数理统计
对数理统计的理解
对数理统计的理解对数理统计是一门研究数据分析和概率推断的学科，是现代统计学的基础。
它通过数学模型和统计方法，对收集到的数据进行整理、分析和解释，从而得出有关数据的结论。
对数理统计的理解可以从以下几个方面展开。
首先，对数理统计的核心概念是概率和统计量。
概率是描述随机事件发生的可能性的数值，统计量是通过对样本数据进行计算而得到的数值特征。
概率和统计量是对数理统计的基础，它们可以帮助我们理解和解释数据的变化和规律。
对数理统计的方法包括描述统计和推断统计。
描述统计是通过对数据进行整理、汇总和分析，得出数据的中心趋势、变异程度和分布特征等信息。
推断统计是通过从随机样本中得出结论，推断总体的参数或进行假设检验。
这些统计方法可以帮助我们对数据进行量化和分析，从而更好地理解数据的特征和规律。
对数理统计还涉及到概率分布和假设检验。
概率分布是描述随机变量可能取值的概率规律，常见的概率分布包括正态分布、泊松分布和二项分布等。
假设检验是通过对样本数据进行统计推断，判断某个假设是否成立。
概率分布和假设检验是对数理统计的重要工具，可以帮助我们对数据进行建模和推断。
对数理统计还涉及到回归分析和方差分析等方法。
回归分析是通过建立变量之间的数学模型，研究自变量对因变量的影响程度和方向。
方差分析是通过对不同组之间的差异进行统计分析，判断组间差异是否显著。
这些方法可以帮助我们理解和解释数据的关系和差异。
对数理统计还包括一些常用的统计技术，如抽样方法、参数估计和回归分析等。
抽样方法是从总体中随机选择样本，通过对样本数据进行分析，得出对总体特征的推断。
参数估计是通过对样本数据进行计算，估计总体的未知参数。
回归分析是通过建立数学模型，研究变量之间的关系和影响。
对数理统计的理解涉及到概率、统计量、描述统计、推断统计、概率分布、假设检验、回归分析、方差分析、抽样方法和参数估计等多个方面。
通过对这些概念和方法的学习和应用，我们可以更好地理解和解释数据的特征和规律，为决策提供科学依据。
第五节数理统计的基础知识
第五章数理统计的基础知识在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。
知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。
在概率论的许多问题中，概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性，即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。
但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。
例如：1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。
2、检测一批灯泡是否合格，则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0-1）分布，但其中的参数p未知。
对这类问题要深入研究，就必须知道与之相应的分布或分布中的参数。
数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数。
数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。
数理统计研究的内容非常广泛，可分为两大类：一是：怎样有效地收集、整理有限的数据资料。
二是：怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。
第一节数理统计的基本概念一、总体与总体的分布在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系.在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。
例如：研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。
数理统计基本知识
的特点,为此必须对随机抽取样本的方法提出如下要求：
(1)独立性 要求X1, X2 ,…, Xn 是相互独立的随机变量; (2)代表性 要求样本的每个Xi (i=1,2,…,n)与总体X具有相同 的分布. 满足以上两个条件的样本称为简单随机样本, 简称样本.
7
[注]
(1) 样本X1, X2 ,…, Xn 相互独立,且与总体X 同分布; (2) 样本X1, X2 ,…, Xn 可看成一个n 维随机向量,记为 (X1, X2 ,…, Xn ); 样本值记为(x1,x2,…,xn);
X1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 2 ~ ( 2) 3 3
21
(二) t 分布
设X~N(0,1),Y~2(n),且X与Y相互独立,则称随机变量
t
X Y /n
服从自由度是n的t 分布(Student分布),记作t ~ t(n). t(n)分布的概率密度函数为:
n=1
t (n)
t ( n)
t 1 ( n) t ( n) 0
t
t 分布的分位点: 对给定 (0<<1), 称满足
P{t t (n)}
的点 t (n)为t(n)分布的上 分位点.
