1.6对数与对数函数答案
高考数学专题《对数与对数函数》习题含答案解析
专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B.故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210aa ->，所以1a >成立.故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数）A ．42小时B ．53小时C ．56小时D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050t m a =⋅，③ ③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg 51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）.故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a c <B ．2ab =C ．1abc a =+D ．22bc b =+【答案】BCD 【解析】先判断1a >，即可判断A ； 利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D.【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC V 为等边三角形，则t 的值为（ ）ABCD．3+【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C点的横坐标x t =-，结合A ，B两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =，解方程即可求得t 的值.【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC V 是等边三角形，所以点C 到直线AB所以t x -=，x t =-根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e -<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭.故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()xxf x e e-=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x ee f e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >>故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（ ）A ．log 3log 3a b <B ．33a b <C ．11log ()log 21ab ab a b+≥-D ．11+11a b <+【答案】ACD 【解析】由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项，利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断.【详解】对于A 选项：3log y x =在(0,+∞)上单调递增，1a b >>，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab ab ab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log (log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ）A ．21a b ->B ．22log log 1a b ->C ．228a b +>D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ）A ．log 2log 2a b >B ．ln ln a a b b ⋅>⋅C ．122ab a b ++>D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（ ）A ．a b >B ．b c>C ．c a>D ．2a b>【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==，1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a ==又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误.故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719-【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log 1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log 19f f f f =-=-+=327log 193392727(log 1)(log 3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-．9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211(124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（ ）练真题A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log (log 4)4f f ∴=223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【答案】A 【解析】c =0.30.2<0.30=1；log 27>log 24=2；1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。
(对数与对数函数)含有答案-人教版
