哈尔滨市高一下学期期中数学试卷(I)卷(考试)
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.，则（ ）A. B. C. D. 2. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形为等腰梯形，，则平面图形的面积为（ ）A. B. C. D. 3. 在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（ ）A.B. C. D. 4. 已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（ ）15ii z -+=z =5i+5i-5i--5i-+OACB O A C B ''''3,O A O B ''''==OACB PABC Q 1134PQ xPA PB PC =++Q A B C 512x =712x =12x =18x =1e 2e 1212,3AB e e BC e e =-=+ 123CD e e =--A. A 、B 、C 三点共线B. A 、C 、D 三点共线C. A 、B 、D 三点共线D. B 、C 、D 三点共线5. 经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（ ）A. 35种B. 126种C. 495种D. 1001种6. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 三棱锥的侧棱是它的外接球的直径，且的体积为（ ）AB.C.D.8. 在中，，I 是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x 的取值范围是（ ）A. B.C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设m，n 是不同的直线，是不同的平面，则下列命题错误的是（ ）A. 若，则 B. 若，则n 平行于内的无数条直线C. 若，则 D. 若，则10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（ ）.ABC V 2a b =3c =·BA BC(3,9)(6,18)189,52⎛⎫⎪⎝⎭36,95⎛⎫⎪⎝⎭S ABC -SA 8,1,3,SA AB BC AC ====S ABC -ABC V π6,8,3AB AC BAC ==∠=BAC ∠AI =ABC V 12ID xAB AC =+ 15,624⎛⎤- ⎥⎝⎦15,624⎛⎫- ⎪⎝⎭15,68⎛⎫- ⎪⎝⎭15,68⎛⎤- ⎥⎝⎦,αβ//,//m αβα//m β//,m n m α⊂α,m m n α⊥⊥//n α,m αβα⊥⊥//m βA. 第n 行的第个位置的数是B.C. 第2024行的第1012个数最大D. 第28行中第5个数与第6个数的比值为11. 已知正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A. 平面被正方体内切球所截，则截面面积为B. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为C. 若点P 在线段上运动，则D. 以D第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 正四棱锥的所有棱长均为4，M 为棱PC 的中点，则异面直线BM 与PA 所成角的余弦值为______．13. 已知，则______．14. 现用种不同的颜色对四棱台的个顶点涂色，要求同一条棱的两个端点不同色，且上底面个顶点颜色都不同，则不同的涂色方法种数为______．（用具体数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31．的()r r n ≤1C r n -444556781C C C C +++=4251111ABCD A B C D -1ACD π121A ABCD -1B ABCD -5241B C 1π2BPD ∠≥P ABCD -823801238(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =+++++++++ 6a =41111ABCD A B C D -842(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭（1）求实数n 和a 的值；（2）求的展开式中的系数．16. 已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，，．（1）求；（2）从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S ．条件①；条件②；条件③BC 边上中线长为17. 在直三棱柱中，D 、E 分别是棱的中点，F 为线段上的点．（1）证明：平面；（2）若，当与平面的值．18. 在锐角中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，已知（1）求B ；（2）求取值范围：（3）若的外接圆半径为内切圆半径的最大值．19. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面.的的的()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2x ABC V 4a =2cos cos 3a Bb Ac b -=-cos A ABC V 2224S a c b =+-c =111ABC A B C -11,AC A C 1B E //CF 1A BD 12AB BC CA BB ====DF 1A BD 1EF FB ABC V tan tan A B +=222a c b+ABC V ABC V 4PA =PAB ⊥ABCD PAD ⊥ABCD（1）求证：四棱锥是“阳马”；（2）点M 在正方形内（包括边界）．平面平面且，（i ）求M 点轨迹长度；（ii ）是否存在M 点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．P ABCD -ABCD PAM ⊥PDM ππ,43ADM ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦BPM ⊥CPM A PD M --哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】BCD第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【13题答案】【答案】112【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）， （2）【16题答案】【答案】（1） （2）答案略【17题答案】【答案】（1）证明略（2）【18题答案】【答案】（1） （2）的取值范围为 （3【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）（i ）；（ii ）存在，该点为与交点，二面角的余弦值6965n =2a =160-1cos 3A =12EFFB =π3B =222a c b+5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦π6AC BD A PD M --23。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
高一下学期数学期中考试试卷含答案