当n>45时, t (n)
t ( n)
h(t )dt
1 n •样本均值 X X i ; n i 1
•样本方 差
n n 1 1 2 2 2 2 X nX S ( Xi X ) i n 1 n 1 i 1 i 1
1 n 2 •样本标准 S ( X X ) i n 1 i 1 n 差 1 k •样本k阶(原点)矩 Ak X i ( k 1, 2,...) n i 1 1 n k •样本k阶中心矩 Bk ( X i X ) ( k 2, 3,...) n i 1
数理统计的基本概念
第6章
§6.1-6.2
第10页
设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本 1 n 1.样本均值: X X i 常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设。 n i 1
n 1 2 S2 ( X X ) 2.样本方差： i n 1 i 1
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第6章
§6.1-6.2 §6.1 样本及抽样分布
第3页
数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断
6.1.1 总体、个体与样本
1. 总体：研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示， 它是一个随机变量. 总体分为有限总体和无限总体. 个体：组成总体的每个研究对象称为个体.
i 1 i 1
i
ki !
e
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结束
第6章
§6.1-6.2
第8页
3 加工某零件时，每一件需要的时间服从均值为1 / 的 指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件 零件构成一个容量为n的样本,求样本分布.
解：零件的加工时间为总体X，则X ~ E ( ), 其概率 e x x0 密度为 f ( x) x0 0 于是样本( X 1 , X 2 , X n )的密度为 f ( x1 , x2 , xn )
样本容量为5
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第6章
§6.1-6.2
第5页
样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn). 一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
数理统计基本知识
2 (5), Y
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
P{ (n)}
2 2
2 2 ( n ) 的点 为分布 (n) 的上分位点.
( n)
2
f ( y)dy
19
•当n充分大(>45)时,有
2
1 ( z 2n 1 ) 2 2
i 1
n
X i 2 等均
1 ( X 1 X 2 ) 等都不是统计 2 Xi i 1 2 量，因为它们含有未知参数 ,
为统计量，而
1
n
2
从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的
随机变量．
10
几个常用的统计量 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体X
的一个样本, (x1,x2,…,xn)是其观察值.
§6.2
抽样分布
一、统计量 样本是进行统计推断的依据.但在应
用时,往往不是直接使用是样本本身,而是针对不同 的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进 行统计推断. 定义1 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体 X 的一个样本, g(X1, X2 ,…, Xn)是X1, X2 ,…, Xn函数,若g 中不含任 何未知参数，则称g(X1, X2 ,…, Xn)是一个统计量． [注] (1) 统计量是一个随机变量;
n 11
0
18
y
2 分布的可加性 设 12 ~ 2 (n1 ), 2 ~ 2 (n2 ) 2 2 2 2 2 且 1 与 2相互独立,则有 1 2 ~ ( n1 n2 )
分布的数学期望和方差
例： X
U ( 0, 4), 则 E ( X Y ) _____ D( X Y ) _____ . 分布的分位点 对于给定正数 (0<<1), 称满足
数理统计法
数理统计法简介数理统计法（Mathematical Statistics），是一门研究统计学基本理论和统计方法的学科，通过数学方法来研究随机现象的统计规律。
它是统计学的一个重要分支，不仅在理论上为统计学提供基础，还为应用统计学提供了可靠的工具。
基本概念随机变量随机变量（Random Variable）是数理统计法的基本概念之一。
它是一种能够取得不同数值的变量，在统计学中通常用大写字母（如X、Y）表示。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种。
离散随机变量只能取有限或可数个值，如抛硬币的结果；而连续随机变量可以取任意实数值，如人的身高。
概率分布概率分布（Probability Distribution）是随机变量的分布规律。
它描述了随机变量每个取值的可能性大小。
常见的概率分布有离散分布（如伯努利分布、泊松分布）和连续分布（如正态分布、指数分布）。
统计量统计量（Statistic）是从样本数据中计算出来的、用于描述总体特征的量。
它是数理统计法的一个重要工具。
常见的统计量有均值、方差、标准差等。
统计量可以帮助我们从样本中了解总体的特征，进行推断或判断。
基本理论大数定律大数定律（Law of Large Numbers）是数理统计法的重要理论之一，它描述了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，样本平均值趋向于总体均值。
大数定律告诉我们，通过多次重复试验，我们可以逐渐减小抽样误差，更好地估计总体特征。