(对数与对数函数)含有答案-人教版命题人：张立洪 第 2 页 共 10 页高一数学基础训练（六）对数部分：一、选择题： 1.若312=x，则x 等于 (B ) A log 23 B log 231C log 2131 D log 3122.已知log a 8=23，则a 等于 ( D ) A 41 B 21 C2 D 4 3.下列选项中，结论正确的是 (C )A 若log 2x =10，则2x=10B 若2x =3，则log 32=xC 0log )(log 322= D 2332log = 4.以下四个命题：(1)若log x 3=3，则x=9；(2)若log 4x =21，则x=2； (3)若log 3x=0，则x=3；(4)若log 51x=-3，则x=125，其中真命题的个数是（B ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5.下列各式中，能成立的是 (D )A log 3(6-4)=log 36-log 34B log3(6-4)=4log 6log 33 C log 35-log 36=5log 5log 33 D log 23+log 210=log 25+log 26 6.下列各式中，正确的是 (D )A lg4-lg7=lg(4-7)B 4lg3=lg3⨯4C lg3+lg7=lg(3+7)D ln Ne N=7.如果()N a a =--3log1，那么a 的取值范围是（D ）命题人：张立洪第 3 页共 10 页命题人：张立洪 第 4 页 共 10 页A. 3B. 8C. 4D. log 48 二、填空题：1.把下列指数形式写成对数形式：(1) 45=625 5log 6254= （2）62-=6412log164=-6(3）a3=27 3log 27=a (4) m）（31=5.73 13log5.73m=2.把下列对数式写成指数式(1) 3log 9＝2 23＝9 （2）5log 125＝3 35＝125（3）2log 41＝－2 22-＝14 （4）3log811＝－4 43-＝1813.利用对数的定义或性质求值：(1) log 3131=1； (2)log 111=0；(3) log 232=5；(4)log 9131=2；4.当底是9时，3的对数等于14命题人：张立洪 第 5 页 共 10 页5.如果对数lga 与lgb 互为相反数，那么a 与b 之间应满足ab=1；6.计算 (1)2log （74×25）=19；(2) lg5100=25；7.如果log094132=--x，则x=-2；8.满足等式()()2lg 2lg 1lg =-+-x x 的∈x {}3． 9.计算：=+50lg 2lg 5lg21.10.求值：=++++3log 15.222ln 1001lg25.6loge 132三、解答题：1.已知xlog 5a =，xlog 3b =，求ba x23+的值。
2022版高考数学总复习文档-第六节-对数与对数函数-含答案
第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x(a>0,且a≠1)互为反函数.1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=log a N ,其中③a叫做对数的底数,④N叫做对数的真数.(2)几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1) ⑤ log a N常用对数底数为10 ⑥ lg N自然对数底数为e ⑦ ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(i)负数和0无对数.(ii)1的对数等于0,即log a1=0(a>0且a≠1).(iii)log a a=1(a>0且a≠1).▶提醒a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N (a>0且a≠1). (2)换底公式及其推论换底公式:⑩ log b N =log a Nlog a b(a,b均大于0且不等于1).推论:log a b=1log b a ,lo g a m bn=nmlog a b(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0),log a b·log b c·log c d= log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么log a(MN)= log a M+log a N ,log a MN= log a M-log a N ,log a M n=n log a M (n∈R).3.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒 当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论. 4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =loga x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称.知识拓展1.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),函数图象只在第一、四象限.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.()(2)函数y=log a x2与函数y=2log a x相等.()(3)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()(4)函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29×log34+2log510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案 D3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln 3,b=log3e,c=logπe,则下列关系正确的是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案 A4.(新教材人教A版必修第一册P159T1改编)图中曲线是对数函数y=log a x的图象,已知a取√3,43,35,110四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为()A.√3,43,35,110B.√3,43,110,35C.43,√3,35,110D.43,√3,110,35答案 A5.已知函数f(x)=log a(2x-a)在区间[23,34]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是.答案(12,1)对数式的化简与求值1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a答案AD∵a,b,c都是正数, 故可设4a=6b=9c=M,∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,则1a =log M4,1b=log M6,1c=log M9.∵log M4+log M9=2log M6,∴1a +1c=2b,即1c=2b−1a,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.2.计算:2log 23+2log 31-3log 77+3ln 1= . 答案 0解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 3.计算:(lg 14-lg25)×10012= . 