2020-2021学年第二学期期中考试高一数学文科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．不等式034x x -≤+的解集是（ ） A ．{}|3x x <- B ．{}|4x x ≥C ．|34x xD ．{|3x x或4}x ≥2．下列命题中，正确的是（ ） A ．4x x+的最小值是4B的最小值是2C ．如果a b >，c d >，那么a c b d ->-D ．如果22ac bc >，那么a b > 3．满足条件a =4，b，A =45°的△ABC 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．无数个D ．不存在4．若数列{}n a 满足：()*1119,3n n a a a n +==-∈N ，而数列{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( ) A ．5海里/时B．/时C ．10海里/时D．/时6．在区间(1,2)上，不等式240x mx ++>有解，则m 的取值范围为（ ）A ．4m >-B ．4m <-C ．5m >-D ．5m <-7．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{}n a 是等积数列且13a =，前61项的和为113，则这个数列的公积为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．88．在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =3，则sin sin sin a b cA B C++++=（ ）A． B ．C ．3D ．69．已知数列{}n a 中1231,7a a ==，对于3n ，且n N ∈，有21212n n n n n a a a a a ----⋅=-，若2021p a q =（*,p q ∈N ，且,p q 互质），则p q +等于（ ）A ．8089B ．8088C ．8087D ．808610．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里 11．已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．7+12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,a b c ，若4ac =，sin 2sin cos 0B C A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1B C ．2D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．等比数列{}n a 中，372,8,a a == 则5a = ________．14．已知23a ,23b ,则ab的取值范围为__________．15．在ABC ∆中，D 为BC 中点，2,AB AD ==，且sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+，则AC =________． 16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n-，…有如下运算和结论： ①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为n T ，则1055=T S ． 其中正确的结论是_____．(将你认为正确的结论序号都填上)．三．解答题：本大题共6小题，共70分． 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =． （1）求ADC ∠的大小； （2）求边AB 的长．18．（本小题满分12分）已知不等式()22log 362ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a ，b 的值；（2）解不等式()()0ax b c x +->（c 为常数）． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，137,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）令3n nb a =-，求数列2218n n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．20．（本小题满分12分）在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知2244)S b c =+-，2a =． （1）求角A 的值;（2）若三角形ABCABC 的周长． 21．（本小题满分12分） 数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ． 22．（本小题满分12分）2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元．（1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列； （2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第()m m N *∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．参考答案1．不等式034x x -≤+的解集是（ ） A ．{}|3x x <- B ．{}|4x x ≥ C ．|34x xD ．{|3x x 或4}x ≥【答案】C2．下列命题中，正确的是（ ） A ．4x x+的最小值是4 B ．22144x x +++的最小值是2C ．如果a b >，c d >，那么a c b d ->-D ．如果22ac bc >，那么a b > 【答案】D3．满足条件a =4，b =52，A =45°的△ABC 的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．无数个D ．不存在【答案】D4．若数列{}n a 满足：()*1119,3n n a a a n +==-∈N ，而数列{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B5．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( ) A ．5海里/时 B ．53海里/时C ．10海里/时D ．103/时【答案】C6．在区间(1,2)上，不等式240x mx ++>有解，则m 的取值范围为（ ） A ．4m >- B ．4m <- C ．5m >- D ．5m <-【答案】C7．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{}n a 是等积数列且13a =，前61项的和为113，则这个数列的公积为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．8【答案】A8．在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =3，则sin sin sin a b cA B C++++=（ ）AB ．C ．3D ．6 【答案】B9．已知数列{}n a 中1231,7a a ==，对于3n ，且n N ∈，有21212n n n n n a a a a a ----⋅=-，若2021p a q =（*,p q ∈N ，且,p q 互质），则p q +等于（ ） A ．8089 B ．8088C ．8087D ．8086【答案】D10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里【答案】B11．