高中数学选修2-3《二项式定理》课件
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高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》课件
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b2 (a b)4 ?
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
高二数学,人教A版选修2-3,二项式定理 课件
1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ，试用 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b
1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( A．－27C6 10 C．－9C6 10 B．27C6 10 D．9C6 10
)
4 4 6 解析： x6的系数为C4 · ( － 3) ＝ 9· C ＝ 9· C 10 10 10.
答案： D
2．二项式 x－
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B．28x2 1 D．56x2
方法二：
x－ 2
1
1 4 2x－14 4 ＝ ＝ (2 x － 1) 2 2 x 16x x
1 ＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 3 1 1 ＝x －2x＋2－2x＋16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr＋1＝Cn a b 指的是第r＋1项，不是第r项；
－
②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
5 2
(2)方法一： 3
1 4 x＋ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · ＋C4(3 x) ＋C4(3 x)· ＋ C 4 x x x
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ，试用 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b
1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( A．－27C6 10 C．－9C6 10 B．27C6 10 D．9C6 10
)
4 4 6 解析： x6的系数为C4 · ( － 3) ＝ 9· C ＝ 9· C 10 10 10.
答案： D
2．二项式 x－
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B．28x2 1 D．56x2
方法二：
x－ 2
1
1 4 2x－14 4 ＝ ＝ (2 x － 1) 2 2 x 16x x
1 ＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 3 1 1 ＝x －2x＋2－2x＋16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr＋1＝Cn a b 指的是第r＋1项，不是第r项；
－
②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
5 2
(2)方法一： 3
1 4 x＋ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · ＋C4(3 x) ＋C4(3 x)· ＋ C 4 x x x
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教版A版高中数学选修2-3：《1.3.1 二项式定理》上课课件
用_____表示，即_____=___________（其中 0 r n, r N , n N * ）
已知
2 2 x x
n
的展开式中，第 5 项 为常数项 （2）第3项的二项式系数3求：（1）n（3）含 x 的项的系数
抢答题：
抢答题：
必答题：
必答题：
思考题：
2003年是羊年，从2004年开始： 1)第13年出生的孩子的属相是什么？ 2 ) 第 13
2009
年出生的孩子的属相是什么？
本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？ 在学习这部分知识时要注意什么呢？ 有哪些数学思想方法值得总结？
谢谢
1、二项式定理
二项展开式：(a b) = __________________________________（ n N ）
n
*
叫做二项式定理，其中各项的系数______（ r 0,1,2,, n ）叫做二项式系数
2、二项展开式的通项
(a b)n
的二项展开式中的第 r+1项___________叫做二项展开式的通项，
高中数学选修2-3《二项式定理》课件
(4) a0 a1 a2 a7 _____
方法点评：二项展开式是一个恒等式,因 此对特殊值仍然成立.这是求二项式系数 和的基础.常采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要的方法.
考点2.通项公式的应用 1 x 的展开式中 例2. 在 2 x （1）是否存在常数项； 1 （2）求含 x 2的项及该项的二项式系数； 引申： （3）求所有的有理项 ； （4）求系数最大的项。
n
nr n
0 4
C
1 44
C
2 64
3 1 3
C
4 1 4
n
n
n
n
n
二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减 ;当n为 n 偶数时，展开式中间的一项 C n2 取得最大；当n为奇数时， C C 相等，且同时取得最大。 ② 展开式中间的两项 、 ； 0 1 2 n n C C C C 2 ③ 各二项式系数和： n 。 n n n
n 1 2 n
n 1 2 n
即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等
；
……Leabharlann 考点1.求展开式中系数和 例1.已知(1-2x)7=a0 + a1x + a2x2+ …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2) a0-a1+a2-a3+…-a7=_______ 引申： (3) (a0+a2+a4+ a6)2- (a1+a3+a5+ a7)2 =_
即与首末两端等距离的两个二项式系数相等二项式系数前半部分逐渐增大后半部分逐渐减
二项式定理复习课
方法点评：二项展开式是一个恒等式,因 此对特殊值仍然成立.这是求二项式系数 和的基础.常采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要的方法.
考点2.通项公式的应用 1 x 的展开式中 例2. 在 2 x （1）是否存在常数项； 1 （2）求含 x 2的项及该项的二项式系数； 引申： （3）求所有的有理项 ； （4）求系数最大的项。
n
nr n
0 4
C
1 44
C
2 64
3 1 3
C
4 1 4
n
n
n
n
n
二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减 ;当n为 n 偶数时，展开式中间的一项 C n2 取得最大；当n为奇数时， C C 相等，且同时取得最大。 ② 展开式中间的两项 、 ； 0 1 2 n n C C C C 2 ③ 各二项式系数和： n 。 n n n
n 1 2 n
n 1 2 n
即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等
；
……Leabharlann 考点1.求展开式中系数和 例1.已知(1-2x)7=a0 + a1x + a2x2+ …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2) a0-a1+a2-a3+…-a7=_______ 引申： (3) (a0+a2+a4+ a6)2- (a1+a3+a5+ a7)2 =_
即与首末两端等距离的两个二项式系数相等二项式系数前半部分逐渐增大后半部分逐渐减
二项式定理复习课
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二项式定理复习课
▪ 考纲要求及高考动向：
2010年考试大纲（广东卷）对 本节知识的要求是：1.理解二项式 定理；2.会用二项式定理解决与二 项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开 式的应用，即求特定项以及展开式 中的系数和等问题。
▪ 教材复习： ▪ 二项式定理
(a+b)n= Cn0an Cn1an1b L Cnranrbr L ( Cnnbn n N )
(4) a0 a1 a2 L a7 _____
方法点评：二项展开式是一个恒等式,因 此对特殊值仍然成立.这是求二项式系数 和的基础.常采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要的方法.