答案 -20解析 原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg (122×52)×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.4.计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64= .答案 1 解析 原式 =1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.名师点评1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b=N⇔b=log a N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.对数函数的图象及应用典例1(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=1a x 与g(x)=lg ax的图象可能是()(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b的取值范围是()A.(2√2,+∞)B.[2√2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案(1)A(2)B解析(1)由题意a>0且a≠1,所以函数g(x)=lg ax单调递减,故排除B、D;对于A、C,由函数f(x)=1a x 的图象可知0<a<1,对于函数g(x)=lg ax,g(1)=lg a<0,故A正确,C错误.(2)f(x)=|ln x|的图象如下:因为0<a<b且f(a)=f(b),所以|ln a|=|ln b|且0<a<1,b>1,所以-ln a=ln b,即ab=1,易得2a+b≥2√2ab=2√2,当且仅当2a=b,即a=√22,b=√2时等号成立.故选B.名师点评1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2020广东惠州模拟)当a >1时,在同一坐标系中,函数g (x )=a -x 与f (x )=-log a x 的图象大致是( )答案 D 因为a >1,所以g (x )=a -x=(1a )x为R 上的减函数,且过(0,1);f (x )=-log a x 为(0,+∞)上的减函数,且过(1,0), 故只有D 选项符合.2.(2020陕西榆林三模)设x 1、x 2、x 3均为实数,且e -x 1=ln x 1,e -x 2=ln(x 2+1),e -x 3=lg x 3,则( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 1<x 3<x 2 C.x 2<x 3<x 1 D.x 2<x 1<x 3 答案 D 因为e -x 1=ln x1⇒(1e )x 1=ln x 1,e-x 2=ln(x 2+1)⇒(1e )x 2=ln(x 2+1),e-x 3=lg x3⇒(1e )x 3=lg x 3,所以作出函数y =(1e )x,y 1=ln x ,y 2=ln(x +1),y 3=lg x 的函数图象,如图所示:由图象可知函数y 2,y 1,y 3与y 的交点A ,B ,C 的横坐标依次为x 2,x 1,x 3,即有x 2<x 1<x 3.故选D .对数函数的性质及应用角度一 比较对数值的大小典例2 (2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( )A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 A a =log 53∈(0,1),b =log 85∈(0,1),则ab =log 53log 85=log53·log58<(log 53+log 582)2=(log 5242)2<1,∴a <b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85),即log 138>45, ∴c >45. 又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885, 即log 85<45,∴b <45.综上所述,c >b >a ,故选A . 角度二 解简单的对数不等式典例3 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,12)C.(12,1)D.(0,1)∪(1,+∞)答案 C 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1,且2a >1,∴a >12.故a 的取值范围是(12,1).角度三 与对数函数有关的复合函数问题典例4 已知函数f (x )=log a (ax 2-x ).(1)若a =12,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数,求实数a 的取值范围.解析 (1)当a =12时,f (x )=lo g 12(12x 2-x),由12x 2-x >0,得x 2-2x >0,解得x <0或x >2,所以函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),利用复合函数单调性可得函数f (x )的增区间为(-∞,0),减区间为(2,+∞).(2)令g (x )=ax 2-x ,则函数g (x )的图象开口向上,对称轴为x =12a 的抛物线,①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≥4,g(4)=116a-14>0,此不等式组无解.②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≤2,g(2)=4a-2>0,解得a>12,又a>1,∴a>1.综上实数a的取值范围为(1,+∞).名师点评(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,并且真数必须为正.1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A 因为a =log 32=log 3√83<log3√93=23=c , b =log 53=log 5√273>log5√253=23=c ,所以a <c <b.故选A .2.若a >b >0,0<c <1,则 ( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c bC.a c <b cD.c a >c b答案 B ∵0<c <1,∴当a >b >1时,log a c >log b c ,故A 项错误;∵0<c <1,∴y =log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a >b >0,∴log c a <log c b ,故B 项正确;∵0<c <1,∴y =x c 在(0,+∞)上单调递增,又∵a >b >0,∴a c >b c ,故C 项错误;∵0<c <1,∴y =c x 在(0,+∞)上单调递减,又∵a >b >0,∴c a <c b ,故D 项错误.