已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D．7+【答案】B12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,a b c ，若4ac =，sin 2sin cos 0B C A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．1 BC ．2D ．4【答案】A13．等比数列{}n a 中，372,8,a a == 则5a = ________． 【答案】414．已知23a ,23b ,则ab的取值范围为__________．【答案】3(1,)2-15．在ABC ∆中，D 为BC中点，2,AB AD ==，且sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+，则AC =________．【答案】416．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n-，…有如下运算和结论： ①2438a =； ②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为n T ，则1055=T S ． 其中正确的结论是_____．(将你认为正确的结论序号都填上)． 【答案】①③④17．如图，在ABC 中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =． （1）求ADC ∠的大小； （2）求边AB 的长．【答案】（1）120；（256【详解】（1）在ACD ∆中，5AD =，7AC =，3DC =，由余弦定理可得222259491cos 22532AD CD AC ADC AD CD +-+-∠===-⋅⋅⋅,又()0,180ADC ∠∈，即120ADC ∠=；（2）由（1）得60ADB ∠=，在ABD ∆中，5AD =，45B ∠=︒，由正弦定理sin sin AB AD ADB B =∠ 32=56AB =． 18．已知不等式()22log 362ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a ，b 的值；（2）解不等式()()0ax b c x +->（c 为常数）． 【答案】（1）1a =，2b =．（2）见解析【详解】（1）依题意可知2364ax x -+>即2320ax x -+>的解为1x <或x b >，于是知1，b 是方程2320ax x -+=的两根，且0a >，∴0,31,21,a b a b a⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩解得1a =，2b =．（2）将1a =，2b =代入不等式，整理得()()20x x c +-<．解()()20x x c +-=得，2x =-或c ．则当2c >-时，原不等式的解集为{}2x x c -<<； 当2c =-时，不等式的解集为φ；当2c <-时，不等式的解集为{}2x c x <<-．19．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，137,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）令3n n b a =-，求数列2218n n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）22n a n =+；（2）()21121n -+．【解析】 （1）数列{}n a 是公差为2的等差数列，且137,,a a a 成等比数列137,,a a a 成等比数列，2317a a a ，则2111412a a a ，解得14a =，41222na n n ；（2）321n n b a n -=-=，()()2212222(21)(8811211212)n n n n b b n n n n +--+==-+， 因此，()()22222222111111111335572121n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦()21121n =-+．20．在ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知2244)S b c =+-，2a =．（1）求角A 的值;（2）若三角形ABC，求ABC 的周长． 【答案】（1）3π；（2）6． 【解析】（1）由2244)S b c =+-，2a =，得2222sin )cos bc A b c a A =+-=，tan A =3A π=．（2）因为三角形ABC122bc ⨯=，则4bc =， 又2a =，3A π=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即22224()3()12b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，所以4b c +=， 因此ABC 的周长为6a b c ++=． 21．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ． 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【详解】解：（1）由题意，12a =．由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，①得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，② ①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦， 所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．（2）由题意，21212n nn n n b a ++==，所以 123123357212222n n nn S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+．22． 2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元 （1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列； （2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第()m m N *∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）6． 【解析】11 （1）由题意得，15000(150%)7500,a t t =+-=-13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-． 当2500t <时，即12750030a t t -=->时，133232222n n n n a t a t a t a t +--∴==--{}2n a t ∴-是以1275003a t t -=-为首项，32为公比的等比数列． 当2500t =，即120a t -=时， {}2n a t -不是等比数列（2）当1500t =时，由（1）知，133********n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭,133000()3000210002m m a -∴=+>，即1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，易知32x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增，又4381()6216=<，53243()6232=>，15m ∴-≥，6m ≥，m ∴的最小值为6。
