三角恒等变换技巧

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三角的恒等变换

三角恒等变换公式如下：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ。

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ。

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。

定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的来象垍限头樤，取三角函数的符号。

也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。

正负号看原函数中α所在象限的正负号。

关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。

或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。

还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。

比如：90°+α。

定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。

所以sin（90°+α）=cosα, cos（90°+α）=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。

三角恒等变换技巧

三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。

在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。

1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。

（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。

高一数学三角恒等变换的技巧

高一数学三角恒等变换的技巧三角恒等变换以三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式、半角公式等三角公式为基础，常见策略是：(1)发现差异；(2)寻找联系；(3)合理转换．基础思想是根据试题特点，灵活运用三角公式，使用配凑角、切化弦、降次或升幂等技巧，达到解决问题的目的．三角函数公式众多，方法灵活多变，同学们若能熟练掌握三角函数变换的技巧和化简的方法，可达到事半功倍的效果．下面就三角函数恒等变换的部分方法予以简单介绍，供大家参考．一、直接利用公式【方法点拨】根据式子特征，直接用公式展开是三角函数化简常用的方法，基本思路是异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．化简的标准是三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．在化简时要注意角的取值范围．二、公式的逆用【方法点拨】直接运用两角和与差的正弦或余弦公式常能将某些三角函数式化简，但深入观察三角函数式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且过程简捷，不易出错．逆用公式的一些常见变形：三、切化弦【方法点拨】切化弦一般适用于不知切值或式子不能构成有关正、余弦函数的齐次分式．不能整体化切时，一般考虑切化弦，其目的是将正切、余切函数用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的解题方法．当涉及多种三角函数时，常用此法减少函数的种类．这里除用化切为弦外，也常用到化异角函数为同角函数的技巧．四、弦化切五、用已知角表未知角【方法点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式的应用，转化过程中要特别注意符号的选取．观察式子特征，若已知角与所求角之间存在和、差、倍角、互余、互补等关系，即可用已知角表未知角的方法来求解．六、拆分角七、配凑【方法点拨】配凑法与方法五的基本思路一致，也是三角恒等变换中十分经典的一种方法．在解答时通过对目标式子中的角进行配凑，再利用三角公式和已知条件求得目标函数的值．在转换过程中同样要注意角的取值范围．常见的凑角技巧：总结三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”．这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”．观察和分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向．三角函数式的化简与求值是三角函数中的基础考点之一，也是高考中的常见题型，打好三角函数的基础对同学们高考也大有裨益．本文主要介绍了几种常用的方法，希望对同学们解决三角函数化简求值问题能有所帮助．。

进行三角恒等变换的三个技巧

解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

9种常用三角恒等变换技巧总结

9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。

而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。

下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。

1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。

2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。

它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。

它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。

它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。

它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。

6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。

三角恒等变换技巧

三角恒等变换技巧1.三角函数平方表示三角函数的平方表示可以将复杂的三角函数化简为简单的平方形式。

例如，可以利用以下恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个三角恒等式表明，一个角的正弦平方与余弦平方之和等于1、利用这个恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更好地进行计算。

2.和差化积和差化积是指将三角函数的和差形式转化为积的形式。

例如，可以利用以下恒等式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)这个三角恒等式表明，两个角的正弦之和可以表示为正弦和余弦的乘积形式。

同样地，我们也可以通过差化积将两个角的正弦之差转化为正弦和余弦的乘积形式。

3.积化和差积化和差是指将三角函数的积的形式转化为和差的形式。

例如，可以利用以下恒等式：cos(x)cos(y) = 1/2[cos(x+y) + cos(x-y)]这个三角恒等式表明，两个角的余弦之积可以表示为两个角的和与差的余弦之和的一半。

同样地，我们也可以通过积化和差将两个角的正弦之积转化为正弦和余弦的和差形式。

这些三角恒等变换技巧在解决问题时经常被使用。

通过灵活地运用这些恒等变换技巧，可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。

此外，在解析几何中，三角恒等变换技巧也有助于直观地理解和推导三角函数的性质和关系。

总结起来，三角恒等变换技巧是一种重要的数学工具，它通过对三角函数之间相互转化，将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式。

掌握这些变换技巧不仅有助于解决数学问题，还可以提高数学理解和推导的能力。

因此，我们应该加强对这些三角恒等变换技巧的学习和掌握，使其成为解决各种问题的利器。

三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换的常用技巧1.三角函数的互余关系三角函数的互余关系是指正弦函数与余弦函数之间、正切函数与余切函数之间存在一种关系，即sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) =sin(π/2 - x)，tan(x) = cot(π/2 - x)，cot(x) = tan(π/2 - x)。

利用这个关系，可以将一个三角函数用另一个三角函数表示，从而简化计算。

2.三角函数的辅助角公式三角函数的辅助角公式是指通过引入辅助角，使得原函数形式得到简化或变形的运算方法。

常见的辅助角公式包括:sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))利用辅助角公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一个形式，从而方便计算。

3.和差角公式和差角公式是指将两个角的三角函数的和或差，表示为一个三角函数乘积的展开公式。

常见的和差角公式包括:sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))通过和差角公式，可以将一个复杂的三角函数表达式展开为两个简单的三角函数表达式的和或差，方便进一步计算。

4.二倍角公式二倍角公式是指将一个角的三角函数的平方形式化简为另一个角的三角函数表达式的公式。

常见的二倍角公式包括:sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))通过二倍角公式，可以将一个角的三角函数平方形式化简为另一个角的三角函数的表达式，使得计算更加简化。