故选B .3.若函数f (x )=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)上恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为 .答案 (0,+∞)解析 令M =x 2+32x ,当x ∈12,+∞时,M ∈(1,+∞),因为f (x )>0,所以a >1,所以函数y =log a M 为增函数,又M =(x +34)2−916,因此M 的单调递增区间为(-34,+∞).又x 2+32x >0,所以x >0或x <-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).A组基础达标1.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设a log34=2,则4-a= ()A.116B.19C.18D.16答案 B2.(多选题)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.1a <1bB.ab<0C.a+b<0D.ab<a+b 答案BCD3.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),则下列论述中正确的是()A.当a=0时, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B.当a=0时,f(x)一定有最小值C.当a=0时, f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是[-4,+∞)答案AC对于A,当a=0时,解x2-1>0,有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对于B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;对于D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1的图象的对称轴的方程为直线x=-a 2,则-a2≤2,解得a≥-4.但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.故选AC.5.(2020陕西西安高三二模)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是.答案(1,+∞)解析由题意可知x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数y=log5(x2+2x-3)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).令g(x)=x2+2x-3,则函数g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性,可得函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+∞).6.函数f(x)=e x-e-x+ln1+x1-x+1,若f(a)+f(1+a)>2,则a的取值范围是.答案(-12,0)解析由题意得, f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称设g(x)=f(x)-1=e x-e-x+ln1+x1-x,则g(-x)=e-x-e x+ln1-x1+x,则g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是(-1,1)上的奇函数,因为f(a)+f(1+a)>2,所以f(1+a)-1>-f(a)+1,所以f(1+a)-1>-[f(a)-1],即g(1+a)>-g(a)=g(-a),因为y=e x-e-x单调递增,y=ln1+x1-x单调递增,所以g(x)单调递增,则{-1<a<1,-1<1+a<1,1+a>-a,即−12<a<0.故a的取值范围是(-12,0).7.已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,所以f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.令t=2x2+3,则t≥3,所以ln t≥ln 3,故f(x)的值域为[ln 3,+∞).(2)设u(x)=2x2+ax+3,f(u)=ln u.因为f(x)在[-3,1]上是减函数,所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,故{-a4≥1,u(x)min=u(1)=5+a>0,解得-5<a≤-4,即a的取值范围是(-5,-4].B组能力拔高8.(2020山西大同三模)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A由题意知,函数f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)为减函数,当0<a<1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a>2,且函数g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,故C,D均不正确;当a>1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a <2,且x=2a>0,且g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,故B不正确,故选A.9.(多选题)(2020山东济南模拟)已知函数f(x)=lg(1|x-2|+1),则下列说法正确的是()A.f(x+2)是偶函数B.f(x+2)是奇函数C.f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数D.f(x)没有最小值答案AD因为f(x)=lg(1|x-2|+1),所以f (x +2)=lg (1|x |+1),定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,又f (-x +2)=lg (1|-x |+1)=lg (1|x |+1)=f (x +2),所以f (x +2)为偶函数,故A 说法正确,B 说法错误; f (x )=lg (1|x -2|+1)={lg (1x -2+1),x >2,lg (12-x +1),x <2.因为当x ∈(2,+∞)时,y =1x -2为减函数,所以y =1x -2+1为减函数,所以y =lg (1x -2+1)在区间(2,+∞)上为减函数,故C 说法错误;因为当x ∈(2,+∞)时,y =lg (1x -2+1)为减函数,且当x →+∞时,y →0,所以f (x )没有最小值,故D 说法正确.10.