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorem）也是数理统计法的重要理论之一。
它表明，当独立随机变量的总数足够大时，这些随机变量的和（或均值）的分布将趋近于正态分布。
中心极限定理是众多统计方法的基础，使我们能够在使用统计方法时，不必过于关注总体分布的形状。
统计方法参数估计参数估计（Parameter Estimation）是数理统计法中的一项重要任务，它用于通过样本数据估计总体的未知参数。
数理统计学pdf
数理统计学：探索数据的科学
数理统计学，作为数学的一个重要分支，是一门研究如何从数据中获取信息的科学。
它为数据分析提供了理论依据和数学工具，使得我们能从复杂的数据中提炼出有用的信息。
数理统计学的应用非常广泛，几乎涉及到所有领域。
无论是在医学、生物学、经济学、社会学，还是在工程技术和科学研究等领域，数理统计学的理论和方法都发挥着至关重要的作用。
通过数理统计学的分析，我们可以对现象进行预测，对假设进行检验，从而更好地理解和掌握各种数据背后的规律和趋势。
在数理统计学中，我们不仅要掌握基本的统计概念，如均值、方差、协方差、相关系数等，还要了解各种统计分布，如二项分布、正态分布、泊松分布等。
此外，我们还要熟悉各种统计方法，如参数估计、假设检验、回归分析、方差分析等。
这些理论和工具为我们提供了分析和解决问题的有效手段。
值得注意的是，数理统计学不仅仅是一门理论科学，它更是一种实用工具。
通过数理统计学的应用，我们可以将数据转化为信息，将信息转化为知识。
这使得我们在面对复杂问题时，能够做出更加科学、准确的决策。
总的来说，数理统计学是一门关于数据的科学，它为我们提供了一种理解和处理数据的强大工具。
通过学习和应用数理统计学的理论和方法，我们可以更好地探索和理解世界，从而为我们的生活和工作带来更多的便利和价值。
无论是在学术研究、商业决策还是日常生活中，数理统计学都发挥着不可或缺的作用。
数理统计的基本概念课件
离散程度
通过方差、标准差等指标 来描述数据的离散程度， 反映数据的变化程度。
数据的中位数、均值和众数
中位数
将数据按照大小顺序排列，处于 中间位置的数值即为中位数。中 位数可以反映数据的集中趋势和
离散程度。
均值
将所有数据相加后除以数据个数 ，得到的数值即为均值。均值可 以反映数据的集中趋势和离散程
度。
拟合优度
决定于所选择的非线性函数形式，常 用的有R²和SSPE（残差平方和）。
显著性检验
一般采用基于参数的假设检验和似然 比检验。
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05
假设检验
假设检验的基本思想
统计假设
假设检验的核心是对提出的问题（即假设）进行统计推断，先假设所要考察的 总体参数按某种规律或分布（即统计模型）分布，然后根据样本信息对原假设 进行检验。
假设检验的基本步骤
首先提出假设，然后收集样本数据，接着根据样本数据对原假设进行检验，最 后根据检验结果做出结论。
多元线性回归分析
• β0: 截距 • β1, β2, ...: 斜率
• ε: 误差项
多元线性回归分析
拟合优度
R²，表示模型解释因变量的方差的比例 。
VS
显著性检验
整体显著性检验（F检验）和单个变量的 显著性检验（t检验）。
非线性回归分析
定义
非线性回归分析是研究非线性关系的 统计方法。
模型
Y = f(X) （其中 f 是非线性函数）
• β0: 截距
一元线性回归分析
01
• β1: 斜率
02
• ε: 误差项
03
04
拟合优度：R²，表示模型解 释因变量的方差的比例。
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西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教 专业：数学与应用数学（数学教育） 2016年 6 月
课程名称【编号】：数理统计【0348】 A卷
大作业 满分：100 分
1、
设总体服从泊松分布P（λ），1,,nXXL是一样本：
（1）写出1,,nXXL的概率分布；
（2）计算2,nEXES；
（3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本均值, 次序
统计量的观察值。（15分）
2、(1) 给出统计量的定义；
(2) 设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，15,,XXL是来自总体的简单随机样本。
指出212551,max,15,2,iXXXiXpXX之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
（15分）
3、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从2,N，其中2,未知。为估计
2,，从中随机抽取n=100根轴，测得其偏差为1100,,xxL。试求2
,
的极大似然估计。（20分）
4、设1,,nXXL是取自具有下列指数分布的一个样本，1,0,00, 0xexpxx，证明
11niiXXn
是θ的无偏、相合、有效估计。（20分）
5、设总体X服从均匀分布U[0，θ]，其中θ为未知参数，样本1,,nXXL来自总体X,
1max,,n
n
XXXL
，试在置信概率1-α下，利用/nYX，求θ的形如[0，z]的置信区间。
（15分）
6、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布211,N与222,N，为
比较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下：
总体 样本容量 直径
X(机床甲)
Y
(机床乙)
8 7 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9
20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2
若进一步检验两台机床加工的轴的平均直径是否一致（取α=0.05）。（0.975132.1604t，
0.9756,75.12F，
0.975
7,65.70F
）（15分）