进 位制转换用于数字化传感 器的信号处理和控制系统 的数据传输。
二进制转八进制
从右往左每三位一组，不足三位补0，然后每组中的二进制数对应 一个八进制数。
二进制转十六进制
从右往左每四位一组，不足四位补0，然后每组中的二进制数对应 一个十六进制数。
八进制、十六进制转二进制
将每位八进制或十六进制数转换为对应的二进制数，然后按照顺序 拼接起来即可。
03
进位制转换方法
整数部分的转换方法
整体转换法
将混合数看作一个整体，使用整数部分转换方法进行转换， 注意小数点的位置，得到转换结果。
04
进位制转换实例解析
二进制与十进制转换实例
01
02
03
04
转换方法
将二进制数按权展开求和即可 得到相应的十进制数。
例子
二进制数 1011 转换为十进制 数。
• 计算
1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
常见进位制类型
十进制（Decimal）
使用0-9这10个数字符号，基 数为10。
二进制（Binary）
使用0和1两个数字符号，基数 为2。
八进制（Octal）
使用0-7这8个数字符号，基数 为8。
五年级奥数春季实验班第4讲 数论基础之进位制
盘。
解：(11111)10=(10101101100111)2，
相当于在右盘上已经有了 1 克、2 克、4 克、32 克、64 克、256 克、512 克、2048 克、8192 克的重量；
从低位看起，把 1 克、2 克的砝码放在左盘，把 4 克、8 克的砝码放在右盘，把 16 克的砝码放在左盘；
第四讲 数论基础之进位制
模块 1、十进制和 k 进制的相互转化以及 k 进制下的直接运算
例 1．（1）在二进制下进行加法：(101010)2+(1010010)2=(
)2；
（2）在七进制下进行加法：(1203)7+(64251)7=(
)7；
（3）在九进制下进行加法：(178)9+(8803)9=(
)9；
例 3．在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为
。
解：( abc )6=(a×62+b×6+c)10， ( cba )9=(c×92+b×9+a)10，
所以 36a+6b+c=81c+9b+a，得 35a−3b−80c=0，其中 a、c≠0，a、b、c 都是小于 6 的自然数。 其中 35a 与 80c 都是 5 的倍数，所以 3b 也是 5 的倍数，若 b=0，则有 7a=16c，矛盾； 所以 b=5，得 7a=3+16c，得 c=2，a=5， 所以在六进制中是 552，在九进制中是 255，在十进制中是 5×62+5×6+2=212。
解：（1）(101010)2+(1010010)2=( 1111100 )2；
101010 1010010
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小练习
①（1001）2+（111）2=（10000）2 ②（11010）2-（101）2=（10701）2
.
例题【三】（★ ★ ★）
① (101) 2 ×(1011)2-(11011)2-（11011）2=（11100）2 ② (11000111）2-(10101）2÷(11）2=（11000000）2 ③ (3021)4 +(605)7 =(500)10 ④ (63121)8 -(1247)8 -(16034)8-(26531)8-(1744)8 = （）8
例题【一】（★ ★ ）
⑴将(2009)10写成二进制数 ⑵把十进制数 2008转化为十六进制数
（2009）10=（111110011001）2
例题【一】（★ ★ ）
⑴将(2009)10写成二进制数 ⑵把十进制数 2008转化为十六进制数
例题【二】（★ ★ ★）
把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16.
进制问题
五年级 第十四课
本讲主线
1、进制之间的转换. 2、进制的四则计算.
3、进制与位值原理.
知识要点屋
1、常见进制：二进制、十进制、十二进制、十六进制、二十四进制、六 十进制，
2、二进制：只使用数字0、1，在计数与计算时必须是“满二进 一”.
知识要点屋
十进制转n进制： 短除、取余、倒写.
例如：
计算 2、速算巧算无国界
例题【四】（★ ★ ★ ★ ）
在7进制中有三位数 abc ，化为9进制为 cba，求这个三位数在十
进制中为多少？
化为十进制，（abc）7=a×72+b×7+c=49a+7b+c； （cba）9=c×92+b×9+a=81c+9b+a
得到49a+7b+c+81c+9b+a 48a=80c+2b，
例题【五】（★ ★ ★ ★）
用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字， 如果（ade）,(adc),(aab)是由小到大排列的连续正整数， 那么(cde)5 所表示的整数写成十进制的表示是多少？
（abe）5=（413）5=4×52+1×5+3=108
知识链接
1、进制转换：
⑴ 10转n：短除、取余、倒写 ⑵ n转10：写指、相乘、求和
24a=40c+b 因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数， 所以b也应该是8的倍数，于是b=0或8、 因为7进制，所以b=0
例题【四】（★ ★ ★ ★ ）
在7进制中有三位数 abc ，化为9进制为 cba，求这个三位数在十
进制中为多少？
24a=40c， 则3a=5a. 所以a为5的倍数，c为3的倍数， 则a=0或5，但是首位不可以是0于是a=5，c=3； 所以（abc）7=（503）7=5×49+3=248
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2、n进制计算： ⑴ 同进制下，可以直接计算. (2)不同进制，借助十进制转换计算 3、位值原理 ⑴ 借助数位，按数位进行计算. ⑵ 根据具体位置特征进行估算.
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前言
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（2）（2BA）12=2×122-B×121+A×12 =2×144+11×12+10×1 =288+132+10 =288+142 =（430）10
（1） 4×82+6×81+3×8 =4×64+6×8+3×1 =256+45+3 =256+51
=（307）10
例题【二】（★ ★ ★）
把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5单击添加标题
02
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03
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04
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①原式=（110111）2-（11011）2 =（11100）2
②原式=（11000111）2-（111）2 =（11000000）2
例题【三】（★ ★ ★）
① (101) 2 ×(1011)2-(11011)2-（11011）2=（11100）2 ② (11000111）2-(10101）2÷(11）2=（11000000）2 ③ (3021)4 +(605)7 =(500)10 ④ (63121)8 -(1247)8 -(16034)8-(26531)8-(1744)8 =（13121）8
③（3021）4+（605）7 =（3×43+2×4+1）10+（6×72+5）10 =（500）10
④原式 = (63121)8 -(1247)8 -(16034)8-(26531)8-(1744)8 =（63121）8-（30000）8-（20000）8 =（13121）8
知识链接
n进制四则 1、同一进制下，可以直接
(1234)10= (1200201) 3
知识要点屋
把下列各数转化成相应的进制数：
（37）10=（ 100101 ）2
（242）10=（22222）3
知识要点屋
4、关于进位制 ⑴ 本质：n进制就是逢n进一 ⑵ n进制下的数字最大为(n－1) 特别的：超过9的一般用大写英文字母表示 例如，十六进制中，10、11、12、13、14、15、 分别用A、B、C、D、E、F表示