9种常用三角恒等变换技巧总结

9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。

1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。

2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。

3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。

4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。

5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。

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ｂ￣ｓｉｎ２Ａ
＝
查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视公式定理的产生背景、推理论证及理解，强化基础知识的学习和巩固．（作者单位：厦门大学附属实验中学）
责任编校徐国坚
６２＋ｃＺ－２ｂｃｃｏｓＡ．
即ａＺ＿＝ｂ２＋ｃ２ — ２ｂｃｃｏｓＡ．
方案．针对这些问题，本文着重分析各类试题中有关三角恒等变换的问题．主要剖析命题切入点，以及围绕三角恒等变换的解题方法和思路．学习三角恒等变换过程中，最难的是对公式的理解及灵
、
活用定义，巧妙解题
定义是对数学对象本质特征的刻画，因此定义是研究问题的基础和出发点，是揭示概念内涵的逻辑方法．我们已经通
答案选Ｄ．
【点评】本题是课本例题的一个改编，课本原题为 “ 已知
角的终边经过点（一３，一４），求角的正弦、余弦和正切
值． ”主要考查考生对单位圆定义法、三角形相似的判定定理的理解．从而进一步体会三角函数 “ 终边定义法”与 “ 单位圆
数学有数
ＩｉＡＧ０ｉ）Ｎ｛１ｌＡ０ＹＵＧＡ０Ｚ｝／０／ＷＧ
三角恒等变换技巧
■张琦
三角恒等变换问题在历年高考和自主招生试题中屡见不鲜。主要考查考生的逻辑推理和运算求解能力．主要是通过三
角公式进行等价变换以达到化简、求值、证明的目的．其实三
定义法 ” 一致性．
一
ｚ－４－－ｄ＂．－Ａｆ－＋－Ａ－ｆ
一２ｌ１・１ｌＣＯｓＡ＋￣Ａ
＝
ｂ２－２ｂｃｃｏｓＡ－Ｉ－Ｃ。
即ａ￣ｂ２＋ｃ２ — ２ｂｃｃｏｓＡ．
Ａ．
３
活运用上．要想得心应手的应用三角公式，关键在于构建公式
网络．理解其内在联系及．一３
）
Ｄ
一
４
３
．
【解析】根据余弦函数定义，ＣＯＳ￣＝ｙ，其中Ｙ是角Ｏ／的终
边与单位圆交点的纵坐标，根据三角形相似可知ｙ＝＝一．ｊ
．
ｆｔａｎ／０＝里＝２．
１－ｓｉｎｘ
相关链接２．４ｃｏｓ５０。－ｔａｎ４０。＝（
）
出ｓｉｎ／．Ｃ０ＯＳＯ￣的值．从而根据二倍角公式ｃｏｓ２／０＝ｃｏｓ２／０一ｓｉｎ２／０
同理可证ｂＺ＝ｃ：＋ａ２－２ｃａｃｏｓＢ，
ｃ：＝ａＥ＋ｂ２ｃａｃｏｓＣ．
（证法二）已知ＡＡＢＣ中，Ａ，，ｃ所对边分别为口，ｂ，ｃ，以Ａ
为原点，ＡＢ所在直线为轴建立直角坐标系，则Ｃ（ｂｃｏｓＡ，ｂｓｉｎＡ），Ｂ（ｃ，０），
同理可证，ｂ２＝ｃ・２＋ａ２－２ｃａｃｏｓＢ，
，琢数翥高中２０１４簋第１２期２５
数学有数
相关链接１．已知ｔａｎ／０＝２，那么ｃｏｓ２＝ — — ．
．
【解析】ｃ。ｓ２＝ — ｃｏｓ — ２／０ — －广＿＿ｓｉｎ２／＝０ｃｏｓ：／０－ｓｉｎ２／＝０１－ｔａｎ２／一０
Ａ．
【解析】
Ｂ．掣
— —
Ｃ．
—
２一１
可得结论．但是按这种方法解题时，需要注意ｔａｎ／０＝２时，角
过单位圆定义法得出了任意角三角函数的定义，从定义也导出了同角三角函数的基本关系式和诱导公式，为我们进一步研究三角函数性质奠定了基础．从这个意义上说，牢固掌握三
角函数的定义是学好三角函数的根本保证．考题１．已知角的终边经过点（一４，３），则ＣＯＳ￣＝（
所以＋争＝，即２］８＝手．
除本题外．考生尝试用不同方法解决课本练习 “ 求证：
：
【点评】本题为 “ 知切求弦”题型，基本的解决思路是根
！ ±
ｃｏｓ
，，
据同角三角函数的基本关系式，列出方程｛ＣＯＳ／０求【ｓｉｎ２／０＋ＣＯＳ２０ｌ＝１
本部分内容里，考生需要理解任意角三角函数的定义。以及同角三角函数的基本关系．会用向量的数量积推导出两角
差的余弦公式．在此基础上，能运用上图所述公式进行简单的
恒等变换．
一
角恒等变换说起来就那么几个公式——虽然多，但是有规律；就那么几个套路一不是正用就逆用；但从实际考试效果看，还是有相当一部分考生不能在短时间内找到解决问题的最佳
・．．
ｃＺ＝
＿
ａ２＋ｂ２＿２ａｂｃｏｓＣ．
ａ２＝ＩＢＣｌ＝（ｂｃｏｓＡ— ｃ）＋（ｂｓｉｎＡ）＝ｂ２ｃｏｓ２Ａ一２ｂｃｃｏｓＡ＋ｃ＋
嘲
本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考

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