▪ 考点2.通项公式的应用
例2.
在
x
2
1
4
x
8的展开式中
（（12））是求否含存x在12的常项数及项该；项的二项式系数；
引申：
（3）求所有的有理项 ；
（4）求系数最大的项。
变式：
x
2
1
4
x
100展开式中所有有理项
有_____个。
▪方法点评:例2及其变式、练习属于求 二项式的指定项的一类重要问题,它的解 法主要是:利用通项公式，设第r+1项为 所求指定项，然后根据已知条件列出方 程, 利用方程的思想解题.
n 3且n N*
思考题：
当时 n 3且n N* ，试证
2n 2n
1 1
n n 1
。
本节课小结：
1.会用赋值法求二项展开式中的一些系数 和问题；
2.学会利用二项展开式的通项解决一些与 特定项有关的问题。
作业： 1.必做题：《创新设计》P183基础自测 2.选做题： 《创新设计》P350选做题1，3
(a+b)2………………………
C1
0 2
C2 21
C
12
2
(a+b)3……………………
C1
0 3
C3 31
C332
C
31
3
(a+b)4………………
C1
0 4
C4 41
C6 ห้องสมุดไป่ตู้2
C443
C
41
4
(…a+…b)5……………
1C
0 5
C5
1 5
1C052 C1053
C554 C155
C C C C C C (a+b) n-1……
(1)展开式中共有___n_+_1__项
(2)通项公式：__T_r_1 __C__nr a_n__rb_r_,它表示
的是展开式的第___r_+_1___项
(3)二项式系数：_C_n_r (_r___0,_1_, 2_,_L__, n_)_
(a+b)1…………………………… C110 C111
0 n 1
1 n 1
2…
n 1
r 1 n 1
r … n1
n 1
n 1
(a+b)
n……C
0 n
C1 n
C C 2 …
r 1
n
n
Cr n
………
Cn n
结论：①
Cr n
C nr n
即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相
；
二项式系数前半部等分逐渐增大，后半部分逐渐减;当n为
② 偶展数开时式，中展间开的式两中项间的、一Cnn项21相CC等nnnn221 取，且得同最时大取；得当最n为大奇。数时，；
③
各二项式系数和：
C0 n
C1 n
C2 n
Cn n
2n
。
……
▪ 考点1.求展开式中系数和 例1.已知(1-2x)7=a0 + a1x + a2x2+ …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2) a0-a1+a2-a3+…-a7=_______ 引申： (3) (a0+a2+a4+ a6)2- (a1+a3+a5+ a7)2 =_
▪ 考纲要求及高考动向：
2010年考试大纲（广东卷）对 本节知识的要求是：1.理解二项式 定理；2.会用二项式定理解决与二 项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开 式的应用，即求特定项以及展开式 中的系数和等问题。
▪ 教材复习： ▪ 二项式定理
(a+b)n= Cn0an Cn1an1b L Cnranrbr L ( Cnnbn n N )
(4) a0 a1 a2 L a7 _____
方法点评：二项展开式是一个恒等式,因 此对特殊值仍然成立.这是求二项式系数 和的基础.常采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要的方法.
▪ 考点2.通项公式的应用
例2.
在
x
2
1
4
x
8的展开式中
（（12））是求否含存x在12的常项数及项该；项的二项式系数；
引申：
（3）求所有的有理项 ；
（4）求系数最大的项。
变式：
x
2
1
4
x
100展开式中所有有理项
有_____个。
▪方法点评:例2及其变式、练习属于求 二项式的指定项的一类重要问题,它的解 法主要是:利用通项公式，设第r+1项为 所求指定项，然后根据已知条件列出方 程, 利用方程的思想解题.
n 3且n N*
思考题：
当时 n 3且n N* ，试证
2n 2n
1 1
n n 1
。
本节课小结：
1.会用赋值法求二项展开式中的一些系数 和问题；
2.学会利用二项展开式的通项解决一些与 特定项有关的问题。
作业： 1.必做题：《创新设计》P183基础自测 2.选做题： 《创新设计》P350选做题1，3
(a+b)2………………………
C1
0 2
C2 21
C
12
2
(a+b)3……………………
C1
0 3
C3 31
C332
C
31
3
(a+b)4………………
C1
0 4
C4 41
C6 ห้องสมุดไป่ตู้2
C443
C
41
4
(…a+…b)5……………
1C
0 5
C5
1 5
1C052 C1053
C554 C155
C C C C C C (a+b) n-1……
(1)展开式中共有___n_+_1__项
(2)通项公式：__T_r_1 __C__nr a_n__rb_r_,它表示
的是展开式的第___r_+_1___项
(3)二项式系数：_C_n_r (_r___0,_1_, 2_,_L__, n_)_
(a+b)1…………………………… C110 C111
0 n 1
1 n 1
2…
n 1
r 1 n 1
r … n1
n 1
n 1
(a+b)
n……C
0 n
C1 n
C C 2 …
r 1
n
n
Cr n
………
Cn n
结论：①
Cr n
C nr n
即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相
；
二项式系数前半部等分逐渐增大，后半部分逐渐减;当n为
② 偶展数开时式，中展间开的式两中项间的、一Cnn项21相CC等nnnn221 取，且得同最时大取；得当最n为大奇。数时，；
③
各二项式系数和：
C0 n
C1 n
C2 n
Cn n
2n
。
……
▪ 考点1.求展开式中系数和 例1.已知(1-2x)7=a0 + a1x + a2x2+ …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2) a0-a1+a2-a3+…-a7=_______ 引申： (3) (a0+a2+a4+ a6)2- (a1+a3+a5+ a7)2 =_