(2020辽宁高三三模)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f (x )=log 3(x +1)+ax 2-a +1(a 为常数),则不等式f (3x +4)>-5的解集为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)答案 D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,解得a =1,所以当x ≥0时,f (x )=log 3(x +1)+x 2.因为函数y =log 3(x +1)和y =x 2在x ∈[0,+∞)上都是增函数,所以f (x )在[0,+∞)上单调递增.由奇函数的性质可知,y =f (x )在R 上单调递增,因为f (2)=5,f (-2)=-5,所以f (3x +4)>-5⇒f (3x +4)>f (-2),即3x+4>-2,解得x>-2.11.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2答案B2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B.12.(2020河北邢台模拟)若当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,则实数a的取值范围为.答案(1,2]解析因为当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,所以{a>1,log a2≥1,解得1<a≤2,故实数a的取值范围是(1,2].13.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f(√x)>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)易知h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )可得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x.令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2],即(3-4t )(3-t )>k ·t 对任意t ∈[0,2]恒成立.当t =0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立, 即k <4t +9t -15恒成立.因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号,所以4t +9t -15的最小值为-3,即k <-3.综上,k 的取值范围是(-∞,-3).C 组 思维拓展14.(2020吉林长春高三模拟)若函数f (x )={log 12(3-x )m ,x <1,x 2-6x +m ,x ≥1的值域为R,则m 的取值范围为( )A.(0,8]B.(0,92]C.[92,8] D.(-∞,-1]∪(0,92]答案B①若m>0,则当x<1时, f(x)=lo g12(3-x)m单调递增,当x≥1时, f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,若函数f(x)的值域为R,则需f(3)=m-9≤m lo g12(3-1)=-m,解得0<m≤92;②若m≤0,则当x<1时,f(x)=lo g12(3-x)m单调递减或为常数函数,当x≥1时,f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,不满足函数f(x)的值域为R,舍去.综上,m的取值范围为(0,92],故选B.15.(2020山西运城高三模拟)已知函数f(x)=ln2+x2-x,g(x)=m(x-√4-x)+2,若∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1),则实数m的取值范围是()A.[14ln3-12,1-12ln3]B.(14ln3-12,1-12ln3)C.(-12,1)D.[-12,1]答案C∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1)等价于f(x)min<g(x)min.函数f(x)=ln2+x2-x=ln(2+x)-ln(2-x),-2<x<2.因为y=ln(2+x)与y=-ln(2-x)在[0,1]上为增函数,所以函数f(x)在[0,1]上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0.易知函数y=x-√4-x在[0,4]上为增函数,则-2≤x-√4-x≤4.故当m>0时,-2m+2≤g(x)≤4m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<-2m+2,解得0<m<1;当m=0时,g(x)min=2>0,满足f(x)min<g(x)min;<m<0.当m<0时,4m+2≤g(x)≤-2m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<4m+2,解得-12 <m<1.综上可知,-12。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则＝ .【答案】.【解析】，且函数是定义在上的奇函数，且当时，，.【考点】函数的奇偶性.2.对于任意实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，；，那么的值为．【答案】857.【解析】由题意可设，则，；为增函数，当时，，则，时，；当时，同理，时，；时，；时，；时，；时，；【考点】对数的性质、归纳推理.3.．【答案】【解析】.【考点】指数式与对数式的运算.4.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增. 若实数满足, 则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，又因为.所以由可得.区间单调递增且为偶函数.所以.故选D.【考点】1.对数的运算.2.函数的奇偶性、单调性.3.数形结合的数学思想.5.已知函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）若函数的最小值为-4，求a的值．【答案】（1）函数的定义域为；（2的零点是；（3）.【解析】(1)函数的定义域是使函数有意义的取值范围，而对数有意义则真数大于0，即；（2）函数的零点等价于方程的根，可先利用对数运算性质进行化简，即，要注意定义域的范围，检验解得的根是否在定义域内；（3）可利用函数的单调性求最值来解参数，由（2）可知，令，在单调递减，则在取最大值时函数的最小值取-4，而，当时，则，.试题解析：21.（普通班）（1）要使函数有意义，则有解之得，所以函数的定义域为．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．21.（联办班）（1）要使函数有意义：则有，解之得：，所以函数的定义域为：．