2018-2019学年高中数学必修二人教A版情境导学：2.2.2 平面与平面平行的判定
[推荐学习]高中数学必修二人教A版练习：2.2.2平面与平面平行的判定含解析
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2.2.2 平面与平面平行的判定【选题明细表】1.经过平面外两点与这个平面平行的平面( C )(A)只有一个 (B)至少有一个(C)可能没有 (D)有无数个解析:当这两点的连线与平面相交时,则没有平面与这个平面平行;当这两点的连线与平面平行时,有且只有一个平面与这个平面平行,所以选C.2.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( D )①l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β②l⊂α,m⊂β,且l∥m ③l∥α,m∥β,且l∥m(A)1个(B)2个(C)3个(D)0个解析:由两平面平行的判定定理可知,得出α∥β的个数为零.3.已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:①α内不共线的三点到β的距离相等;②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中可以判定α∥β的是( D )(A)① (B)② (C)①③ (D)③解析:①中,若三点在平面β的两侧,则α与β相交,故不正确.②中,α与β也可能相交.③中,若把两异面直线l,m平移到一个平面内,即为两相交直线,由判定定理知正确.4.(2018·武汉月考)a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;④⇒α∥β;⑤⇒a∥α;⑥⇒a∥α.其中正确的命题是( C )(A)②③(B)①④⑤(C)①④(D)①③④解析:由空间平行线的传递性,知①正确;②错误,a,b还可能相交或异面;③错误,α与β可能相交;由面面平行的传递性,知④正确;⑤⑥错误,a可能在α内.故选C.5.如图所示,已知四棱锥P ABCD底面ABCD为平行四边形,E,F分别为AB,PD的中点.求证:AF∥平面PCE.证明:如图所示.取CD中点M,连接MF,MA,则在△PCD中,MF∥PC,又MF⊄平面PCE,PC⊂平面PCE,所以MF∥平面PCE.又因为ABCD为平行四边形,E,M分别为AB,CD中点,所以AE CM.所以四边形EAMC为平行四边形,所以MA∥CE,又MA⊄平面PCE,CE⊂平面PCE.所以MA∥平面PCE.又MA∩MF=M,所以平面MAF∥平面PCE.又因为AF⊂平面MAF,所以AF∥平面PCE.6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为( C )(A)平行 (B)相交(C)平行或相交(D)可能重合解析:若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.故选C.7.(2018·江西九江一模)在正方体ABCD A1B1C1D1中,AB=4,M,N分别为棱A1D1,A1B1的中点,过点B的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为.解析:如图所示,截面为等腰梯形BDPQ,故截面的面积为×(2+4)×3=18.答案:188.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.其中,正确命题的序号是.解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为AN⊂平面DE,BM⊄平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确;如图(3)所示,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.答案:①②③④9.在正方体ABCD A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明:(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点, 所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1.所以直线EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点, 所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.10.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为D1D的中点,所以PQ∥DC.又DC∥AB,所以PQ∥AB且PQ=AB,所以四边形ABQP为平行四边形,所以QB∥PA.又PA⊂平面PAO,QB⊄平面PAO,所以BQ∥平面PAO.连接BD,则O∈BD,又O为DB的中点,P为D1D的中点,所以PO∥D1B.PO⊂平面PAO,D1B⊄平面PAO, 所以D1B∥平面PAO.又D1B∩BQ=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.。
2019高中数学 考点22 平面与平面平行的判定庖丁解题 新人教A版必修2
考点22 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．【例】平面α∥平面β的一个条件是( ) A．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b 、a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．1个或2个【答案】C【解析】这两个点所在的直线可能和平面平行或相交【易错易混】易丢掉两直线在平面异侧，直线与平面相交的情况．2．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是( )A ．α，β都平行于直线lB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α【答案】D3．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G【答案】A【解析】只有平面E1FG1与平面EGH1 符合平面平行的条件，所以选A4．给出下列结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①可能相交，③中如果两点所在的直线与平面平行是可以成立的．所以只有②④正确5．两个平面平行的条件是( )A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线【答案】C【解析】A、B、D的条件下两个平面可能相交，所以只能选C．6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DA，DC，DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并给予证明．【解析】过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面有两个，即平面ACD1和平面A1BC1．同理，AD1∥平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1，EG∥平面A1BC1．又∵EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面A1BC1．1．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A ．1个或2个B ．0个或1个C ．1个D ．0个【答案】B【解析】若过两点的直线与平面α相交，则经过这两点不能作平面与平面α平行；若过该两点的直线与平面α平行，则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行．故选B ． 2．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a ，α∩β＝b ，且a ∥b (α，β，γ分别表示平面，a ，b 表示直线)，则γ∥β； ③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β； ④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行， 则α∥β．其中正确的有________．(填序号) 【答案】③3．如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE ∥平面NCF ． 其中，正确命题的序号是________． 【答案】①②③④【解析】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．4．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱BB1的中点，问在棱AB上是否存在一点F，使平面DEF∥平面AB1C1？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【解析】存在点F，且F为AB的中点．理由如下：如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以BB1∥CC1，且BB1＝CC1，因为D，E分别是CC1和BB1的中点，所以C1D∥B1E且C1D＝B1E，所以四边形B1C1DE是平行四边形，所以DE∥B1C1，又DE⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1．所以DE∥平面AB1C1．框架结构的楼房。
平面与平面平行(第一课时)平面与平面平行的判定课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
思考 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢?