哈尔滨市高一下学期期中数学试卷 A卷
哈尔滨市高一下学期期中数学试卷 A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）等差数列的前项和为，已知，，则的值是（）A . 24B . 48C . 60D . 722. （2分） (2016高一下·驻马店期末) 若向量 =（1，2）， =（﹣3，1），则2 ﹣ =（）A . （5，3）B . （5，1）C . （﹣1，3）D . （﹣5，﹣3）3. （2分）在△ABC中，a＝3，b＝， c＝2，那么∠B等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°4. （2分） (2016高一下·汕头期末) 已知{an}是首项为a1 ，公比为q的等比数列，Sn是{an}的前n项和．Sn=；若am+an=as+at ，则m+n=s+t；Sk ， S2k﹣Sk ， S3k﹣S2k成等比数列（k∈N•）．以上说法正确的有（）个．A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）(2017·河南模拟) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A .B .C .D .6. （2分）在中，，，则（）A . 或B .C .D . 以上答案都不对7. （2分）若四边形ABCD满足，则该四边形一定不是（）A . 梯形B . 菱形C . 矩形D . 正方形8. （2分） (2016高一下·舒城期中) 数列{an}的前n项和为Sn ，若，则S5等于（）A . 1B .C .D .9. （2分） (2016高一下·桐乡期中) 设f（x）=sin（2x﹣），x∈R，则f（x）是（）A . 周期为π的奇函数B . 周期为π的偶函数C . 周期为的奇函数D . 周期为的偶函数10. （2分） (2019高一上·应县期中) 已知，，函数，的图象大致是下面的（）A .B .C .D .11. （2分）在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，n=1，2，3，…，那么数列{an}（）A . 是等差数列但不是等比数列B . 是等比数列但不是等差数列C . 既是等差数列又是等比数列D . 既不是等差数列也不是等比数列二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 若向量与向量共线，则 ________．14. （1分） (2019高一上·长春月考) 若函数，且，则 ________．15. （1分）在等差数列{an}中，已知am+n=A，am﹣n=B，则am=________．16. （1分） (2016高二上·翔安期中) 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=40米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=________米．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高二上·玉溪期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．（1）求角C的大小；（2）若c= ，a2+b2=10，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知向量，满足：| |=1，| |=6，•（﹣）=2（1）求向量与的夹角（2）求|2 ﹣ |19. （5分）(2017·三明模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=60°，c=4．（Ⅰ）若b=6，求角C的正弦值及△ABC的面积；（Ⅱ）若D，E在线段BC上，且BD=DE=EC，，求AD的长．20. （10分）(2014·江西理) 已知首项是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0．（1）令cn= ，求数列{cn}的通项公式；（2）若bn=3n﹣1，求数列{an}的前n项和Sn．21. （10分）(2017·山西模拟) 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．，（1）求B；（2）若b=2，求ac的最大值．22. （10分） (2016高一下·苏州期末) 已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量 =（1，bn）， =（an﹣1，Sn），∥ ．（1）若bn=2，求数列{an}通项公式；（2）若bn= ，a2=0．①证明：数列{an}为等差数列；②设数列{cn}满足cn= ，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
高一下学期数学期中考试卷含答案
高一下学期数学期中考试卷含答案第一部分：选择题（每题2分，共40分）1.已知正整数$a$和$b$满足$a+b=15$，则$a$和$b$的乘积最大为多少？A. 56B. 64C. 72D. 81答案：C2.已知线段AB的长为12，点C是线段AB的中点，点D在线段BC上，且满足BD=DC，则AD的长为多少？A. 4B. 6C. 8D. 12答案：C...（省略部分题目）...第二部分：填空题（每题3分，共30分）1. 若$x=3$，则$2x-1=$ ____答案：52. 若$a:b=2:3$，$b:c=5:4$，则$a:b:c$的比值为 ____ 答案：20:30:12...（省略部分题目）...第三部分：解答题（共30分）1. 求解方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - 5y = -9 \\\end{cases}$$解：将第一个方程乘以2，得到 $4x + 6y = 14$。
将第二个方程乘以5，得到 $20x - 25y = -45$。
将以上两个方程相加，消去$x$得到 $31y = -31$，解得 $y = -1$。
将$y$的值代入第一个方程，得到 $2x + 3(-1) = 7$，解得 $x = 5$。
所以，方程组的解是 $x = 5$，$y = -1$。
2. 计算 $1+2+3+\ldots+100$。
解：这是一个等差数列求和的问题，采用高斯求和法。
首项$a_1=1$，公差$d=1$，末项$a_{100}=100$。
和 $S = \frac{n(a_1 + a_{100})}{2} = \frac{100(1+100)}{2} = 5050$。
所以，$1+2+3+\ldots+100=5050$。
...（省略其他解答题）...以上是高一下学期数学期中考试卷的部分内容，请参考。
哈尔滨市高一下学期期中数学试卷 (II)卷