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．（3）．，，．由，得，．【考点】1、对数函数的定义域；2对数的运算性质；3、函数的零点；4、对数方程的解法；5、复合函数的最值问题；6、二次函数的最值.6.式子的值为．【答案】5【解析】根据对数公式，可知，=5+0=5【考点】对数公式7.已知，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.【考点】对数的运算8. .【答案】1【解析】对数的运算性质，故.【考点】对数的运算性质.9.已知，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.【考点】对数的运算10.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A．-1，3B．-1，1C．1，3D．-1，1，3【答案】C【解析】根据题意定义域为R得，时，函数定义域为[0,+∞）所以不可能是奇函数，所以排除A,B,D选项.所以的值为1,3.故选C.【考点】本题考查幂函数的知识点，当指数为正，负时的函数图像走向.11.，则 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由得故选B【考点】对数运算12.已知函数（1）判断函数的奇偶性，并说明理由。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数，且，则使成立的的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】，且，，即，，则，即.【考点】对数不等式.2.定义在上的函数满足，则的值为_____.【答案】.【解析】由题意，得，，，，；即是周期函数，且，所以.【考点】函数的周期性.3.已知（）A．B．C．D．【答案】【解析】根据对数的运算法则,有.【考点】对数的运算法则.4.函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解:由题意,且在区间上恒成立.即恒成立,其中当时,,所以在区间单调递增,所以,即适合题意.当时,,与矛盾,不合题意.综上可知:故选B.【考点】1、对数函数的性质；2：二次函数的性质.5.函数的零点所在区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：根据函数的零点存在性定理可以判断，函数在区间内存在零点.【考点】1、对数的运算性质；2、函数的零点存在性定理.6.函数的定义域为A．B．C．D．【答案】A【解析】要使函数有意义,必须:解得:所以函数的定义域是所以,应选A.【考点】1、函数定义域的求法；2、对数函数.7.函数的定义域为___________.【答案】【解析】因为依题意可得，解得.所以填.本小题的关键是考察了两个知识点.一是偶次方根的被开方数要大于或等于零，另一个就是对数函数的真数要大于零.取这两个的解集的公共部分即可得结论.【考点】1.对数知识.2.根式的知识.8.函数y =2+(x-1)的图象必过定点, 点的坐标为_________.【答案】【解析】令,则,此时，故原函数过定点.【考点】对数函数的图像性质，对数函数横过定点（1,0）.9.若函数是幂函数，且满足，则的值等于 .【答案】【解析】可设，则有，即，解得，所以函数的解析式为，故,所以所求的值为.【考点】1.幂函数；2.对数的运算.10.已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是_______________．【解析】将函数的图像向左移动一个单位，可得函数在区间上为单调递增函数且，因为二次函数在上单调递增且，在上单调递减且，故若函数有3个零点，即函数与函数的图像有3个交点，所以所求的取值范围为.【考点】1.对数函数；2.二次函数；3.分段函数；4.函数的零点.11.设,用二分法求方程在，内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定【答案】C.【解析】由题意得,因为f(1.25)<0.f(1.5)>0.所以f(1.25)f(1.5)<0,即有零点定理得在的落在.故选B.【考点】1.函数的零点的判定.2.指数函数值的计算.3.估算的思想.12.已知函数，则函数定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义需满足条件：，所以原函数的定义域为，答案选.【考点】1.根式有意义的条件以及对数函数有意义的条件；2.对数不等式.13.对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2)，有如下结论：①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，②f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，③，④，当f(x)=lnx时，上述结论中正确结论的序号是_____________.【答案】②④．【解析】把函数代入结论①②：，，结合对数的运算法则，知②正确，①错误；③说明时，，从而为减函数，但函数是增函数，故③错误；④等价于，当且时，上式显然成立．故④也是正确的．【考点】1、对数的运算法则；2、对数函数的性质；3、基本不等式．14.计算：= .【答案】【解析】解.【考点】对数的运算.15.如果，那么的最小值是（）A．4B．C．9D．18【解析】∵，∴mn=81，∴，当且仅当m=n=9时“=”成立，故选D【考点】本题考查了对数的运算及基本不等式的运用点评：熟练掌握对数的运算法则及基本不等式的运用是解决此类问题的关键，属基础题16.求（lg2）2＋lg2·lg50＋lg25的值．【答案】2【解析】原式＝（lg2）2＋lg2·（lg2＋2lg5）＋2lg5 2分＝2（lg2）2＋2lg2·lg5＋2lg5 4分＝2lg2（lg2＋lg5）＋2lg5 6分＝2lg2＋2lg5 8分＝2（lg2＋lg5） 10分＝2． 12分【考点】本题考查了对数的运算点评：熟练掌握对数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题17.（本小题满分12分）设关于x的方程=0．(Ⅰ) 如果b=1，求实数x的值；(Ⅱ) 如果且，求实数b的取值范围．【答案】(Ⅰ) ． (Ⅱ) 。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.下列区间中，函数在其上为减函数的是（）．A．（－∞，1]B．C．D．【答案】D【解析】当时，，在区间上为减函数，当时，在区间上是增函数．【考点】函数的单调性．2.函数＝的值域为．【答案】【解析】由于，因此，因此的值域为【考点】与对数函数有关的值域．3.函数的单调减区间为 .【答案】【解析】由题意可得函数的定义域为，又在其定义域上为增函数，的减区间即为的减区间，故的减区间为.故答案为.【考点】复合函数的单调性.4.