根据基本事实的推论2,3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面。由此想到，如果一个平面内的两条平行或相交直线都与另一个平面平行是否就能使这两个平面平行？
[课本P142-3]
例题讲解
课堂练习
P
证明：
拓广探索
课本第145页14题
课堂练习
1.平面与平面平行的判定定理及应用.如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 线线平行 线面平行 面面平行2.学习立体几何的过程与方法： 类比、转化，直观感知、操作确认、推理论证.
由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点， 因此很难直接利用定义判断． 那么平面与平面平行的判定，是否有更简便的方法？
平行 相交
两个平面没有公共点
类似于研究直线与平面平行的判定, 我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.
根据平面与平面平行的定义可知，若两个平行平面，则它们没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.
探究新知
如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
实例观察 探究新知
不一定
平行
实例观察 探究新知
如图，工人师傅在检查桌面是否与水平面平行时，将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的两次气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。
7.1.1 数系的扩充和复数的概念第八Fra bibliotek 立体几何初步
高中数学人教A版必修第二册《直线与平面平行---直线与平面平行的判定》名师课件
在空间中，直线与平面有几种位置关系？
文字语言
直线在
平面内
直线与平面
的位置关系
直线与
平面相交
直线与
平面平行
图形语言
α
a
a
a
α
.A
a
α
符号语言
a A
a //
人教A版同步教材名师课件
直线与平面平行
---直线与平面平行的判定
学习目标
学习目标
了解平行线的传递性、空间等角定理.
理解直线与平面平行的判定定理、性质定理.
1.(1)如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求
证：SA∥平面MDB.
(2)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中
点．求证：EF∥平面A1CD.
(2)连接DE.
因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC且DE＝ AC.
而应用判定定理的关键是在平面内找到与平面外已知直线平行的直线．常
用的方法有：利用三角形的中位线、利用平行四边形的性质、利用平行线
的传递性、利用平行线分线段成比例的推论等．
归纳小结
一、直线与平面平行的判定定理
二、运用判定定理时的几个要点
三、立体几何的基本思想：化归
作
业
课本P138练习：2
=
,
=
.
PM EP BQ QN
∵ = , = , ∴ = , ∴
=
=
=
AB EA BD CD
又AB=CD,∴PM=QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴ //
又PQ￠平面CBE， ⊂ 平面,∴PQ //平面CBE.
【高中数学】平面与平面平行的判定定理(第1课时) 高一数学下学期课件(人教A版2019必修第二册)
任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的
方法？
新知探索
问题1：根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个
平面.由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行
∴//1 1 .而//1 1 ，∴//.
∴，，，四点共面.
练习
变1.如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，，，，分别是
1 1 ，1 1 ，1 1 ，1 1 的中点.
求证：(2)平面//平面.
证明(2)：易知，//1 1 ，1 1 //，∴//.
，是否就能使这两个平面平行？
我们可以借助以下两个实例进行观察.如图(1)，和分别是矩形硬纸片的两条
对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，和分别
是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
(1)
(2)
新知探索
如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行.
下图的长方体模型中，平面内两条相交直线，分别与平面’ ’ ’ ’ 内两
条相交直线’ ’ ，’ ’ 平行.由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线
，都与平面’ ’ ’ ’ 平行.此时，平面平行于平面’ ’ ’ ’ .
’
’
又 ⊄平面， ⊂平面，
∴//平面.
连接.∵，分别是1 1 ，1 1 的中点，
∴ ⋕ 1 1 .又 ⋕ 1 1 ，∴//且 = .
∴四边形是平行四边形.∴//.