哈尔滨市高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在公差为2的等差数列{an}中，2a9=a12+6，则a5=（）A . 4B . 6C . 8D . 102. （2分） (2017高一上·海淀期中) 已知数列{an}满足a1+a2+…+an=2a2（n=1，2，3，…），则（）A . a1＜0B . a1＞0C . a1≠a2D . a2=03. （2分） (2016高二上·阳东期中) 不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（）A . （﹣3，1）B . （﹣1，3）C . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D . （﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）4. （2分）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A . 1B . 2C . 4D . 85. （2分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=， a=7，3sinB=5sinC，则b+c 的值为（）A . 12B . 8C . 8D . 86. （2分）(2020·漳州模拟) 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和，，则的值为（）A . -100B . -90C . 90D . 1107. （2分）太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离开公路的距离是（）km.A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·蕲春期中) 己知数列{an}是等比数列，b1009是1和3的等差中项，则b1b2017=（）A . 16B . 8C . 2D . 49. （2分）已知A（2，3）B（﹣3，﹣2）若有直线l：kx﹣y+1﹣k=0，与线段AB相交，则k的取值范围为（）A . k≥2或k≤B . ≤k≤2C . k≥D . k≤210. （2分）已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的函数解析式为（）A . y=x（x＞0）B . y=x（x＞0）C . y=x（x＞0）D . y=x（x＞0）11. （2分） (2017高二下·原平期末) 已知函数若存在非零实数,使得成立,则实数的取值范围是（）A . .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·运城期末) 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A . a2+b2＞2abB .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·台州期末) 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，E为下底CD上的一点，若AB=CE=2，DE=3，AD=5，则tan∠EBC=________．14. （1分） (2016高一下·苏州期中) 已知数列{an}为等差数列，若a1=﹣3，11a5=5a8 ，则使前n项和Sn取最小值的n=________．15. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设函数f（x）= ，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是________．16. （1分） (2016高三上·太原期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且，数列{bn}满足，则数列{an•bn}的前n项和Tn=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高三上·宿迁期中) 对于给定的正整数k，如果各项均为正数的数列{an}满足：对任意正整数n（n＞k），an﹣kan﹣k+1…an﹣1an+1…an+k﹣1an+k=an2k总成立，那么称{an}是“Q（k）数列”．（1）若{an}是各项均为正数的等比数列，判断{an}是否为“Q（2）数列”，并说明理由；（2）若{an}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，求证：{an}是等比数列．18. （10分） (2016高二上·马山期中) 若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x| ＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式ax2+5x+a2﹣1＞0的解集．19. （10分）已知公比的等比数列的前项和为，且，数列中，．（1）若数列是等差数列，求；（2）在（1）的条件下，求数列的前项和．20. （10分） (2019高二上·遵义期中) 如图，在中，点在边上，，,．（1）求；（2）若的面积是，求．21. （10分） (2019高三上·广东月考) 在中，角所对的边分别为，；（1）证明：为等腰三角形；（2）若为边上的点，，且，，求的值．22. （10分） (2019高一上·丰台期中) 由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格 (元)与时间 (天)的函数关系是，日销售量 (件)与时间 (天)的函数关系是 .（1）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）（2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题
哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期中考试高一数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(),1(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(),1(3,)-∞+∞2．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b < B ．22ax bx > C ．22a b > D ．2121x xa b>++ 3.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A 、 M N > B 、 M N ≥ C 、 M N < D 、M N ≤4.各项不为零的等差数列{}n a 中，23711440a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则=86b b （ ）A 、4B 、8C 、16D 、64 5. 设等比数列{}n b 前n 项和为n S ，若637S S =，则96SS =（ ）．A ．2B ．437 C ．187 D ． 736. 已知数列}{n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和.已知27,4342==S a a ，则=5S ( )A.215 B. 217 C.231 D. 233 7.已知菱形ABCD 的边长为a ，满足60,ABC ︒∠=则向量BD CD ⋅=（ ） A ． 232a -B ．234a - C. 234a D.232a 8.在ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,若0cos 3sin =-B a A b ，且三边,,a b c 成等比数列，则bca +的值为（ ） A.22B.2C.2D.49. 数列{n a }满足：11(,0,)n n a a n N R λλλ*+=-∈≠∈，若数列{1}n a -是等比数列，则λ的值是（ ）A ． 1B ．2C ．12D ． 1- 10.已知数列{n a }：1121231234,,,,2334445555++++++，那么数列11{}{}n n n b a a +=前n 项和为（ ） A ． 111n -+ B ．14(1)1n -+ C ．