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）利用对数式的真数为正数，列出不等式组，求不等式的解集即可；（2）不等式有解，即，先求出的最大值，再求的范围即可．规律总结：1.求函数的定义域时要注意以下几点：①分式中分母不为零；②偶次方根被开方数非负；③对数式中，真数大于零，底数为大于零且不等于1的实数；④中，底数不为零；要注意区别以下两条：；.试题解析:(1）须满足，∴，∴所求函数的定义域为.说明：如果直接由，得到定义域，不得分.但不再影响后面的得分. （2）∵不等式有解，∴令，由于，∴∴的最大值为∴实数的取值范围为 .说明：也可以结合的是偶函数和单调性，求得的最大值，参照给分.【考点】1.函数的定义域；2.解不等式.5.函数的零点所在区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：根据函数的零点存在性定理可以判断，函数在区间内存在零点.【考点】1、对数的运算性质；2、函数的零点存在性定理.6.已知函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）若函数的最小值为-4，求a的值．【答案】（1）函数的定义域为；（2的零点是；（3）.【解析】(1)函数的定义域是使函数有意义的取值范围，而对数有意义则真数大于0，即；（2）函数的零点等价于方程的根，可先利用对数运算性质进行化简，即，要注意定义域的范围，检验解得的根是否在定义域内；（3）可利用函数的单调性求最值来解参数，由（2）可知，令，在单调递减，则在取最大值时函数的最小值取-4，而，当时，则，.试题解析：21.（普通班）（1）要使函数有意义，则有解之得，所以函数的定义域为．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．21.（联办班）（1）要使函数有意义：则有，解之得：，所以函数的定义域为：．（2）函数可化为由，得，即，，，的零点是．（3）．，，．由，得，．【考点】1、对数函数的定义域；2对数的运算性质；3、函数的零点；4、对数方程的解法；5、复合函数的最值问题；6、二次函数的最值.7.设,用二分法求方程在，内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定【答案】C.【解析】由题意得,因为f(1.25)<0.f(1.5)>0.所以f(1.25)f(1.5)<0,即有零点定理得在的落在.故选B.【考点】1.函数的零点的判定.2.指数函数值的计算.3.估算的思想.8.设a>0，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】。
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1 log a b log b a
二.对数函数
1.对数函数的定义 一般地，函数
y loga x
(a＞0，且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(0,)
2.对数函数的图象与性质
a>1 图象 0<a<1
(0,+∞) (1)定义域:__________
M loga M-log ② log a aN __________ ____ N
n log M a ③logaMn= ___________(n∈R);
④
n log a b. logam b m
n
⑤换底公式：若a,b,m均大于零且不等于1，则
log m b lg b ln b log a b log m a lg a ln a
(3)已知loga 2 m， loga 3 n，求a
的值
25 5 lg lg 8 4 1. 解 (1)原式= 50 5 lg lg 40 4
(2) 23 log0.5 4 23 2log0.5 4 8 2
log 2 1 4 log 1 4
2
8 2 log2 4
2 a )是奇函数，则使 1 x f(x)<0的x的取值范围是 （ A ）
(1)设f(x)= lg(
A.(-1,0) C.(-∞,0) 解析
B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0. 1 x . 解之，得a=-1.∴f(x)= lg 1 x 1 x 令f(x)<0，则 0 1, 1 x ∴x∈(-1，0).
探究提高
综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3，+∞)都成立的a的取 12分
本题属于函数恒成立问题，即在
x∈[3，+∞)时,函一是利用图象转化为最值问 题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底
数为字母a,因此需对参数a分类讨论.
知能迁移3
由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，
3 即得 log 2 x1 1 log 2 x2 , x2 x1 ,
3 代入x2log8x1=x1log8x2,得 x1 log8 x1 3x1 log8 x1,
3 由于x1>1,知log8x1≠0,故 x1 3x1 ,
3
又因x1>1,解得x1= 3 ,于是点A的坐标为 ( 3, log8 3). 探究提高 利用函数图象和解析几何的思想方法,突 出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体 现了数形结合的思想.
题型二
比较大小
【例2】(2009·全国Ⅱ理,7) 设a=log2π , b log 则 A.a>b>c C.b>a>c
2
3, c log3 2 ,
（
A
）
B.a>c>b D.b>c>a
练习2
比较下列各组数的大小. 2 6 (1) log 3 与 log 5 ; 3 5 (2)log1.10.7与log1.20.7;
(2)已知f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数, 那么a的取值范围是 A.(0,1) C.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) D.(3,+∞) （ ）
解析
记u=(3-a)x-a,
当1<a<3时，y=logau在（0，+∞）上为增函数， u=(3-a)x-a在其定义域内为增函数， ∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求. 当a>3时，y=logau在其定义域内为增函数， 而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数，
性质6
1、当底数a>1时，底数越大， 图象越靠近x轴 2、当底数0<a<1时，底数越小， 图象越靠近x轴
三、反函数 1、反函数的定义
若函数y=f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中 的每一个元素y0，在A中都有唯一的元素x0与之对 应，则函数y=f(x)存在反函数，记为:
y f ( x),
（1）证明三点在同一条直线上只需证明
kOC=kOD;(2)解方程组得x1,x2,代入解析式即可求解.