平面与平面平行课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
知识点二 平面与平面平行性质定理
二、平面与平面平行性质定理
性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么 两条交线平行． 符号语言： α//β，α∩γ=a，β∩γ=b a//b．
3
PARTTHREE
课堂小结
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
请回忆本节课内容，并回答下列问题：
（1）你学习了哪些知识？ （2）本节课所学的知识中蕴含了什么样的数学思想？
类比、转化，特殊与一般的数学思想 （3）直线、平面之间的平行关系是如何相互转化的？？
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
知识点二 平面与平面平行性质定理
问题4：类比直线与平面平行的研究，下面我们研究平面与平面平行 的性质,也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出那些结论. 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪 些结论？
追问4.1：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候 这两条直线平行呢？在图中，平面A′B′C′D′与平面ABCD平行，在平面ABCD内过 点D有平行于直线B′D′的直线吗？如果有，怎样画出这条直线？
追问1.1：减少到一条可以吗？为什么？ 分析：也就是说“如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个 平面平行”．通过分析，这是不一定成立的．
知识点一 平面与平面平行判定定理
问题2：根据基本事实的推论2，3:两条平行直线或两条相交直线， 都可以确定一个平面．由此可以想到，“一个平面内两条平行直线 与另一个平面平行”或“一个平面内两条相交直线与另一个平面平 行”，能否判断这两个平面平行？用自然语言和符号语言表示你的 结论．
2019高中数学 考点22 平面与平面平行的判定庖丁解题 新人教A版必修2
考点22 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．【例】平面α∥平面β的一个条件是( ) A．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b 、a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．1个或2个【答案】C【解析】这两个点所在的直线可能和平面平行或相交【易错易混】易丢掉两直线在平面异侧，直线与平面相交的情况．2．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是( )A ．α，β都平行于直线lB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α【答案】D3．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G【答案】A【解析】只有平面E1FG1与平面EGH1 符合平面平行的条件，所以选A4．给出下列结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①可能相交，③中如果两点所在的直线与平面平行是可以成立的．所以只有②④正确5．两个平面平行的条件是( )A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线【答案】C【解析】A、B、D的条件下两个平面可能相交，所以只能选C．6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DA，DC，DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并给予证明．【解析】过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面有两个，即平面ACD1和平面A1BC1．同理，AD1∥平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1，EG∥平面A1BC1．又∵EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面A1BC1．1．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A ．1个或2个B ．0个或1个C ．1个D ．0个【答案】B【解析】若过两点的直线与平面α相交，则经过这两点不能作平面与平面α平行；若过该两点的直线与平面α平行，则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行．故选B ． 2．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a ，α∩β＝b ，且a ∥b (α，β，γ分别表示平面，a ，b 表示直线)，则γ∥β； ③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β； ④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行， 则α∥β．其中正确的有________．(填序号) 【答案】③3．如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE ∥平面NCF ． 其中，正确命题的序号是________． 【答案】①②③④【解析】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．4．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱BB1的中点，问在棱AB上是否存在一点F，使平面DEF∥平面AB1C1？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【解析】存在点F，且F为AB的中点．理由如下：如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以BB1∥CC1，且BB1＝CC1，因为D，E分别是CC1和BB1的中点，所以C1D∥B1E且C1D＝B1E，所以四边形B1C1DE是平行四边形，所以DE∥B1C1，又DE⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1．所以DE∥平面AB1C1．框架结构的楼房。
2-2-2 平面与平面平行的判定
)
C．没有 D．没有或无限个
[解析] 两平面相交或平行，故选D.
第二章
2．2
2．2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平 行，同①. 对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面 平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理． 所以只有③④正确，选择D.
第二章
2．2
2．2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
因为A′B′∥MN，MN⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC， 所以A′B′∥平面ABC，同理可证B′C′∥平面ABC. 又A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂平面A′B′C′， B′C′⊂平面A′B′C′， 所以平面A′B′C′∥平面ABC.
其中正确的命题是( A．①②③ C．①④
) B．①④⑤ D．①③④
[答案] C
第二章
2．2
2．2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析]
①平行公理．
②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行 或异面． ③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行． ④面面平行传递性． ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平 面或平行或直线在平面内． ⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面 可平行也可能直线在平面内．故①④正确.
第二章
2．2
2．2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行． A．①③ C．②③④ B．②④ D．③④
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【情境导学】
把三角板放置在课桌面上方,如果保持三角板的一条边与课桌面平行,观察两个
平面的位置关系,如果两条边与课桌面平行,观察两个平面的位置关系,如果换
成课本与课桌面,课本的两条边与课桌面平行时,两个平面有什么关系.
三角板有两条边与课桌面平行,那么两个平面有什么位置关系?课本的
两条边与课桌面平行呢?
(当三角板两条边平行于课桌面时,两个平面平行,课本的两条边平行于课桌面
时,两个平面位置不能确定,需要考虑是哪两条边,若是平行边则不能判定平行,
相交的两边则可以)