114()21n -+ D ． 1121n -+ 11. 向量,a b 的夹角为120，1a b ==，2c =，则2a b c ++的最大值为（ ） A ． 23B ．2 C ．23+D ．412.已知数列{n a }，212n n a -= ，且对于任意的n N *∈都有12111nt a a a +++<，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．2(,)3+∞D ． 2[,)3+∞第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（本大题共4小题,每题5分.）13.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n S n =，则____________n a =14.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则_________a b += 15. 在数列{n a }中，13a =，11ln(1)n n a a n+=++，则=n a _________________16.若数列{}n a 各项均不为零，前n 项和为n S ，且112,2n n n a S a a +==⋅，则21________n S -=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共10分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，且满足342221418,28,,99S S S b T =-=+==（1）求数列{}n a 及数列{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =+，若数列{}n c 前n 项和为n M ，求n M18．（本小题共12分）解关于x 的不等式2(2)20()ax a x a R +--≥∈19．（本小题共12分）已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足112251,2a b a b ==+=，且3210a b =-（1）求数列{}n a 及数列{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T20．（本小题共12分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边是,,a b c ，若向量2(cos ,2cos 1)2Cm B =-与(2,)n a b c =-共线. (1)求角C 的大小； （2）若23c =，求a b +的取值范围21.（本小题共12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边是,,a b c ，若35,sin 45A B π==(1)求bc的值； （2）若点D 为BC 的中点，且1AD =，求ABC ∆的面积22.（本小题共12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足211,(1)2n n a S n a n n ==-- (1)证明：数列1{}n n S n +是等差数列，并求n S ； （2）设323n n S b n n=+，求证：12512n b b b +++<高一数学答案 一.选择题二.填空题13.21n -15.3ln n+22116.2n S n -=211117.(1)210,()(2)9(1)323n n n n na nb S n n =-==-+-三.解答题18.(1)(2)0(1)0,(,1]2(2)0,(,1][,)(3)2,{|1}2(4)2,[1,]2(5)20,[,1]x ax a x a x aa x x x a x a a x a+-≥=∈-∞->∈-∞-⋃+∞=-∈=-<-∈--<<∈-1112319.(1)21,()(2)622n n n n n n a n b S --+=-=-=- 20.(1)(2)A )3626C a b A ππππ=∈∴++∈（，） 222sin sin 21.(1)sin sin()4(2)AD E AD=DE ABE 2=2cos 4522,2ABC b B B c C B b c bc b c c b S π===-∆+-=∴===延长到，使得，在中，由余弦定理得，22211121222.(1)()(1)(2)(1)(1)11(1)1{}11111151115(2)()()(1)(3)2131222312n n n n n n n n n n n S n S S n n n n S n S n n n n n n n S S S n n nn S n b b b b n n n n n n ---=---≥∴-=---++∴-∴=+∴-∴=+==-∴+++=-+<++++++同除-数列是以1为公差1为首项的等差数列欢迎您的下载，资料仅供参考！。
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷(A)
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷（A)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·芒市期中) 已知sin（π+α）=﹣，则 =（）A .B . ﹣C . ﹣D .2. （2分） (2020高一下·元氏期中) 两个正实数满足，则满足，恒成立的m取值范围（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·金华期末) 设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A . ∅B . {2，4，7，8}C . {1，3，5，6}D . {2，4，6，8}4. （2分） (2019高一上·东莞月考) 若，则f[f（–2）]=（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分）(2020·南昌模拟) 下列命题正确的是（）A . “ ”是“ ”的必要不充分条件B . 对于命题：，使得，则：均有C . 若为假命题，则，均为假命题D . 命题“若，则”的否命题为“若，则”6. （2分） (2019高一上·如皋月考) 已知集合， B={x|x2-2x<0} ，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·西安模拟) 近几年，我国农村电子商务发展迅速，使得农副产品能够有效地减少流通环节，降低流通成本，直接提高了农民的收益.某农村电商对一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A . 46.5，48，60B . 47，48，60C . 46.5，48，55D . 46.5，51，608. （2分） (2018高一上·邢台月考) 设 1 ， 1,2, ，，则A .B .C . 1，D . 1,2,3,9. （2分）在中，，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一上·张掖期末) 下列函数在R上单调递增的是（）A . y=|x|B . y=lgxC .D . y=2x二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·枣庄模拟) 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是________．