中考数学初中数学 旋转-经典压轴题及详细答案

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P'D= 3 O'D= 9 ，∴ DH=O'H﹣O'D= 6 3 ，O'H+P'D= 27 ，∴ P'（ 27 ，6 3 ）．
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【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含 30 度角的直角三 角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键．
（2）∵ ∠ FAE＝45°，∠ ACB＝45°，∴ ∠ FAC＋∠ CAE＝45°，∠ CAE＋∠ AEC＝45°，∴ ∠ FAC
＝∠ AEC．
又∵ ∠ ACF＝∠ ECA＝135°，∴ △ ACF∽ △ ECA，∴ AC CF ，∴ 4 2 CF ，∴ CF＝
EC CA
4 42
8，即 b＝8．
【答案】（1）5
2
；（2）O'（
9 2
，
33 2
）；（3）P'（
27 5
，
63 5
）.
【解析】
【分析】
（1）先求出 AB．利用旋转判断出△ ABB'是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先判断出∠ HAO'=60°，利用含 30 度角的直角三角形的性质求出 AH，OH，即可得出 结论； （3）先确定出直线 O'C 的解析式，进而确定出点 P 的坐标，再利用含 30 度角的直角三角 形的性质即可得出结论． 【详解】 （1）∵ A（3，0），B（0，4），∴ OA=3，OB=4，∴ AB=5，由旋转知，BA=B'A，
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题及详细答案
一、旋转
1．已知正方形 ABCD 的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45°角绕点 A 旋转，角的两边分别 与 BC、DC 的延长线交于点 E、F，连接 EF，设 CE＝a，CF＝b．
（1）如图 1，当 a＝ 4 2 时，求 b 的值；
（2）当 a＝4 时，在图 2 中画出相应的图形并求出 b 的值； （3）如图 3，请直接写出∠ EAF 绕点 A 旋转的过程中 a、b 满足的关系式．
【答案】（1）△ OFC 是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF．（3）PE：PF=1：3． 【解析】 【小题 1】由题意可知，①当 F 为 BC 的中点时，由 AB=BC=5，可以推出 CF 和 OF 的长 度，即可推出 BF 的长度，②当 B 与 F 重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出 OF 的长度，即可推出 BF 的长度； 【小题 2】连接 OB，由已知条件推出△ OEB≌ △ OFC，即可推出 OE=OF； 【小题 3】过点 P 做 PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△ PNF∽ △ PME，△ APM∽ △ PNC， 继而推出 PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出 PA：AC=PE：PF=1： 4．
给出△ OFC 是等腰直角三角形时 BF 的长）；若不能，请说明理由； （2）三角板绕点 O 旋转，线段 OE 和 OF 之间有什么数量关系？用图①或②加以证明； （3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点 P 处（如图③），当 AP:AC=1:4 时，PE 和 PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．
∠ BAB'=90°，∴ △ ABB'是等腰直角三角形，∴ BB'= 2 AB=5 2 ；
（2）如图 2，过点 O'作 O'H⊥x 轴于 H，由旋转知，O'A=OA=3，∠ OAO'=120°，
∴ ∠ HAO'=60°，∴ ∠ HO'A=30°，∴ AH= 1 AO'= 3 ，OH= 3 AH= 3 3 ，∴ OH=OA+AH= 9 ，
（3）ab＝32．
提示：由（2）知可证△ ACF∽ △ ECA，∴ ∴ AC CF ，∴ 4 2 b ，∴ ab＝32．
EC CA
a 42
2．在 Rt△ ABC 中，AB=BC=5，∠ B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AC 的 中点 O 处，将三角板绕点 O 旋转，三角板的两直角边分别交 AB，BC 或其延长线于 E，F 两 点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况． （1）三角板绕点 O 旋转，△ OFC 是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即
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2
2
∴ O'（ 9 ，3 3 ）； 22
（3）由旋转知，AP=AP'，∴ O'P+AP'=O'P+AP．如图 3，作 A 关于 y 轴的对称点 C，连接 O'C 交 y 轴于 P，∴ O'P+AP=O'P+CP=O'C，此时，O'P+AP 的值最小． ∵ 点 C 与点 A 关于 y 轴对称，∴ C（﹣3，0）．
3．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（3，0），点 B（0，4），把△ ABO 绕点 A 顺时 针旋转，得△ AB′O′，点 B，O 旋转后的对应点为 B′，O． （1）如图 1，当旋转角为 90°时，求 BB′的长； （2）如图 2，当旋转角为 120°时，求点 O′的坐标； （3）在（2）的条件下，边 OB 上的一点 P 旋转后的对应点为 P′，当 O′P+AP′取得最小值 时，求点 P′的坐标．（直接写出结果即可）
∵ O'（ 9 ，3 3 ），∴ 直线 O'C 的解析式为 y= 3 x+ 3 3 ，令 x=0，∴ y= 3 3 ，∴ P（0，
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3 3 ），∴ O'P'=OP= 3 3 ，作 P'D⊥O'H 于 D．
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∵ ∠ B'O'A=∠ BOA=90°，∠ AO'H=30°，∴ ∠ DP'O'=30°，∴ O'D= 1 O'P'= 3 3 ，
（3）通过证明△ ACF∽ △ ECA，即可得.
试题解析：（1）∵ 正方形 ABCD 的边长为 4，∴ AC＝4 2 ，∠ ACB＝45°．
∵ CE＝a＝4
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wk.baidu.com，∴
∠
CAE＝∠
AEC＝
45 2
＝22.5°，∴
∠
CAF＝∠
EAF－∠
CAE＝22.5°，
∴ ∠ AFC＝∠ ACD－∠ CAF＝22.5°，∴ ∠ CAF＝∠ AFC，∴ b=AC＝CF＝ 4 2 ；
【答案】（1） 4 2 ；（2）b＝8；（3）ab＝32．
【解析】
试题分析：（1）由正方形 ABCD 的边长为 4，可得 AC＝4 2 ，∠ ACB＝45°．
再 CE＝a＝4 2 ，可得∠ CAE＝∠ AEC，从而可得∠ CAF 的度数，既而可得 b=AC；
（2）通过证明△ ACF∽ △ ECA，即可得；