（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2, 由题设知x1>1,x2>1, 则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2. 因为A、B在过点O的直线上， log8 x1 log8 x2 , 所以 x1 x2 点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),
高考第一轮总复习
1.6 对数与对数函数
一.对数的概念
1.对数的定义 如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的 x=logaN 其中____ 对数,记作________, a 叫做对数的底数,
______ 叫做真数. N 2.几种常见对数
对数形式 一般对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 10 底数为____ e 底数为____ 记法 logaN _______ lg N ______ ln N ______
(2)值域:_____ R
(3)过点_______, (1,0) 即x=___ 1 时,y=___ 0 性质
y>0 (4)当x>1时,_____ y<0 当0<x<1时,_______ (5)是(0，+∞)上的 增函数 ___________ y<0 (4)当x>1时,_______ y>0 当0<x<1时,_____ (5)是(0，+∞)上的 减函数 ____________
∵f（x）=logax在[3，+∞)上为减函数，
∴-f（x）在[3，+∞)上为增函数. ∴对于任意x∈[3，+∞)都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 10 分 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，+∞)都成立, 只要-loga3≥1成立即可，
1 1 1 log a 3 1 log a ,即 3, a 1. a a 3 1 值范围是(1，3]∪[ ，1). 3
如图所示两图象与x=0.7相
交可知log1.10.7<log1.20.7. (3)∵ y log 1 x 为减函数，
2
且 log 1 b log 1 a log 1 c,
∴b>a>c,而y=2x是增函数，∴2b>2a>2c.
2 2 2
题型三
对数函数的性质
【例3】(12分)已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1)，如 果对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，试求 a的取值范围. 解 当a>1时，对于任意x∈[3，+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x),
而f(x)=logax在[3，+∞)上为增函数，
∴对于任意x∈[3，+∞),有f(x)≥loga3. 4分
因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，+∞)都成立. 只要loga3≥1=logaa即可，∴1<a≤3. 当0<a<1时，对于x∈[3，+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). 8分 6分
1 A. 3
B. 3
6
C.
2 4
D. 3
3
4.设a>1，函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与 最小值之差为 1 , 则a等于 2 A. 2 B.2 C. 2 2 解析 （D ） D.4
1 , 2
根据已知条件loga(2a)-logaa=
1 1 整理得：loga2= , 则 a 2 2, 即a=4. 2
直线y x对称。
(2)若点P(a, b)在y f ( x)的图象上，则
1
P(b, a)在y f ( x)的图象上。
四、典例解析
题型一 对数的化简与求值
【例1】(1)化简:
lg 2 lg 5 lg 8 ; lg 50 lg 40
(2)化简:
2
3log0.5 4
;
2 mn
∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求.
当0<a<1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数， 不符合题意.故选B. 答案 B
题型四
对数函数的综合应用
【例4】已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图
象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函 数y=log2x的图象交于C、D两点. （1）证明：点C、D和原点O在同一直线上； （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标. 思维启迪
1 8 2 8 2. 4 (3)方法一 ∵loga2=m,∴am=2.
∵loga3=n,∴an=3. 故a2m+n=(am)2·an=4×3=12. 方法二 ∵loga2=m,loga3=n,
a 2mn a 2 loga 2loga 3 a loga 12 12.
1
1
y f ( x)的定义域、值域分别为 y f ( x)的值域、定义域。 例如， x 指数函数 y a (a 0且a 1） 与 对 数 函 数
y loga x(a 0且a 1） 互 为 反 函 数 。
2、互为反函数的图象之 间的关系
1
（ 1 ）y f ( x)与函数 y f ( x)的图象关于
∴m=-1或m=1（舍去），∴m=-1.
（2）由（1）得 f ( x) log a 任取x1,x2∈(1,+∞).
x 1 (a>0,a≠1), x 1
x 1 设x1<x2,令t(x)= , x 1 x1 1 x2 1 则t ( x1 ) , t ( x2 ) , x1 1 x2 1