12. （1分） (2018高三上·杭州月考) 已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为________.13. （1分）(2019·青浦模拟) 在平面直角坐标系中，在轴、y轴正方向上的投影分别是、4，则与同向的单位向量是________14. （1分） (2019高二下·吉林期末) 在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是：________.(写出一条即可)15. （1分）某人2010年1月1日到银行存入a元，若每年利息为r，按复利计算利息，则到2020年1月1日可取回的本息和为________元．三、解答题 (共6题；共60分)16. （5分） (2016高三上·湖州期中) 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17. （10分） (2018高二上·新乡月考) 在中，.（1）求的值；（2）求18. （10分） (2019高三上·亳州月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，且 .（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，其外接圆的半径为，求的周长.19. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知 .（1）求的值;（2）求的值.20. （15分） (2017高一上·钦州港月考) 对于函数①探索函数的单调性②若为奇函数，求的值③在②的基础上，求的值域21. （10分）(2020·定远模拟) 设函数，其中，e是自然对数的底数.（Ⅰ）若是上的增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若，证明： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
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哈尔滨市高一下学期期中数学试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2019高一上·汤原月考) 如果角 的终边经过点 ，则 （ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019·惠州模拟) 要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象
（ ）
A . 向左平移 个单位
B . 向右平移 个单位
C . 向左平移 个单位
D . 向右平移 个单位
3. （2分） 若三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（ ）共线，则的值为（ ）
A . 1
B .
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C .
D .
4. （2分） (2017高一下·景德镇期末) 已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
的最小值是（ ）
A . ﹣2
B .
C . ﹣3
D . ﹣6
5. （2分） 下列关系式中正确的
是 （ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） 若向量、满足 =（2，-1）， =（1，2），则向量与的夹角等于（ ）
A .
B .
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C .
D .
7. （2分） 已知将函数f（x）=tan（ωx+ ）（2＜ω＜10）的图象向右平移 个单位之后与f（x）的图
象重合，则ω=（ ）
A . 9
B . 6
C . 4
D . 8
8. （2分） 设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），
则下列说法中正确的是（ ）
A . sin（α+θ）=sinα
B . sin（α+θ）=﹣cosα
C . cos（α+θ）=﹣cosα
D . cos（α+θ）=﹣sinα
9. （2分） 若 ， 且 ， 则的值为（ ）
A . 1或
B . 1
C .
D .
10. （2分） (2016高二上·郑州开学考) 如图，在△ABC中，已知AB=5，AC=6， = ， •
=4，则 • =（ ）
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A . ﹣45
B . 13
C . ﹣13
D . ﹣37
二、 填空题 (共6题；共6分)
11. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，a=2，b=6，B=60°，则c=________．
12. （1分） 已知、为互相垂直的单位向量，若向量满足|+﹣|=1，则||的取值范围是________
13. （1分） (2019高一下·嘉定月考) 已知 ，则 的取值范围为________.
14. （1分） (2015高二上·城中期末) 在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3 ），C（3，﹣3 ），且H
（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则 • 的值为________．
15. （1分） 函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值是________．
16. （1分） (2017高二下·新乡期末) 已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤ ）的部分图象如图所
示，则cos（5ωφ）=________．
三、 解答题 (共4题；共35分)
17. （10分） (2017高一下·乾安期末) 已知函数 .
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（1） 求函数 的递减区间；
（2） 当 时，求函数 的最小值以及取最小值时x的值.
18. （10分） (2018·衡水模拟) 在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（1） 求角 ；
（2） 若 ，求 周长的取值范围.
19. （5分） (2016高二上·吉林期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2 +acos2
= c．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为2 ，求c．
20. （10分） (2016高一下·海珠期末) 已知向量 =（4，3）， =（2，﹣1），O为坐标原点，P是直
线AB上一点．
（1） 若点P是线段AB的中点，求向量 与向量 夹角θ的余弦值；
（2） 若点P在线段AB的延长线上，且| |= | |，求点P的坐标．
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参考答案
一、 选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、 填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、答案：略
13-1、
14-1、
15-1、
第 7 页 共 8 页
16-1、
三、 解答题 (共4题；共35分)
17-1、答案：略
17-2、答案：略
18-1、
18-2、
第 8 页 共 8 页
19-1、
20-1、
20-2、